DẠNG 6: Phƣơng trình vi phân tuyến tính: y’+px.y=qx.[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG 1: Pt vi phân với biến phân li Dạng: M(x)dx+N(y)dy=0 Pp: Tích phân vế M(x)dx + N(y)dy =C là nghiệm TQ Dạng đưa biến phân li: M1(x)N1(y) dx+M2(x) N2(y)dy=0 Pp: chia vế cho N1(y) M2(x) Ngoài N1(y) =0 cho ta nghiệm kì dị nghiệm riêng DẠNG 2: PT vi phân cấp Dạng y’=f(x;y) , đó hàm f(x;y) là hàm y Pp: Đặt: u= => y=u.x (x≠0) =>y’=u’x+u x y Pt trở thành: u’x+u=f(1; ) u’x+u=f(1; u) => u’x= f(1; u) -u x du du dx x = f(1; u) -u => = là pt phân li dx f(1;u)-u x Ngoài f(1; u) -u =0 cho nghiệm kì dị DẠNG 3: pt đƣa pt y’=f ( a1x+b1y+c1 ) a2x+b2y+c2 Pp: ● Nếu C12+C22 =0 => C1=C2=0 → PT a1 b1 ● Nếu a2 b2 =0 , a1x+b1y=k(a2x+b2y) Đặt a2x+b2y = z 2 C1 +C2 =0 x=x1+k Xét a1 b1 Đặt y=y +l a2 b2 a1k+b1l+c1=0 a1x1+b1y1+a1k+b1l+c1 y’ = f a x +b y +a k+b l+c xác định k & l : vào pt => pt 2 a2k+b2l+c2=0 2 DẠNG 4: Pt vi phân toàn phần: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 ∂M ∂N Pp: ĐK để là pt vi phân toàn phần là = với (x,y) thuộc TXĐ ∂y ∂x Nghiệm pt là: u(x,y) = C x y x y Với u(x,y)= M(x,y)dx + N(xo,y)dy , u(x,y)= M(x,yo)dx+ N(x,y)dy, xo;yo là điểm tùy ý xo yo yo xo DẠNG 5: Thừa số tích phân Nếu M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 chưa thỏa ∂M ∂N = đó nhân vế với hàm µ ∂y ∂x µ.M(x,y)dx + µ.N(x,y)dy =0 tìm µ: theo ĐK toàn phần ∂(µM) ∂(µN) ∂µ ∂M ∂µ ∂N ∂µ ∂µ ∂M ∂N = M + µ= N+ µ ∂ ∂y - ∂x = N - M ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂M ∂N ∂lnµ ∂lnµ = -M => = N - M là pt vi phân đạo hàm riêng ∂y ∂x µ∂x µ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂M ∂N ∂µ ∂M ∂N ∂lnµ ∂lnµ ∂y ∂x Xét ● TH1: µ= µ(x) → =0 → = N → = ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x N ∂M ∂N ∂M ∂N ∂y ∂x dx ∂y ∂x lnµ= dx => µ= ℮ N N ● TH2: µ= µ(y) tương tự ∂lnµ ∂N ∂M = → ∂y ∂x ∂y ∂N ∂M ∂x ∂y dy µ=℮ M (2) DẠNG 6: Phƣơng trình vi phân tuyến tính: y’+p(x).y=q(x) - P(x)dx P(x)dx dx+C ℮ Pp: xát định P(x) và q(x) => nghiệm TQ là y= q(x).℮ DẠNG 7: pt bécnuly: y’+P(x).y=q(x).y α α=1 Pp: α=0 ta pt vi phân α≠0 chia vế pt cho yα α≠1 Pt: yα.y’+P(x).y1-α=q(x) Đặt z=y1-α dz z’ =(1-α).y-α y’ => y-α y’= dx 1-α z’ Thế vào pt +P(x).z=q(x) 1-α z’+(1-α).P(x).z=(1-α).q(x) là pt vi phân DẠNG 8: pt lagrăng y=g(y’).x+h(y’) Pp: đặt y’=p pt: y=g(p)x+h(p) dp dp y’=g’(p) x+g(p)+h’(p) dx dx dp p-g(p)= [g’(p).x+h’(p)] coi x là hàm p dx dx x.g’(p)+h’(p) = tìm x qua p dp p-g(p) Còn y=g(p)x+b(p) x=A(p) Đường cong tìm cho dạng tham số y=y(p).A(p)+h(p) DẠNG 10: pt klêrô y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt lagrăng Pp: đặt y’=p PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƢỢC DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chứa x Pp: tích phân liên tiếp lần DẠNG 2: y”=f(x,y) vế phải không chứa y Pp: Đặt y’= P=> y’=f(x,p) là pt cấp 1, hàm phải tìm là P(x) DẠNG 3: y’=f(y,y”) vế phải không chứa x Pp: đặt y’=P coi P là hàm y y”x2=P’y.y’x=P’P vào PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Dạng: a1(x)y”+a2(x)y’+a3(x)y=g(x) (a1(x)y”≠0) Vì a1(x)≠0 nên pt viết lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phân không Khi f(x)=0 thì pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG DẠNG pt không cấp hệ số hằng: y”+Py’+qy=f(x) Pp: xét pt tn y”+Py’+qy=0 Xét pt đặc trưng: k2+pk+q=0 (*) k1x k2x ■Tìm nghiệm : (*) có no pb k1,k2 thì y =C1e +C2e k1x (*) có no kép k1,2 thì y =C1e +x.C2e k2x (*) có no phức k=α+-ιβ => y =eαx (C1cosβx+C2sinβx) (*) có no phức k=α+-ιβ => y =eαx (C1cosβx+C2sinβx)+eαx(C3cosβx+C4sinβx) ■Tìm nghiệm riêng y* nghiệm TQ là y= y +y* Có cách tìm y* (3) C’1y1+C’2y2=0 ●Cách 1: tìm nghiệm y*=C1(x)y1+C2(x)y2 đó C1(x), C2(x) là nghiệm hệ C’1y’1+C’2y’2=f(x) ●Cách 2: Dùng f(x) đặt biệt Có trường hợp ▪TH1: f(x)=℮αx.P(x) α≠k1, k2 => y*=℮αx.Q(x) α≡ no đơn => y*= x℮αx.Q(x) α≡ k1≡k2 => y*=x2℮αx.Q(x) bậc Q(x)=P(x) ▪TH2: f(x)= eαx (P1(x)cosβx+P2(x)sinβx) Xét α+-ιβ α+-ιβ không trùng với nghiệm (*) =>y*=eαx (Q1(x)cosβx+Q2(x)sinβx), Q1(x);Q2(x)là đa thức bậc bậc lớn P1(x) và P2(x) α+-ιβ≡ với nghiệm (*) => y*=x.eαx (Q1(x)cosβx+Q2(x)sinβx) ■ (4)