Chỉnh hợp tổ hợp quy tắc nhân quy tắc cộng

Phân xưởng thứ nhất sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35% và phân xưởng thứ ba sản xuất 40% tổng số sản phẩm của toàn nhà máy.. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng do ba phân

DẠ NG (2 ĐIỂM) CHỈNH HỢP TỔ HỢP QUY TẮC NHÂN QUY TẮC CỘNG VÍ DỤ MẪU Một chi đoàn có 30 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Cần chọn nhóm gồm sinh viên để tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” Thành Đoàn Hỏi có cách chọn cho nhóm có a) sinh viên chi đoàn ? b) sinh viên nữ ? c) nhiều sinh viên nữ ? d) sinh viên nữ ? Giải a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập 45 đoàn viên, số cách C845 = 215 553 195 b) Việc chọn sinh viên theo yêu cầu đề bao gồm hai công đoạn : - Chọn sinh viên nữ số 15 sinh viên nữ, có C15 cách - Chọn sinh viên nam số 30 sinh viên nam, có C 530 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn nhóm C15 C 530 = 64 840 230 c) Việc thành lập nhóm theo yêu cầu đề có hai phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự câu b), số cách C115 C 30 ; - Nhóm có sinh viên nam, số cách C 830 Theo quy tắc cộng, số cách thành lập nhóm để có nhiều sinh viên nữ C115 C 30 + C 830 = 36 389 925 d) Caùch thứ Việc lập nhóm gồm sinh viên chi đoàn thực theo hai phương án : - Nhóm gồm sinh viên nam (không có sinh viên nữ), số cách C 830 , - Nhóm có sinh viên nữ, số cách n Theo câu a), số cách lập nhóm gồm sinh viên C 845 Theo quy tắc cộng, ta có : C 830 + n = C 845 Suy ra, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ laø : n = C 845 - C 830 = 209 700 270 Cách thứ hai Việc lập nhóm để có sinh viên nữ có phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, theo câu c), số cách C115 C 30 ; C 30 - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự, có C15 cách ; C130 ; - v.v , nhóm có nữ nam, số cách lập C15 - Nhóm có sinh viên nữ, số cách lập C15 Theo quy tắc cộng, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : 7 C115 C 30 C 30 C130 + C15 + C15 + …… + C15 = 209 700 270 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Một tòa nhà có 10 tầng, người vào thang máy xuất phát từ tầng Hỏi có cách cho a) người tầng khác ? b) người tầng tùy ý ? c) có hai người tầng, người lại tầng khác ? Một đội công nhân có 15 người, gồm nam nữ Có cách thành lập tổ công tác gồm a) người ? b) nam nữ ? c) nam nữ anh A chị B không ? Một lô hàng có 100 sản phẩm, có phế phẩm Chọn 12 sản phẩm để kiểm tra Hỏi có cách chọn a) sản phẩm ? b) cho số sản phẩm có không phế phẩm ? c) cho chọn phế phẩm ? Người ta lấy viên bi từ hộp đựng viên vi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng Hỏi có cách lấy a) viên bi tùy ý ? b) viên bi đỏ, viên bi xanh ? c) viên bi có mầu khác ? d) viên màu đỏ ? e) nhiều viên màu đỏ ? f) viên màu đỏ ? Một có 52 với chất khác nhau, chất rô có màu đỏ, chất pic chuồn có màu đen Chọn từ Hỏi có cách lấy a) màu đỏ ? b) ? c) át K ? d) rô màu đen ? e) không màu đỏ ? f) màu đen ? g) át ? DẠ NG (3 ĐIỂM) XÁC SUẤT THỐNG KÊ BÀI TỐN TIÊN NGHIỆM HẬU NGHIỆM VÍ DỤ MẪU Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng thứ sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35% phân xưởng thứ ba sản xuất 40% tổng số sản phẩm toàn nhà máy