a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b/ Tính thể tích khối chóp S.DBC Giải 0 a/ Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60 thì: S Hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm[r]
(1)HÌNH HỌC LỚP 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC NÂNG CAO ( Bài tập từ trang 28 đến trang 36 ) Bài 15 Cho tam giác ABC cố định và điểm S thay đổi Thể tích khối chóp S.ABC thay đổi hay không : a/ Đỉnh S di chuyển trên mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC b/ Đỉnh S di chuyển trên mặt phẳng song song với cạnh đáy c/ Đỉnh S di chuyển trên đường thẳng song song với mặt phẳng (ABC)? Giải a/ Hai mặt phẳng song song thì khoảng cách chúng không đổi , cho nên thể tích S.ABC không đổi b/ Thể tích thay đổi ví này (P) song song với cạnh đáy thì khoảng cách từ S đến (ABC) thay đổi c/ Khoảng cách từ điểm trên đường thẳng song song với mặt phẳng đến mặt phẳng Vì , thể tích S.ABC không đổi Bài 16 Hãy chia khối tứ diện thành khối tứ diện cho tỷ số thể tích hai khối tứ diện này số k cho trước ( k>0) Giải Gọi B là diện tích đáy BCD khối tứ diện ABCD.M là điểm chia CD theo tỷ số k và AH là đường cao khối tứ diện Khi đó ta có : A VS ABC S BCD AH Nếu M là điểm chia CD theo tỷ số k : MC k MC kMD MD Hai tam giác BCM và BDM có D B cùng chiều cao kẻ từ B xuống đáy CD cho nên : H M S BCM CM V k S BCM k S BDM DM VS ABDM C Vậy : M chính là điểm chia thỏa mãn yêu càu bài toán Bài 17 Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' , biết AA'B'D' là khối tứ diện cạnh a Giải A' D' Gọi thể tích khối hộp là V Thể tích khối chóp A.A'B'C'D' là V' thì V'=2 VA A ' B ' D ' Ta có : 1 VA A ' B ' D ' a a 2 B' 2a 3 a 12 3 a3 a3 Vh 2V ' V Do đó : V'= Vậy C' A B D C Bài 18 Tính thể tích khối lăng trụ n giác có tất các cạnh a Giải Tính diện tích đáy B Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Xét tam giác có cạnh a ( Ví dụ OAB -AB=a) Góc AOB 3600 n gọi H là trung điểm AB thì: (2) AB a 1800 ; AOH Do đó AH= 2 3600 S AOB OA.OB sin n Vậy AO R AH a 180 1800 sin 2sin n n 0 0 180 180 a sin 180 cos 180 a cot 180 OA2 sin cos 2 2 2 n 1800 2sin n a2 1800 B n cot n Diện tích đáy n lần diện tích tam giác OAB suy a 180 na 180 V a.n cot cot n n Cho nên thể tích khối trụ là : Bài 19 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông A 0 AC=b, ACB 60 Đường thẳng BC' tạo với mặt phẳng (AAC'C) góc 30 a/ Tính độ dài đoạn thẳng AC' b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho Giải A' C' Do tam giác ABC vuông A cho nên BA AC BA AA'C'C BA AC ' Vì AC' là hình chiếu BC' trên mặt phẳng (AA'C'C) suy góc BC'A 30 Trong tam B' 300 A giác vuông ABC ta có AB AC.tan 60 b , 600 BC AB AC 3b b 2b b/ Tính thể tích khối lăng trụ Trong tam giác vuông ABC' ( vuông A ) ta lại C B có AC ' AB cot 30 b 3 3b BC'=2AB= 2b Trong tam giác BCC' ta có : khối lăng trụ là : CC ' BC ' 2 BC 12b2 4b2 2 2b Vậy thể tích 1 V S ABC CC ' AB AC.CC ' b 3b.2 2b b 2 Bài 20 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh a , điểm A' cách ba điểm A,B,C , cạnh AA' tạo với đáy góc 60 a/ Tính thể tích khối lăng trụ b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật c/ Tính tổng diện tích các mặt bên ( gọi là diện tích xung quanh )? Giải a/ Vì A' cách các điểm A,B,C cho nên hình chiếu vuông góc H A' trùng với tâm đáy Nhưng đáy lại là tam giác vì H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp , trọng (3) a AH a 3 tâm tam giác ABC : Trong tam giác AHA' có A'H=AH 600 a tan 60 a A ' Do đó C ' B ' A H C I B 1 a3 VLT S ABC A ' H AB AC.sin 600 A ' H a a 2 b/ Chứng minh BCC'B' là hình chữ nhật Ta có : BC AH BC AHA ' BC AA' BC A ' H BC BB ' BCC ' B ' BC CC ' Nhưng AA'//BB'//CC' cho nên : là hình chữ nhật c/ Tính diện tích xung quanh Ví AH=a cho nên tam giác AHA' là nửa tam giác cạnh 2a : AA'=2AH=2 a 2a 3 Vì diện tích hình chữ nhật BCC'B' BC.BB'=a.2a= 2a S BCC ' B ' 2a (1) Mặt khác hai hình bình hành ABB'A' ACC'A' vì S ' 2 S 2S ABB ' A ' Trong tam giác vuồng A'BH ta có : A ' B A ' A A'C 2a Trong tam giác cân ABA' 1 a 13 a 13 2a a S ABA ' ABA ' I a S S ABB ' A ' ABA ' 2 3 3 2 Ta có : a 13 2a a a2 S xq 2 a 13 13 3 3 Do đó : Bài 21 Gọi M nằm tứ diện ABCD Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến bốn mặt tứ diện là số không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính tổng đó bao nhiêu các cạnh tứ diện đó a Giải A Gọi V là thể tích tứ diện Nếu tứ diện đã cho là cố định thì V không đổi Gọi h1 d M , BCD , h2 d M , ABC , h3 d M ; ACD , h4 d M ; ABD Nếu coi M làm đỉnh thì thể tích tứ diện tổng khối chóp có đáy là bốn mặt M B H tứ diện , và chiều cao là h1 , h2 , h3 , h4 Cho nên ta C D (4) S BCD h1 SABC h2 S ACD h3 S ABD h4 có : Nhưng vì tứ diện là cho nên bốn mặt 1 V B h1 h2 h3 h4 Bh 3 tứ diện và có diện tích S Vì : h1 h2 h3 h4 h Với h là khoảng cách từ đỉnh xuống mặt đối diện và h V 2 a 3 a a h AB AH a h1 h2 h3 h4 3 3 tính : 2 Bài 22 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M là trung điểm AA' Mặt phẳng qua M ,B'C' chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó ? Giải Gọi cạnh tam giác a ( BC=a ), chiều cao tam giác h : AH=h , ta có : 11 11 VM ACBB ' VM ABC VBCC ' B ' BC AHAM BC.BB ' AH BC AH MA BB ' 32 23 a 31 a B' A' a h 1 1 h 2 a a2 VLT Bh a .h h 2 Mặt khác : C' Vì thể tích còn lại : VM BCC ' A ' VLT VM ABCB ' M B a2 a2 a2 h h h 8 A H VM ACBB ' 1 Do : VM BCC ' A ' C Bài 23 Cho khối chóp S.ABC Tren ba đường thẳng SA,SB,SC lấy ba điểm A',B',C' khác với S Gọi V và V' là thể tích các khối chóp S.ABC và V SA SB SC S.A'B'C' Chứng minh : V ' SA ' SB ' SC ' Giải Giả sử ta vẽ hình bên Gọi H và H' là chân đường cao kẻ từ A và A' xuống mặt phẳng SBC Gọi góc SB và SC là SB; SC A A' VS A ' B ' C ' S SBC A ' H ' Ta có : S H' C' B' B H C VS A ' B ' C ' 11 SB '.SC 'sin A ' H ' 32 Tương tự , ta có : VS ABC 11 SB.SC sin AH 32 (5) SB.SC.sin AH V SB SC AH 1 V' SB '.SC '.sin A ' H ' SB ' SC ' A ' H ' Cho nên : Nhưng tam giác SA'H' đồng AH SA V SA SB SC dạng với tam giác SAH suy : A ' H ' SA ' Thay vào (1) : V ' SA ' SB ' SC ' Bài 24 Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm cạnh SC , mặt phẳng (P) qua AM , song song với BD chia khối chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Giải Giao hai đường chéo là O AM cắt SO I , kẻ qua I đường thẳng song song với BD cắt SB và SD F và E Như thiết diện mà (P) cắt khối đa diện là tứ giác AEMF Gọi : V1 VS AEF ,V2 VS EF ,V VS ABCD ,V0 VSABD VS CBD S M E D V Vì M là trung điểm SC cho nên I là trọng tâm SE tam giác SAC suy : SO (1) A I F C O B Nếu EF // BD thì ta có tỉ số : V1 SA SE