Phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh cấp hai hệ số hằng + Phương trỡnh tuyến tớnh cấp hai thuần nhất với hệ số hằng: ay′′+by′+cy=0.. + Phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh cấp hai khụng thuần nhất
BỉI GIẢNG MúN Phương tr˜nh vi phŽn 2021-2022 BỘ MƠN TOÁN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân Đây giảng mơn Phương trình vi phân dành cho sinh viên năm thứ hai hầu hết Khoa (trừ số Ngành Khoa Kinh tế, Khoa Công nghệ thông tin, Ngành Công nghệ sinh học) Trường Đại học Thủy lợi Giáo trình Phương trình vi phân với toán giá trị biên (Lưu hành nội bộ) Sách dịch, Bộ Mơn Tốn - Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch năm 2008 Tài liệu online trang thư viện (chỉ dành cho đọc online không download): đăng nhập theo đường link http://tailieuso.tlu.edu.vn/handle/DHTL/11153 Cách đăng nhập: SV đăng nhập tài khoản email trường cấp để sử dụng tài liệu, pass vào lần đầu địa email CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM Điểm trình: chiếm 40% + Điểm chuyên cần + Điểm tích cực + Điểm Kiểm tra kỳ (1 KT 50 phút) Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60% Điểm học phần = ĐQT + ĐThi 1| P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân SYLLABUS PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Lịch trình giảng dạy 15 buổi - tiết/buổi) Buổi Nội dung giảng + Thông báo đề cương môn học, lịch kiểm tra + Tổng quan phương trình vi phân $1 Phương trình vi phân cấp + Phương trình phân ly biến số + Phương pháp phương trình vi phân có dạng y ′ = F (ax + by + c) $2 Phương trình vi phân cấp (tiếp) + Phương trình vi phân tuyến tính cấp + Phương trình Bernoully Bài tập $1 + $2 $3 Phương trình vi phân cấp (tiếp) + Phương trình vi phân đẳng cấp cấp + Phương trình vi phân tồn phần $4 Phương trình vi phân cấp + Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp + Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: y ′′ + p(x )y ′ + q (x )y = f (x ) - Cấu tạo nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai - Cấu tạo nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng - Ngun lý chồng chất nghiệm $5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số + Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số hằng: ay ′′ + by ′ + cy = + Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng với hệ số phương pháp biến thiên tham số Bài tập $3 + $4 + $5 Kiểm tra kỳ Nội dung $1-$5 $6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng với hệ số trường hợp vế phải đặc biệt + Trường hợp 1: Vế phải f (x ) = P (x )e αx Số tiết 2 2 2 2 + Trường hợp 2: Vế phải f (x ) = e αx [Pn (x ) cos βx + Pm sin βx ] 10 11 12 13 14 15 2| P a g e $7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số + Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao + Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có vế phải dạng đặc biệt Bài tập $6 +$7 $8 Hệ phương trình vi phân tuyến tính + Giới thiệu hệ phương trình vi phân tuyến tính + Phương pháp khử giải hệ phương trình vi phân tuyến tính + Phương pháp tốn tử vi phân tuyến tính giải hệ phương trình vi phân tuyến tính $9 Phương pháp giá trị riêng + Hệ phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn dạng ma trận (Trang 44) + Phương pháp giá trị riêng cho hệ (Hệ phương trình bậc ẩn hàm: (a) giá trị riêng thực phân biệt, trang 67; (b) giá trị riêng phức, trang 76; (c) giá trị riêng bội, trang 105) Bài tập $8 + $9 Tổng kết môn học 2 2 2 nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân Bài số PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I I Đại cương phương trình vi phân Một số định nghĩa Phương trình: F (x , y, y ', y '', , y (n ) ) = (*) chứa hàm chưa biết y = y(x ) (ít nhất) hay nhiều đạo hàm gọi phương trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình Ví dụ 1: y ' + +x 5y = sin x : PTVP cấp y (4) + x 2y (3) + x 5y = sin x : PTVP cấp bốn Hàm y = y(x ) xác định I gọi nghiệm PTVP (*) khoảng I đạo hàm y ', y '', , y (n ) tồn I F (x , y, y ', y '', , y (n ) ) = với x I Quá trình tìm tất nghiệm PTVP gọi giải PTVP Chú ý: + Phương trình (*) viết theo dạng chuẩn: y (n ) = G x , y, y ', y '', , y (n −1) ( ) G hàm (n+1) biến nhận giá trị thực + Phương trình vi phân thường: hàm phải tìm phụ thuộc vào biến độc lập + Nếu ẩn hàm hàm hai hay nhiều biến độc lập, ta phải đưa vào đạo hàm riên, phương trình gọi phương trình đạo hàm riêng + Chỉ hàm liên tục nghiệm PTVP khoảng Ví dụ Với C số, ta có hàm số y(x ) = Ce x nghiệm phương trình vi phân: dy = 2xy dx ( ) (1) (2) ( ) 2 dy = C 2xe x = (2x ) Ce x = 2xy dx Để ý: phương trình (1) xác định họ gồm vơ số nghiệm phương trình vi phân (2), nghiệm ứng với cách chọn số tuỳ ý C với x với x ta có: Câu hỏi: Tại phải học PTVP: Khi giải tượng thực tế, nhiều số mơ hình hóa dẫn tới PTVP Một số mơ hình Tốn Ví dụ Quy luật giảm nhiệt Newton: Suất biến đổi thời gian nhiệt độ T(t) vật thể tỷ lệ với hiệu số T nhiệt độ A môi trường xung quanh Nghĩa là: 3| P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân dT = −k (T − A) dt đó, k số dương + Nhận thấy T > A , dT < , nhiệt độ hàm giảm theo t vật thể dt nguội dT > , T tăng dt Ví dụ Quy luật Torricelli : Suất biến đổi theo thời gian khối lượng nước V bể chứa tỷ lệ với bậc hai độ sâu y nước bể: dV = −k y (3) dt với k số Nếu bể chứa hình trụ trịn xoay với diện tích đáy A , V = Ay , dV/dt = A (dy/dt) Khi phương trình (3) có dạng: dy = −h y dt h = k/A số Ví dụ Suất biến đổi theo thời gian dân số P ( t ) : T rong trường hợp đơn giản tỷ lệ sinh (tử) không đổi tỷ lệ với số dân Nghĩa là: dP = kP (4) dt với k số tỷ lệ Ví dụ Giả sử P (t ) = Ce kt số lượng vi khuẩn đám vi khuẩn thời điểm t, mà thời điểm t = (giờ) số lượng 1000, sau h số lượng lại tăng gấp đôi Dự báo số lượng vi khuẩn sau 1,5 h? + Từ giả thiết P (t ) t a c ó : 1000 = P(0) = Ce = C, 2000 = P(1) = Ce k suy C = 1000 k = ln2 ≈ 0,693147 + Với giá trị k phương trình vi phân (4) trở thành dP = (ln 2)P = (0, 693147)P dt + Việc thay k = ln2 C = 1000 kéo theo nghiệm riêng P (t ) = 1000e (ln 2)t = 1000(e ln )t = 1000.2t (bởi e ln = ) thoả mãn điều kiện cho + Số lượng vi khuẩn sau rưỡi (khi t = 1,5) P (1, 5) = 1000.23/2 ≈ 2828 Điều kiện P(0) = 1000 gọi điều kiện ban đầu dy Ví dụ Xét p/trình vi phân = y2 dx + Dễ t h ấ y h àm y ≡ l m ộ t n gh i ệm + Nếu T < A , 4| P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân (nếu x ≠ C) C −x họ nghiệm khoảng không chứa điểm x = C tập số thực đó: dy = = y2 dx (C − x ) + Với C = ta thu nghiệm riêng y(x ) = 1−x thoả mãn điều kiện ban đầu y(0) = 1 + Khi nghiệm y ≡ l k h n g có m ặt t ro n g cô n g t h ức y(x ) = , gọi C −x nghiệm kỳ dị phương trình + Nếu C l h ằn g s ố , h àm s ố y(x ) = Ví dụ a) Hãy kiểm tra, hàm y(x ) = 2x 1/2 − x 1/2 ln x thoả mãn phương trình vi phân 4x 2y ''+ y = với x > Thật vậy: +Tính đạo hàm với x > 1 y '(x ) = − x −1/2 ln x y ''(x ) = x −3/2 ln x − x −3/2 + Thế vào phương trình 1 4x 2y ''+ y = 4x x −3/2 ln x − x −3/2 + 2x 1/2 − x 1/2 ln x = 4 +Do hàm cho thoả mãn phương trình vi phân cho với x > (y ') b) Xét phương trình: + y = −1 Dễ thấy p/trình khơng có nghiệm (nhận giá trị thực) c) Phương trình (y ') + y = có nghiệm (nhận giá trị thực) y(x ) = Nhận xét: Một phương trình vi phân có nghiệm có vơ số nghiệm Ví dụ Nếu A, B số y(x ) = Acos3x + B sin 3x + Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta y '(x ) = −3A sin 3x + 3Bcos3x y ''(x ) = −9Acos 3x − 9B sin 3x = −9y(x ) với x + Bởi vậy, y(x ) xác định họ hai tham số nghiệm phương trình vi phân cấp y ''+ 9y = toàn trục số 5| P a g e hai nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân II Phương trình vi phân cấp Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: dy = f (x , y ) Bài toán giá trị ban đầu : dx y(x ) = y điều kiện ban đầu y(x0) = y0 dy = f (x , y ) (*) dx (*) (**) Giải toán giá trị ban đầu : + Tìm tất nghiệm PTVP + Lấy nghiệm thỏa mãn (**) khoảng chứa x nghiệm tốn a) Phương trình vi phân cấp khuyết biến dy = f (y ) dx Cách giải : + Xét phương trình f (y ) = (ẩn y ), nêu phương trình có nghiệm nghiệm PT cho dy dy dy + Xét f (y ) ≠ , = f (y ) ⇔ = dx → ∫ = dx dx f (y ) f (y ) ∫ dy = y2 Ví dụ 10 Giải tốn giá trị ban đầu : dx y(1) = + Dễ thấy nghiệm y ≡ : không thỏa mãn toán + Xét họ nghiệm y(x) = 1/(C – x) PTVP dy/dx = y Ta tìm giá trị C cho nghiệm y(x)= 1/(C-x) thoả mãn điều kiện ban đầu y ( l ) = Thế giá trị x = y =2 vào nghiệm cho, ta : = y(1) = , C =3/2 C −1 + Nghiệm cần tìm tốn là: y(x ) = = 3 − 2x −x Chú ý: Trên Hình 1.1.7 hai nhánh đồ thị hàm số: y = 2/(3 – 2x) + Nhánh trái đồ thị (–∞, 3/2) nghiệm toán giá trị ban dy = y2 đầu cho dx y(1) = + Nhánh phải qua điểm (2, –2) đồ thị (3/2, ∞) nghiệm dy = y2 toán giá trị ban đầu khác : dx y(2) = −2 6| P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân dy = f (x ) dx Lấy tích phân hai vế phương trình (1) thu được: b) Phương trình khuyết ẩn hàm: y(x ) = (1) ∫ f (x )dx + C = G(x ) + C (2) Đây nghiệm tổng quát (1) Từ nghiệm tổng quát, với lựa chọn C ta nhận nghiệm riêng phương trình vi phân (1) Hằng số C – phương diện hình học – khoảng cách theo phương thẳng đứng hai đường cong nghiệm: y(x ) = G (x ) y(x ) = G (x ) +C Khi cho điều kiện ban đầu y(x ) = y , từ nghiệm tổng quát ta có C = y − G (x ) Với lựa chọn C, ta thu nghiệm riêng phương trình (1) thỏa mãn tốn giá trị ban đầu: dy = f (x ), y(x ) = y dx Định nghĩa : Xét PTVP cÊp 1: dy = f (x , y ) dx Nghiệm tổng quát PTVP cấp hàm sè (cã chøa tham sè): y = ϕ(x ,C ) C số tuỳ ý, thoả mÃn phơng trình vi phân với C Nghiệm riêng PTVP cấp nghiệm y = (x ,C ) mà ta nhận đợc từ nghiƯm tỉng qu¸t b»ng c¸ch cho h»ng sè C t ý giá trị cụ thể C Nếu nghiệm tổng quát phơng trình vi phân cấp đợc xác định dới dạng ẩn (x , y,C ) = gọi tích phân tổng qu¸t cđa PTVP Khi C = C ta ®−ỵc: φ(x , y,C ) = gäi ®ã tích phân riêng PTVP nói Tuy nhiên có nghiệm không đợc sinh từ công thức nghiệm tổng quát (khi thờng nhận đợc từ nhận xét riêng), nghiệm đợc gọi nghiệm kỳ dị PTVP Việc tìm C = C thờng xuất phát từ việc kiểm tra điều kiện ban đầu y(x ) = y , nên nghiệm riêng sinh nghiệm toán giá trị ban đầu: 7| P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân dy = f (x , y ) dx y(x ) = y Ví dụ 11 Giải toán giá trị ban đầu: dy = 2x + ; dx y(1) = Giải Tích phân hai vế phương trình vi phân ta thu nghiệm tổng quát: y(x ) = ∫ (2x + 3)dx = x + 3x + C Hình vẽ cho thấy đồ thị y = x + 3x + C với vài giá trị C Nghiệm riêng ta quan tâm có đồ thị đường cong qua điểm (1,2), thoả mãn điều kiện ban đầu: y(1) = 12 + 3.1 + C = Điều dẫn đến C = -2, nên nghiệm riêng (tức nghiệm toán) cần tìm là: y(x ) = x + 3x − 2 Sự tồn nghiệm Bài tốn Cauchy Xét ví dụ mở đầu Ví dụ 12 (a) [Sự khơng tồn tại] Xét tốn giá trị ban đầu: y ' = ; y(0) = x + Dễ thấy y(x ) = ∫ (1 / x )dx = ln x + C nghiệm tổng qt PTVP + Kiểm tra đ/kiện: khơng có hàm y(x ) = ∫ (1 / x )dx = ln x + C thoả mãn điều kiện ban đầu Vậy nên Bài tốn Cauchy vơ nghiêm (b) [Sự khơng nhất] Dễ thấy tốn giá trị ban đầu: y'=2 y ; y(0) = có hai nghiệm phân biệt y1(x ) = x y2 (x ) ≡ Nhận xét: Giả sử ta nghiên cứu hệ vật lý mà hoạt động hồn tồn xác định điều kiện ban đầu, mơ hình tốn đưa Bài tốn giá trị ban đầu khơng có nghiệm Một vấn đề đặt là: Khi Bài tốn Cauchy có nghiệm ĐỊNH LÝ (Sự tồn nghiệm) Giả sử hàm f(x,y) đạo hàm riêng Dy f (x , y ) liên tục hình chữ nhật R mặt phẳng Oxy chứa điểm (a;b ) Khi đó, với khoảng mở I chứa điểm a, toán giá trị ban đầu: dy = f (x , y ) (9) dx y(a ) = b có nghiệm xác định I 8| P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân dy = −y dx + Hàm f (x , y ) = −y đạo hàm riêng ∂f / ∂y = −1 liên tục điểm + Theo Định lý 1: Bài tốn có nghiệm với điều kiện đầu (a;b ) Chú ý 1: Trong phương trình vi phân Chú ý 2: Trong phương trình vi phân dy / dx = −2 y + Hàm f (x , y ) = −2 y liên tục với y > 0, đạo hàm riêng ∂f / ∂y = / y gián đoạn y = + Tại điểm (0; 0) tồn hai nghiệm khác y1(x ) = x y2 (x ) ≡ mà nghiệm toán Chú ý 3: Xét phương trình vi phân đơn giản dy / dx = y + Ta có f (x , y ) = y ∂f / ∂y = 2y : liên tục tồn mặt phẳng Oxy nói chúng hình chữ nhật -2 < x < 2; < y < nói riêng + Vì điểm (0,1) nằm hình chữ nhật này, nên Định lý bảo đảm nghiệm – tất nhiên hàm liên tục – cho toán điều kiện ban đầu: dy = y 2, y(0) = dx khoảng mở x chứa a = 0: chinha : y(x ) = 1−x + Tuy nhiên: y(x) = 1/(1 – x) hàm gián đoạn x = 1, nên nghiệm liên tục khơng tồn tồn khoảng -2 < x < Do đó, khoảng I Định lý khơng rộng hình chữ nhật R f ∂f / ∂y liên tục Phương trình vi phân phân ly biến số dy = H (x , y ) (*) dx gọi phương trình vi phân phân ly biến số H (x , y ) viết thành tích hàm x a Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một: dy g (x ) = g (x )h(y ) = , h(y ) = ; tức phương trình viết dx f (y ) f (y ) f (y )dy = g(x )dx , (**) hàm y : dạng: b Cách giải: Xét p/t có dạng (**), lấy tích phân hai vế theo x: dy ∫ f (y(x )) dx dx = ∫ g(x )dx + C ; hay là: ∫ f (y )dy = ∫ g(x )dx +C ta có: 9| P a g e F (y(x )) = G (x ) + C nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân x ' = x x ' = x ⋯ x n −1 ' = x n x n ' = f (t, x 1, x 2, , x n ) (5) n phương trình cấp + Hàm x (t ) nghiệm phương trình (4) hàm x 1(t ) , x (t ) , …, x n (t ) nghiệm hệ phương trình (5) ● Ví dụ PTVP cấp 3: x (3) + 3x "+ 2x '− 5x = sin 2t , + Đưa dạng (4): x (3) = −3x "− 2x '+ 5x − sin 2t , + Với phép đổi biến: x = x , x = x ' = x ' ; x = x " = x ' x ' = x + Ta có hệ PTVP cấp một: x ' = x x ' = 5x − 2x − 3x + sin 2t ii) Chuyển hệ phương trình bậc cao hệ PTVP cấp 2x " = −6x + 2y y " = 2x − 2y + 40 sin 3t Hãy biến đổi hệ thành hệ cấp ● Ví dụ Hệ hai PTVP cấp hai: Giải + Đặt: x = x , x = x ' = x ' , y1 = y , y = y ' = y1 ' x 1′ = x 2x 2′ = −6x + 2y1 + Ta nhận được: y ′ = y y = 2x − 2y + 40 sin 3t 1 hệ bốn phương trình cấp phụ thuộc biến x 1, x 2, y1 y2 c) Đưa hệ hai chiều Xét PTVPTT cấp hai (với hệ số số phụ thuộc biến t) : x "+ px '+ qx = + Qua phép đổi biến x ' = y , x " = y ' ta có hệ PTVPTT hai chiều: x ' = y y ' = −qx − py + Nếu tìm nghiệm hệ (7) suy nghiệm phương trình (6) ngược lại 45 | P a g e (6) (7) nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân ● Ví dụ Giải hệ hai chiều (hệ PTVP với ẩn hàm) x ' = −2y y ' = x 1 x " = −2y ' = −2 x = −x + Thế vào p/t thứ hai nhận PTVP cấp hai: x "+ x = (*) + Giải (*) nghiệm tổng quát x (t ) = A cos t + B sin t = C cos(t − α) A = C cos α B = C sin α 1 y(t ) = − x '(t ) = − (−A sin t + B cos t ) = C sin(t − α) 2 x (t ) = A cos t + B sin t = C cos(t − α) + Nghiệm hệ ban đầu là: y(t ) = C sin(t − α) x2 y2 + Với giá trị t , điểm (x (t ), y(t )) nằm ellipse : + = 1, C (C / 2)2 + Lấy đạo hàm hai vế p/t đầu ta được: với bán trục C C ● Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ x ' = y y ' = 2x + y Giải: + Lấy đạo hàm p/t thứ kết hợp với p/t thứ hai: x " = y ' = 2x + y = x '+ 2x + Ta có PTVP cấp hai x "− x '− 2x = , (**) + Phương trình đặc trưng (**): r − r − = (r + 1)(r − 2) = , + Nghiệm tổng quát (**): x (t ) = Ae −t + Be 2t y(t ) = x '(t ) = −Ae −t + 2Be 2t x (t ) = Ae −t + Be 2t + Vậy nghiệm tổng quát hệ ban đầu là: −t 2t y(t ) = −Ae + 2Be +Do đó: 46 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Phương trình vi phân 2021-2022 Hệ phương trình vi phân tuyến tính a) Định nghĩa x ' = p (t )x + p (t )x + + p x + f (t ) 11 12 1n n x ' = p (t )x + p (t )x + + p x + f (t ) 21 22 2n n Hệ PTVPTT cấp có dạng: (8) ⋯ x n ' = pn 1(t )x + pn (t )x + + pnn x n + fn (t ) ● Hệ hàm f1 , f2 ,…, fn đồng không; ● Trường hợp cịn lại hệ gọi khơng ● Một nghiệm hệ n hàm x 1(t ) , x (t ) ,…, x n (t ) (trên số khoảng đó) thoả mãn phương trình (8) b) Sự tồn nghiệm Bài toán Cauchy ● ĐỊNH LÝ Xét toán Cauchy hệ PTVPTT cấp x ' = p11(t )x + p12 (t )x + + p1n x n + f1(t ) x ' = p (t )x + p (t )x + + p x + f (t ) 21 22 2n n ⋯ x n ' = pn 1(t )x + pn (t )x + + pnn x n + fn (t ) x 1(a ) = b1; x (a ) = b2 ; ; x n (a ) = bn Giả sử hàm p11 , p12 ,…, pnn hàm f1 , f2 ,…, fn liên tục khoảng mở I chứa điểm a Khi tốn Cauchy có nghiệm I Chú ý: Do n điều kiện ban đầu xác định nghiệm hệ n phương trình tuyến tính, nghiệm tổng quát bao gồm n số Cho trước hệ cấp cao, thường biến đổi thành hệ cấp tương đương để xem có điều kiện ban đầu để xác định nghiệm Định lý cho ta thấy số điều kiện phải với số phương trình hệ cấp tương đương b Phương pháp khử để giải hệ PTVP Mục đích phương pháp nhằm loại bỏ biến đến cịn lại phương trình chứa biến độc lập Phạm vi: Phương pháp phù hợp với hệ nhỏ: chúng bao gồm khơng q hai ba phương trình 47 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân ● Ví dụ Tìm nghiệm riêng hệ x ' = 4x − 3y (9) y ' = 6x − 7y thoả mãn điều kiện ban đầu x (0) = , y(0) = −1 Giải ● Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát (9) + Từ p/t thứ hai (9) ta có : x = y '+ y 6 + Lấy đạo hàm hai vế (10) x ' = y "+ y ' 6 1 7 + Kết hợp dẫn đến: y "+ y ' = y '+ y − 3y ⇔ 6 (10) (11) y "+ 3y '− 10y = (11a) + PTVPTT cấp hai (11a) có phương trình đặc trưng : r + 3r − 10 = (r − 2)(r + 5) = + Nghiệm tổng quát (11a) : y(t ) = c1e 2t + c2e −5t x (t ) = c1e 2t + c2e −5t x (t ) = c e 2t + c e −5t + Nghiệm tổng quát hệ (9): (*) 2t −5 t y(t ) = c1e + c2e ● Bước 2: Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm tham số (*) + Điều kiện ban đầu dẫn đến x (0) = c1 + c2 = y(0) = c1 + c2 = −1 + Suy c1 = c2 = −3 ● Bước : Kết luận nghiệm x (t ) = 3e 2t − e −5t + Vậy nghiệm Bai toán : y(t ) = 2e 2t − 3e −5t + Từ đó: Chú ý: + Nghiệm tổng quát (*) xem véc tơ (x (t ), y(t )) Sử dụng phép tốn véc tơ, ta viết nghiệm tổng quát (*) dạng 3 3 1 (x (t ), y(t )) = c1e 2t + c2e−5t , c1e 2t + c2e−5t = c1 e 2t ,e 2t + c2 e−5t ,e −5t Như : Nghiệm tổng quát hệ (9) tổ hợp tuyến tính hai nghiệm riêng 3 1 (x1, y1 ) = e 2t ,e 2t (x 2, y2 ) = e−5t ,e−5t 48 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân c Phép khử tốn tử vi phân tuyến tính (sinh viên tự đọc): ● Một toán tử vi phân tuyến tính cấp n với hệ số có dạng L = an D n + an −1D n−1 + + a1D + a D := (12) d : ký hiệu đạo hàm theo biến t dt + Nếu L1 L2 hai toán tử vi phân tuyến tính tích chúng định nghĩa sau: L1L2 x = L1 L2x + Do phép nhân đa thức giao hoán nên ta suy : L1L2 x = L2L1 x đạo hàm cấp cần thiết x (t ) tồn ● Ví dụ: + Dx := dx = x '(t ), dt + (D − 1) x = x ' (t ) − x (t ); D 2x := (2D d dx d 2x = x "(t ) = dt dt dt ) − 3D + y = 2y "(t ) − 3y '(t ) + 5y(t ) + Nếu L1 = D + a L2 = D + b , L1L2 x = (D + a ) (D + b ) x = D (Dx + bx ) + a (Dx + bx ) = D + (a + b ) D + ab x L x + L y = f (t ) ● Hệ hai PTVP với hệ số viết dạng: L3x + L4y = f2 (t ) L1 , L2 , L3 , L4 toán tử vi phân tuyến tính , f1(t ) f2 (t ) hàm cho + Dùng phương pháp khử hệ cho viết sau: L1 L2 L3 L4 L1 L2 L3 L4 x= y= (13) f1(t ) L2 f2 (t ) L4 L1 f1(t ) L3 f2 (t ) + Từ ta tìm nghiệm hệ ● Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ (D − 4) x + 3y = −6x + (D + ) y = (14) Giải: + Toán tử định thức hệ (D − 4)(D + 7) − 3.