Tỉ lệ phế phẩm phân xưởng tương ứng : 1% ; 3% ; 2% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng ba phân xưởng sản xuất a) Tìm xác suất lấy phế phẩm b) Giả sử lấy phế phẩm Tìm xác suất phế phẩm phân xưởng thứ hai sản xuất c) Nếu lấy sản phẩm tốt, theo bạn sản phẩm phân xưởng sản xuất? Tại ? Giải Các biến cố cần tìm xác suất phụ thuộc vào việc sản phẩm lấy từ lô hàng phân xưởng sản xuất Do đó, cần biến cố Gọi XK biến cố sản phẩm lấy phân xưởng thứ k sản xuất, k = 1,3 Dễ dàng nhận thấy ba biến cố X1, X2, X3 lập thành nhóm đầy đủ biến cố (vì có biến cố số chúng xảy ra, ta thực phép thử lấy sản phẩm từ lô hàng) a) Gọi A biến cố sản phẩm lấy phế phẩm Theo công thức xác suất đầy đủ P(A) = P (X1) P(A/X1) + P(X2) P (A/X2) + P (X3) P (A/X3) Caùc số liệu đề xác suất tương ứng vế phải Vậy P(A) = 0,25 0,01 + 0,35 0,03 + 0,40 0,02 = 0,021 = 2,1% Lưu ý rằng, 2,1% tỉ lệ phế phẩm chung ba phân xưởng b) Theo đề bài, biến cố A xảy ta cần tìm P(X2 / A) Áp dụng công thức Bayes, ta P( X )P(A/X ) 0,35.0,03 P(X2 / A) =   0,5 P(A ) 0,021 c) Điều kiện Ā xảy Ta tính xác suất P(XK/ Ā), với k = 1,3 , so sánh kết để đưa kết luận Theo công thức Bayes P(X1 )P(A / X1 ) 0,25.(1  0,01) P(X1/ Ā) =   0,25 ;  0,021 P( A ) P(X2 / Ā) = P( X ) P( A / X ) P(X3 / Ā) = P( X ) P( A / X ) P( A )  0,35.(1  0,03)  0,35 ;  0,021  0,4.(1  0,02)  0,4  0,021 P( A ) Các xác suất đặc trưng cho khả sản phẩm tốt phân xưởng sản xuất Vậy, lấy sản phẩm tốt từ lô hàng khả sản phẩm phân xưởng thứ ba sản xuất nhiều BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Ở vùng 100 người có 30 người hút thuốc Biết tỉ lệ người bị viêm họng số người hút thuốc 60%, số người không hút 10% a) Khám ngẫu nhiên người Tìm xác suất để người bị viêm họng b) Giả sử người khám bị viêm họng Tìm xác suất hút thuốc c) Nếu người không bị viêm họng xác suất để hút thuốc ? Hai máy sản xuất loại chi tiết Năng suất máy thứ hai gấp đôi máy thứ Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn máy thứ 65%, máy thứ hai 80% Lấy ngẫu nhiên chi tiết từ lô hàng hai máy sản xuất a) Tìm xác suất lấy chi tiết đạt tiêu chuẩn b) Nếu chi tiết phế phẩm, tìm xác suất chi tiết máy thứ hai sản xuất DẠNG 5: ĐẠI LƯỢNG NẪU NHIÊN BẢNG PPXS, KỲ VỌNG PHƯƠNG SAI (2ĐIỂM) CÁC BÀI GIẢI MẪU Lập bảng phân phối xác suất Bài Một xạ thủ phép bắn viên đạn Biết xác suất bắn trúng mục tiêu viên đạn 0,8 Gọi X số viên đạn bắn trúng bia Hãy lập bảng phân phối xác suất X Giải Ta có X = 0, 1, 2, 3 Ta cần tìm P(X = k), k = 0,3 Xem phép thử bắn viên đạn A biến cố viên đạn trúng mục tiêu Ta có P(A) = 0,8 không đổi lần bắn nên dãy phép thử Bernoulli với p = 0,8 ; q = – p = 0,2 Áp dụng công thức Bernoulli, ta P(X = 0) = P3(0 ; 0,8) = C 30 0,80.0,23 = 0,008 ; P(X = 1) = P3(1 ; 0,8) = C 31 0,81.0,22 = 0,96 ; P(X = 2) = P3(2 ; 0,8) = C 32 0,82.0,21 = 0,384 ; P(X = 3) = P3(3 ; 0,8) = C 30 0,83.0,20 = 0,512 Vậy, bảng phân phối xác suất X X P 0,008 0,096 0,384 0,512 Bài Một xạ thủ phát viên đạn phép bắn viên trúng mục tiêu dừng bắn Biết xác suất bắn trúng viên 0,8 Hãy lập bảng phân phối xác suất số viên đạn a) trúng mục tiêu b) sử dụng Giải a) Gọi X số viên đạn trúng mục tiêu Theo đề bài, trúng mục tiêu dừng bắn nên X = 0, 1 Ta tính P(X = 0), P(X=1) Gọi LK biến cố lần thứ k bắn trúng