SF 2 SE SF SI 1 3 (2) SD SB SO (1) Theo bài 23 , ta có : V0 SA SD SB V2 SE SF SM 2 Và : V0 SD SB SC 3 18 (2) V1 V2 2 VS AEMF V1 V2 V0 V 9 3 Lấy (1) +(2) vế với vế : V0 VS AEMF 13 V V V V 2 3 AEMF ABCD Do đó thể tích phần còn lại là : Tỉ số hai thể tích là : Bài 25 Chứng minh có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' VA ' B ' C ' D ' k thì : VABCD Giải Giả sử tâm vị tự là O Theo đầu bài thì : OB ' k OB OA ' A ' H ' k OA ' k OA OA ' H ' ~ OAH OA AH OH ' k OH VA ' B ' C ' D ' OA ' OB ' OC ' k OA OB ' OC Do đó : VABCD ÔN CHƯƠNG I ( bài tập từ trang 30 đến trang 36- Kể phần trắc nghiệm ) (6) Bài ( Tr-30 -HH12NC) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi B' và D' là trung điểm AB và AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành phần Tính thể tích phần đó Giải A Gọi tứ diện là khối chóp C.ABD , thì S là diện tích đáy ABD , h là chiều cao CH ( kẻ từ C xuống mặt B' D' V Sh phẳng ABD ) thì đó : B Mặt phẳng ( CB'D') chia khối chóp thành phần có thể D tích là VC AB ' D ' ,VC BB ' D ' D hai khối chóp : C.AB'D' và C.BB'D'D có cùng chiều cao và C 1 S AB ' D ' B ' D '.h '; S ABD BD.h 2 S h VC AB ' D ' AB ' D ' S 11 1 S AB ' D ' BD h S ABD AB ' D ' 22 VC ABD S ABD S ABD h VC AB ' D ' V 3V V 3 4 C BB ' D ' D Do đó thể tích phần còn lại là V Tỉ số thể tích khối là : Bài 2.( Tr-31-HH12NC) Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh trung diểm cạnh AB,BC,CC',C'D', D'A' và AA' nằm tren mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích Giải Gọi O là giao hai dường chéo hình hộp Ta thấy MN và RQ cùng song song với AC và A'C' cho nên MNQR là hình bình hành suy MQ D' R A' và NR cùng qua O ( giao hai đường chéo ) Tương tự Q NP và SR cùng song song với BD cho nên NPRS là hình bình hành cho nên NR và PS cùng qua S B' C' O Hay nói cách khác là điểm M,N,P,Q,R,S A O D cùng thuộc mặt phẳng M P Do O là tâm khối hộp , đồng thời O là tâm N các hình bình hành vừa trên Cho nên O chính là tâm đối xứng hình hộp chính vì (P) chia khối B C hộp thành hai phần có thể tích ( ĐPCM ) Bài (Tr 31-HH12NC) Cho khối tứ diện ABCD, E , F là trung điểm hai cạnh AB và CD Hai mặt phẳng ABF và CDF chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện a/ Kể tên khối tứ diện đó ? b/ Chứng tỏ khối tứ diện đó có thể tích c/ Chứng tỏ khối tứ diện ABCD là khối tứ diện thì khối tứ diện nói trên ? Giải a/ Các khối tứ diện là BCFE, ADFE, BDFE và A CAEF b/ Ta có nhận xét sau : E - Khối tứ diện BCFE có thể coi là khối chóp E.BCF và khối tứ diện BCFE ta coi khối chóp B D (7) C E.BDF Hai khối chóp này có cùng chiều cao ( là khoảng cách từ E đến mặt phẳng BCD) và hai đáy có diện tích vì cho nên hai khối chóp này có thể tích VE BCF VE BDF (1) - Tương tự hai khối chóp E ADF và E.ACF có cùng chiều cao ( khoảng cách từ E đến ADC) và diện tích hai đáy ADF và ACF nha cho nên VE ACF VE ADF (2) Mặt khác : Gọi H' là hình chiếu E trên (BCD) và H là hình chiếu A trên (BCD) 1 VE BCD VABCD V VEBCF V 2 thì EH' 1/2 AH suy VE ACF VE ADF V Tương tự ta chứng minh : Tóm lại khối tứ diện có thể tích và 1/4 thể tích khối tứ diện c/ Nếu ABCD là khối tứ diện thì (ABF) và (CDF) là hai mặt đối xứng : Trục EF biến C thành D và biến D thành A cho nên đã biến BCEFF thành DAEFF tương tự biến ACEFF thành BDEFF vì khối tứ diện Bài ( Tr31-HH12NC) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy S và AA' =h Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA',BB' CC' A1 , B1 , C1 Biết : BB1 b, AA1 a, CC1 c a/ Tính thể tích phàn khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P) b/ Với điều kiện nào a,b,c thì thể tích hai phần đó ? Giải Vì BB' song song với mặt phẳng (AA'C'C) cho nên khoảng cách từ các điểm B' B1 và B đến mặt phẳng (AA'C'C ) và k Ta có : VA1B1C1 ABC VB1 ABC VB1 ACC1 A1 1 c a Bb x BH 3 (Do CC1 A1 A là hình thang vuông) B' A' B1 C' b B a C1 x.BH B Nhưng : 1 VA1B1C1 ABC Bb B c a B a b c 3 Cho nên A H C ( Với x là cạnh tam giác ABC) Tương tự cách tính trên , thì thể tích khối trụ còn lại là : 1 VA1 B1C1 A ' B ' C ' B h a h b h c B 3h a b c 3 b/ Nếu hai thể tích đó thì : 1 B a b c B 3h a b c a b c 3h 3 Bài (tr31-HH12NC) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' và M là trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó ? Giải Gọi V' là thể tích khối chứa cạnh AA' , còn V'' là S thể tích còn lại Thì (B'C'M) cắt (ABC) theo giao tuyến MN song song với BC A N C (8) B M 1 1 S AMN MN AH ' B ' C ' A ' H 2 2 Ta có : 1 B ' C ' A ' H S A ' B 'C ' 4 11 VS A ' B ' C ' VS AMN S' AB ' C ' 2AA' S AB ' C ' SA ' 34 Khi đó : V'= 7S AA' A ' B 'C ' Vhop 12 12 Vhop Vhop Vhop 12 12 Suy : V''= V-V'= V ' 12 Do đó : V '' 12 5 Đó là tỉ số hai khối A' C' H B' Bài ( Tr12-HH12NC) Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a , đáy là tam giác vuông cân có : AB=BC=a Gọi B' là trung điểm SB , C' là chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC ? b/ Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C') ? c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C' ? Giải S - Vì SA=a =AB=BC cho nên tam giác ASB là tam giác vuông cân suy AB ' SB a/ Thể tích khối chóp S.ABC là V thì : C' 1 a3 V S ABC SA a a 3 B' C b/ Chứng minh SC vuông góc với (AB'C') BC SA BC SAB BC AB ' BC BA Ta có A 1 Mặt khác : B AB ' BC AB ' SBC AB ' SC AB ' SB (2) SC AB ' SC AB ' C ' Nhưng : SC AC ' (3) ( Đpcm) c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C' ? SC ' SA Xét hai tam giác vuông đồng dạng : SC'A và SAC suy : SA SC SC ' SA2 SA2 a2 2 SC SC SA AC a 2a VS A ' B 'C ' SA SB ' SC ' 1 1 a3 1 VS A ' B 'C ' VS ABC 6 6 Mặt khác ta lại có : VS ABC SA SB SC Vậy : VS A ' B 'C ' a3 36 ( đvtt ) PHẦN TRẮC NGHIỆM (9) Bài 12.(Tr33-HH12NC) Nếu ba kích thước khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích nó tăng lên 3 A k lần B k lần C k lần D k lần Giải 3 Ta đã biết : V abc V ' ka.kb.kc k abc k V Vậy đáp án C đúng Bài 13.(Tr33-HH12NC) Tổng diện tích các mặt hình lập phương 96 Thể tích khối lập phương đó là : A 64 B 91 C 84 D 48 Giải Như ta đã biết , hình lập phương có mặt cho nên diện tích S mặt là 96: = 16 Mặt khác kích thước cạnh hình vuông là x 16 x 4 Vì thể tích khối lập phương là : 16.4=64 ( đvtt ) Đáp án A là đáp án đúng Bài 14.(Tr33-HH12NC) Ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân có công bội là Thể tích hình hộp đã cho là 1728 Khi đó các kích thước hình hộp là : C 3, 3,38 D 6,12,24 Giải Gọi các cạnh hình hộp là abc ( a<b<c ) suy : b=2a , c=2b=4a Suy thể tích khối A 8,16,32 B 2,4,8 a3 a hộp là : 1728=2a.4a.a=8 Vậy đáp án D là đáp án đúng Bài 15.