Bài giảng phương trình vi phân

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN-TIN HỌC Tiến sĩ Nguyễn Thanh Vũ Niên khóa 2009-2010 PT Vi Phân - Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài 1 ĐỊNH NGHĨA Giả sử U ⊂ \n , V ⊂ \n k ∈ ` o Khi đó, C k (U ,V ) tập hợp tất hàm U → V có đạo hàm bậc k liên tục Ngoài ra, ký hiệu C (U ,V ) thường sử dụng thay cho C o (U ,V ) , ký hiệu C k (U ) thay cho C k (U , \) Một phương trình vi phân ( ordinary differential equation ODE) hệ thức có dạng F (t , x , x (1) , x (2) , , x (n) ) = (1.1) Trong hàm cần tìm x ∈ C k (J) với J ⊂ \ , hàm F ∈ C (U ) với U tập mở \n+ x (k ) (t ) = d k x (t ) dt k Người ta thường gọi t independent variable x dependent variable — Một hàm φ gọi nghiệm phương trình vi phận (1.1) tồn khoảng I ⊂ J cho φ ∈ C k (I) F (t ,φ (t ), φ (1) (t ),φ (2) (t ), ,φ (k ) (t )) = với t ∈ I — Chúng ta quan tâm phương trình vi phân cấp có dạng tuyến tính có dạng sau x / = f (t , x ) (1.2) x hàm thực theo biến số t — Một phương trình với điều kiện đầu gọi toán điều kiện đầu (initial value problem IVP) Một thí dụ IVP ⎧⎪x / = x 2t ⎨ ⎪⎩x (0) = xo PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP THUẦN NHẤT 2.1 Định lý Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp x/ = p(t)x , p ∈ C(\) Gọi P nguyên hàm p(x) Khi đó, nghiệm tổng quát phương trình vi phân \ x(t) = CeP(t) C số tùy ý Chứng minh Giả sử P nguyên hàm p Nhân hai vế phương trình vi phân cho e-P(t)), ta suy e− P (t ) x '(t ) − p(t )e− P ( t ) x(t ) = (e − P (t ) ) / x(t ) = e− P ( t ) x(t ) = C với C số PT Vi Phân- Năm 3-Bài Vậy GV Nguyễn Thanh Vũ- 2008 x(t ) = Ce Trang P (t ) 2.2 Định lý Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp với điều kiện đầu ⎧x/ = p(t)x, ⎨ , ⎩x(to ) = xo p ∈ C(\) Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình vi phân \ ⎛t ⎞ x(t) = xo exp⎜ ∫ p(s)ds ⎟ ⎜t ⎟ ⎝o ⎠ C số tùy ý Bài tập: Chứng minh định lý 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP KHƠNG THUẦN NHẤT 3.1 Định lý Cho phương trình vi phân vi phân tuyến tính cấp 1khơng với điều kiện đầu ⎧x/ = p(t)x + q(t), ⎨ ) ⎩x(to ) = xo p, q hàm liên tục \ Nghiệm tổng quát phương trình \ ⎛t ⎞ t ⎛t ⎞ x(t) = xo exp⎜ ∫ p(s)ds ⎟ + ∫ exp⎜ ∫ p(r)dr ⎟q(s)ds ⎜t ⎟ t ⎠ ⎝o ⎠ o ⎝s BÀI TẬP Bài tập: Chứng minh định lý 3.1 Tiến sĩ Nguyễn Thanh Vũ, 73 đường số 3, cư xá Lữ Gia, phường 15, quận 11, TP.HCM Điện thoại: 38639.462 Email nguyenthanhvu60@gmail.com _ Sinh viên vui lịng thường xun coi thơng báo web www.math.hcmuns.edu.vn/~ntvu www.nguyenthanhvu.com Phương trình vi phân –Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN x’=f(t,x) Bài PHƯƠNG TRÌNH AUTONOMOUS — Xét phương trình vi phân cấp có dạng sau ⎪⎧x / = f (x ), ⎨ ⎪⎩x (0) = xo x hàm thực theo biến số t f hàm liên tục theo biến số x Phương trình (2.1) gọi phương trình autonomous cấp (2.1) — Trong trường hợp f (xo ) ≠ phương trình (2.1) giải sau: Tồn khoảng (x1, x2 ) chứa xo cho f(x) khác khỏang t Do đó, t x' ∫ f (x )ds = ∫ 1ds 0 t Đặt F (x ) = ∫ x hay ∫ xo dx =t f (x ) dx , phương trình trở thành F (x ) = t f (x ) Ta thấy F đơn điệu nghiêm cách lân cận xo nên tồn ( nhất) hàm số ngược φ = F −1 Ta có φ (t ) = F −1(t ) φ (0) = F −1(0) = xo Vậy φ nghiệm phương trình (2.1) lân cận xo Bài tập 3,4,5 Bài tập Xét phương trình (2.1) Giả sử tồn khoảng (x1, x2 ) chứa xo cho f(x) dương khỏang Gọi t1 = F (x1) t = F (x ) Hãy chứng minh phương trình (2.1) có nghiệm khoảng (t1,t ) Bài tập Hãy giải toán điền kiện đầu (IVP) sau ⎧⎪x / = x , ⎨ ⎪⎩x (0) = Bài tập Hãy giải toán điền kiện đầu (IVP) sau ⎧⎪x / = x , ⎨ ⎪⎩x (0) = Phương trình vi phân- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 Trang ÔN ÁNH XẠ CO 2.1 MỆNH ĐỀ — Một khơng gian định chuẩn có tính chất đầy đủ ( dãy Cauchy hội tụ) gọi không gian Banach — Giả sử I đoạn đóng [a,b] C (I, \m ) với chuẩn sup không gian Banach C (I,Bδ (xo )) tập đóng khác rỗng C (I, \m ) , { } Bδ (xo ) = x ∈ \m | x − xo ≤ δ 2.2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM CỐ ĐỊNH ( NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO) Cho