Skkn ứng dụng hệ thức vi ét giải các dạng toán của phương trình bậc hai

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI CÁC DẠNG TỐN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI” Phần mở đầu 1.1 Lý chọn sáng kiến Trong chương trình Đại số hệ thức Vi-ét nội dung quan trọng ln có dạng tốn với thang điểm lớn nằm đề kiểm tra học kì kỳ thi vào lớp 10 hay vào trường chuyên lớp chọn Trong tài liệu tham khảo viết chung chung nên học sinh lúng túng học phần Sau nhiều năm dạy lớp 9, kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi, sưu tập thêm tài liệu tơi phân chia ứng dụng hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng vận dụng linh hoạt gặp dạng toán Hệ thức Vi-ét ứng dụng rộng vào tập đặc biệt dạng phương trình bậc hai ẩn Vì để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng dạy giáo viên nên chia thành nhiều dạng ứng dụng phân chia thời gian dạy nội dung phải thích hợp Đặc biệt trình giáo viên ơn tập ơn thi cho học sinh vào lớp 10 Từ cách nghĩ cách làm tơi nảy sinh việc viết sáng kiến “Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải dạng toán phương trình bậc hai” chương trình Tốn 1.2 Điểm sáng kiến Đưa phương pháp, cách vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải dạng toán thực tế Với dạng tốn có liên quan đến hệ thức Vi-ét đưa cách giải tổng quát nhằm giúp học sinh giải vấn đề toán cách đơn giản Phần nội dung 2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu Như nói trên, loại tốn có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn khó có nhiều dạng tốn Để làm tốt dạng tốn địi hỏi học sinh cần: - Xác định hệ số a; b (hoặc b’); c - Tính  (hoặc ') - Biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm dạng tổng tích hai nghiệm - Vận dụng hệ thức Vi-ét skkn Page - Khi dạy hệ thức Vi-ét, chương trình thời lượng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung sách giáo khoa mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể sách giáo khoa sách tập số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề kiểm tra học kỳ đề tuyển sinh vào lớp 10 Do kết học tập học sinh tập hệ thức Vi-ét thường không cao giáo viên khơng có tập hợp xếp đầy đủ khoa học - Trong năm học trước sau hồn thành việc giảng dạy ơn tập toán hệ thức Vi-ét chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, nhận thấy đa số học sinh thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi-ét đề kiểm tra học kỳ đề tuyển sinh vào lớp 10 Nguyên nhân: - Học sinh không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Học sinh làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập 2.2 Các giải pháp 2.2.1 Ôn tập lí thuyết * Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( ) Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 =  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - * Định lí Vi-ét: (đảo) skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Nếu hai số u, v thỏa mãn hai số hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P 0) 2.2.2 Các dạng toán phương pháp giải Dạng toán 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn *Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( ), ta áp dụng nhận xét sau: + Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 =  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - + Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước:  Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x x2  Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n - b, ta chuyển sang bước  Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n  Chú ý: Thuật toán có tính dừng hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu khơng tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm * Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai a) 2x2 - 3x + = b) x2 - 2x - = c) x2 + 5x + = Giải a) 2x2 - 3x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = + (-3) + = Do phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = b) x2 - 2x - = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-2) + (-3) = Do phương trình có nghiệm x1 = - 1, x2 = - c) x2 + 5x + = Ta thấy Do phương trình có hai nghiệm x x2 thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Dạng tốn 2: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn * Phương pháp: Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có nghiệm hay khơng (tức kiểm tra có thỏa mãn khơng) * Ví dụ 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 3x2 - 8x + = b) x2 + 4x + = Giải a) 3x2 - 8x + = (a = 0, b = -8, c = 2) Ta có: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b) x2 + 4x + = (a = Ta có: 0, b = 2b’ = 4, c = 4) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai * Ví dụ 2: Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m: x2 + 2(m+1)x + m2 = Giải x2 + 2(m+1)x + m2 = (a = 0, b = 2b’ =2(m+1), c = m2) Ta có: Để phương trình có nghiệm Vậy với , phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Dạng tốn 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm * Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét thức, ta có = Thay x1 = m vào hệ ta dùng hệ thức vào hệ thức, ta có ) cho biết Thay x1 = m * Ví dụ: a) Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + = có nghiệm x = tìm nghiệm x2, giá trị m tương ứng Giải a) x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai = = b) 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Mà x1 = nên suy