(Tr33-HH12NC) 1728 216 6 Các đường chéo các mặt hình hộp chữ nhật : 5, 10, 13 Thể tích hình hộp đó là : A B C D Giải Gọi kích thước khối hộp chữ nhật là a,b,c thì theo giả thiết ta có : a c 5 2 a b 10 b c 13 b c 5 2 b c 13 a 5 c b 9 c 4 a 1 a 1 b 2 c 3 Do đó thể tích khối hộp chữ nhật là : 1.2.3=6 Đáp án C là đúng Bài 16.(Tr33-HH12NC) Một khối trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 37,13,30 và diện tích xung quanh 480 Khi đó thể tích khối lăng trụ là : A 2010 B 1010 C 1080 D 2040 Giải 480 6 Từ giả thiết : 480= h( 37+13+30) suy h= 80 Vậy thể tích khối lăng trụ là : 40 40 37 40 13 40 30 6 40.3.27.10 6 220 6.180 1080 V= Vậy đáp án C là đáp án đúng Bài 17.(Tr33-HH12NC) (10) Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy 13,14,15 , các cạnh bên tạo với đáy góc 30 và có chiều dài Khi đó thể tích khối lăng trụ là : A 340 B 336 C 274 D 124 Giải 0 Nếu cạnh bên tạo với đáy góc 30 , thì chiều cao h = 8.sin 30 , hay h=4 Khi 21 21 13 21 14 21 15 21.8.7.6 84 đó diện tích tam giác đáy là : S= Vậy thể tích V=84.4= 336 Cho nên đáp án B là đúng Bài 18.(Tr33-HH12NC) Đáy hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp Khi đó thể tích hình hộp là : A a B a 3 a3 C a3 D Giải Vì đáy là hình thoi có góc nhọn 60 , cho nên hình thoi tạo hai tam giác Vậy cạnh hình thoi lại a cho nên đường chéo nhỏ hình thoi a và đường a a chéo lớn hình thoi 2 Xét tam giác vuông có cạnh huyền đường chéo nhỏ hình hộp , hai cạnh góc vuông là chiều cao h với đường chéo nhỏ hình thoi , ta có : h a 2 a3 a sin 60 a a 2a h a 2 Vậy thể tích V= 2 Đáp án D là dáp án đúng Bài 19.(Tr34-HH12NC) Khi độ dài cạnh hình lập phương tăng thêm cm thì thể tích nó tăng thêm 98 cm3 Cạnh hình lạp phương đã cho là : A cm B cm C 6cm D cm Giải Gọi cạnh hình lập phương là a , thì từ giả thiết ta có : V+98 = a Với V= a a 5(l ) a 98 a 6a 12a a 2a 15 0 a 3 Ta suy : Vậy đáp án D là đáp án đúng Bài 20.(Tr34-HH12NC) Cho hình hộp có mặt là hình thoi cạnh a Góc nhọn 60 Khi đó thể tích hình hộp là : a3 A a3 B a3 C Giải Như bài 18 , đáy hình thoi là tạo hai tam giác cạnh a ( Vì góc nhọn 60 ).Qua hình vẽ bên , cùng với giả thiết cho các mặt là hình thoi ta suy A'O là đường cao khối hộp a3 D A' O (11) AA' Với A'O = a 3 3a 3a 3a 3 a.a 2 Do dó thể tích hình hộp là V= 2 ? Bài 21.(Tr34-HH12NC) Cho hình lập phương có cạnh a Khi đó thể tích khối mặt mà các đỉnh là tâm các mặt hình lập phương đã cho a3 A a3 C a3 B a3 D Giải Khi đó cạnh khối mặt là đường trung bình tam giác mà có hai cạnh bên là a hai đường chéo hai hình vuông , cho nên chiều dài nó là : Tâm hình lập phương chính là tâm đối xứng khối mặt Chiều cao khối mặt ( hay trục đối xứng nó ) chính là đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông hai đáy Vì khoảng cách này cạnh hình vuông : a 1 a a3 a 3 Vậy thể tích khối mặt là V= Do đó đáp án D là đúng Bài 23.(Tr34-HH12NC) Cho khối 12 mặt H có thể tích là V và diện tích mặt nó S Khi đó , tổng khoảng cách từ điểm nằm H đến các mặt nó : 3V A 4S V B S 3V C S V D 12S Giải Gọi M là điểm nằm H , thì mặt khối 12 mặt cùng với M tạo thành khối chóp , có đáy là mặt khối 12 mặt , chiều cao là khoảng cách từ M đến mặt đó Theo cách lập luận thì thể tích khối 12 mặt là tổng các khối chóp V S h1 h2 h3 h12 nêu trên 12 3V h S i i 1 Vậy đáp án C là đáp án đúng Bài 22.(Tr34-HH12NC) Cho khối tứ diện có cạnh a Khi đó thể tích khối mặt mà các dỉnh là trung điểm các canh khối tứ diện đã cho là : a3 A 24 a3 B 12 a3 C a3 D 24 Giải Từ giả thiết , cạnh khối mặt là đường trung bình tam giác các mặt tứ diện cho nên nó có chiều dài là a/2 Diện tích mặt đối xứng là hình vuông cạnh a/2 Trục đối xứng có chiều dài chiều dài đường trung bình tứ diện và : 2 a a 2 2a a a a a3 2 2 24 Vậy đáp án A là đúng Khi đó V= Bài 24.(Tr35-HH12NC) Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy là : 19,20,37 , chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng củacác cạnh đáy Khi đó thể tích khối lăng trụ là : (12) B 1245 A 2888 C 1123 D 4273 Giải 19 20 37 76 19 20 37 76 38 3 , p= 2 Chiều cao h= Suy diện tích đáy lăng trụ là S= 38 38 19 38 20 38 37 38.19.18.1 114 114 76 Vậy thể tích là : V= 114 = 76.38 =2888 Vậy đáp án A đúng Bài 25.(Tr35-HH12NC) Đáy hình hộp là hình thoi cạnh 6cm và góc nhọn 45 , cạnh bên hình hộp dài 10 cm và tạo với mặt phẳng đáy góc 45 Khi đó thể tích hình hộp là : A 124 3cm B 180 cm C 120 2cm D 180 2cm Giải 10 2.36 10 Vh 2VChop 2 sin 450 180 3.2 2 Ta có Chiều cao h tính cạnh tam giác vuông cân : 10=h 2 h 10 S= diện tích đáy = 2 a.a.sin 450 a 2 a a 2 10 5a S Vchop 3 Vậy Vhop 2Vchop 2 5a 10.36 120 3 10 450 Bài 26.(Tr35-HH12NC) Với bìa hình vuông , người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12cm.rồi gấp lại thành hình hộp không có lắp Nếu dung tích cái hộp là 4.800 cm3 thì cạnh bìa là : A 42 B 36 C 44 D 38 Giải Gọi cạnh bìa là a thì sau cắt bỏ góc , kích thước cạnh bìa là : a-2.12=a-24 Do đó dung tích là : 4.800=12 a 2 24 a 24 4.800 400 12 a 24 20 a 24 20 a 44 a 4 12 a 44 Vậy đáp án C là đáp án đúng Bài 27.(Tr35-HH12NC) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , và cạnh bên tạo với đáy góc Thể tích khối chóp là : a cot a tan a tan a tan A 12 B 12 C 12 Giải D (13) Do chóp tam giác cho nên chân đường cao H trùng với tâm đáy Suy chiều cao h 2a a tan tan tính dựa vào tam giác vuông : h= 11 a a tan a.a.sin 600 h a tan 12 Đáp án B là đáp án đúng Thể tích là V= Bài 28.(Tr35-HH12NC) Một hình chóp tam giác có cạnh bên b và cạnh bên tạo với đáy góc Thể tích hình chóp là : 3 b cos sin A 3 b cos sin C 3 b cos sin B 3 b cos sin D Giải Từ giả thiết ta suy chiều cao hình chóp là : h = bsin Chiều cao tam giác đáy là : BH 3b 3b 3b h b.cos h= cos S b cos cos 2 b ) BH = ( với cos BH 3 1 3b b3 b cos b sin cos sin b b 3 Do đó V= (*) Vì : cos b3 cos b3 3.b3 cos sin cos 2 sin cos 2 sin cos 4 Vì (*) V= cos Cho nên đáp án B là đáp án đúng Bài 29.