X không gian Banach Giả sử K: X → X ánh xạ co, nghĩa tồn số θ ∈ [0,1) thỏa K (x ) − K (y ) ≤ θ x − y với x , y ∈ X Khi đó, tồn x ∈ X thỏa K (x ) = x i) ii) K n (x ) − x ≤ θn K (x ) − x với x ∈ X 1− θ Chú thích ký hiệu: K n (x ) = K (K n −1(x )) 2.3 ĐỊNH LÝ Weissinger K o (x ) = x ∞ Cho không gian Banach X chuỗi số thực ( dương) Giả sử K: X → X ánh xạ thỏa tính chất K n (x ) − K n (y ) ≤ θn x − y ∑ θn < ∞ n =1 với x , y ∈ X Khi đó, tồn x ∈ X thỏa i) K (x ) = x ⎛ ∞ ⎞ ii) K n (x ) − x ≤ ⎜ ∑ θ i ⎟ K (x ) − x ⎜ ⎟ ⎝ i =n ⎠ với x ∈ X SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH x / = f (t , x ) Xét toán điều kiện đầu (IVP) sau ⎧⎪x / = f (t , x ), ⎨ ⎪⎩x (to ) = to (2.2) f ∈ C (U, \) với U tập mở \2 (to , xo ) ∈ U Bài tốn IVP (2.2) tương đương với phương trình tích phân sau x (t ) = xo + Đặt K (x )(t ) = xo + t t ∫ f (s, x (s))ds (2.3) to ∫ f (s, x (s))ds Ta chứng minh ánh xạ K có điểm bất động to Giả sử tồn T>0, δ >0, L>0 thỏa • V = [to − T ,to + T ]xBδ (xo ) ⊂ U với Bδ (xo ) = [xo −,δ , xo + δ ] • f (t , x ) − f (t , y ) ≤ L x − y với (t , x ),(t , y ) ∈V Phương trình vi phân –Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang { δ} Đặt M = sup f (t , x ) , To = T , (t ,x )∈V M X= C ([to − To ,to + To ],Bδ (xo )) Ta thấy K ánh xạ từ X tới X K (x )(t ) − xo ≤ t ∫ f (s, x (s))ds ≤ t − to M ≤ To M ≤ δ với t ∈ [to − To ,to + To ] to Với x, y ∈ X, t ∈ [to − To ,to + To ] ta có t ∫ f (s, x (s)) − f (s, y (s))ds K (x )(t ) − K (y )(t ) = to t ∫ f (s, x (s)) − f (s, y (s))ds K (x )(t ) − K (y )(t ) ≤ to K (x )(t ) − K (y )(t ) ≤ L t ∫ x (s) − y (s) ds to K (x )(t ) − K (y )(t ) ≤ L t − to x − y X với x − y X = sup s −to ≤To x (s ) − y (s) Suy K 2(x )(t ) − K 2(y )(t ) ≤ t ∫ f (s,K (x )(s)) − f (s,K (y )(s))ds to K 2(x )(t ) − K 2(y )(t ) ≤ L t ∫ K (x )(s) − K (y )(s)ds to K 2(x )(t ) − K 2(y )(t ) ≤ L t ∫ L s − to to x − y X ds L2 t − to K (x )(t ) − K (y )(t ) ≤ x −y X Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh 2 Ln t − to K (x )(t ) − K (y )(t ) ≤ n! n n n n Suy K (x ) − K (y ) ∞ LT n ( o) ∑ n =1 n! X n LTo ) ( ≤ n! n x −y X x −y X 0 cho φ (t ) nghiệm (2.2) khoảng ( t1, t2 + ε ) ii) Giả sử Trang lim (t , φ (t )) = ( t1, y ) ∈ U t →t1 Khi đó, tồn ε >0 cho φ (t ) nghiệm (2.2) khoảng ( t1 − ε , t2 ) Bài tập 8: Hãy chứng minh bổ đề 4.1 4.2 BỔ ĐỀ Xét tóan (2.2) với f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương theo x U Giả sử φ (t ) nghiệm (2.2) xác định khoảng chứa to ( t1, t2 ) i) Giả sử với t2 > to , tồn tập compact [to , t2 ] x B ⊂ U cho φ (t ) ∈ B t ∈ [to , t2 ] với Khi đó, nghiệm φ (t ) tồn ( to , +∞ ) ii) Tương tự cho t1 Bài tập 9: Phát biểu bổ đề 4.2.ii Bài tập 10: Hãy chứng minh bổ đề 4.2 Tiến sĩ Nguyễn Thanh Vũ, 73 đường số 3, cư xá Lữ Gia, phường 15, quận 11, TP.HCM Điện thoại: 38639.462 Email nguyenthanhvu60@gmail.com _ Sinh viên vui lòng thường xuyên coi thơng báo web www.math.hcmuns.edu.vn/~ntvu www.nguyenthanhvu.com Phương trình vi phân-Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 Trang HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Bài GIỚI THIỆU 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH — Coi hệ thống gồm phương trình vi phận tuyến tính bậc ⎧⎪ x1/ = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + f1 (t ) ⎨ / ⎪⎩ x2 = a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 + f (t ) Các hàm số aij gọi hệ số Nếu dùng ký hiệu ma trận hệ phương trình sau / ⎡ x1/ ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ f1 ⎤ + ⎢ ⎥ hay ⎢ /⎥=⎢ ⎢ x ⎥ = ⎢a a ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ f ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎢ x2 ⎦⎥ ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ f ⎦ ⎡x ⎤ ⎡f ⎤ ⎡a a ⎤ Nếu ký hiệu x= ⎢ ⎥ , A= ⎢ 11 12 ⎥ f = ⎢ ⎥ , (P) trở thành x / =Av+f ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ f2 ⎦ ⎣ x2 ⎦ G G G G G Nếu ghi x thay cho x, f thay cho f phương trình x / =Ax+f ⎧ x ' = y + 2t ⎧ x ' = x + y +2t Thí dụ: Hệ phương trình ⎨ tương đương với ⎨ ⎩ y ' = 4tx + y + ⎩ y ' = 4tx ⎡ x ' ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 2t ⎤ Do dạng ma trận hệ phương trình ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ ⎣ y ' ⎦ ⎣ 4t 0⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ ⎦ — Nếu xét hệ thống gồm n phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, ta có ký hiệu sau: / ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ a a ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ f ⎥ G G G 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 21 + ⎢ ⎥ hay x / =Ax+f ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ xn ⎦ ⎣ an1 ann ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ f n ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎡ a11 a1n ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ a a ⎥ G ⎢ f2 ⎥ G ⎢ 2⎥ 21 2n ⎥ ⎢ = (aij ) ° x= A= , f =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ an1 ann ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ fn ⎦ ° Tòan hệ số aij hàm số liên tục khoảng I ° Tòan hàm số f i hàm số liên tục khoảng I 1.2 BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU — Xét phương trình vi phân có điều kiện đầu IVP G G G ⎧⎪ x / = A(t )x + f (t ), G ⎨G ⎪⎩ x(t o )=ξ Trong đó: (3.1) Phương trình vi phân - Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 • A ∈ C (I, M n (\)) với I khỏang \ M n (\) tập hợp ma trận thực vuông cấp n Trang ⎛ x1 ⎞ ⎛ f1 ⎞ ⎛ ξ1 ⎞ ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ x f ξ G • x = ⎜ ⎟ , f = ⎜ ⎟ , ξ = ⎜ ⎟ ma trận nx1 ( n hàng cột) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎝ fn ⎠ ⎝ ξn ⎠ G • f ∈ C (I, \ n ) • to ∈ I G G — Khi f=0 phương trình (3.1) trở thành phương trình G/ G ⎪⎧ x = A(t )x , (3.2) G ⎨G ⎪⎩ x(t o )=ξ — Trong trường hợp khơng có điều kiện đầu ta có hai phương trình sau G G G x / = A(t )x + f (t ) (3.3) G/ G x = A(t )x (3.4) MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM 2.1 Định lý Bài toán IVP (3.1) ln có nghiệm I Bài tập: a) Cho [a,b] ∈ I t o ∈ [a,b] , chứng minh tóan IVP (3.1) có nghiệm [a,b] b) Cho I=\ , chứng minh tóan IVP (3.1) có nghiệm \ 2.2 Định lý Xét toán IVP (3.2) G G Giả sử ξ = Khi v ≡ (a,b) Bài tập: Hãy chứng minh định lý 2.2 2.3 Định lý Giả sử v1, v2,…, vk nghiệm I phương trình (3.4) Khi đó, tổ hợp tuyến tính v1, v2,…, vk nghiệm I phương trình Bài tập: Hãy chứng minh định lý 2.3 2.4 Định lý G G G G G G Xét V=[v1 , v , , v n ] với v1 , v , , v n nghiệm I phương trình (3.4) Cho t o ∈ I Định thức Wonskian định nghĩa WX =det(X) Khi đó: ⎛t ⎞ i) WX (t)=WX (t o )exp ⎜ ∫ tr(A)(s)ds ⎟ với t ∈ I ⎜t ⎟ ⎝o ⎠ ii) WX (t) khác với t ∈ I WX (t) với t ∈ I Chú thích: tr(A)=a11 + a22 + + ann Bài tập: Chứng minh định lý 2.4 Phương trình vi phân-Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 Trang 10 2.5 Định lý Giả sử v1, v2,…, nghiệm xác định I phương trình (3.4) Cho t1 thuộc I Khi đó, hàm vec tơ v1, v2,…, độc lập tuyến tính vec tơ v1(t1), v2(t1),…, vn(t1) độc lập tuyến tính Bài tập: Hãy chứng minh định lý 2.5 2.6 Định lý Gọi S tập hợp tất nghiệm I phương trình (3.4) Khi i) S khơng gian vectơ trường vơ hướng \ có chiều n ii) Giả sử v1, v2,…, nghiệm độc lập tuyến tính (3.4) Lúc đó, nghiệm tổng qt phương trình (3.4) có dạng tổ hợp tuyến tính hàm vec tơ v1, v2,…, : x= c1v1+c2 v2+… +cnvn c1,c2,…, cn số thực Chú thích: G G G Nếu v1 , v , , v n nghiệm độc lập tuyến tính xác định I phương trình G G G (3.4), người ta ký hiệu ma trận V=[v1 , v , , v n ] G G Khi nghiệm phương trình (3.4) có dạng x=Vc ⎡c1 ⎤ ⎢ ⎥ G c c = ⎢ ⎥ với c1,c2,…, cn số ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣cn ⎦ Ma trận V gọi ma trận nghiệm sở phương trình (3.4) Bài tập: Chứng minh định lý 2.6 Hướng dẫn - Chứng minh S không gian vectơ \ - Chứng minh S tồn n phần tử độc lập tuyến tính - Chứng minh n phần tử sở S 2.7 Định lý Xét phương trình (3.4) Giả sử v1, v2,…, vn, nghiệm I hệ phương trình ma trận V=[v1, v2,…, ] Khi đó, phát biểu (i)-(iii) tương đương: Các hàm vec tơ v1, v2,…, độc lập tuyến tính (i) det V(t) ≠ với t ∈ I (ii) det V(t) ≠ với t ∈ I (iii) Bài tập: Chứng minh định lý 2.7 2.8 Định lý Cho V=[v1, v2,…, ] ma trận nghiệm sở phương trình (3.4) Khi nghiệm tốn IVP (3.2) G G x(t)=V(t)V -1 (to )ξ Bài tập: Chứng minh định lý 2.8 2.9 Định lý G Giả sử xo nghiệm tổng quát phương trình (3.4) G x p nghiệm phương trình khơng (3.3) Nghiệm tổng qt phương trình khơng (3.3) G G G x = xo + x p Phương trình vi phân - Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Bài tập: Chứng minh định lý 2.9 ⎧⎪ x1/ = x2 + Thí dụ: ⎨ / ⎪⎩ x2 = − x1 + ⎛ ⎞ G ⎛1 ⎞ G G G Ta có x / = A(t )x + f (t ) với A= ⎜ ⎟ , f= ⎜ ⎟ ⎝ -1 ⎠ ⎝ 2⎠ Trang 11 G ⎛ cos(t ) sin(t) ⎞ ⎛ c1 ⎞ G G Phương trình x / = Ax có nghiệm x o = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ -sin(t) cos(t) ⎠⎝ c2 ⎠ ⎛ 2⎞ G G G G Phương trình x / = A(t )x + f (t ) có nghiệm đặc biệt x p = ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ G/ G G Nghiệm tổng quát x = A(t )x + f (t ) ⎛ c cos(t ) + c2sin(t)+2 ⎞ G G G x = xo + x p = ⎜ ⎟ ⎝ -c1sin(t) + c2cos(t) -1⎠ 2.10 Định lý Giả sử V ma trận nghiệm sở phương trình (3.4) τ ∈ I Nghiệm tổng qt phương trình khơng (3.3) t G G G x (t ) = V (t )c + V (t ) ∫ V −1 ( s ) f ( s )ds τ G c ma trận Chứng minh G G Nghiệm tổng quát ( 3.4) x (t ) = V (t )c Ta tìm nghiệm đặc biệt (3.3) dạng v=Vz Thế v=Vz vào (3.3) ta V’z+Vz’= A(Vz)+f, hay AVz+Vz’= AVz+f hay Vz’= f Do z’=V-1 f Một nghiệm đặc biệt (3.4) t z(t)= ∫τ V-1(s)f(s)ds Suy kết cần chứng minh 2.11 Định lý Giả sử V ma trận nghiệm sở phương trình (3.4) Nghiệm toán IVP (3.1) t G G G x (t ) = V (t )V −1 (to )ξ + V (t ) ∫ V −1 ( s) f ( s)ds to Chứng minh Từ công thức nghiệm định lý 2.10, chọn τ = to cho t= to G G τ G ξ = V (τ )c + ∫ V −1 ( s) f ( s )ds v( τ )= V( τ )c + τ G G Do c = V −1 (τ )ξ Suy công thức nghiệm cần chứng minh PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n τ ∫τ V-1(s)f(s)ds hay v0= V( τ )c+ Phương trình vi phân-Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 Trang 12 x ( n ) + an−1 (t ) x( n−1) + + ao (t ) x = b(t ) Ta đưa hệ phương trình vi phân cấp sau Đặt y1 (t)=x(t) , y (t)=x'(t) ,…, y n (t)=x (n-1) (t) Ta có hệ phương trình ⎧ y1/ = y ⎪ ⎪ y 2/ = y3 ⎪ ⎨# ⎪ / ⎪ y n-1 = y n ⎪ / ⎩ yn = − a0 y1 − a1y − " − an−1y n + b Hệ thống trở thành G G G y = A(t )y + f (t ) ⎛0 " ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 0 " ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ G # ⎜ ⎟ Trong A = # f (t ) = ⎜ ⎟ # # " # ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 " ⎟ ⎝b⎠ ⎜ -a -a -a " -a ⎟ n-1 ⎠ ⎝ G G G Dựa vào tính chất nghiệm phương trình y = A(t )y + f (t ) , người ta chứng minh định lý tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp cao _ BÀI TẬP 1) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣-2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ Hướng dẫn 0−λ det(A- λ I) = 0−λ = (2 − λ )(λ − 1) -2 2-λ (2 − λ )(λ − 1) =0 ⇔ λ = V λ = V λ = −1 — Với trị riêng λ =2, ta có phương trình vectơ riêng ⎡ -2b1 +b2 + ⎤ ⎡ 0⎤ ⎡m ⎤ ⎡ -2 0⎤ ⎡b1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ -2 1⎥ ⎢b ⎥ = ⎢0⎥ ⇔ ⎢ -2b + b ⎥ = ⎢ 0⎥ ⇔ b = ⎢ 2m ⎥ với m số thực 3⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ -2b1 +b2 + ⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎦ ⎢⎣ 4m ⎥⎦ ⎢⎣ -2 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ T Chọn vectơ riêng [1,2,4] — Tương tự, với trị riêng λ =1, ta tìm vectơ riêng [1,1,1]T Với trị riêng λ =-1, ta tìm vectơ riêng [1,-1,1]T Do nghiệm tổng quát hệ phương trình Phương trình vi phân - Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 ⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ 2t t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v(t)= c1 e + c2 e + c3 ⎢ −1⎥ e − t hay ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ Trang 13 ⎡e e ⎤ ⎡ c1 ⎤ e ⎢ 2t t ⎥ v(t)= ⎢ 2e e − e − t ⎥ ⎢ c2 ⎥ ⎢ ⎥ −t ⎥ ⎢ 4e t e t ⎢ ⎥ e ⎣ ⎦ ⎣ c3 ⎦ 2t t −t c1,c2,c3 số thực 2) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / ⎡ x1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ -1 -1 0⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ -1 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ Hướng dẫn 0⎤ ⎡ 1-λ ⎢ ⎥ = −(λ + 1)(λ + 1) det(A- λ I) = -1 -1-λ ⎢ ⎥ -1-λ ⎥⎦ ⎢⎣ −(λ + 1)(λ + 1) =0 ⇔ λ = i V λ = −i V λ = −1 — Với trị riêng λ =i, ta có phương trình vectơ riêng ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ (1 + i )m ⎤ ⎡ 1-i ⎢ ⎥ ⎥ với m số thực ⎢ -1 ⎥ ⎢ ⎥ -1-i b2 = ⇔ b = ⎢ − m ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ -1-i ⎥⎦ ⎢⎣ b3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎢⎣ Chọn vectơ riêng [1+i,-1,1]T Ta có ⎡ (1 + i )eit ⎤ ⎡ (1 + i )(cos t + i sin t ) ⎤ ⎡ cos t − sin t ⎤ ⎡ cos t + sin t ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +i ⎢ − sin t ⎥ ⎥ = ⎢ − cos t eλt b= ⎢ − eit ⎥ = ⎢ −(cos t + i sin t ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ eit ⎥ ⎢ (cos t + i sin t ) ⎥⎦ ⎢⎣sin t ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ cos t ⎣ ⎣ ⎦ — Tương tự, với trị riêng λ =-1, ta tìm vectơ riêng [0,0,1]T Do đó, nghiệm tổng quát phương trình ⎡cos t − sin t ⎤ ⎡cos t + sin t ⎤ ⎡ 0⎤ −t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v(t)= c1 − cos t + c − sin t +c e ⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣cos t ⎥⎦ ⎢⎣sin t ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ c1,c2,c3 số thực 3) Hãy chứng minh định lý 3.3 Hướng dẫn - Trứơc hết chứng minh b vectơ riêng ứng với trị riêng λ : (A- λ I)b=(A- λ I) (A- λ I)c=(A- λ I)2c=(0I) c=0 - Chứng minh v2 nghiệm: A v2- v2’= eλt (t Ab+ Ac)- eλt [ λ (tb+ c)+ b]= eλt [ t (Ab- λ b)+ Ac c)+ Ac- λ c- b]=0 - Chứng minh v1 v2 độc lập tuyến tính 4) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / ⎡ x1 ⎤ ⎡ -2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢2 -3 ⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ Hướng dẫn ⎡1-λ -2 ⎤ = (λ + 1)2 det(A- λ I) = ⎢ ⎥ ⎣ -3-λ ⎦ Phương trình (λ + 1)2 =0 có nghiệm kép λ =2 Phương trình vi phân-Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 Ta thấy A ≠ -I nên áp dụng định lý 3.3 ⎡ -2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ Chọn c= ⎢ ⎥ có Ac= ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ≠ c ⎣ 0⎦ ⎣ -3 ⎦ ⎣ 0⎦ ⎣ ⎦ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ ⎤ b= Ac-(-1)c= ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣0⎦ ⎣ ⎦ —Do đó, nghiệm tổng quát phương trình Trang 14 ⎡2⎤ ⎡ 2t + 1⎤ v(t)= c1e − t ⎢ ⎥ + c2 eλt ⎢ ⎥ ⎣2⎦ ⎣ 2t ⎦ c1,c2 số thực 5) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / ⎡ x1 ⎤ ⎡ -1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 -1⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ x3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ x3 ⎦⎥ Hướng dẫn ⎡ 2-λ -1 ⎤ 2-λ -1⎥ = (λ − 2) (1 − λ ) det(A- λ I) = ⎢ ⎢ ⎥ 1-λ ⎥⎦ ⎢⎣ Phương trình (λ − 2) (1 − λ ) =0 có nghiệm đơn λ1 =1 nghiệm kép λ2 =2 — Với trị riêng λ =1, ta có phương trình vectơ riêng ⎡m⎤ ⎡1 -1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ -1⎥ ⎢ b ⎥ = ⎢0⎥ ⇔ b = ⎢ m ⎥ với m số thực ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ b3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎢⎣ 0 Chọn vectơ riêng [1,1,1]T — Với trị riêng kép λ2 =2, ta có phương trình vectơ riêng -1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ −b1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ (*) -1 b2 = ⇔ ⎢ −b2 ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −b3 ⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ -1⎦⎥ ⎣⎢ b3 ⎦⎥ ⎣⎢0⎦⎥ với b1, b2, b3, số thực tùy ý Ta chọn hai vectơ riêng độc lập tuyến tính cho tổ hợp tuyến tính chúng vectơ riêng ứng với λ =2 Đó ⎡1 ⎤ ⎡ 0⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b2= b3= , c1 + c2 ⎢1 ⎥ = ⎢ c2 ⎥ thỏa (*) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥ ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢ 0 — Vậy nghiệm tổng quát phương trình ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ 0⎤ t ⎢ ⎥ 2t ⎢ ⎥ 2t ⎢ ⎥ v(t)= c1e + c2 e + c3e ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢1⎦⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥ hay ⎡ et ⎢ v(t)= ⎢ et ⎢ et ⎣ e t ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎥ e2 t ⎥ ⎢ c2 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ c3 ⎥⎦ c1,c2,c3 số thực T T T Câu hỏi: Tại nghiệm et [1 1] , e t [1 0] , e2 t [0 0] độc lập tuyến tính? ⎡a b ⎤ 6) Cho A= ⎢ ⎥ ma trận vuông cấp Hãy chứng minh phương trình đặc trưng ma ⎣c d ⎦ trân λ -tr(A) λ +det(A)=0 Phương trình vi phân - Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang 15 Chú thích: ° Phương trình đặc trưng ( charateristic equation) ma trân A: det(A - λ I)=0 ° Tr(A)=a+d ( trace of A) 7) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau ⎧⎪ x = c1 + 4c2 et , ⎧ x ' = x − y, Đáp số: ⎨ ⎨ t ⎩ y ' = x − y ⎪⎩ y = c1 − 3c2 e 8) Hãy tìm nghiệm hệ phương trình sau ⎧ x ' = x + y, với x(0)=1 y(0)=0 ⎨ ⎩ y ' = x − y t −4 t ⎧ ⎪⎪ x = e + e , Đáp số: ⎨ ⎪ y = e t − e −4 t ⎪⎩ 8 9) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / ⎡ x1 ⎤ ⎡ -1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 (0) ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎤ ⎡t ⎤ = ⎢ ⎥ Đáp số: ⎢ ⎥ = e −2 t ⎢ ; ⎢ ⎢ x ⎥ = ⎢-1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ -3⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ x2 (0) ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣1 − t ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 10) Hãy tìm nghiệm hệ phương trình sau ⎧⎪ x = c1e3t + c2 e − t , ⎧ x ' = x + y, Đáp số: ⎨ ⎨ 3t −t ⎩ y ' = x + y ⎪⎩ y = c1e − c2 e 11) Hãy viết dạng ma trận phương trình vi phân x ''+ x '− x = 3t 12) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / 2t e t sin 3t ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ e cos 3t ⎡ x1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x1 ⎤ Đáp số: ⎢ ⎥ = ⎢ t ⎥⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢-3 ⎥ ⎢ x ⎥ 2t ⎦⎣ 2⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ − e sin 3t e cos 3t ⎦ ⎣ c2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 13) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / 1+t ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡x ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1 Đáp số: ⎢ ⎥ = e3t ⎢ ⎢ x ⎥ = ⎢-1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎣ −1 -t ⎦ ⎣ c2 ⎦ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 14) Hãy tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sau / 1⎤ ⎡ t+ ⎥ ⎡ c1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ -4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ 3t ⎢1 Đáp số: ⎢ ⎥ = e ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ -1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ c ⎦⎣ 2⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ t ⎦⎣ 2⎦ ⎣1 15) Hãy tìm nghiệm tổng quát (- ∞ ,+ ∞ ) hệ phương trình / −t ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ − e ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢1 ⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎣ e − t ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ Hướng dẫn cách Hệ phương trình tương ứng / ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ t −t ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ e e Nghiệm tổng quát hệ phương trình ⎢ ⎥ = ⎢ t ⎥⎢ ⎥ -e − t ⎦ ⎣ c2 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ e Ta tìm nghiệm đặc biệt hệ phương trình khơng dạng t −t ⎧⎪ x1 = et w1 + e − t w2 ⎤ ⎡ w1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ e e = hay ⎨ ⎥⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ t −t t -e − t ⎦ ⎣ w2 ⎦ ⎪⎩ x2 = e w1 − e w2 ⎣ ⎦ ⎣e với w1 w2 biến thiên theo t Thế nghiệm dạng vào hệ phương trình đề ta Phương trình vi phân-Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 Trang 16 / ⎡ et -e − t ⎤ ⎡ w1 ⎤ ⎡ et e − t ⎤ ⎡ w1 ⎤ ⎡ et w1 -e − t w2 ⎤ ⎡ − e − t ⎤ ⎢ /⎥=⎢ t ⎥ + ⎢ −t ⎥ ⎢ t ⎥+⎢ t −t ⎥ ⎢ −t ⎥ −t ⎣ e e ⎦ ⎣ w2 ⎦ ⎣ e -e ⎦ ⎣⎢ w2 ⎦⎥ ⎣ e w1 e w2 ⎦ ⎣ e ⎦ / ⎧⎪ et w1/ + e − t w2/ = − e − t ⎪⎧ w1 = ⎪⎧ w1 = Do ⎨ t / hay Chọn ⎨ ⎨ / −t / −t ⎪⎩ w2 = −1 ⎪⎩ w2 = −t ⎪⎩ e w1 -e w2 = e Nghiệm đặc biệt ⎡ x1p ⎤ ⎡ et e − t ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −te − t ⎤ ⎢ ⎥=⎢ t ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ -e − t ⎦ ⎣ −t ⎦ ⎣ te − t ⎦ ⎢⎣ x2 p ⎥⎦ ⎣ e Vậy nghiệm tổng quát hệ nghiệm nơi đề t −t ⎤ ⎡ w1 ⎤ ⎡ −te − t ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ e e = ⎥ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎢x ⎥ ⎢ t -e − t ⎦ ⎣ w2 ⎦ ⎣ te − t ⎦ ⎣ ⎦ ⎣e Hướng dẫn cách 2: Hãy áp dụng định lý GV Nguyễn Thanh Vũ, 73 đường số 3, cư xá Lữ Gia, phường 15, quận 11, TP.HCM Điện thoại: 38639.462 Email nguyenthanhvu60@gmail.com _ Sinh viên vui lịng thường xun coi thơng báo web www.nguyenthanhvu.com Phương trình vi phân- Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang 17 HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP VÀ HÀM MŨ Bài GIỚI THIỆU 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH — Xét phương trình vi phân có điều kiện đầu IVP G/ G G ⎪⎧ x = Ax + f (t ), G ⎨G ⎪⎩ x(t o )=ξ (4.1) Trong đó: • A=(a ij ) ma trận vng cấp n với toàn a ij số thực ⎛ x1 ⎞ ⎛ f1 ⎞ ⎛ ξ1 ⎞ ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ x f ξ G • x = ⎜ ⎟ , f = ⎜ ⎟ , ξ = ⎜ ⎟ ma trận nx1 ( n hàng cột) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎝ fn ⎠ ⎝ ξn ⎠ G • f ∈ C (I, \ n ) • to ∈ I G G — Khi f=0 phương trình (3.1) trở thành phương trình ⎧⎪ xG / = AxG , (4.2) G ⎨G ⎪⎩ x(t o )=ξ — Trong trường hợp khơng có điều kiện đầu ta có hai phương trình sau G G G x / = Ax + f (t ) (4.3) G/ G x = Ax (4.4) 1.2 HÀM MŨ — Với t a số thực, ta có ∞ aktk k=0 k! — Với A=(a ij ) ma trận vuông cấp n với toàn a ij số thực, ta có định nghĩa exp(at ) = eat = ∑ ∞ exp( At ) = e At = ∑ k=0 Ak t k k! ⎛2 ⎞ Thí dụ Với A = ⎜ ⎟ , ta có ⎝ 3⎠ k −1 ⎞ ⎛ 2k ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ k A =⎜ ⎟ A = ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ 2⎟ k-1 ⎟ k ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Phương trình vi phân 3-Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 ⎛ 2k t k ∞ ∞ ⎛2 ∞ ⎜ ⎞ 2k t k Ak t k ⎜ k! Do exp( At ) = ∑ = ∑ ⎜⎜ = ⎟ ∑ k ⎟ ⎠ k! k=0 k! k =0 ⎝ k =0 ⎜ ⎜0 ⎝ — Hàm mũ ma trận có số tính chất k (e ) At / Trang 18 ⎞ ⎟ ⎛ e 2t ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ 3k t k ⎟ ⎜⎝ e3t ⎟⎠ ⎟ k! ⎠ = Ae At eA(s+t) =eAs eAt ( eAt ) -1 =e-At ⎛1 ⎞ ⎛0 1⎞ Nhưng e(A+B)t không e At eBt Chẳng hạn A= ⎜ ⎟ B= ⎜ ⎟ ⎝0 2⎠ ⎝0 0⎠ ⎛ e t ⎞ Bt ⎛ t ⎞ (A+B)t ⎛ e t e2t -e t ⎞ (A+B)t ≠ eAt e Bt eAt = ⎜⎜ = ⎜⎜ ⎟ , e =⎜ ⎟ e ⎟, e 2t ⎟ 2t ⎟ e e ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ NGHIỆM G G Ta tìm nghiệm đặc biệt phương trình (4.4) dạng v / = eλt b , G b vectơ λ số G G G G Thế v / = eλt b vào v/ = Av ta λ e − λt b= eλt Ab ⇔ λ b=Ab ⇔ (A- λ I)b=0 Do đó, λ mà ta cần tìm trị riêng ( eigenvalue) ma trận A G Vectơ b mà ta cần tìm vectơ riêng (eigenvector) ma trận A ứng với trị riêng λ 2.1 Định lý Giả sử ma trận A có n trị riêng phân biệt λ1 , λ2 ,…, λn Gọi bi vectơ riêng ma trận A ứng với trị riêng λi (i=1,…,n) Khi đó: (i) Ma trận V=[ eλ1t b1, eλ2t b2,…, eλnt bn] ma trận nghiệm sở phương trình (4.4) (ii) Nghiệm tổng qt phương trình (4.4) có dạng x(t)= c1 eλ1t b1+ c2 eλ2t b2+…+ cn eλnt bn c1,c2,…, cn số thực Chú thích ( V=(b1 b " b n )exp ( diag ( λ1, λ2 ," , λn ) t ) = (b1 b " b n )diag eλ1t , eλ2t ," , eλnt ) Bài tập: Chứng minh định lý 2.1 2.2 Định lý Giả sử ma trận A có trị riêng phức λ Gọi b vectơ riêng ma trận A ứng với trị riêng Khi đó: (i) v1(t)= Re[ eλt b] v2(t)= Im[ eλt b] hai nghiệm độc lập tuyến tính (4.4) (ii) Giả sử ma trận A có thêm trị riêng thực λ / vectơ riêng tương ứng b’ Lúc đó, / v3(t)= eλ t b’, v1(t), v2(t) nghiệm độc lập tuyến tính (4.4) Bài tập: Chứng minh định lý 2.2 Phương trình vi phân- Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang 19 Trường hợp phương trình det(A - λ I) =0 có nghiệm bội trình bày khác Lúc phải dùng nhiều kiến thức đại số tuyến tính HÀM MŨ VÀ NGHIỆM 3.1 Định lý Nghiệm tổng quát I phương trình (4.4) G G G x = eAt c với c ma trận Bài tập: Hãy chứng minh định lý 3.1 3.2 Định lý Nghiệm I toán IVP (4.1) G G x = eA(t-t o )ξ Bài tập: Hãy chứng minh định lý 3.2 3.3 Định lý