mục tiêu, k = 1,3 Ta có X = xảy lần bắn trượt Các lần bắn độc lập với neân : P(X = 0) = P( L1 L L ) = P( L1 )P( L )P( L ) = (1 – 0,8)3 = 0,008 Để tính P(X = 1) ta có hai cách sau Cách thứ Theo tính chất bảng phân phối xác suất, ta có P(X = 0) + P(X = 1) = Suy P(X = 1) = – P (X = 0) = 0,992 Cách thứ hai Tương tự cách tính P(X = 0) ta có P(X = 1) = P(L1 + L1 L2 + L1 L L3) = 0,8 + 0,2.0,8 + 0,22.0,8 = 0,992 Vậy, bảng phân phối xác suất X X P 0,008 0,992 b) Gọi Y số viên đạn sử dụng Y = 1, 2, 3 Ta tính P(X = m), m = 1,3 Rõ ràng Y = xảy L1 xảy ra, ñoù P(Y = 1) = P(L1) = 0,8 Y = xảy lần thứ bắn trượt lần thứ hai bắn trúng Suy P(Y = 2) = P( L1 L2) = 0,2.0,8 = 0,16 Y = xảy hai viên đạn trượt, viên thứ ba trúng trượt, tức biến cố chắn chắn xảy Vì L1 L (L3 + L ) = L1 L  = L1 L , neân P(Y = 3) = P( L1 L ) = 0,22 = 0,04 Cách thứ hai Ta có P(Y = 3) = – ( P(Y = 1) + P(Y = 2)) = 0,04 Vậy, bảng phân phối xác suất Y laø : Y P 0,8 0,16 0,04 Tìm hàm phân phối xác suất Bài Một sinh viên thi ba môn Toán, Lý, Hóa với xác suất đậu 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Hãy tìm hàm phân phối xác suất số môn đậu ba môn Giải Gọi X số môn đậu sinh viên Ta có X = 0, 1, 2, 3 Ta tính P(X = k), k = 0,3 Gọi T, L, H biến cố sinh viên đậu Toán, Lý, Hóa Khi P(X = 0) = P( T L H ) = 0,024, P(X = 1) = P(T L H + T L H + T L H) = 0,188, P(X = 2) = P(TL H + T L H + T LH) = 0,452, P(X = 3) = P(TLH) = 0,336 Vậy, bảng phân phối xác suất X X P 0,024 0,188 0,452 0,336 Từ đó, ta có hàm phân phối xác suất X , x  0 0,024 , neáu  x   F(x) = 0,024  0,188  0,212 , neáu  x  0,024  0,188  0,452  0,664 , neáu  x   1 , x  Bài Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất  , x  f(x)  x/ , x  ae Trong  số cho trước (  > 0) Hãy xác định a) hệ số a b) hàm phân phối xác suất X c) P(0 < X < ) Giải a) Theo tính chất hàm mật độ xác suất, ta có   f (x)  1,  hay   x /   dx   ae dx  Suy .a = 1 Vaäy a=  b) Theo tính chất hàm phân phối xác suất, ta coù F(x) = x  f (t )dt  Do đó, - Với x  F(x) = x  0dt  ,  x - Với x > F(x) =  0dt   e t /  dt   e  x /    c) P(0 < X < ) = F() – F(0) = (1 – e-1) – = - e Tìm hàm mật độ xác suất Bài Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên có dạng   x0   , neáu x  x0 F (x) = 1   x   , neáu x  x0 ,   > 0, x0 > Hãy tìm hàm mật độ xác suất đại lượng Giải Theo định nghóa, ta có hàm mật độ xác suất f(x) = F ’(x) , x  R Do Với x < x0 f(x) = 0, x 0 Với x> x0 f(x) = , x α 1 Taïi x = x0 F(x )  F(x ) F' ( x ) = lim  0, x x x  x0  x  1   F(x )  F(x )  x    , F' ( x ) = lim = lim x x x  x x  x0 x  x0 x0 nên F(x) không khả vi x0 Vậy, hàm mật độ xác suất cần tìm có dạng  x 0 , neáu x  x  f(x) =  x  1 , neá u x  x  Bài Chứng minh hàm số x  2 hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên Tìm xác suất để đại lượng nhận giá trị khoảng (, + ) Giải Ta có f(x)  0, x  R f(x) = vaø    f (x)dx   x   dx x  arctg       Vậy f(x) hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên mà ta gọi X Ta cần tính P( < X < + ) Theo tính chất hàm mật độ xác suaát, P( < X < + ) =   f(x)dx  π = Tính kì vọng, phương sai, độ lệch π arctg x π  x π dx π   π Bài Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau X P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15 Hãy tính kì vọng, phương