(Tr36-HH12NC) Cho hình chóp tứ giác H có diện tích đáy , và diện tích mặt bên Thể tích H là : A C B 4 D Giải Vì tứ giác suy dáy là hình vuông cạnh là a Theo giả thiết : a 4 a 2 Chiều cao tam giác cân mặt bên là : Vậy chiều cao hình chóp là : h ' h2 2 a.h h a 2 a a2 1 4 Vậy đáp án C là đáp án đúng Thể tích V= Bài 30(Tr36-HH12NC) Cho khối chóp tam giác có các cạnh đáy là 6,8,10 Một cạnh bên có độ dài và tạo với đáy góc 60 Thể tích khối chóp là : A 16 B C 16 D 16 Giải Từ giả thiết các cạnh 6,8,10 thì đáy là tam giác vuông cạnh huyền 10 Suy 2 chiều cao khối chóp là h = 1 6.8 24 24.2 16 Diện tích đáy là S= Cho nên V= Vậy đáp án A là đúng 4.sin 600 4 (14) Bài 31(Tr36-HH12NC) Nếu hình chóp có chiều cao và cạnh đáy tăng lên n lần thì thể tích nó tăng lên : 2 3 A n lần B n lần C n lần D n lần Giải 2 Gọi góc tâm chắn cạnh a đa giác đáy k cạnh là ka Khi đó diện tích tam a a2 S1 a cot cot 2 ka ka giác cân có chiếu cao là khoảng cách từ tâm đến cạnh là : na cot n3V cot V ' nh ka k na Gọi chiều cao khối chóp là h thì V= Vậy đáp án C là đáp án đúng Bài 32(Tr36-HH12NC) Khi chiều cao khối chóp tăng lên n lần cạnh đáy lại giảm n lần thì thể tích chúng là : A Không thay đổi B Tăng lên n lần C Tăng (n-1) lần D Giảm n lần Giải Theo kết bài 31 thì : a n cot V ' nh cot V ka k na n Vậy đáp án D là đáp án đúng V= TRONG HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN Bài 1.(Tr25-HH12CB) Tính thể tích khối tứ diện cạnh là a Giải Khối tứ diện là khối chóp có tất các mặt là tam giác và chân đường cao hình chóp trùng với tâm đáy Cho nên thể tích chúng tính : 11 V Sday h a.a.sin 60 a 32 2 3 a 2a a3 a 12 3 Bài 2.(Tr25-HH12CB) Tính thể tích khối bát diện cạnh là a Giải Gọi V là thể tích khối bát diện , và V' là thể tích khối chóp có đáy là hình vuông có cạnh là a , thì V=2V' a 2 2a a 2 a a Chiều cao khối là chóp là Diện tích đáy là S= a a a3 a3 V ' a V 2V ' Suy : Bài 3.(Tr25-HH12CB) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tính tỉ số thể tích khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB'D' Giải (15) Ta có kích thước khối hộp là a,b,c Thể tích khối hộp là V=abc (1) Coi B' làm đỉnh thì khối tứ diện ACB'D' là khối chop B'.ACD' Nhận xét : VB ' ABC VD ' ACD 1 1 S ABCD h Vhop VC B ' D 'C ' V 6 , và ta có 1 V V Suy thể tích khối tứ diện là D' C' A' B' D C O Cho nên tỉ số hai thể tích là k=3 B A Bài 4.(Tr25-HH12CB) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lấy ba điểm A',B',C' khác với S Gọi V và V' là thể tích các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' V SA SB SC Chứng minh : V ' SA ' SB ' SC ' Giải Giả sử ta vẽ hình bên Gọi H và H' là chân đường cao kẻ từ A và A' xuống mặt phẳng SBC Gọi góc SB và SC là SB; SC VS A ' B ' C ' S SBC A ' H ' Ta có : 11 VS A ' B ' C ' SB '.SC 'sin A ' H ' 32 A A' C C' H S B' B Tương tự , ta có : 11 SB.SC sin AH 32 SB.SC.sin AH V SB SC AH 1 V ' SB '.SC '.sin A ' H ' SB ' SC ' A ' H ' Cho nên : VS ABC AH SA Nhưng tam giác SA'H' đồng dạng với tam giác SAH suy : A ' H ' SA ' Thay vào (1) : V SA SB SC V ' SA ' SB ' SC ' Bài 5.(Tr26-HH12CB) Cho tam giác ABC vuông cân A và AB=a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD F và cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Giải Từ giả thiết AB=a và CD=a , tam giác ABC vuông D F cân A suy tam giác CAD là tam giác vuông cân C Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , thì từ C a E C B a a (16) kẻ CF vuông góc với BD Trong mặt phẳng (ABD) kẻ FE vuông góc với BD cho nên mặt phẳng qua C chính là mặt phẳng (CFE) Do đó : Nếu BD CFE BD CE CE BD CE ABD CE AD Mặt khác : CE BA Nhưng CAD vuông cân cho nên E là trung điểm AD Xét tam giác vuông đồng DF DC DF DC DB DB dạng : DFC và DCB suy : DC DB VD.CFE CD DE DF 1 1 DF a2 1 VD.CFE VD ABCD 2 6 Hay : DB a 2a Cho nên VD ABCD CD DA DB VD.CFE 11 111 a3 a3 S ABC CD a a VCDFE 63 632 36 Đáp số : 36 Bài 6.(Tr26-HH12CB) Cho hai đường thẳng chéo d và d' Độ dài đoạn thẳng AB=a trượt trên đường thẳng d , đoạn thảng CD có độ dài b trượt trên đường thẳng d' Chứng minh thể tích khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi Giải Gọi MN =h là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d và d' là góc A hợp hai đường thẳng d với d' bh - Diện tích đáy BCD là S , thì S= Chiều cao từ A xuống đáy là AH Khi đó chiều dài AH = a.sin - Vậy thể tích khối tứ diện là V : M a H h d' B D d N C b 11 V S BCD AH bh.a.sin abh.sin 32 ( Không phụ thuộc vào vị trí A,B,C,D ÔN CHƯƠNG I Bài 4.(tr26-HH12CB) Cho lăng trụ và hình chóp có đáy và chiều cao Tính tỉ số thể tích chúng ? Giải V 1 Vchop Bh VLT chop B.h Còn 3 VLT Ta có : VLT Bài (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi vuông góc và OA=a,OB=b và OC=c Tính đường cao OH hình chóp ? Giải V abc Ta có (1) A a H (17) O C b M B Kẻ OM BC , OH AM Ta số kết sau : BC OA BC AOM BC OH BC OM (1) OH BC OH ABC OH AM Mặt khác : Chứng tỏ OH là đường cao chóp O.ABC kẻ từ O 1 2 OC OB Tam giác vuông OBC : OM 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 OA OM OA OC OB a b c Trong tam giác vuông OAM : OH a 2b b c c a abc OH 2 2 abc a 2b b c c a Hay : OH Bài (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB=a Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy góc 60 Gọi D là giao điểm SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA a/ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC và S.ABC b/ Tính thể tích khối chóp S.DBC Giải a/ Các cạnh bên tạo với đáy góc 60 thì: S Hình chiếu S trên đáy trùng với tâm đáy Vì đáy là tam giác suy hai tam giác SAB=SAC D , đó BD=DC A a Tam giác ABC có : AM= , tam giác SAO có : a O C M B SAO 600 ASO=300 OA SA 3a SA 2OA a 3, SO SA 2 BDC SA DM Mặt khác SA , cho nên SD là đường cao chóp S.BDC Tam giác AMD có AD=AMcos600 a a a 3 3a AM.sin600 2 DM= 2 a 13a a 13 BD AB AD a BD CD 16 Tam giác ABD : 11 3a a a VA BDC S BDC AD BC.DMAD a 32 4 32 Vì : Ta có VS ABC 2 11 3a a 3 a 3 a 3 3a 3 a sin 600 VS BDC VS ABC VA.BDC 32 8 32 32 VS BCD VS ABC Tỉ số thể tích : a 3a 3 a 3 SD SA AD 32 3.8 1.1 SA SA 32 a a3 (18) Bài (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a và CA=7a Các mặt bên SAB,SBC ,SCA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp đó Giải Do các mặt bên ngiêng với đáy S góc cho nên hình chiếu S trên đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Suy BH là phân giác góc B Mặt khác ta lại có : Và p AB BC CA 5a 6a a 9a 2 A S ABC p p a p b p c a a 5a a a a a 5a , 9a.4a.3a.2a 6a Ta lại có : S ABC pr ( Với r =EM) Suy : pr 6a r ME 600 7a C H M N 6a B 6a a 9a Từ đó suy chiều cao SO , tam giác vuông SMH : SH MH tan 600 2a 2a 1 VS ABC S ABC SH 6a 62a 4a 3 8a 3 3 Vậy : Bài (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với đáy và AB=a ,AD=b và SA=c Lấy B',D' theo thứ tự thuộc SB,SD cho AB' vuông góc với SB , AD' vuông góc với SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC C' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' Giải AB ' SB AB ' SC AB ' BC BC SAB AD ' SD - Kẻ AB' vuông góc với SB , Vì (1) AD ' SD S AD ' ( SDC AD ' SC D' Tương tự : AD ' DC (2) C' SC B ' C ' SC AB ' D ' SC D ' C ' Từ (1) và (2) Vì ta kẻ B'C' SC và nối C'D' ta thiết diện (AB'D') cắt chóp : AB'C'D' Các tam giác : SB'A và SAB , SD'A và SAD dồng dạng , suy ta có các tỉ số