(−6) = D + 3D − 10 49 | P a g e (15) nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng môn Phương trình vi phân (D + 3D − 10)x = x "+ 3x '− 10x = + Do vậy: (D + 3D − 10)y = y "+ 3y '− 10y = + Phương trình đặc trưng chúng r + 3r − 10 = (r − 2)(r + 5) = + Nghiệm tổng quát hệ có dạng: x (t ) = a e 2t + a e −5t (16) 2t −5t y(t ) = b1e + b2e Chúng bao gồm số a1 , a2 , b1 b2 Tuy nhiên nghiệm tổng quát hệ hai phương trình cấp chứa hai số, ta khử bớt số dư + Thế nghiệm (16) vào phương trình ban đầu hệ (14) ta có: = x '− 4x + 3y ( ) ( ) ( ) = 2a1e 2t − 5a 2e −5t − a1e 2t + a2e −5t + b1e 2t + b2e −5t , nghĩa là, = (−2a1 + 3b1 )e 2t + (−9a + 3b2 )e −5t + Do e 2t e −5t hàm độc lập tuyến tính, suy a1 = + Vậy nghiệm tổng quát cần tìm b1 a2 = b2 x (t ) = b e 2t + b e −5t −5t 2t y(t ) = b1e + b2e Chú ý: Nếu toán tử định thức khơng, hệ gọi suy biến Một hệ suy biến có vơ nghiệm có vơ số nghiệm Về nhà Bài tập: Tr 24 (các 1-20), Tr 39 (các 1-12; 22-29) Đọc trước Mục: 5.3, 5.4; 5.6 chuẩn bị cho Bài số Phương pháp giá trị riêng 50 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng môn Phương trình vi phân Bài số PHƯƠNG PHÁP GIÁ TRỊ RIÊNG Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp a) Xét hệ n PTVPTT cấp x ' = p11(t )x + p12 (t )x + + p1n (t )x n + f1(t ) x ' = p (t )x + p (t )x + + p (t )x + f (t ) 21 22 2n n x ' = p (t )x + p (t )x + + p (t )x + f (t ) 31 32 3n n ⋯ x n ' = pn 1(t )x + pn (t )x + + pnn (t )x n + fn (t ) ● Ma trận hệ số : P(t ) = pij (t ) , ● Véc tơ cột : x = x i f (t ) = fi (t ) , (1) dx = P(t )x + f (t ) (2) dt ● Một nghiệm phương trình (2) khoảng mở I hàm véc tơ cột x(t ) = x i (t ) cho hàm thành phần x thoả mãn hệ (1) I ● Nếu hàm pij (t ) fi (t ) liên tục I tồn nghiệm I thoả mãn điều kiện ban ● Dạng phương trình ma trận : đầu x(a ) = b ●Ví dụ Hệ bậc x ' = 4x − 3x x ' = 6x − 7x dx −3 viết dạng phương trình ma trận: = x = Px dt −7 3e 2t e −5t + Dễ thấy hàm véc tơ: x1(t ) = 2t x2 (t ) = −5t 2e 3e −3 3e 2t 6e 2t nghiệm phương trình ma trận vì: Px1 = 2e 2t = 4e 2t = x1 ' − −3 e −5t −5e −5t Px2 = 3e −5t = −15e −5t = x2 ' − 51 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân Hệ nhất: Xét phương trình tương ứng với (1): dx = P(t )x dt Cho trước n nghiệm x1 , x2 , , xn phương trình (3), viết (3) x (t ) 1j x j (t ) = x ij (t ) x nj (t ) (4) x ij (t ) kí hiệu thành phần thứ i véc tơ a) ĐỊNH LÝ Nguyên lý chồng chất nghiệm hệ PTVPTT Cho x1 , x2 , , xn n nghiệm hệ PTVPTT (3) khoảng mở I Khi tổ hợp tuyến tính x(t ) = c1x1(t ) + c2 x2 (t ) + + cn xn (t ) nghiệm phương trình (3) I Ví dụ Nếu x1 x2 hai nghiệm : + Thì tổ hợp tuyến tính (5) dx 4 −3 = x dt 6 −7 3e 2t e −5t x(t ) = c1x1(t ) + c2x2 (t ) = c1 2t + c2 −5t 2e 3e nghiệm b) Độc lập tuyến tính nghiệm tổng quát Các hàm giá trị véc tơ x1 , x2 , …, xn độc lập tuyến tính khoảng I tồn số c1 , c2 , …, cn không đồng thời không cho: c1x1(t ) + c2x2 (t ) + + cn xn (t ) = với t khoảng I ● Nếu x1 , x2 , …, xn hàm véc tơ định thức Wronskian cấp n × n x 11 (t ) x 12 (t ) ⋯ x 1n (t ) W (t ) = x 21 (t ) x 22 (t ) ⋯ x 2n (t ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n (t ) x n (t ) ⋯ x nn (t ) Chú ý W định thức ma trận véc