sai, độ lệch X Giải - Kì vọng X E(X) = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,3 + 3.0,25 + 4.0,15 = 2,15 - Để tính phương sai, ta có hai cách sau Cách thứ (Áp dụng định nghóa) D(X) = (0 – 2,15)2.0,1 + (1 – 2,15)2.0,2 + (2 – 21,5)2.0,3 + (3 – 2,15)2.0,25 + (4 – 2,15)2.0,15 = 1,4275 Cách thứ hai (Áp dụng tính chất) E(X2) = 02.0,1 + 12.0,2 + 22.0,3 + 32.0,25 + 42.0,15 = 6,05 ; D(X) = E(X2) – E2(X) = 6,05 – 2,152 = 1,4275 - Độ lệch X (X) = D( X)  1,4275 = 1,19478 Bài Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất  , neáu x  (- a , a )  f(x) =  a  x ,  x  (- a , a ) Tìm kì vọng, phương sai, độ lệch X Giải - Kì vọng X E(X) = a   xf (x)dx   xodx    a  xdx π a2  x a   xodx  a π a  a xdx a2  x 0 (vì hàm số lấy tích phân hàm lẻ) - Phương sai X D(X) =  a  a  (x  0) f (x)dx   = x dx π = a2  x a2 2 2 sin tdt = a  π 0   a x dx = π 0 a  x (1  cos 2t )dt  a2 Độ lệch X  (X) = D(X)  a BA I TA P ÁP DỤNG Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau X P 0 a 2a 2a 3a a2 a) Tính a b) Tính P(X  5), P(X < 3) 2a2 7a2 + a 2 Trong hộp có 10 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm lấy Hãy lập bảng phân phối xác suất hàm phân phối xác suất X Vẽ đồ thị hàm số Một túi chứa 10 thẻ đỏ thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên thẻ a) Gọi X số thẻ đỏ lấy Hãy lập bảng phân phối xác suất X b) Giả sử rút thẻ đỏ điểm, thẻ xanh điểm Gọi Y số điểm tổng cộng thẻ rút Hãy tìm hàm phân phối xác suất Y Có hai hộp bi, hộp thứ có bi xanh bi đỏ, hộp thứ hai có bi xanh bi đỏ Từ hộp thứ lấy viên bi bỏ vào hộp thứ hai Sau lại lấy viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ Gọi X, Y số bi đỏ tương ứng hai hộp sau hai lần chuyể n bi Hãy lập bảng phân phối xác suất X, Y Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X Y độc lập với bảng phân phối xác suất sau c) Tìm giá trị bé k cho P(X  k)  10 X P -1 0,2 0,3 0,3 0,2 Y P -1 0,3 0,4 0,3 Haõy lập bảng phân phối xác suất X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY Gieo đồng thời hai súc sắc Gọi X1, X2 số chấm xuất hai súc sắc Tìm bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên sau a) Y1 = X1 + X2 b) Y2 = X1 – X2 c) Y3 = max(X1, X2) Một người có chùm chìa khóa gồm giống nhau, có mở cửa Người thử ngẫu nhiên (thử xong bỏ ngoài) tìm chìa mở cửa Gọi X số lần thứ cần thiết Hãy lập bảng phân phối xác suất tính kì vọng, phương sai X Một ôtô đoạn đường có đèn tín hiệu giao thông hoạt động độc lập Tính kì vọng, phương sai, độ lệch số lần ôtô dừng đoạn đường đó, biết tín hiệu xanh phép a) đèn có thời gian tín hiệu xanh 30 giây, tín hiệu vàng giây, tín hiệu đỏ 15 giây b) đèn thứ thời gian dành cho ba tín hiệu : 40 giây, 10 giây, 30 giây ; đèn thứ hai : 25 giây, giây, 10 giây ; đèn thứ ba 20 giaây, giaây, 35 giaây Cho X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất sau X P 0,4 0,3 0,2 0,1 Y P 0,1 0,3 0,4 Tìm bảng phân phối xác suất tính kì vọng, phương sai X + Y, XY 10 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất kx (1  x) , neáu  x  f(x) =  , x  0,1  a) Tìm k b) Tìm hàm phân phối xác suất X c) Tính kì vọng, phương sai X 11 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất   π π  a cos x , neáu x   ,    2  f(x) =   π π   , neá u x   ,    2   11 0,15 0,05 