đồng dạng : SB ' SA SA SB SD ' SA SA SD 2 B' D a A B SB ' SA c 2; SB SB a c SD ' SA c2 SD SD b c Tam giác SC'A ~ SAC suy ra: SC ' SA SC ' SA2 c2 SA SC SC SC a b c b C (19) VS A ' B 'C ' SB ' SC ' VS A ' D 'C ' SD ' SC ' VS A ' B 'C ' VS A ' B ' C ' SC ' SB ' SD ' ; VS ABCD VS ABC SB SC VS ADC SD SC SC SB SD Ta có : c2 c2 c2 c4 2 k 2 2 2 2 2 a b c a c b c a b c a c b c VS A ' B 'C ' VS A ' B ' C ' 2V 1 1 S AB ' C ' D ' k VS AB ' C ' D ' kV k abc abck VS ABCD V 2 Vậy abc5 a b 2c c4 VS AB 'C ' D ' abc a b c a c2 b2 c2 a b c a c b2 c2 Bài (Tr 26-HH12CB) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt SB E và cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF ? Giải - Nối AM cắt SO I Kẻ qua I dường S thẳng song song với BD cắt SB E và cắt SD F Nối EF và MF ta có thiết diện tạo (P) qua AM và // BD SE SF SI Tam giác SEF ~ SBD suy : SB SD SO (*) M E Vì M là trung điểm SC và O là trung điểm AC suy I là trọng tâm tam giác SAC , SI suy SO (1) Trong tam giác vuông SOB ta a a OB tan 600 3 2 (2) có SO = F A I 600 D O B C 2 a a3 VS ABCD a SO a VS ABC VS ADC VS ABCD V ' 3 (3) ; - Tính V V SE SM 1 SF SM 1 S AEM S AFM V SB SC 3 V SB SC 3 ( Do từ (*)) S ABC S ABC Và : ; VS AEM VS AFM 1 2V 1 a3 a VAB ' C ' D ' V V 3 32 3 18 Bài 10 (Tr 27-HH12CB) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất các cạnh a a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C ? b/ Mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC E và F Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE ? Giải a/ Vì lăng trụ đứng có tất các cạnh a suy S tam giác hai đáy là tam giác , và các mặt bên là các hình vuông (20) A VA ' BB 'C VC A ' BB ' E 1 a3 a a C G B F Ta có : b/ Vì A'B' song song với mặt phẳng (ABC) cho nên mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm G cắt (ABC) theo giao tuyến qua G và song song với AB , cắt AC E và cắt BC F Kéo dài B'F và A'E chúng đồng quy S A' C' V ' SE SC SF V SA ' SC ' SB ' (1) Gọi M SC SE SF EF EF B' Nhưng : SC ' SA ' SB ' A'B' AB V' 2 8 1 1 V ' V VC A ' B ' C ' BCC ' B SC ' V 27 (2) Ta có : 3 3 (3) Suy : V 3 27 VC A ' B ' FE V V ' VC A ' B 'C ' V V V 27 Vậy : V VS A ' B ' C ' ;V ' VS CEF VC A ' B ' FE 10 10 1 5a 3 5a V a 3a 27 27 2 3.18 18 Bài 11 (Tr 27-HH12CB) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB' và Đ' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đó Giải Từ C kẻ đường thẳng I song song với BD nó cắt N D' AB và AD I và K M A Nối các đường thẳng IE, ' B' C' F và KF chúng cắt A'B' và A'D' M và N Suy A O D K (CEF) cắt khối hộp theo E thiết diện là CEMNF Ta xét khối đa diện chứa C cạnh AA' gọi là V' B Xét : B'E=IA'=a/2 suy a IA = Mặt khác : IB= J a 1 3a 3a 3a 9a V0 VI AJK S AIK IA =KD=IA' 3 2 11aa a a 1 a a a3 V1 VI A ' MN S A ' MN IA ' V2 VJ BCE a VK CDF 3 2 2 48 2 24 9a a a3 49a V ' V0 V1 2V2 2 48 24 48 Như Phần thể tích còn lại là : ? Bài 12 (Tr 27-HH12CB) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh là a Gọi M là trung điểm A'B' , N là trung điểm BC a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN ? b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện (21) Giải a/ Tính thể tích khối tứ diện ABMN Xét tam giác vuông ABN ( vuông B) Ta có a I A' S AND S ABCD S ANB S DCN D' M a a a 2 Do đó thể tích tứ diện B' ABMN coi là thẻ tích khối chóp M.ABD có đáy là tam giác ADN và chiều cao kẻ từ M xuống đáy = AA'=a VM ADN F E C' A D a2 a3 a B N C suy b/ Nối DN cắt AB J Nối JM cắt J BB' E và cắt A'B' M , cắt AA' I Nối ID cắt A'D' F Như (DMN) cắt khối chóp theo thiết diện : DNEMF Ta tính thể tích khối đa diện chứa cạnh AA' Tam giác BJN=CDN suy JB=CD=a EB ' MB ' a 1 JB a Tam giác JEB đồng dạng với tam giác EMB' suy EB EB ' EB BB ' 2 EB BB ' a EB ' a EB EB 3 a Tam giác MB'E = tam giác IA'M suy EB'=IA'= Tam giác IA'F đồng dạng với tam FA ' IA ' a 1 a FA ' AD a AD IA a 4 giác IAD suy 1 a a a a3 11 2a a a3 VI A ' MF A ' M A ' F IA ' VJ BEN EB.BN JB a 144 32 18 1 a a 4a 4a VJ ?D JA AD.IA 2a.a a 3 Mặt khác : 4a a a 55a V H VI AJD VI A ' MF VJ BEN 144 18 144 Do dó : a V H ' a V H a 3 Thể tích hình lập phương V H 55a 89a 55 144 144 V H ' 89 PHẦN TRẮC NGHIỆM Bài (tr28-HH12CB) Cho hình chóp S.ABC Gọi A' và B' là trung điểm các cạnh SA và SB Khi đó tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C và S.ABC A B C Giải D (22) Gọi H là hình chiếu C trên (SAB) Như hai khối chóp S.A'B'C ( hay C.SA'B;) và S.ABC ( hay C SA ' SB ' SAB ) có cùng chiều cao CH Khi đó SA SB dt SA ' B ' SA '.SB 'sin ASB 1 dt SAB 2 SA.SB.sin ASB Với : dt SA ' B h VS A ' B 'C VS ABC dt SAB h Do đó : Vậy đáp án C đúng S A ' B' H C A B Bài (tr28-HH12CB) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A',B',C'D' theo thứ tự là trung điểm SA,SB,SC,SD Tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD là A B C D 16 Giải Vì A',B',C',D' là trung điểm các cạnh SA,SB,SC,SD cho nên mặt phẳng (A'B'C'D') song song với (ABCD) SA ' SB ' SC ' SD ' Do đó : SA SB SC SD Gọi góc AB và BC là góc ABC A ' B ' C ' S A ' B ' C ' D ' A ' B '.B ' C '.sin A ' B ' C ' 1 S ABCD 2 AB.BC.sin ABC Do dó S h' VS A ' B 'C ' D ' A ' B 'C ' D ' h' 1 VS ABCD h S ABCD h Suy : Vậy đáp án C là đáp án đúng Bài (tr28-HH12CB) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a là : a3 A a3 B a3 C a3 D Giải a2 S a sin 600 Do cạnh Ta có đáy là tam giác cạnh a , suy diện tích: a V Vậy đáp án D là đáp án đúng bên a cho nên Bài (tr28-HH12CB) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tỉ số thể tích khối tứ diện ACB'D' và khối hộp A B C D Giải Ta coi tứ diện ACB'D' là khối chóp C.AB'D' Khối chóp này có chiều cao AA'= c Còn diện tích đáy A'B'D' 1/2 diện tích hình bình hành đáy (23) Suy : VC AB ' D ' Vhop 1 S ABCD h S ABCD h Vậy đáp án D là đáp án đúng THAM KHẢO MỘT SỐ BÀI TẬP HAY TRONG BTHH-12 Bài ( Bài 23-tr9-BTHH12NC) Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D và độ dài đường chéo mặt bên a/ Hạ AK vuông góc với A1D ( K thuộc A1D ) Chứng minh AK=2 b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 Giải a/ Từ giả thiết thì hai đáy là hình vuông AB AA1 D AB AK AK A1 D Ta nhạn xét : AK là B1 A1 C A1 D vì AK=2 ( giả thiết cho ) b/ Theo đầu bài thì AK=2 , A1D =5 Trong tam x A1 K AA1 D AK A1 K KD 4 x x D1 K đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AB và giác vuông C1 B A D 25 2 AA1 1 x A1 K 1 x A1 K AD A1 D AA12 25 20 AA1 4 x A1 K 4 x x 0 A1 K 1 AA1 K AA1 AK A1 K 16 2 A1 K 4 Do đó : VABCD A B C D AD AA1 20 A1 K 1 1 1 VABCD A B C D AD AA1 10 A1 K 4 1 1 Vậy : Bài 2.