ra: Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: = = Vậy x2 = 5, m = 11 Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng * Phương pháp: Nếu hai số u, v thỏa mãn hai số hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (1)  Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P được: 0) ta * Ví dụ : Tìm hai số u v biết: u + v = 32, u.v = 231; Giải Ta có u + v = 32, u.v = 231 Do u v nghiệm phương trình: x2 - 32x + 231 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Vậy u = 21, v = 11 u = 11, v = 21 Dạng tốn 5: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai * Phương pháp: Biểu thức đối xứng nghiệm x x2 phương trình ax2 + bx + c = ( ) biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 x2 Ta thực theo bước:  Bước 1: Xét biệt thức biệt x1, x2 (hoặc ) phương trình có hai nghiệm phân  Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S x1x2 = P phương trình, thay vào biểu thức Chú ý: Một số phép biến đổi: * Ví dụ Cho phương trình x2 + mx + = (m tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m x1.x2 = a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - b) x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- nên = Dạng toán 6: Tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số * Phương pháp: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( ) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số * Ví dụ Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình x2 – 2mx + 2m - = có: với m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta S – P = vào m) x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc * Ví dụ Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số ) Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải : Do phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có: Ta có (2)  6x1x2 = + (3) Cộng vế theo vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Vi-ét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 Dạng tốn 7: Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước * Phương pháp: Ta thực theo bước sau:  Bước 1: Tìm điều kiện tham số (giả sử tham số m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức cho ) Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai  Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được:  Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thơng qua hệ (I) để tìm m  Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện trả lời * Ví dụ Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = a) Với giá trị m phương trình có nghiệm b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, tính tổng bình phương hai nghiệm phương trình theo m Giải a) Phương trình có nghiệm (đúng với m) Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm b) Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Theo bài, ta có hệ thức: = (II) Thay (I) vào (II), ta có: * Ví dụ Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Theo bài: (3) Giả hệ gồm (1) (3), ta được: Thay x1 = 5, x2 = vào (2), ta có: 5.1 = m m = (thỏa mãn điều kiện) Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Vậy với m = * Ví dụ Cho phương trình: (1) (với ẩn ) a) Giải phương trình (1) m =1 b) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Giải a) Khi m = ta có phương trình x2 – 4x + = Giải phương trình b) Ta có với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt * Ví dụ Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (có ẩn số x) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ y = Giải a) Ta có với m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Theo bài: y = = (3) Thay (1) (2) vào (3), ta có: y= Vì với m nên suy y = Dấu “=” xảy Vậy ymin = Dạng toán 8: Xét dấu nghiệm * Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( ) dựa kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 10 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai - Phương trình có hai nghiệm dấu - Phương trình có hai nghiệm dương - Phương trình có hai nghiệm âm * Ví dụ Tìm điều kiện m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải: Ta có: Do phương trình ln có nghiệm với m a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu P < hay m - <  m < b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khơng có giá trị m thoả mãn d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối Phương trình có hai nghiệm đối Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 11 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai  - 2m =  m= Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết a) b) Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ  Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta x1 = 1; x2 = Vậy (x ; y) b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x -y nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = giải ta x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) Thực chất dạng ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ 2: Giải hệ a) b) Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ S = , P = S = -3; P = Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = X2 + 3X + =0 Vậy (x ; y) b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau: suy S, P nghiệm phương trình X2 - X - = Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 12 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Giải ta x1= -1; x2 = Từ ta có Vậy (x ; y) Hệ thức Viét đảo ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào toán chứng minh