Ma trận eAt ma trận nghiệm sở phương trình (4.4) Bài tập: Hãy chứng minh định lý 3.3 3.4 Định lý Cho τ ∈ I Nghiệm phương trình khơng (4.3) t G G G x (t ) = eAt c + ∫ eA(t-s) f ( s )ds τ G Trong c ma trận Bài tập: Hãy chứng minh định lý 3.4 3.5 Định lý Nghiệm toán IVP (4.1) G G t G x (t ) = eA(t-t o )ξ + ∫ eA(t-s) f ( s )ds to Bài tập: Hãy chứng minh định lý 3.5 3.6 Thí dụ ⎧⎪ x / =2x1 Coi hệ phương trình ⎨ / ⎪⎩ x2 =3x ⎛ 2k ⎞ ⎛ 0⎞ k ⎜ ⎟ Do Ta có A = ⎜ Suy A = ⎟ ⎜ 3k ⎟ ⎝0 3⎠ ⎝ ⎠ k k ⎛2 t ⎞ ⎟ k k ∞ ∞ ⎜ ⎛ e2t ⎞ At k! At ⎜ ⎟ =∑ =⎜ e =∑ ⎟ 3k t k ⎟ ⎜⎝ e3t ⎟⎠ k=0 k! k=0 ⎜ ⎜0 ⎟ k! ⎠ ⎝ Phương trình vi phân 3-Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009 2t ⎛e ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎛ e2t c1 ⎞ G At G ⎟ ⎜ ⎟ Nghiệm x = e c = =⎜ ⎜ e3t ⎟ ⎜⎝ c2 ⎟⎠ ⎜ e3t c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 3.7 Thí dụ ⎧⎪ x / =x Coi hệ phương trình ⎨ / ⎪⎩ x2 =-x1 ⎛0 1⎞ ⎛1 ⎞ Ta có A = ⎜ ⎟ Suy A = − ⎜ ⎟ = − I , A = − A , A = I ⎝ -1 ⎠ ⎝ 1⎠ Do A2k = (−1)k I , A2 k +1 = (−1) k A ∞ ⎞ ⎛ (−1) k t 2k+1 ⎞ I + ⎟ ∑⎜ ⎟ A k=0 k=0 ⎝ (2k+1)! ⎠ ⎠ ⎛ cos(t ) sin(t) ⎞ e At =cos(t)I + sin(t ) A = ⎜ ⎟ ⎝ -sin(t) cos(t) ⎠ G G ⎛ cos(t ) sin(t) ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎛ c1 cos(t ) + c2sin(t) ⎞ Nghiệm x = eAt c = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ -sin(t) cos(t) ⎠ ⎝ c2 ⎠ ⎝ -c1sin(t) + c2 cos(t) ⎠ ∞ e At = ∑ ∞ ⎛ (−1) k t 2k Ak t k = ∑⎜ k! k=0 ⎝ (2k)! 3.8 Thí dụ ⎛2 0 ⎞ G/ G Coi phương trình x = A(t )x với A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 0 -1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 0 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Ta có A2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 42 ⎟ … ⎟ ⎜ 0 -1⎟⎜ 0 -1⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ 0 (-1) ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2k 0 ⎞ ⎜ ⎟ Suy Ak = ⎜ 4k ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 (-1)k ⎟ ⎝ ⎠ Do ⎛ 2k t k ⎞ 0 ⎜ ⎟ ⎜ k! ⎟ ⎛ e 2t 0 ⎞ ⎟ k k k k ∞ ∞ ⎜ ⎟ ⎜ A t t e At = ∑ ⎟ = ⎜ e4t ⎟ = ∑ ⎜0 k! ⎟ ⎟ ⎜ k=0 k! k=0 ⎜ e-t ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜0 ⎠ (−1)t ⎟ ⎝ ⎜0 ⎜ ⎟ k! ⎠ ⎝ ⎛ e2t c1 ⎞ ⎛ e2t 0 ⎞ c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ G G ⎜ ⎜ ⎟ Nghiệm x = eAt c = ⎜ e4t ⎟ ⎜ c2 ⎟ = ⎜ e4t c2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 e-t ⎟ ⎝ c3 ⎠ ⎜ e-t c3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3.9 Bài tập: Với A, B ∈ M n (\) t ∈ \ , chứng minh (i)-(iii) tương đương: i) AB = BA ii) e At B = Be At Trang 20 Phương trình vi phân- Năm 3- Bài At Bt iii) e e Bt At =e e =e GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Trang 21 ( A+ B )t 3.10 Thí dụ ⎛ λ1 " ⎞ ⎜ ⎟ λ2 " ⎟ A = QJQ −1 Các hệ số ma Cho Q ma trận khả nghịch , J = ⎜ ⎜# # ⎟ # ⎜ ⎟ ⎝ 0 " λn ⎠ trận Q,J,A số G G Hãy tìm nghiệm phương trình x / = Ax Hướng dẫn G G x / = Ax G G x / = QJQ −1x G G Q-1x / = JQ −1x / G ⎡ Q-1xG ⎤ = J[Q −1x] ⎣ ⎦ G G y / = J y với G G y = Q −1x ⎛ eλ1 " ⎞ ⎟G G ⎜ G y=eJt c= ⎜ eλ2 " ⎟ c ⎜ ⎟ ⎜ 0 " eλ n ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ eλ1 " ⎞ ⎟G G G ⎜ x=Qy=Q ⎜ eλ2 " ⎟ c ⎜ ⎟ ⎜ 0 " eλ n ⎟ ⎝ ⎠ GV Nguyễn Thanh Vũ, 73 đường số 3, cư xá Lữ Gia, phường 15, quận 11, TP.HCM Điện thoại: 38639.462 Email nguyenthanhvu60@gmail.com _ Sinh viên vui lịng thường xun coi thơng báo web www.nguyenthanhvu.com www.math.hcmuns.edu.vn/~ntvu Bài LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ... cơng thức nghiệm cần chứng minh PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n τ ∫τ V-1(s)f(s)ds hay v0= V( τ )c+ Phương trình vi phân- Năm 3- Bài GV Nguyễn Thanh Vũ- 2009... nghiệm tổng quát phương trình (3.4) G x p nghiệm phương trình khơng (3.3) Nghiệm tổng qt phương trình khơng (3.3) G G G x = xo + x p Phương trình vi phân - Bài GV Nguyễn Thanh Vũ - 2009 Bài tập: Chứng... exp⎜ ∫ p(s)ds ⎟ ⎜t ⎟ ⎝o ⎠ C số tùy ý Bài tập: Chứng minh định lý 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP KHƠNG THUẦN NHẤT 3.1 Định lý Cho phương trình vi phân vi phân tuyến tính cấp 1khơng với điều