( Bài 24-tr9-BTHH12NC) Đáy khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là tam giác , mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy goác 30 và tam giác A'BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Giải ABC Vì , suy kẻ AK vuông góc với BC thì K A' B' ABC cho nên là trung điểm BC AA' AKA ' 300 Từ đó A'K=2AA' (1) Gọi cạnh tam giác đáy a , A'K =x ( x>0) Ta có : A' K x 2 a.x a.x 16 Từ giả thiết : (1) C' AA'=A'K sin300 A B K C (24) AK x.sin 600 x a a x 2 (2) Từ (1) và (2) suy x=a=4 Và AA'=2 Vậy thể a2 a sin 600.2 8 tích khối lăng trụ là V= Bài 3.( Bài 25-tr9-BTHH12NC) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C' D' có đáy là hình bình hành và BAD 45 Các 0 đường chéo AC' và DB' tạo với đáy góc 45 và 60 Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao nó Giải Vì AC' tạo dáy góc 45 cho nên tam giác A' D ACC' vuông cân suy AC=CC' (1) Vì DB' tạo ' 0 đáy góc 60 suy BB ' D 30 suy DB ' BD= Nếu chiều cao hình lăng trụ thì có nghĩa là BB'=2 = CC' =AC Xét tam giác BAD 2 ta có : BD AB AD AB AD.cos45 (1) Trong tam giác ABC : AC AB BC AB.BC.cos1350 (2) lấy (1) (2) vế với vế ta : BD AC AB AD B' C' 450 A D B C 2 ABBC 2 AB AD (3) Trong tam giác BB'D có B'D=2 BB' = 2.2=4 và BD = BB' cot 300 Trong tam giác ACC' : AC=CC'=2 Thay vào (3) ta có kết sau : 2 AB AD AB AD 3.2 4 VABCD A ' B 'C ' D ' AB AD sin 450 AA'= 3 2 Vậy : Bài 4.( Bài 27-tr9-BTHH12NC) Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với AB= , AD= Hai mặt 0 bên (ABB'A') và ( ADD'A') tạo với đáy góc 45 và 60 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Giải Kẻ A'H vuông góc với đáy Kẻ HI vuông góc với B' C' AD , và HK vuông góc với AB suy A ' IH 600 ; A ' KH 450 Chính là góc nghiêng hai mặt phẳng (ABB'A') và (ADD'A') với đáy Từ đó suy tam giác A'KH vuông cân A'H=KH Tam giác vuông A'IH có góc IA'H = 30 suy A'H=2IH (2) AIHK là hình chữ nhật Đặt A'H =x , A' H 2x và AI= thì A'I = sin 60 A' D' B C A H I D (25) AA'2 A ' I x2 HK Nhưng HK=A'H x cot 45 x Suy : x2 3 VABCD A ' B ' C ' D ' AB AD.x 3 x x 7 Vậy Bài 5.( Bài 28-tr9-BTHH12NC) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với mặt bên (ABB'A') có diện tích Khoảng cách cạnh CC' và mặt bên (ABB'A') Tính thể tích hình lăng trụ Giải Chú ý : Đây là bài toán hay Khoảng cách từ đường thẳng song song với A' D' mặt phẳng khoảng cách hai mặt B' C' phẳng song song , đó mặt phẳng chứa đường thẳng // A Ta dựng hình hộp ABCD.A'B'C'D' Khi đó VABC A ' B 'C ' VABCD A ' B 'C ' D ' Mặt khác : VABCD A ' B 'C ' D ' S ABB ' A ' h Với : S ABB ' A ' 4 và h d CDD'C' ; ABB ' A ' 7 Vậy : V ABC A ' B ' C ' D B C 4.7 14 Bài 6.( Bài 29-tr9-BTHH12NC) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= Cho biết mặt phẳng (AA'B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA'= 3, AA'B= góc nhọn , góc mặt phẳng (A'AC) và mặt phẳng (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải - Xác định góc hai mặt phẳng (AA'B) và (ABC) Kẻ A'K vuông góc với giao tuyến AB , Vì góc AA'B nhọn cho nên K thuộc tia AB Kẻ KM vuông góc với AC , theo định lý ba đường vuông góc suy A'M AC , đó A ' MK 600 Giả sử A'K=x , ta có : AK AA'2 A ' K x ; B' A' C' K 2 MK AK sin KAM x sin 450 x 2 A 2 x x MK A ' K cot 600 Mặt khác , x 3 x VABC A ' B ' C ' S ABC A ' K AC.CB A ' K Vậy 10 M B C Bài 7.( Bài 43-tr11-BTHH12NC) Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B',D' là trung điểm SB,SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC C' Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD Giải S C' B' D' (26) B O C SC ' Kẻ OC'' song song với AC' , suy SC'=C'C''=C''C Vậy SC Ta có : VS AB 'C ' SB ' SC ' 1 VS AB ' C ' VS ABC SB SC Từ đó suy : VS ABCD 12 Chứng minh tương tự ta có VS AD 'C ' V V V S AB ' C ' D ' S AB 'C ' S AD 'C ' VABCD VABCD : VS ABCD 12 Bài 8.( Bài 44-tr11-BTHH12NC) Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm AB,AD và SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành phần có thể tích Giải Xác định (MNP) Kéo dài MN cắt DC và BC thứ tự K và I Nối KP và IP cắt SD S và SB F và E Như (NMP) cắt chóp theo thiết diện MEPFN P Ta có H là trung điểm MN , hay KI F ta thấy O là trọng tâm tam giác CKI cho K nên : Gọi DCB , thì ta có kết sau : D CD CB CO N O E CK CI CH d(P,ABCD)= SO H VP.CIK SCKI d ( p; ABCD) A M B Do đó I 1 CK CI sin SO 2 13 1 CD CB sin SO CD.CB.sin SO VS ABCD 22 2 16 16 VI BEM IB IE IM 1 1 1 VI EBM VI CPK VP.CIK VS ABCD 18 18 32 Mặt khác : VI CPK IC IP IK 3 18 C 1 VK NDF VP.CIK VP ABCD 18 32 Tương tự ta có : Do gọi V2 là phần thể tích V2 VP.CIK VI BEM VK NDF giới hạn mặt phẳng (MNP) với đáy thì : V2 VS ABCD 16 1 VS ABCD VS ABCD VS ABCD VS ABCD VS ABCD 32 16 32 16 Phần còn lại , tức là phần khối chóp nằm trên mặt phẳng (MNP) có thể tích là : V1 VS ABCD V2 VS ABCD 1 VS ABCD VS ABCD V2 2 Bài (Bài 45-tr11-BTHHNC) Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (P) qua A,B và trung điểm M cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng đó Giải Mặt phẳng qua AB và trung điểm M SC S cắt mặt phẳng SDC theo giao tuyến MN //CD Gọi V= thể rích khối chóp VS ABCD ;V ' VS ABMN N M D A (27) O C B VS MNB SM SN SB 1 VS ABN SN 1 1 V SC SD SB 2 V SD (2) Lấy (1) cộng S ABD S CBD Ta có : (1)và ta lại có VS MNB VS ABN 1 3 VS MNB VS ABN VS CBD (2) vế với vế ta VS CBD VS ABD 4 3 VS ABCD VS ABCD VS ABD VS CBD VS ABCD VS ABMN VS BMN VS ABN VS ABCD ( vì : ) Do đó : Vậy thể tích khối chóp còn lại : VABMNCD VS ABCD VS ABMN VS ABCD VS ABCD VS ABCD 8 VS ABNM V 5 ABMNCD Tỉ số thể tích khai khối chóp là : Bài 10 (Bài 46-tr-11-BTHH12NC) Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm E,F là trung điểm C'B' và C'D' a/ Dựng thiết diện khối lập phương cắt mặt phẳng (AEF) b/ Tính tỉ số thể tích hai phần khối lập phương bị chia mặt phẳng (AEF) Giải a/ Cách dựng thiết diện tạo mặt phẳng (AEF) với khối chóp : Kéo dài EF cắt A'B' và A'D' M và N Nối MA và NA chúng cắt BB' và DD' Q và P Vậy thiết diện chính là AQEFP b/ Tính tỉ số thể tích Ta đặt : V VABCD A ' B 'C ' D ' ;V1 VABCDQEFP ;V2 VAQEFP A ' B ' D ' ;V3 VA.MA ' N ;V4 VN PFD ' ;V5 VM QEB ' Dễ nhận thấy : V4 V5 tính chất đối xứng hình lập phương V3 AA'.A'M.A'N Ta có : 3a 3a 3a a 2 V4 PD '.D ' F D ' N a a a a3 2 72 A D B P C A' Q D' O B' F E C' M V2 V3 2V4 3 3a 2a 25a 25a 47a V1 V V2 a 72 72 72 72 Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương thành hai phần lần lươt có thể tích là : V1 V 47 47a 25a ;V2 72 72 V2 25 Bài11 ( Bài 47-tr11-BTHH12NC) N (28) Cho điểm M trên cạnh SA , N trên cạnh SB khối chóp tam giác S.ABC cho : SM ; MA SN 2 NB Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai khối đó ? Giải - Ta thấy từ giả thiết : Chia