a) Tìm a b) Viết biểu thức hàm phân phối xác suất c) Tìm P(0  X  π )  π  a) Nếu quan sát X lần lần X nhận giá trị thuộc 0,  có khả   nhất? Tính xác suất 12 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất 1 F(x) =  arctgx π a) Tìm hàm mật độ xác suất X b) Tính P(0 < X < 1) 13 Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên có dạng x 2  2a , x  F(x) = 1  e  , x  a) Hãy tìm hàm mật độ xác suất tương ứng b) Tính xác suất để đại lượng nhận giá trị khoảng (0, ln2) 14 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất a(x  2)(x  4) , neáu x  2,4 f(x) =  , neáu x  2,4  a) b) Tìm a Tính kì vọng, phương sai X 15 Cho hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên X f(x) = e-/x/ Hãy tính  tìm kì vọng, phương sai, độ lệch X 12 DẠ NG 3: BAI TOẤN ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ - ƯỚC LƯỢNG KHOẢ NG CHO TỶ LỆ CÁC BÀI GIẢI MẪU (3ĐIỂ M) Ước lượng tỉ lệ Bài Trước ngày bầu cử tổng thống, người ta vấn ngẫu nhiên 1800 cử tri thấy có 1180 người ủng hộ ứng cử viên A Với độ tin cậy 95%, hỏi ứng cử viên thu tối thiểu phần trăm số phiếu bầu ? Giải Tổng thể toàn số cử tri nước, phần tử tổng thể gồm hai loại : ủng hộ không ủng hộ ứng cử viên A Ta ước lượng tỉ lệ p phần tử ủng hộ ứng cử viên A tổng thể với độ tin cậy 95% Ta có mẫu gồm 1800 phần tử, có 1180 phần tử ủng hộ ứng cử viên A nên tỉ lệ mẫu 1180 f= = 0,6556 1800 Tra bảng hàm số Laplace ta thấy 0,95 (1,96) =  0,475 nên Z = 1,96 Độ xác ước lượng 0,6556(1  0,6556)  = 1,96 = 0,0220 1800 Do tỉ lệ tổng thể ủng hộ ứng cử viên A P = 0,6556  0,0220, hay 0,6336  p  0,6776 Vậy, tối thiểu ứng cử viên A thu 63,36% số phiếu bầu Bài Người ta bắt 1500 thú, đánh dấu thả lại vào rừng Sau thời gian bắt lại 360 thấy có 27 bị đánh dấu Hãy ước lượng số thú rừng với độ tin cậy 99% Giải Tổng thể toàn thú rừng Số phần tử tổng thể N chưa biết chia thành hai loại : bị đánh dấu không bị đánh dấu Số phần tử bị đánh dấu tổng thể M = 1500 biết Do để tìm N, ta ước lượng tỉ lệ p phần tử bị đánh dấu tổng thể với độ tin cậy 99% Ta có số phần tử mẫu n = 360, số phần tử bị đánh dấu k = 27 Suy tỉ lệ mẫu 27 f= = 0,075 360 Tra bảng hàm số Laplace ta thấy 0,99 (2,58) = = 0,495 nên Z = 2,58 13 Độ xác ước lượng 0,075(1  0,075)  = 2,58 = 0,0358 360 Do đó, tỉ lệ phần tử bị đánh dấu tổng thể p = 0,075  0,0358 , hay 0,0392  p  0,1108 Ta lại có M M nên N = p N 1500 1500 Vaäy  N , 0,1108 0,0392 p= hay 13538  N  38265 Như vậy, số thú có rừng từ 13538 đến 38265 con, với độ tin cậy 99% Bài Lô trái chủ hàng đóng thành sọt, sọt 100 trái Kiểm tra 50 sọt người ta thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng với độ tin cậy 95% b) Muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,5% độ tin cậy đạt ? c) Muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% độ xác 1% cần kiểm tra sọt ? Giải a) Tổng thể toàn trái lô hàng Gọi p tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn tổng thể Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95% Ta có kích thước mẫu n = 50 100 = 5000, tỉ lệ mẫu không đạt tiêu chuẩn f= 450 = 0,09 5000 Với độ tin cậy  = 0,95, tra bảng hàm số Laplace, ta tìm Z = 1,96 Từ đó, sai số ước lượng  = 1,96 0,09.