khác Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc Chứng minh rằng: a , b > 0, c > b2 + c2 2a2 Giải: Từ a + b + c = abc  b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nên b, c nghiệm phương trình: Ta có  =(a3 - a)2 - 4a2 X2 - (a3 - a)X + a2 = 0  (a2 - 1)2  a2 Khi b+ c = a( a2 - 1) > bc = a2 > nên 3a ( a > 0) b > 0, c > Ví dụ 4: Cho a, b, c ba số khác đôi c Chứng minh hai phương trình x2 + ax + bc = (1) x2 + bx + ca = (2) có nghiệm chung nghiệm khác phương trình thoả mãn phương trình x2 + cx + ab = Giải: Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1 x2) Ta có: ( a - b)(x0 - c) =  x0 = c ( a b) Áp dụng định lý Viét vào phương trình (1) phương trình (2) ta có:  Do x1, x2 nghiệm phương trình x2 + cx + ab = ( phương trình ln có nghiệm = c2 - 4ab = (a + b)2 - 4ab = (a - b)2 > 0) *) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Khơng giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - 3x + = Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 13 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai b) 2x2 - x+4=0 Bài tập 2: Tìm m để phương trình x4 - mx2 + m -1 = có: a) Bốn nghiệm phân biệt b) Ba nghiệm phân biệt c) Hai nghiệm phân biệt Bài tập 3: Cho phương trình x2 + 4x + = có hai nghiệm x1 x2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x12 + x22 x12 - x22 Bài tập 4: Cho phương trình x2 - mx + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn a) x1 - x2 = b) x12 + x22 = 37 Bài tập 5: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x - m = a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu e) Tìm m để nhỏ Bài tập 6: Giải hệ a) b) c) Bài tập 7: Cho phương trình x2 - 3x + = Tính giá trị biểu thức A= (x1 nghiệm phương trình ) Bài tập 8: Cho phưong trình x2 - 3x - = với Tính giá trị biểu thức B= Bài tập 9: Tìm p, q để phương trình x2 + px + q = có nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài tập 10: Xác định a để phương trình x2 + ax + = có nghiệm x1, x2 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 14 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai thoả mãn: Bài tập 11: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương x1, x2 Chứng minh phương trình cx2 + bx + a = có hai nghiệm dương x3, x4 x1+ x2 + x3 + x4 2.2.3 Kết cụ thể: Qua kết khảo sát giáo viên năm học trước (năm học 2018-2019) Thời gian TSHS Từ trung bình trở lên Dưới trung bình Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Đầu năm 23 11 47,8 12 52,2 Cuối HK I 23 13 56,5 10 43,5 Cuối HK II 23 16 69,6 30,4 Phần kết luận 3.1 Ý nghĩa sáng kiến Trên sở phân tích, đối chiếu, so sánh, lần tơi khẳng định sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải dạng toán phương trình bậc hai” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường THCS Sáng kiến việc cần thiết phải phân dạng toán hệ thức Vi-ét việc ứng dụng đồng thời rõ phương pháp cụ thể để thực nội dung Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề hệ thức Vi-ét cách đầy đủ, hệ thống, khoa học Từ nâng cao chất lượng cho học sinh không giới hạn việc giải toán hệ thức Vi-ét mà cịn củng cố rèn luyện nhiều kiến thức tốn học khác Góp phần nâng cao kết cho học sinh kiểm tra học kì 2, kì thi vào THPT tạo tiền đề vững cho việc học toán sau em 3.2 Kiến nghị đề xuất Qua nhiều năm dạy toán 9, với đầu tư nghiên cứu thân, rút số kinh nghiệm sau: - Trong trình giảng dạy giáo viên cần phân dạng toán cho học sinh - Học sinh phải nắm vững phần lý thuyết - Làm tập từ dễ đến khó theo u cầu giáo viên Kiểm sốt hoạt động học tập học sinh đặc biệt học tập nhà Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 15 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai - Giáo viên cần giới thiệu cho học sinh loại sách chuyên đề để học sinh nghiên cứu thêm Trên sáng kiến đúc rút từ nghiên cứu, tìm tịi, sưu tầm tài liệu kinh nghiệm thân qua thực tế giảng dạy Để sáng kiến hay đầy đủ hơn, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp, quý thầy cô giáo hội đồng khoa học nhằm giúp tiến công tác giảng dạy việc thực giải pháp ngày hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 16 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Tài liệu tham khảo SGK, SBT Toán (Nhà xuất GD- 2005) Báo Toán học Tuổi trẻ Báo Toán tuổi thơ Các đề thi vào THPT, trường chuyên tỉnh Sách giáo khoa Toán (tập 2) - NXB giáo dục-2005 Sách Nâng cao phát triển Toán 9(tập 2) - NXB giáo dục-2005 - Vũ Hữu Bình - 2005 Sách Tốn nâng cao chuyên đề Đại số - NXB giáo dục-2005 - Vũ Dương Thuỵ - Nguyễn Ngọc Đạm Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS- Đại số- NXB giáo dục-2005 - Nguyễn Vũ Thanh Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 17 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Mục lục Phần mở đầu 1.1 Lý chọn sáng kiến kinh nghiệm …………………………….Trang 1.2 Điểm sáng kiến Trang Phần nội dung 2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu Trang đến Trang 2.2 Các giải pháp Trang đến Trang 15 Phần kết luận 3.1 Ý nghĩa sáng kiến Trang 15 3.2 Kiến nghị đề xuất Trang 15 đến Trang 16 Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo ……………………………………………… Trang 17 Mục lục Mục lục …………………………………………………………… Trang 18 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai skkn Page 18 Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai Skkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.haiSkkn.ung.dung.he.thuc.vi.et.giai.cac.dang.toan.cua.phuong.trinh.bac.hai