SA thành phần MA=2MS và N chia SB : NS=2NB Nối MN cắt AB I Từ M kẻ MD //SC cắt AC D Nối ID cắt BC E Do đó (P) qua MN và song song với SC cắt khối chóp theo thiết diện MNED Kẻ MI//AB ta có : SM SI SN 2 SN 2 NB 2 SI SA SN ; NB NB SI , hay I là trung điểm SN VA.MDI AM AD AI 2 16 Ta có : VA.SCB AS AC AB 3 27 S M J N A B I E D C 16 1 VS ABC BI MJ MJ AB; BI AB; AI AB 27 3 IB IN IE 1 1 1 VI BNE VA.MDI VS ABC IA IM ID 2 16 16 16 VA.MDI VI BNE VI AMD V1 V.MDI VI BNE V 15 V2 VS ABC V1 VS ABC VS ABC VS ABC V2 27 , nên Gọi Bài 12(Bài 50-tr11-BTHH12NC) Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện và cách các mặt tứ diện khoảng r Gọi hA , hB , hC , hD là khoảng cách từ các điểm A,B,C,D đến các mặt đối 1 1 diện Chứng minh : r hA hB hC hD Giải Từ giả thiết , khoảng cách từ O đến mặt và r Khi đó mặt và điểm O ta dược khối chóp có đỉnh là O và đáy là các mặt bên Như ta có khối chóp Ví dụ xét khối chóp O.BCD và VO BCD r A.BCD : VA.BCD hA Tương tự ta suy các tỉ số khác VO ACD r V r V r ; O ABD ; O ABC : VB ACD hB VC ABD hC VD ABC hD Cộng tất A O B D C các đẳng thức trên vế với vế ta : 1 VO ABC VO ACD VO ABD VO BCD 1 r VABCD hA hB hC hD 1 V 1 1 ABCD r VABCD r hA hB hC hD hA hB hC hD S M Bài 13 (Bài 53-tr12-BTHH12NC ) N I K L D C (29) A B Cho hình chóp tam giác S.ABC và M là điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA,SB,SC cắt các mặt (BCS),(CAS),(ABS) A',B'C' Chứng minh : VM BCS MA ' SA a/ VS ABC MA ' MB ' MC ' SB SC không đỏi Tìm tổng đó ? b/ SA Giải a/ Nối AM cắt BC M Kẻ qua M MA' //SA cắt (SBC) A' Gọi H và H' là các hình chiếu A và H lên mặt phẳng (SBC) thì đó ta có hai tam giác MH ' MN 1 NA đồng dạng SNH và NMH' suy : AH Mặt MN MA ' NA ' MNA ' ~SAN 2 NA SA NS khác MH ' MN MA ' 3 NA SA Từ (1) và (2) suy : AH Vậy ta có S MH ' VM BCS BCS MH ' MA ' VS ABC AH SA S BCS AH kết qủa : Chứng VM CAS MB ' VM BAS MC ' ; minh tương tự ta có : VS.ABC SB VS.ABC SC S C' A A' M C J N B MA ' MB ' MC ' VM BCS VM CAS VM ABS VS ABC 1 SA SB SC V V S ABC S ABC Vậy : ( là số không đổi ) Bài 14 ( Bài 54-tr12-BTHH12NC ) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA,SB,SC,SD theo thứ tự K,L,M,N Chứng minh a/ VS ABC VS ACD VS ABD VS BCD SA SC SB SD b/ SK SM SL SN Giải Ta thấy các tam giác ABC,BCD,ADC và ABD có diện tích và nửa diện tích hình bình hành ABCD Các hình chóp S.ABC,S.BCD, S.ADC và S.ADB có cùng chiều cao hạ từ S xuống đáy ABCD nên thể tích chúng : V VS ABC VS BCD VS ADC VS ADB VS ABCD 2 b/ Ta có : VS KLM SK SL SM V V SK SM SN SK SL SM SK SM SN ; S KMN S KLMN V V V SA SB SC SA SC SD SA SB SC SA SC SD 2 (1 VS KLMN SL SM SN SL SN SK V SB SC SD SB SD SA Tương tự : (2) (30) SK SL SM SK SM SN SL SM SN SL SN SK Từ 91) và (2) suy : SA SB SC SA SC SD SB SC SD SB SD SA SA SB SD Nhân hai vế với : SK SL SL ta thu kết Bài 15 ( Bài 61-tr13-BTHH12NC ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy Một mặt phẳng (P) qua qua A , vuông góc với cạnh SC cắt SB,SC,SD B',C',D' Chứng minh tứ giác AB'C'D' có hai góc đối diện là góc vuông ? Chứng minh S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) A thì mặt phẳng (AB'C'D') luôn qua đường thẳng cố định và các điểm A,B,B'C,C'D,D' cùng cách điểm cố định khoảng không đổi ? Giả sử góc cạnh SC và mặt bên (SAB) x Tính tỉ số thể tích hình chóp S.AB'C'D' và thể tích hình chóp S.ABCD theo x , biết AB=BC Giải 1/ Gọi là giao tuyến (AB'C'D') với S đáy (ABCD) Ta dựng thiết diện sau Kẻ AC' SC , C ' D ' SC C ' D ' SD D ' C ' B ' SC C ' B ' SB B ' Vậy (P) qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp theo thiết diện AB'C'D' Từ giả thiết : SC AB ' C ' D ' SC AB ' x D' C' B' D C (1) Mặt O khác : A BC SA BC SAB BC AB ' BC AB (2 B AB ' SBC AB ' B ' C ' Từ (1) và (2) (3) Tương tự ta chứng minh kết AD ' D ' C ' (4) Từ (3) và (4) suy tứ giác AB'C'D' có hai góc đối diện là B' với D' là góc vuông ABCD AB ' C ' D ' ABCD 2/ Khi S chạy trên đường thẳng cố định SA cố định nằm mặt phẳng (ABCD) Mặt khác vì ABCD là hình chữ nhật suy B,D nhìn AC cố đinh góc vuông OB OD AC AB ' SAB AB ' B ' C AB ' C 900 AB ' C AC vuông B' cho nên OB'= Do Tương tự ta dễ dàng chứng minh tam giác AD'C AC'C là các tam giác vuông AC Chứng tỏ các điểm A,B,C,D,D',B',C' cách O D',C' cho nên BC a B ' SC ' x SB BC cot x a.cot x; SC s inx s inx Vì ta có hai cách tình tỉ 3/ Đặt OD ' OC ' số thể tích hai khối chóp tạo (AB'C'D') với khối chóp đã cho Cách (31) SAB SA SB AB a cot x a a Ta có sung : AB=BC=a suy ABCD là hình vuông Do đó cos2x a cos2x sin x s inx Theo đầu bài bổ AB ' AD ', B ' D '// BD B ' D ' SAC B ' D ' AC ' Cho nên S AB 'C ' D ' AC '.B ' D ' SA SC SA2 a.cos2x SC ' SC ' SA SC sinx Nhưng : SB SA SA a.cos2x SAB ~ SB ' A SB ' SA SB ' SB sinx B'D'=BD Tương tự : SB ' SC ' SB ' SC.SC ' a 2cos2x SC ' B ' ~ SBC SC SB SB SB cos x (*) Xét tam giác vuông SAC ~ SC ' A SAC có đường cao AC' AC ' SC '.CC ' a 2cos2x a3 cos2x a 3cos 2 x cos2x VS ABCD a SA ;VS AB 'C ' D ' AC '.B ' D '.SC ' 3sin x 3sinxcos x Và tỉ số Vậy : VS AB 'C ' D ' a 3cos2 x cos2x a cos2x cos 2 x : V 3sinxcos x 3sin x cos x S ABCD hai thể tích : Cách SB ' SC ' SB ' SC.SC ' a 2cos2x SC SB SB SB cos x - Lấy kết (*) (5) 2 SC ' SA SC ' SA a cos2x SC ' A ~ SAC 2 SA SC SC SC sin x - Tương tự ta có : SC ' B ' ~ SBC - Trong tam giác vuông SAD: a cos2x cos2x+sin x a a a cot x sin x sin x SD ' SA SD ' SA2 a cos2x SD ' A ~ SAD SA SD SD SD cos2 x (6) Mặt khác : a cos2x VS ABCD a SA 3sin x (7) Và ta lại có : VS AB 'C ' SB ' SC ' VS AD ' C ' SD ' SC ' VS AB 'C ' VS AD 'C ' SB ' SC ' SD ' SC ' ; VS ABCD VS ABC SB SC VS ADC SD SC SB SC SD SC Do đó : V SB ' SC ' SD ' SC ' AB ' C ' D ' VS ABCD SB SC SD SC Thay (5),(6),(7) vào ta có kết SD SA2 AD Bài 16 ( Bài 1.14-tr18-BTHH12CB ) Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Hãy tính thể tích khối chóp đó ? Giải Gọi H là hình chiếu S trên đáy ABC S Nối các doạn HA,HB,HC ta có các góc : SAH SBH SCH 600 suy các tam giác SAH=SBH=SCH có chung SH và các góc nhọn cho nên HA=HB=HC Có nghĩa là H A 600 H a C M (32) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Nhưng ABC lạ là tam giác vì H trùng với trọng tâm tam giác , cho nên : SH AH tan 600 VS ABC 2a a Vậy : 11 a3 AB AC.sin 60 0.SH a a 32 12 Bài 17 ( Bài 1.15-tr18-BTHH12-CB) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ABC , AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy góc 60 Hãy tính thể tích khối chóp ? Giải ABC Kẻ SO Kẻ OM AB, ON AC , OK BC , ta có các góc nghiêng các mặt bên với đáy là : SMO SNO SKO 600 Có nghĩa là O trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy Do tam