(1  0,09) = 0,0079 5000 14 Vaäy, tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng laø P = 0,09  0,0079, hay 8,21%  p  9,97% b) Theo đề bài, ta cần tìm độ tin cậy  biết độ xác  = 0,005 n = 5000, f = 0,09 Từ công thức  = Z f (1  f ) n suy Z =  Maø  (Z) =  n = 0,005 f (1  f ) 5000 = 1,24 0,09.0,91 , neân  =  (Z) =  (1,24) = 0,3925 = 0,785 Vậy, độ tin cậy đạt 78,5% c) Ta cần tìm kích thước mẫu biết độ tin cậy  = 99%, độ xác  = 1% tỉ lệ mẫu ban đầu f = 0,09 Khi ñoù Z = 2,58 Do ñoù  2,58 2.0,09.0,91 n=   + = 5452 0,012   Soá trái cần kiểm tra 5452, sọt có 100 trái nên số sọt cần kiểm tra laø  5452   100  + = 55 Ước lượng giá trị trung bình Bài Ở cửa hàng chế biến thủy sản, theo dõi lượng nước mắm bán số ngày, người ta ghi bảng số liệu sau Số lượng bán (lít) Số ngày 20 – 30 30 – 40 40 – 50 30 50 – 60 45 60 – 70 20 15 70 – 80 25 80 – 90 17 90 – 100 > 100 Hãy ước lượng số lít nước mắm bán trung bình ngày với độ tin cậy 99% hai trường hợp a) biết phương sai 2 = 132,25; b) chưa biết phương sai Giải Ta lập bảng tính đặc trưng mẫu định lượng xi ni xini x 2i n i 25 75 1875 35 280 9800 45 30 1350 60750 55 45 2475 136125 65 20 1300 84500 75 25 1875 140625 85 17 1445 122825 95 855 81225 105 420 44100  161 10075 681825 X 10075 = 62, 5776 ; 161 X2  681825 = 4234,9379 ; 161 ^2 S = 318,9819 ; S2 = 320,9755 ; S = 17,9158 Với  = 99% ta coù Z = 2,58 a) Theo đề bài, phương sai tổng thể biết 2 = 132,65 nên  = 11,5174 Do  = Z σ n = 2,58 11,5174 161 = 2,3419 Vậy, số lít nước mắm bán trung bình ngày cửa hàng  = X   = 62,5776  2,3419 16 hay 60,2357    64,9195 (lít) b) Phương sai tổng thể chưa biết, n  30 nên độ xác  = Z Vaäy S n = 2,58 17,9158 161 = 3,6429  = 62,5776  3,6429 (lít) BÀI TẬP ÁP DỤ NG Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm nhà máy thấy có 360 sản phẩm loại Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại tối thiểu nhà máy với độ tin cậy 95% Lấy ngẫu nhiên 400 hộp từ kho đồ hộp để kiểm tra thấy có 20 hộp bị hỏng Từ kết kiểm tra đó, ước lượng tỉ lệ phế phẩm kho hàng với độ tin cậy 95,45% Tại khu rừng nguyên sinh, người ta đeo vòng vào chân 1200 chim Sau thời gian bắt lại 250 thấy 40 có đeo vòng Hãy ước lượng số chim khu rừng với độ tin cậy 99% Muốn biết số cá có hồ lớn, người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả chúng xuống hồ Sau người ta bắt lên 400 thấy có 55 bị đánh dấu Với độ tin cậy 0,95 ước lượng số cá hồ Cho biết cá có khối lượng trung bình 800 gam kilôgam cá bán 22000đ Tính doanh thu tối thiểu bán hết số cá hồ Biết tỉ lệ nảy mầm loại hạt giống 0,9 Với độ tin cậy 0,99, muốn độ dài khoảng ước lượng tỉ lệ nảy mầm không vượt 0,02 cần phải gieo hạt? Kiểm tra ngẫu nhiên 28 sản phẩm loại máy sản xuất, ta thu kết Khối lượng sản phẩm (kg) Số sản phẩm 3,94 3,97 4,00 4,03 4,06 10 a) Với độ tin cậy 0,95, tìm khoảng ước lượng khối lượng trung bình sản phẩm máy sản xuất b) Hãy ước lượng phương sai khối lượng sản phẩm máy sản xuất với độ tin cậy 0,95, biết khối lượng sản phẩm có phân phối chuẩn Cân thử 100 trái nông trường, ta có kết sau 17 Khối lượng (g) 35 – 55 55 – 75 75 – 95 95 – 115 115 – 135 135 – 155 155 - 175 Soá trái a) Tìm ước lượng không chệch cho khối lượng trung bình trái nông trường b) Tìm ước lượng không chệch cho phương sai khối lượng trái nông trường c) Xem trái có khối lượng không 95gam trái loại hai 10 25 35 