Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trang 1 TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMTÊN ĐỀ TÀI GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI GĨP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THƠNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI NGHỆ AN NĂM 2023 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Sự phát triển mạnh mẽ kinh tế xã hội giai đoạn đòi hỏi người phải động sáng tạo, khơng ngừng đổi để thích nghi Nhằm đáp ứng nhu cầu xã hội, giáo dục Việt Nam không ngừng đổi để phát triển lực cho HS Thực tế cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp kích thích hứng thú học tập HS, giúp HS phát triển tư lĩnh hội tri thức đạt mục đích học tập Năm học 2022 - 2023 chúng tơi phân cơng giảng dạy tốn 12 bồi dưỡng HSG tỉnh 12 chúng tơi thấy: Các tốn cực trị hàm số chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn phổ thơng ứng dụng rộng rãi thực tế thường xuất đề thi THPTQG đề thi HSG Khi gặp phải phần gây khơng khó khăn cho HS Trong q trình giảng dạy chúng tơi nhận thấy HS gặp nhiều khó khăn học nội dung chủ đề hàm số nói chung chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt toán mức độ vận dụng Từ Bộ GD&ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Tốn, địi hỏi học sinh khơng kiến thức sâu rộng mà cịn phải có cách tiếp cận, phương pháp phù hợp để giải toán cách nhanh Phần cực trị hàm số yêu cầu rộng hơn, mức độ khó trước, đặc biệt tốn tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tut đối, địi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức cực trị thật vững tư linh hoạt giải lớp tốn dạng lẽ có câu vận dụng cao tìm cực trị hàm số mà không cho hàm cụ thể nên việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án hạn chế Vì lí trên, để giúp học sinh có sở khoa học, có cách tiếp cận nhanh nhất, có hệ thống kiến thức vững cực trị đặc biệt cực trị hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, xây dựng chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh quan trọng bồi dưỡng chuyên mơn cho thân nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục, xin mạnh dạn đưa đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư học sinh thơng qua khai thác tốn tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” Với đề tài hi vọng mong muốn giúp cho học sinh phát triền tư duy, dễ dàng nắm bắt thành thạo việc giải toán cực trị nói chung giải tốn cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng Mục đích nghiên cứu - Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao Phát triển tư lực giải vấn đề, biết quy lạ quen, rèn luyện tư sáng tạo, phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập HS, chuẩn bị tốt đạt kết cao kì thi THPTQG HSG tỉnh - Giải vấn đề mà HS lúng túng, mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối - Làm cho HS thấy vấn đề cốt lõi chương học, tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học Đối tượng thời gian nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 trường THPT Đô Lương - Đô Lương - Nghệ an 3.2 Thời gian nghiên cứu - Năm học 2022 - 2023 Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu xây dựng hệ thống tập tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm góp phần phát triển tư cho HS lớp 12 Trường THPT Đô lương Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn HS làm dạng tập liên quan đến cực trị hàm hợp hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối - Tự tìm tịi, trao đổi với đồng nghiệp khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tham khảo ý kiến GV thăm dò ý kiến HS - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Thống kê xử lí số liệu kết học tập HS trước sau áp dụng sáng kiến - Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan - Áp dụng giảng dạy lớp 12A1, 12A4, 12C2, 12C4 trường THPT Đô lương - Nghệ an - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nhiệm đề tài dạy học để rút hiệu - Phương pháp thống kê toán học - Phương pháp đối chứng Những đóng góp đề tài Trong nhiều đề thi năm gần toán liên quan đến cực trị hàm hợp, hàm ẩn đặc biệt hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất nhiều Vấn đề gây khơng khó khăn cho GV HS trình giảng dạy học tập Sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư học sinh thơng qua khai thác tốn tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” bắt kịp xu dạy học nay, tạo thêm nguồn tài liệu cho GV HS tham khảo Đề tài cung cấp hệ thống kiến thức lý thuyết phương pháp cụ thể cho dạng toán nêu Đồng thời cập nhật toán tương tự đề thi THPTQG hàng năm Qua HS thấy cần thiết phải học tập chuyên đề Phân loại dạng toán để làm mềm lớp tốn, từ giúp học sinh có lực tư tốt để giải tốn phân loại sâu mức khó đề thi Trong thực tiễn giảng dạy thân áp dụng đề tài vào giảng dạy thu kết khả quan, hầu hết sau em chủ động hứng thú tiếp cận với toán liên quan Từ phát huy tính tích cực, tư logic, hệ thống khái qt hố tính sáng tạo học tập Đề tài làm tài liệu tham khảo bồi dưỡng HSG, ôn thi THPTQG cho học sinh giỏi PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận sở thực tiễn đề tài 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Tư - Hiện thực xung quanh có nhiều mà người ta chưa biết Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn ln địi hỏi người phải hiểu biết chưa biết ngày sâu sắc phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi tư Tư có đặc điểm sau: - Tư sản phẩm não người trình phản ánh tích cực đến giới khách quan - Kết trình tư ý nghĩ thể qua ngôn ngữ - Bản chất tư phân biệt, tồn độc lập đối tượng phản ánh với hình ảnh nhận thức qua khả hoạt động người nhằm phản ánh đối tượng - Tư trình phát triển động sáng tạo - Khách thể tư phản ánh với nhiều mức độ khác từ thuộc tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể người 1.1.2 Các kiến thức liên quan 1.1.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  a; b  điểm x0   a; b  + Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 hàm số f  x  đạt cực đại điểm x0 + Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 hàm số f  x  đạt cực tiểu điểm x0 Lưu ý: + Nếu hàm số f  x  đạt cực đại (cực tiểu) điểm x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f  x0  gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, điểm M  x0 ; f  x0   gọi điểm cực đại (cực tiểu) đồ thị hàm số + Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  đạt cực đại cực tiểu điểm x0 f '  x0   + f   x  điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 + Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm + Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 1.1.2.2 Tính chất Định lí 1: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \  x0  , với h  + Nếu f '  x   khoảng ( x0  h; x0 ) f '  x   khoảng ( x0 ; x0  h) x0 điểm cực đại hàm số f  x  + Nếu f '  x   khoảng ( x0  h; x0 ) f '  x   khoảng ( x0 ; x0  h) x0 điểm cực tiểu hàm số f  x  Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp khoảng ( x0  h; x0  h) , với h  Khi đó: + Nếu f '  x0   f ''  x0   x0 điểm cực tiểu hàm số + Nếu f '  x0   f ''  x0   x0 điểm cực đại hàm số - Thơng qua q trình dạy học tơi tìm tịi góp nhặt, nghiên cứu dạng tốn liên quan - Trong thực tiễn tơi vận dụng tốt nội dung chuyên đề Từ hình thành sở nghiên cứu chun đề 1.2 Cơ sở thực tiễn: Trong năm gần đề minh họa GD&ĐT, đề thi THPTQG đề thi thử trường THPT toàn quốc, học sinh thường gặp số câu tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Đô lương năm học 2022 - 2023 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, thu kết sau: Bảng 1: Khảo sát chất lượng học tập trước sử dụng giải pháp Lớp Sĩ số 12C4 12A4 12C2 12A1 12B1 12B4 42 41 39 41 40 38 Giỏi SL 1 0 % 2,4% 0% 2,6% 0% 0% 0% SL 4 2 Khá % 9,5% 9,8% 15,4% 7,3% 5% 5.3% SL 24 22 22 21 20 23 TB % 57,1% 53,6% 56,4% 51,2% 50% 60.5% SL 11 12 13 10 Bảng 2: Kết khảo sát độ hứng thú Lớp 12A1(41) 12A4(41) Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Độ hứng thú lượng % lượng % Rất thích 4.9% 7.3% Thích 17.1% 22% Bình thường 23 56.1% 20 48.8% Khơng thích 21.9% 21.9% Yếu % 21,5% 26,8% 20% 32,2% 32.5% 26.3% Kém SL % 9,5% 9,8% 5% 9,3% 12.5% 7.9% 12C2(39) Số Tỷ lệ lượng % 12.8% 20.5% 19 48.7% 18% Bảng 3: Kết khảo sát độ hứng thú Lớp 12B1(40) 12B1(38) 12C4(41) Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Độ hứng thú lượng % lượng % lượng % Rất thích 0% 0% 7.3% Thích 0% 0% 19.5% Bình thường 15 37.5% 10 26.3% 23 56.1% Khơng thích 25 62.5% 28 73.3% 17.1% Thực tế cho thấy số lượng học sinh chưa nắm dạng toán này, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tìm cực trị hàm số học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thông qua phương pháp giải cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải Do khn khổ đề tài có hạn nên tơi đưa phương pháp tìm cực trị là: Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y  f  u  với u  u  x  phương pháp tìm cực trị hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc y  f  x  , y  f  x  y  f ( x ) Chương 2: Các giải pháp tổ chức thực 2.1 Giải pháp nhằm góp phần phát triển tư học sinh thông qua khai thác tốn tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Để thực đề tài chia nội dung thành hai phần : Phần Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y  f  u  với u  u  x  Phần Phương pháp tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Phần chia thành dạng: Dạng 1: y  f  x  Dạng 2: y  f  x  Dạng 3: y  f  x  Mỗi phần thực theo bước: - Đưa phương pháp giải - Nêu ví dụ áp dụng - Đưa tập tương tự để học sinh tự luyện 2.2 Nội dung cụ thể 2.2.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y  f  u  với u  u ( x) 2.2.1.1 Phương pháp giải: Bài toán: Cho hàm số y  f  x  (Đề cho hàm, đồ thị, bảng biến thiên f  x  , f '  x  ) Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  u  u hàm số x Ta thực phương pháp tương tự xét số điểm cực trị hàm số y  f  x  Bước Tính đạo hàm y '  u ' f '  u  u '  Bước Giải phương trình y '     f ' u   Bước Tìm số nghiệm đơn bội lẻ điểm mà y ' khơng xác định Kết luận 2.2.1.2 Ví dụ áp dụng: Câu Cho hàm số y  f  x  , bảng biến thiên hàm số f '  x  sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Học sinh thường gặp khó khăn giải tốn là: - Tìm y  - Xét số nghiệm phương trình y   lí luận nghiệm đơi khác Lời giải Chọn C Ta có y    x  1 f   x  x  x 1 y     f   x  x   x 1 x 1   x  x  a   ;      x  x  a  0, a   ;  1 (1)     x  x  b   1;0    x  x  b  0, b   1;0  (2)  x  x  c   0;1  x  x  c  0, c   0;1 (3)    x  x  d  1;     x  x  d  0, d  1;    (4)   Phương trình (1) vơ nghiệm, phương trình (2),(3),(4) có hai nghiệm phân biệt khác b, c, d đôi khác nên nghiệm phương trình (2),(3),(4) đơi khác Do f   x  x   có nghiệm phân biệt Vậy y   có nghiệm phân biệt, số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  Câu Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên hàm số f   x  sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Lời giải Chọn C  Có f  x  x    x   f   x  x  ,   f 4x   4x     x  0  f   x  x   4 x2  4 x Từ bảng biến thiên ta có f   x  x     4 x 4 x2   x  a1   ; 1  x  a2   1;0   x  a3   0;1 (1)  x  a4  1;   Xét g  x   x  x , g   x   x  , g   x    x   ta có bảng biến thiên Kết hợp bảng biến thiên g  x  hệ (1) ta thấy: Phương trình x  x  a1   ; 1 vô nghiệm Phương trình x  x  a2   1;0  tìm hai nghiệm phân biệt khác  2 Phương trình x  x  a2   0;1 tìm thêm hai nghiệm phân biệt khác  Phương trình x  x  a2  1;   tìm thêm hai nghiệm phân biệt khác  Vậy hàm số y  f  x  x  có tất điểm cực trị Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Hàm số y  f  x  x   x  x có điểm cực trị thuộc khoảng  5;1 ? A B C D Học sinh gặp khó khăn giải tốn : - Tìm nghiệm y   - Cách chọn nghiệm đơn nghiệm bội lẻ Lời giải Chọn A Đặt g  x   f  x  x   x  x  g   x    x   f   x  x    x     x    f   x  x   1 2x    x  x  4 (1) Ta có g   x     x  4x  (2)   x  x  a  1;5  (3) Xét phương trình x  x  a  1;5  , ta có BBT hàm số y  x  x  5;1 sau: Suy (1) có nghiệm kép x  2 , (2) có nghiệm phân biệt x  4; x  , (3) có nghiệm phân biệt x  x1 ; x  x2 khác 2; 0;  Do phương trình g   x   có nghiệm có x  2 nghiệm bội ba, nghiệm x  4; x  ; x  x1 ; x  x2 nghiệm đơn Vậy g  x  có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục R , có đồ thị f   x  hình vẽ y y= f'(x) O x Số điểm cực tiểu hàm số