giác ABC cân A vì O nằm trên đường thẳng AK ( là phân giác góc A) AB AC BC 5a 5a 6a p 8a 2 Ta có : S 6a B K O C 5a M N A Suy : A M N O B S ABC 8a 8a 5a 8a 5a 8a 6a 12a r K C Mặt khác : S ABC p.r 12a 8a r Do 3a OM ON OK ta tìm : Trong tam giác vuông SOM có : 3a Do đó thể tích khối chóp là : 1 3a S ABC SO 12a 6a 3 3 SO OM tan 600 VS ABC Bài 18 ( Bài 1.16-tr18-BTHH12CB ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông B Cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết AB=a, BC=b, SA=c a/ Tính thể tích khối chóp S.ADE ? b/ Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB) ? Giải a/ Ta có số kết sau : SB a c ; SC b a c ; AC a b S Xét các tam giác đồng dạng sau : H c D E (33) A a SD SA SD SA2 c2 SDA ~ SAB SA SB SB SB a c SE SA SE SA2 c2 SEA ~ SAC 2 SA SC SC SC a c b Suy VS ADE SD SE c2 c2 2 VS ABC SB SC a c a b c =k VS ADE kVS ABC k VS ADE b B 11 kabc abc 32 Thay k đặt trên vào ta có : abc5 a c a b2 c (1) 1 a2c2 ac AD 2 2 2 a c a c2 b/ Ta có tam giác SAB có : AD a c a 2c c4 c2 2 2 SD SA AD c 2 2 SD a c a c a c Do ta tính diện Và : tíc tam giác c2 1 ac SAD AD.SD 2 a2 c2 a2 c2 ac a2 c2 VS ADE VE SAD Nhưng : 11 ac S SAD d E , SAB 32 a2 c2 (2) d E , SAB 2bc a b2 c 2 Từ (1) và (2) suy : Bài 19 ( Bài 1.17-tr18-BTHH12CB ) Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm tứ diện đến các mặt nó là số không đổi ? Giải Giả sử ta gọi hình chiếu A trên mặt phẳng (BCD) là A' và M là hình chiếu M trên mặt phẳng (BCD) thì rõ ràng AA' // và vuông góc với ( BCD ) Suy : S MM VM BCD BCD MM VA BCD AA' S BCD AA' Tương tự áp dụng cho các mặt bên tương ứng ( Với M là VM ACD MM VM ABD MM VM ABC MM ; ; V BB' V CC' V DD' B ACD C ABD D ABC điểm nằm khối tứ diện VM BCD VM ACD VM ABD VM ABC MM MM MM MM 1 V AA' BB' CC' DD' A BCD Vậy : ( Không đổi ) Nếu là tứ diện thì diện tích tất các mặt và S thì đó ta có : MM MM MM MM MM MM MM MM AA' BB' CC' DD' h MM MM MM MM h 1 Bài 20 ( bài 1.18-tr18-BTHH12CB ) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=2a, AA'=a Lấy diểm M trên cạnh AD cho AM=3MD (34) a/ Tính thể tích khối chóp M.AB'C b/ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C)? Giải Ta thấy , thể tích khối chóp M.AB'C thể tích khối chóp B'AMC Từ giả thiết MA=3MD suy AD=4MD cho nên gọi h là chiều cao kẻ từ C xuống AD thì ta có nhận 1 S AMC MA.h 3MD.h; S ADC AD.h 2 xét : D C M A a B D ' C' A' I 2a B' a S 3MD 3 MD.h MAC S MAC S ACD S ACD 4MD 4 Chiều cao khối chóp là B'B =AA'=a 1 AD AB 2a.a a 2 Diện tíc tam giác ACD= Vậy thể tích khối chóp là : 13 a3 V S AMC B ' B a a 34 b/Gọi h là khoảng cách từ M đến (AB'C) thì theo kết trên : VM AB ' C VB ' AMC Hay ta có: 4S a3 S AB 'C h h AB3'C 3a 1 Tam giác AB'C là tam giác cân đỉnh C suy CI vừ là S AB 'C AB '.CI đường cao , vừa là trung tuyến đó (2) Mặt khác : AB'= S AB 'C AB '2 a 3a 5a 2 AA'2 AB '2 a a a 2; CI AC 3a 3a a a 2 Thay vào (1) ta có h= Suy : Bài 21 (Bài 1.19-tr19-BTHH12CB ) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=b, AA'=c Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm A'B' và B'C' Tính tỉ số thể tích khối chóp D'.DMN với khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Giải Ta thấy S D ' MN S A ' B ' C ' D ' S A ' MD S D ' CN S B ' MN A a B b ab ab ab 3ab ab c D C Suy thể tích khối chóp là : 1 3ab abc VD ' DMN S DMN DD'= c 3 8 VD ' DMN abc 1 Vhop abc Từ đó suy tỉ số : A' M B' N D' C' (35) Bài 22 ( Bài 1.20-tr20-BTHH12CB ) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=b, AA'=c Gọi E và F là 1 BE EB ', DF FD ' 2 các điểm thuộc các cạnh BB' và Đ' cho Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' thành hai khối đa diện (H) và (H') Gọi (H') là khối đa diện chứa đình A' Hãy tính thể tích (H) và tỉ số thể tích (H) và (H') Giải A D Giả sử mặt phẳng (AEF) cắt CC' I Khi đó ta có AE//FI ,À//EI nên tứ giác AEFI là hình bình a hành Trên cạnh CC' lấy điểm J cho B F CJ=DF Vì CJ// và DF nên JF // và E C CD=a Do tứ giác CDFJ là hình chữ nhật cho nên FJ// và AB Do À// và BJ J D' Vì À // và EI nên BJ // và EI c A' c Từ đó suy Ị=EB=DF=JC= c 2c bc S BCIE b ; 2 Ta có : I B' b C' c 2c ac bc ac abc S DCIF V H VA BCIE VA DCIF a b a 2 Nên : 3 V H V( H ') abc V H ' Vì thể tích khối hộp chữ nhật abc suy Bài 23 ( Bài 1.26-tr19-BTHH12CB ) Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo , AC là đường vuông góc chung chúng Biết AC=h, AB=a, CD=b và góc hai đường thẳng AB và CD 60 Tính thể tích tứ diện ABCD Giải E Ta kẻ BE // và BE , DF song song và BA Khi đó ABE.FDC là hình lăng trụ đứng Góc Ab và CD chính là góc ABE 60 ab ab S ABE ab sin 600 VC ABE h Và Suy : VA BCD VA BCE B 600 A h C D b abh 12 a F Bài 24 ( Bài 1.28-tr19-BTHH12CB ) Cho tứ diện ABCD Gọi (H) là hình bát diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh V( H ) tứ diện đó Tính tỉ số VABCD ? Giải (36) a Gọi cạnh tứ diện ABCD là a thì cạnh hình bát diện là V H a3 1 a a3 VABCD ;V H 12 3 24 VABCD Khi đó ta có kết Bài 25 ( Bài 1.29-BTHH12CB) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh a Gọi M,N và E theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CC', và C'A' Đường thẳng EN cắt đường thẳng AC F , đường thẳng MN cắt đường thẳng B'C' L Đường thẳng FM kéo dài cắt AB I , đường thẳng LE kéo dài cắt A'B' J a/ Chứng minh các hình đa diện IBM.JB'L và A'Ẹ.AFI là hình chóp cụt b/ Tính thể tích hình chóp F.AIJA' c/ Chứng minh mặt phẳng (MNE) chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện có thể tích Giải a/ Gọi S là giao MN với BB' , S MN cắt A'C' L EN cắt AC F , FM cắt AB I và SI cắt A'B' J A C F cho nên BB',IJ,MN đồng quy suy IBM.JB'L có mặt song song M (IBM) và (JB'L) vì chúng là hình I N chóp cụt Tương tự cách lập luận ta có A'EJ AFI B L là hình chóp cụt b/ Hai tam giác NCF và NC'E có góc A' E C' C và góc C' 90 ,NC-NC' J CNF C ' NE cho nên chúng Suy : Tương tự CF C ' E C ' L CM a B' a Từ đó suy 0 tam giác MCF cân C Ngoài còn có CMF BMI 30 và IBM 60 MIB 90 ; IB BM a a ; IM ; BM 4 3a a ab FI AB, FI AA' FI AIJA' S AIJA' b 2 4 Vì : Gọi K là trung điểm MF thì tam giác MCF cân C nên 3a ab 3a a 2b VF AIJA ' 3 a 3a IJ A'B', IJ= Giả sử mặt phẳng (MNE) c/ Lập luận câu b ta có C'L=CM= , CK MF CMK BMI FI chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện (H) và (H') Trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A ,(H') là khối đa diện chứa đỉnh B' Ta thấy có : V H VJA ' E JAF VN FCM V H ' VIBM JB ' L VN EC ' L , và ngoài ta Vì IBM JB ' L IAF ;BB'=A'A VIBM.JB'L VJA ' E IAF (37) Ngoài hình chóp N.EC'L và N.FCM có đường cao và có đáy là tam giác cho nên chúng có thể tích Từ đó suy V H V H ' (38)