20 Tìm ước lượng không chệch cho tỉ lệ trái loại hai nông trường BÀI TỐN KIỂ M ĐINH CÁC BÀI GIẢI MẪU (2 ĐIẺ M) Kiểm định giả thiết tỉ lệ tổng thể Bài Theo báo cáo, tỉ lệ hàng phế phẩm kho 10% Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có phế phẩm Hỏi báo cáo có đáng tin mức ý nghóa 5% không? Giải Gọi p tỉ lệ phế phẩm kho hàng, p chưa biết Ta giả thiết p = 10%, báo cáo, (ở tỉ lệ giả thiết po = 10%) Ta kiểm tra giả thiết H : “p = po” với  = 5% Ta có kích thước mẫu n = 100, tỉ lệ mẫu f  = 0,08 10 Tra bảng hàm số Laplace ta thấy  0,05 (1,96) = = 0,475 nên Z = 1,96 Tính thống kê, ta 0,08 - 0,10 Zo = 100 = 0,6667 0,10(1  0,10) Vì Zo < Z nên ta chấp nhận H, nghóa báo cáo đáng tin cậy Bài Trước tỉ lệ phế phẩm nhà máy 5% Năm người ta áp dụng biện pháp kó thuật để sản xuất Sau thời gian, kiểm tra 800 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm Với mức ý nghóa 1%, đánh giá hiệu biện pháp kó thuật Giải Tỉ lệ phế phẩm nhà máy (xem tổng thể) trước đây, tức trước áp dụng biện pháp kó thuật mới, 5% Còn tỉ lệ phế phẩm sau áp dụng biện pháp kó thuật p chưa biết Ta giả thiết H : “p = 5%”, giống trước Rõ ràng, giả thiết biện pháp kó thuật không tác dụng đến tỉ lệ phế phẩm nhà máy Còn giả thiết sai biện pháp kó thuật làm thay đổi tỉ lệ phế phẩm Ta tiến hành kiểm tra giả thiết với  = 1% Từ mẫu ta có 18 24 = 0,03 800 Tra bảng hàm số Laplace, ta tìm Z = 2,58 Tính thống kê, ta 0,03 - 0,05 Zo = 800 = 2,6 0,05(1  0,05) n = 800, f = Vì Zo > Z nên giả thiết p = 5% sai Do tỉ lệ phế phẩm nhà máy 5% trước Mặt khác, tỉ lệ mẫu f = 3% < 5% = po, nên tỉ lệ phế phẩm giảm so với trước Vậy, biện pháp kó thuật làm giảm tỉ lệ phế phẩm nhà máy Kiểm định so sánh hai tỉ lệ Bài Kiểm tra 100 sản phẩm kho hàng thứ thấy có phế phẩm Kiểm tra 150 sản phẩm kho hàng thứ hai thấy có 18 phế phẩm Với mức ý nghóa 0,05, cho chất lượng hàng hai kho khác không ? Giải Tỉ lệ phế phẩm hai kho hàng (xem hai tổng thể) p1, p2 chưa biết Ta giả thiết H : “p1 = p2” với  = 0,05 Nếu giả thiếtù chất lượng hàng hai kho trái lại Ta kiểm định giả thiết Từ mẫu thứ ta có n1 = 100, f1 = 0,08 ; từ mẫu thứ hai ta có n2 = 150, f2 = 0,12 Tra bảng hàm số Laplace ta có Z = 1,96 Ta tính 100.0,08  150.0,12 po = = 0,104 ; 100  150 Zo = 0,08 - 0,12 = 1,015   0,104(1  0,104)    100 150  Vì Zo < Z nên ta chấp nhận giả thiết H, tức chất lượng hai kho hàng không khác Kiểm định giả thiết giá trị trung bình tổng thể Bài Khối lượng quy định cho gói bánh đóng gói tự động 250 gam Kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói thấy khối lượng trung bình 235 gam độ lệch mẫu hiệu chỉnh 36 gam Với mức ý nghóa 0,01 kết luận tình hình sản xuất Giải Khối lượng trung bình gói bánh thuộc tổng thể  chưa biết Ta giả thiết H : “ = 250 gam” quy định Nếu giả thiết chấp nhận tình hình sản xuất bình thường Nếu giả thiết bị bác bỏ tình hình sản xuất có vấn đề Ta tiến hành kiểm định giả thiết với n = 81 > 30, X = 235g, S = 36 Vì  = 0,01 nên Z = 2,58 Ta coù 19 Zo = 2,35 - 250 81 = 3,75 36 Suy Zo > Z nên giả thiết bị bác bỏ Mặt khác, khối lượng trung bình mẫu X = 235g bé khối lượng quy định nên việc đóng gói tự động chưa đạt yêu cầu khối lượng gói bánh Bài Một cửa hàng nhận thấy lâu trung bình khách hàng mua 15 ngàn đồng Tuần cửa hàng chọn ngẫu