Bài giảng Toán cao cấp - Bài 5: Phương trình vi phân - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Trong thực tế, khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc ở dạng hàm số giữa các đối tượng đó, [r]

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Các kiến thức cần có

Các bạn cần có kiến thức phép tính đạo hàm vi phân (bài 2), sơ lược hàm nhiều biến (bài 4)

Mục tiêu Thời lượng

 Nắm khái niệm phương trình vi phân

 Làm tập phương trình vi phân

Bài trình bày tiết lý thuyết tiết tập

Nội dung

Bài giới thiệu với bạn khái niệm phương trình vi phân nói chung số vấn đề biểu diễn nghiệm, phương pháp giải số loại phương trình vi phân cấp một, cấp hai đặc biệt

Hướng dẫn học

5.1. Các khái niệm

5.1.1. Các khái niệm chung phương trình vi phân

Trong thực tế, nghiên cứu phụ thuộc lẫn đối tượng, nhiều thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số đối tượng đó, mà thiết lập mối liên hệ đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, với đạo hàm tích phân hàm số chưa biết Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ viết dạng phương trình có chứa đạo hàm, phương trình vi phân

5.1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân

Định nghĩa:

Phương trình vi phân phương trình xuất biến số, hàm số cần tìm đạo hàm (vi phân) cấp hàm số

Trong giáo trình này, xét phương trình vi phân hàm số cần tìm hàm số biến số Loại phương trình gọi phương trình vi phân thường, mà ta hay gọi tắt phương trình vi phân

Ví dụ 1:

Sau số phương trình vi phân thường:

a) y 'x2xy2y xuất biến số x, hàm số cần tìm y(x) đạo hàm y '(x) a) xdy (y x )dx2 0 xuất biến số x, hàm số y vi phân dx, dy

b)

2 d y

axy

dx   xuất biến số x, hàm số y, vi phân cấp hai

2 d y dx

5.1.1.2. Cấp phương trình vi phân

Định nghĩa:

Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm vi phân hàm số cần tìm xuất phương trình

Ví dụ 2:

c) y 'x2xy2y phương trình cấp phương trình có chứa đạo hàm cấp y '

b) xdy (y x )dx2 0 phương trình cấp phương trình xuất vi phân cấp dy hàm số cần tìm

c)

2 d y

axy

dx   phương trình cấp hai vi phân cấp hai có mặt phương trình Định nghĩa:

Phương trình vi phân thường cấp n phương trình có dạng: (n )

5.1.1.3. Nghiệm phương trình vi phân

Định nghĩa:

Nghiệm phương trình vi phân (5.1) hàm số (x) xác định khoảng  a, b , cho thay y (x), y ' '(x), , y(n )  (n )(x) vào (5.1) ta đồng thức

(n)

F x, (x), '(x), ,    (x)0

Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm phương trình

5.1.2. Phương trình vi phân cấp

Phương trình vi phân cấp cho dạng sau  Dạng tổng quát: F x, y,dy

dx

  

 

  , F(x, y, y ')0  Dạng giải đạo hàm: y ' dy f (x, y)

dx

   Dạng đối xứng: M(x, y)dx N(x, y)dy 0 

Ta thấy dễ dàng chuyển đổi hai dạng phương trình vi phân: Dạng đối xứng giải đạo hàm

5.1.2.1. Nghiệm tích phân phương trình vi phân cấp

Trong phần trước biết hàm số (x) gọi nghiệm phương trình vi phân cấp đồng thức F(x, (x), (x)) 0   nghiệm Tuy nhiên có trường hợp ta không giải cụ thể hàm số y (x), mà nghiệm phương trình lại tìm dạng:

(x, y)

  (5.2) Trong trường hợp này, phương trình (5.2) gọi tích phân phương trình vi phân

Ví dụ 3:

 Phương trình y ' y có nghiệm yCex, C số Ta dễ kiểm tra

được x

y 'Ce y

 Phương trình ydy xdx 0  có tích phân x2y2 C, C số dương

5.1.2.2. Nghiệm tổng quát nghiệm riêng Tích phân tổng quát tích phân riêng

Ta xét phương trình đơn giản y' f (x) , phương trình vi phân cấp cho dạng giải đạo hàm vế phải khuyết y Trong 3, ta biết nghiệm phương trình yf (x)dx, biểu thức nghiệm có mặt số C Nghiệm phương trình vi phân cấp đưa việc lấy tích phân bất định, nghiệm có mặt số C :

Định nghĩa:

Họ hàm số y (x, C) gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp với số C, C thuộc khoảng I, hàm số (x, C) tương ứng nghiệm phương trình Mỗi nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát gán cho C giá trị xác định gọi nghiệm riêng phương trình

Định nghĩa:

Nghiệm tổng quát phương trình vi phân viết dạng hàm ẩn (x, y,C) 0  gọi tích phân tổng qt phương trình Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định C gọi tích phân riêng phương trình