tơ cột hàm x1 , x2 , …, xn 52 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân ĐỊNH LÝ Giả sử x1 , x2 , …, xn n hàm véc tơ, xét W = W (x1, x 2, , xn ) Khi đó: + Nếu x1 , x2 , …, xn PTTT I, W = điểm I ngược lại + Nếu x1 , x2 , …, xn ĐLTT I, W ≠ điểm I ngược lại 2e t Ví dụ + Ta kiểm tra x1(t ) = 2e t , x2 (t ) = t e 2e 3t 2e 5t x (t ) = −2e 5t nghiệm phương trình 3t 5t −e e −2 dx = −1 −2 x dt −1 + Định thức Wronskians nghiệm 2e t W= 2e et t 2e 3t 2e 5t −2e −e 3t e 5t 5t 2 = e −2 = −16e 9t ≠ , −1 9t ∀t + Từ Định lý suy nghiệm x1 , x x độc lập tuyến tính ● ĐỊNH LÝ Nghiệm tổng quát hệ PTVPTT Cho x1 , x2 , …, xn n nghiệm độc lập tuyến tính hệ PTVPTT x ' = P(t )x khoảng mở I mà P(t ) liên tục Nếu x(t ) nghiệm hệ x ' = P(t )x I , tồn c1 , c2 , …, cn cho x(t ) = c1x1(t ) + c2x2 (t ) + + cn xn (t ) với t I Như Ví dụ : x(t ) = c1x1(t ) + c2x2 (t ) + c3x (t ) nghiệm tổng quát hệ Hệ hai PTVPTT cấp với hệ số Hệ PTVPTT tuyến tính cấp với hệ số có dạng: x 1′ = a11x + a12x (8) x 2′ = a 21x + a22x ● Nếu tìm đủ véc tơ nghiệm ĐLTT: x1, x2 nghiệm tổng quát là: x(t ) = c1x1(t ) + c2x2 (t ) a) Định lý nghiệm hệ PTVPTT cấp với hệ số 53 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân ● ĐỊNH LÝ Cho λ giá trị riêng ma trận hệ số A hệ PTVPTT cấp dx = Ax dt Nếu v gía trị riêng tương ứng với giá trị riêng λ , x (t ) = ve λt nghiệm không tầm thường hệ b) Phương pháp giá trị riêng: Xét hệ cấp n hệ số x’ = Ax : Bước : Giải p/trình đặc trưng : det A − λI = tìm giá trị riêng λ1, λ2 ma trận A Bước : Tìm đủ véc tơ riêng ĐLTT: v1, v2 ứng với giá trị riêng Nếu bước hai thành công ta có nghiệm độc lập tuyến tính hệ: x1 (t ) = v1e λ1t , x2 (t ) = v2e λ2t , Bước : Kết luận: nghiệm tổng quát hệ: x’ = Ax : x (t ) = c1x1 (t ) + c2x2 (t ) Nhận xét: Nghiệm tổng quát phụ thuộc vào việc giá trị riêng phân biệt hay bội, thực phức (giống p/trình vi phân với hệ số hằng) Trường hợp 1: Các giá trị riêng thực phân biệt Nếu tìm giá trị riêng λ1; λ2 thực phân biệt, ta tìm đủ véc tơ riêng tương ứng v1, v2 nghiệm riêng tương ứng x1 (t ) = v1e λ1t , x2 (t ) = v2e Từ nghiệm tổng quát hệ là: λ2t : ĐLTT x (t ) = c1x1 (t ) + c2x2 (t ) ● Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát hệ x 1′ = 4x + 2x x 2′ = 3x − x (9) Giải + Dạng ma trận hệ (9) + Phương trình đặc trưng ma trận hệ số 54 | P a g e 4 x x ' = − nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân −λ −1 − λ = (4 − λ )(−1 − λ ) − = λ − 3λ − 10 = (λ + 2)(λ − 5) = + Các giá trị riêng thực phân biệt λ1 = −2 λ2 = 4 − λ a 0 + Phương trình véc tơ riêng: = −1 − λ b 0 * Với: λ1 = −2 : thay vào (10) hệ (10) 6a + 2b = 6 2 a 0 = ⇔ 1 b 0 3a + b = + Chọn a khác khơng giải để tìm b: chọn a = b = -3, VTR tương ứng là: 1 v1 = −3 1 Từ đó: nghiệm riêng là: x1 (t ) = e −2t −3 * Với: λ2 = : Thay λ2 = (10), ta được: 2 −a + 2b = a = ⇒ ⇒ v2 = VTR tương ứng 3a − 6b = b = 1 2 + Nghiệm riêng tương ứng là: x (t ) = e 5t 1 + Như ta nhận hai nghiệm ĐLTT : 1 2 x1 (t ) = e −2t ; x (t ) = e 5t −3 1 + Do nghiệm tổng quát hệ 1 2 −2t x (t ) = c1x1 (t ) + c2 x (t ) = c1 e + c2 e 5t −3 + Viết dạng vô hướng x1(t) = c1e-2t + 2c2e5t x2(t) = -3c1e-2t + c2e5t Trường hợp 2: Giá trị riêng phức ● Nếu giá trị riêng phức véc tơ riêng tương ứng có giá trị phức, có nghiệm giá trị phức 55 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng môn Phương trình vi phân + Nếu ma trận A có giá trị riêng phức λ = p + qi λ = p − qi giái trị riêng a + b i a b + Nếu v = = + i = a + bi véc tơ riêng tương ứng với λ , v = a − bi a2 + b2i a b2 véc tơ riêng tương ứng với λ + Do có nghiệm giá trị thực ĐLTT x1 (t ) = e pt (a cos qt − b sin qt ) x2 (t ) = e pt (b cos qt + a sin qt ) ● Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát hệ: dx = 4x − 3x dt dx = 3x + 4x dt Giải + Ma trận hệ số −3 A = − λ −3 = (4 − λ )2 + = có phương trình đặc trưng: A − λ I = − λ + Các giá trị riêng liên hợp phức λ = − 3i λ = + 3i + Phương trình véc tơ riêng: (A − λ I) v = * Xét λ = − 3i : ta có: A − (4 − 3i ) ⋅ I v = + Ta hệ phương trình vơ hướng ia − b = a = ⇒ ⇒v= a + ib = b = i 3i −3 a 0 3i b = 0 1 i VTR phức tương ứng T + Nghiệm phức tương ứng x (t ) = ve λt x' = Ax 1 4−3i t 1 cos 3t − i sin 3t ( ) x (t ) = e = e 4t (cos 3t − i sin 3t ) = e 4t i i i cos 3t + sin 3t + Các phần thực ảo x(t) nghiệm giá trị thực ĐLTT cos 3t − sin 3t 4t x1 (t ) = e 4t x t = e 2( ) cos 3t sin t + Nghiệm tổng quát giá trị thực x’ = Ax cho 56 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng môn Phương trình vi phân c cos 3t − c sin 3t x (t ) = c1x1 (t ) + c2 x (t ) = e 4t c sin 3t + c2 cos 3t + Hay là: 4t x (t ) = e (c1 cos 3t − c2 sin 3t ) x (t ) = e 4t (c1 sin 3t + c2 cos 3t ) Trường hợp 2: Giá trị riêng bội (sinh viên tự đọc) Xét phương trình đặc trưng A − λI = (11) có nghiệm bội ● Một giá trị riêng gọi bội k nghiệm bội k p/trình (11) ● Một giá trị riêng bội k > có k véc tơ riêng ĐLTT tương ứng Trong trường hợp khơng thể tìm “đầy đủ” n véc tơ riêng ĐLTT A ● Ta nói véc tơ riêng bội k đủ có k véc tơ riêng ĐLTT tương ứng Do véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng khác độc lập tuyến tính nên véc tơ riêng ma trận A đủ ma trận A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2, …,vn tương ứng với giá trị riêng λ1, λ2, , λn (mỗi giá trị riêng lặp số bội nó) ● Ví dụ Ma trận −3 A = có phương trình đặc trưng A − λI = 1−λ −3 −λ (8) = λ − 8λ + 16 = (λ − 4) = + Do A có giá trị riêng λ1 = bội + Phương trình véc tơ riêng: −3 −3 a 0 A − 4I v = ( ) 3 b = 0 ⇔ a + b = ⇔ a = −b + Nếu v = a b T véc tơ riêng A véc tơ riêng A bội khác không v = 1 −1 + Do giá trị riêng bội hai λ1 = có véc tơ riêng ĐLTT, không đủ T ● Một giá trị riêng λ bội k > gọi khuyết khơng đủ ● Nếu λ có p < k véc tơ riêng độc lập tuyến tính, số d=k–p số véc tơ riêng khuyết giá trị riêng bội khuyết λ 57 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân ● Nếu giá trị riêng ma trận vuông A cấp n khơng đủ, phương pháp giá trị riêng khơng tìm đủ n nghiệm độc lập tuyến tính hệ x’ = Ax ● Do cần phải tìm phương pháp tìm “nghiệm lỡ” tương ứng với giá trị riêng khuyết λ có bội k > Về nhà Bài tập: Tr 82 (các 1-16) Ơn tập hết mơn MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP Đề số Câu Giải phương trình vi phân cấp một: y / − x + y = arcsin x Câu Giải toán Cauchy / y + y = sin x 1+x y (0) = Câu Giải phương trình vi phân sau : ( 3) − y ′′ − 12y ′ = 3x − 2xe −3x dx = 7x + 3y + 2t Câu Giải hệ phương trình vi phân sau: dt dy = 6x + 4y + 3t − dt y 58 | P a g e nhtho.wordpress.com 2021-2022 Bài giảng mơn Phương trình vi phân Đề số Câu Giải phương trình vi phân cấp sau: 2(3xy + 2x )dx + 3(2x 2y + y )dy = Câu Giải toán Cauchy: xy '' = y '+ x y(1) = 0; y '(1) = Câu Giải phương trình vi phân cấp hai: y ′′ + 4y = cos 2x dx = 7x + 4y Câu Giải hệ phương trình vi phân sau phương pháp giá trị riêng: dt dy = −12x − 7y dt Sau tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu: x (0) = 1; y(0) = −3 Đề số Câu Giải phương trình vi phân cấp sau: y ' = + x + y + x 2y Câu Giải phương trình vi phân cấp hai: y ''(1 + y ) = (y ')2 + y ' Câu Giải phương trình y ′′ − 2y '+ y = + ex x x ' = 3x + 8y Câu Giải hệ phương trình vi phân sau : y ' = −x − 3y Sau tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện x (0) = 0; y(0) = CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI 59 | P a g e nhtho.wordpress.com