nhiên 16 khách hàng thấy trung bình người mua 14 ngàn đồng độ lệch mẫu hiệu chỉnh ngàn đồng Cho biết sức mua khách hàng có phân phối chuẩn Với mức ý nghóa 5%, xét xem sức mua khách hàng có giảm sút không ? Giải Gọi  sức mua trung bình nay, o = 15 ngàn đồng sức mua trung bình trước Ta giả thiết H : “ = o” Nếu giả thiết sức mua khách hàng không thay đổi, giả thiết sai sức mua thay đổi Ta kiểm định giả thiết Vì kích thước mẫu n = 16 < 30 nên tra bảng phân phối Student dòng 15 cột  ta T = 2,131 Tính thống kê 14 - 15 Zo = 16 = 2 Suy Zo < T , ta chấp nhận H Vậy, sức mua khách hàng không giảm sút Kiểm định so sánh hai giá trị trung bình Bài Chiều cao trung bình 100 học sinh nam trường trung học nội thành 1,68m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh 6m Kiểm tra 120 em huyện ngoại thành thấy chiều cao trung bình 1,64m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh 5cm Với mức ý nghóa 5%, kết luận học sinh nội thành phát triển thể lực tốt không? Giải Chiều cao trung bình học sinh nội thành ngoại thành 1, 2 chưa biết Ta giả thiết H : “1 = 2” với mức ý nghóa  = 0,05 Nếu giả thiết thể lực học sinh hai vùng nhau, giả thiết sai có khác biệt Ta tiến hành kiểm định giả thiết Ta có  = 0,05 neân Z = 1,96 n1 = 100, n2 = 120 > 30 ; X = 1,68, S12 = 36 ; X = 1,64, S 22 = 25 Suy 1,68 - 1,64 Zo = = 0,0531 36 25  100 120 20 Vì Zo < Z nên ta chấp nhận giả thiết Vậy kết luận thể lực học sinh nội thành tốt BA I TAP ÁP DỤNG Theo quy định, lô hàng xem đạt tiêu chuẩn tỉ lệ phế phẩm lô hàng không 5% Tiến hành kiểm tra 100 sản phẩm lô hàng thấy có phế phẩm Với mức ý nghóa 5%, cho kết luận lô hàng Tỉ lệ người mắc bệnh tai mũi họng thành phố 6% Trong lần kiểm tra sức khoẻ ngẫu nhiên 300 người thấy có 24 người mắc bệnh tai mũi họng Với  = 0,01 cho tỉ lệ người mắc bệnh có xu hướng tăng lên không ? Khi điều trị thuốc A, tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh 80% Đổi sang thuốc B để điều trị cho 110 người thấy có 920 người khỏi bệnh Với mức ý nghóa  = 0,02 cho thuốc B hiệu thuốc A hay không ? Một máy sản xuất tự động có tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn 20% Sau áp dụng phương pháp sản xuất mới, người ta lấy 40 thùng hàng, thùng có 10 sản phẩm để kiểm tra Kết cho bảng sau Số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Số thùng hàng 10 10 Với mức ý nghóa  = 0,05, đánh giá hiệu phương pháp sản xuất Theo dõi số tai nạn lao động hai xí nghiệp thời gian ta có số liệu sau Xí nghiệp thứ : 20 tai nạn/400 công nhân Xí nghiệp thứ hai : 28 tai nạn/500 công nhân Hỏi có khác đáng kể chất lượng công tác phòng hộ lao động hai xí nghiệp với  = 2% ? Theo phương pháp nuôi thứ ta có 12 gà bị bệnh đàn gà 200 Theo phương pháp nuôi thứ hai có bị bệnh đàn gà 100 Với  = 5%, kết luận tỉ lệ gà bị bệnh nuôi theo phương pháp thứ hai thấp không ? Khối lượng loại sản phẩm nhà máy sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với khối lượng trung bình quy định 500 gam Nghi ngờ khối lượng loại sản phẩm có xu hướng giảm sút, người ta cân thử số sản phẩm thu kết ghi bảng sau Khối lượng (g) 480 485 490 Số sản phẩm Với  = 5%, kết luận điều nghi ngờ 495 500 510 Chú ý: Các toán quy ước mức ý nghĩa 5% độ tin cậy 95% Thầy DungMath 0973500999 chúc anh chị thành công 21