Ví dụ 4:

a) Phương trình y' x có nghiệm tổng quát x

y C

2   Nghiệm

2 x y

2 

 nghiệm riêng phương trình ứng với C

 a) Phương trình y dy2 xdx0 có tích phân tổng quát

3

y x

C   Với C1 ta có tích phân riêng 2y33x2 6

5.1.2.3. Bài tốn Cauchy

Xét phương trình vi phân cấp cho dạng:

dy

y ' f (x, y)

dx   (5.3)

Bài tốn tìm nghiệm riêng phương trình (5.3) thoả mãn điều kiện:

0

y(x )y (5.4) gọi toán Cauchy Điều kiện (5.4) gọi điều kiện ban đầu

Ta thừa nhận định lý sau tính tồn nghiệm toán Cauchy Định lý:

Giả sử hàm số f (x, y) xác định liên tục lân cận U điểm M (x , y )0 0 tồn số K0 cho:

2 1

f (x, y ) f (x, y ) K y y , (x, y ),(x, y ) U

Khi tồn giá trị  0 đủ nhỏ cho khoảng (x0 , x0 ), tồn nghiệm y (x) phương trình (5.3) thoả mãn điều kiện ban đầu (5.4)

5.2. Một số phương trình vi phân cấp cầu phương

5.2.1. Phương trình phân ly biến số

Phương trình phân ly biến số có dạng: f (x)dxg(y)dy Lấy tích phân hai vế ta được:

f (x)dx g(y)dyF(x)G(y) C

trong F(x) nguyên hàm f (x) , G(y) nguyên hàm g(y) Các phương trình khuyết y 'f (x) y 'f (y) phương trình phân ly biến số Ví dụ 5:

Giải phương trình vi phân sau: a) (1 x)dy  (1 y)dx

Nhận xét:

y1 x 1 hai nghiệm phương trình Khi y 1, x  1, ta biến đổi tương đương

dy dx

(1 x)dy (1 y)dx

y x

     

 

Lấy tích phân hai vế ta có:

ln y ln C ln x (x 1)(y 1) C

        

Rõ ràng x 1, y 1 tích phân riêng ứng với C0 Vậy tích phân tổng quát phương trình ban đầu (x 1)(y 1)  C

b) y ' cos y sin y cos x sin x

  

  (*)

Nhận xét:

Nghiệm y phương trình cos y sin y  0 nghiệm phương trình vi phân xét

cos y sin y cos y y 2k y 2k

4 4

  

 

               

 

Vậy y 2k

4



   , k nghiệm phương trình (*)

Khi:y 2k

4



   , ta có: (*)

2

dy dx dy dx

y x

cos y sin y cos x sin x sin cos

2 8

    

 

   

     

   

   

Lấy nguyên hàm hai vế ta cotg y tg x C

2 8

 

     

   

   

Vậy phương trình cho có nghiệm y 2k , k



     tích phân tổng quát:

y x

cotg tg C

2 8

 

     

   

CHÚ Ý :

Phương trình dạng dy f (ax by)

dx   đưa phương trình phân ly biến số

cách đổi biến Thật vậy, đặt zax by   z ' a by ', ta có phương trình vi phân đối

với x, z :z ' a f (z) z ' bf (z) a b

    

1.

5.2.2. Phương trình (phương trình đẳng cấp)

Phương trình phương trình có dạng:

y y ' f

x

 

    (5.5) Đặt yux, u(x) hàm số x Ta có:

du

y ' xu ' u f (u) x f (u) u dx

       Nếu f (u) u , ta có du dx

f (u) u  x , phương trình phân ly biến số  Nếu f (u) u phương trình (5.5) có dạng y ' y

x

 , nghiệm tổng quát yCx

 Nếu f (u) u có nghiệm uu0 ta có yu x0 nghiệm (5.5) Ví dụ 6:

Giải phương trình vi phân a) xy ' x siny y

x

 

Đặt y xu  y' xu ' u Thay vào phương trình ta được: x(xu ' u) x sin uxuxu 'sin u

Ta thấy sin u    0 u k , k thoả mãn xu 'sin u Do y k x nghiệm phương trình ban đầu

Nếu sin u0, ta có:

du dx u y

ln tg ln x ln C tg Cx

sin u  x     2x

b) (x2y)dxxdy0 y(1) 2

Đặt y xu dyxdu udx , thay vào phương trình ta được:

(x2xu)dxx(udxxdu) 0 x(1 u)dx x du

dx du

ln x ln C ln u u Cx x u 1       

y(1)  2 u(1) 2, nên C 1 Vậy nghiệm phương trình xét là:

y  x x

5.2.3. Phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính cấp có dạng: y ' p(x)y q(x)

trong p(x), q(x) hàm số liên tục Phương trình tuyến tính gọi q(x)0, không q(x)0

Để giải phương trình tuyến tính, ta chia làm ba bước:  Bước 1: Giải phương trình tương ứng:

y ' p(x)y 0

Đây phương trình dạng phân ly biến số, ta giải yCep( x )dx  Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhất:

y ' p(x)y q(x)

Nghiệm tìm dạng y* C(x)ep(x )dx Ở đây, ta coi C hàm số x Thay nghiệm y* vào phương trình ta được:

  p( x )dx p( x )dx

C '(x) p(x)C(x) e  p(x)C(x)e q(x)

CHÚ Ý:

Phương trình dạng:

1 1

1 2

2 2

a x b y c

dy

f ;(a b a b )

dx a x b y c

   

   

 

  (5.6)

có thể đưa phương trình cách đổi biến Thật vậy, a b1 2 a b2 1 nên

hệ phương trình

1

2 2

a x b y c

a x b y c

  



   



có nghiệm (x0,y0) Sử dụng phép đổi biến xx0u y, y0v, ta có

dxdu,dydv

a x1 b y c1  1 a u1 b v a x1  1 0b y1 0 c1 a u1 b v1

a x2 b y c2  2 a u2 b v a x2  2 0b y2 0c2 a u2 b v2

Phương trình (5.6) trở thành 1

2

a u b v

dv f

du a u b v

  

   

  Đây phương trình vi phân

đối với biến số u hàm số vv(u)

Suy ra:C '(x)q(x)ep(x )dx C(x)q(x)ep(x)dxdx

 Bước 3: Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính ban đầu *

y y y

Như nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính khơng tổng nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính tương ứng cộng với nghiệm riêng phương trình khơng

Ví dụ 7:

Giải phương trình vi phân a)

(x 1)y ' xy  x

Giải phương trình tương ứng:

2

2

dy x

(x 1)y ' xy dx ln y ln C ln(x 1)

y x

         



Suy ra:

2

C y

x





Dễ thấy nghiệm riêng phương trình khơng y*  1, nghiệm phương trình xét là: *

2

C

y y y

x

    

Nếu toán yêu cầu tìm nghiệm phương trình thoả mãn y(0)2 ta tìm C3 Nghiệm phương trình với điều kiện ban đầu là:

2

y

x

 

 b) y ' 1(2y xex 2e )x

x

  

Giải phương trình tương ứng: 2y dy 2dx

y ' ln y ln x ln C

x y x

     

Suy ra:yCx2

Tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng y*C(x)x2 Thay vào phương trình ta

x (x 2)e C '(x)

x 

 , suy ra:

x x

x

2

e e

C(x) e dx K

x x x

 

     

 



Với: K0, y* ex

5.2.4. Phương trình Bernoulli

Phương trình Bernoulli có dạng:

dy

p(x)y y q(x) dx



 

trong  số thực khác

Nếu  0 y0 nghiệm phương trình Bernoulli Khi y0 chia hai vế cho y, ta được:

1

dy

y p(x)y q(x)

dx

   

(5.7)

Đặt

zy, ta có:

dz dy

(1 )y

dx dx



   Thay vào (5.7) ta thu phương trình:

dz

(1 )p(x)z (1 )q(x) dx     

Đây phương trình tuyến tính hàm số z(x) Ví dụ 8:

Giải phương trình vi phân: y ' y x y2 x

  Đây phương trình Bernoulli với:  4

Ta thấy y0 nghiệm phương trình

Khi y0, chia hai vế phương trình cho y4, đặt zy3, ta phương trình

3

z ' z 3x x

  

 Giải phương trình tuyến tính nhất: 3

z ' z z Cx

x

   

 Tìm nghiệm riêng phương trình khơng

z ' z 3x x

   dạng

*

z C(x)x Thay vào phương trình ta C '(x) C(x) 3ln x x

      Vậy nghiệm riêng: *

z  3x ln x

Vậy phương trình cho có nghiệm: y 0 yx (C 3ln x )3  1/

5.2.5. Phương trình vi phân tồn phần

5.2.5.1. Phương trình vi phân tồn phần

Phương trình vi phân tồn phần phương trình có dạng:

trong M(x, y); N(x, y) hàm số liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D M N, (x, y) D

y x

   

 

Khi tồn hàm số u(x, y) cho du M(x, y)dx N(x, y)dy  , tức vế trái phương trình (5.8) biểu thức vi phân tồn phần Ta tìm hàm số

u(x, y) hai công thức sau đây:

0

y x

0

x y

u(x, y) M(x, y )dyQ(x, y)dy K

0

y x

0

x y

u(x, y) M(x, y)dyQ(x , y)dy K K số

Giải phương trình (5.8) ta cần lấy tích phân hai vế thu tích phân tổng quát: u(x, y)C

Ví dụ 9:

Giải phương trình vi phân:

a) (x y 1)dx(xy23)dy0 Vì:

2

(x y 1) (x y 3)

y x

      

  nên phương trình vi phân tồn phần

Chọn x0 y0 0, ta tìm được: y

x

2

0

x y

u(x, y) (x 1)dx (x y 3)dy x xy 3y

2

         

Vậy tích phân tổng quát phương trình cho là:

2

x y

x xy 3y C

2      b) xycos(xy) sin(xy) dx x cos(xy)dy   0

Vì:  

2

2 x cos(xy)

xy cos(xy) sin(xy)

2x cos(xy) x y sin(xy)

y x

 



   

  

 

nên phương trình vi phân tồn phần Chọn x0 1, y0 0 ta có:

y

y

0

u(x, y)x cos(xy)dyx sin(xy) x sin(xy) Vậy tích phân tổng qt phương trình cho là: x sin(xy)C

5.2.5.2. Phương pháp thừa số tích phân