g  x   f   x  x  A B C D 10 Lời giải Chọn A Ta có g  x   f   x  x   g   x    2 x  1 f    x  x   g   x     2 x  1 f    x  x    x    2 x       x  x   f  x  x     x2  x      x     x  x     2 x      x2  x   f    Do g   x     2 x  1 f    x  x      2 x    f   x2  x        x   x         x  x   x  x          x  x     x       x 1   2 1   x   x  2    0   x  x   0  x   Bảng biến thiên  x g  x   0    g  x Vậy hàm số có điểm cực tiểu Câu Cho hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị 2; 1;0 có đạo hàm liên tục R Khi hàm số y  f  x  x  có điểm cực trị? A B C 10 D Lời giải 11 Vì hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị 2; 1;0 có đạo hàm liên tục R nên f   x   có ba nghiệm 2; 1;0 (ba nghiệm bội lẻ) Xét hàm số y  f  x  x  có y    x   f   x  x  ; x 1 x 1  x  x  2 y    x  2 f  x  x     x    x  x  1  x   x  x     Do y   có nghiệm bội lẻ ( x  ) hai nghiệm đơn ( x  ; x  ) nên hàm số y  f  x  x  có ba điểm cực trị Câu 6: Cho hàm số đa thức bậc bốn y  f  x  có bảng biến thiên sau Số điểm cực trị hàm số g  x    x3  x   f  x  1  A 11 B C 13 D 10 Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên ta thấy f ( x)  có nghiệm phân biệt, gọi nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 với x1  1  x2   x3   x4 Khi đó: g ( x)   x3  x   a  x   x1  x   x2   x   x3   x   x4   (với a  ) Ta có g ( x)   x  0; 1; x1  1; x2  1; x3  1; x4  1 , x1  1, x2  1, x3  1, x4  nghiệm kép Ta có bảng biến thiên g  x  sau: Vậy g ( x) có 10 điểm cực trị 12 Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Biết tất điểm cực trị hàm số y  f  x  2 ; ; ; a ; với  a  Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B 11 C D Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; a ; tất nghiệm f   x   Ta có: y   f  x  x    x5  x  f   x  3x     x  0, x  1  x  0, x  1  x  1  x  x      x  0, x     6x  6x  x  3x  y'      x    x  3x2   f   x  3x     x  x  a  x   m, m    x   n, n  m  x6  3x2    Ta có bảng biến thiên hàm số g  x   x  x Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x   x  x , ta suy 1 nghiệm kép phương trình x  3x  2 nghiệm kép phương trình x  3x  Do 1 nghiệm kép f   x  x  Do 1 nghiệm bội ba y  13 Các nghiệm khác 1 y  nghiệm đơn Vậy hàm số cho có 11 cực trị Câu 8: Cho hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ đây: Tìm số điểm cực trị hàm số y  e2 f ( x )1  f ( x ) A B C Học sinh gặp khó khăn giải tốn : Thiếu tỉnh táo việc lí luận xét dấu y’ (Dấu ý dấu f   x  2e f ( x )1  f ( x ) ln  0, x ) D Lời giải Chọn D Ta có y  e2 f ( x )1  f ( x ) y   f   x  e f ( x )1  f   x  f ( x ) ln  f   x   2e f ( x )1  f ( x ) ln  Nhận xét: 2e f ( x )1  f ( x ) ln  0, x làm cho f  x  xác định nên dấu y  phụ thuộc hoàn toàn vào f   x  Vì vậy, f   x  đổi dấu lần nên số điểm cực trị hàm số y  e2 f ( x )1  f ( x ) Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  khoảng  ;   Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ 14 Đồ thị hàm số y   f  x   có điểm cực đại, cực tiểu? A điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải: Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên  f  x  y   f  x    y  f  x  f   x      f   x    x  x1 x  Quan sát đồ thị ta có f  x     x  f   x     x  với x1   0;1   x  x2  x  x2  1;3 Suy   f  x     x   3;    f   x   y      x   0; x1   1; x2    3;   x  0; x  1; x      f x        f  x      Từ ta lập bảng biến thiên hàm số y   f  x   Suy hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu 15 Câu 10 Cho hàm số bậc bốn f  x  có bảng xét dấu sau: Số điểm cực trị hàm số g  x   x  f  x  1 A 11 B C Học sinh gặp khó khăn giải tốn : - Xác định f '( x) D - Xác định nghiệm g '( x)  Lời giải Chọn B Ta chọn hàm f  x   x  10 x  Đạo hàm g   x   x3  f  x  1   x f  x  1 f   x  1  x3 f  x  1  f  x  1  xf   x  1  x   x f  x  1   Ta có g   x       f  x  1   f  x  1  xf   x  1   f x   xf  x         x   1,278  x   0,606 +) f  x  1  *   x  1  10  x  1      x   0,606   x   1, 278  Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác t  x 1 +) f  x  1  xf   x  1    5t  10t  3   t  1  20t  20t   t  1,199 t  0,731  30t  20t  40t  20t     t  0,218  t  1,045 16