Trang 1 Chương 2: Lãi suất và giá trị tiền tệ theo thời gianI.LÃI ĐƠNI = PV x n x rFVn = PV x 1+ nrPV: Vốn gốc ban đầu.FVn: Số tiền nhận được sau n kì khoản.I: Tiền lãi hay lợi tức nhận
Chương 2: Lãi suất giá trị tiền tệ theo thời gian I LÃI ĐƠN I = PV x n x r FVn = PV x (1+ nr) PV: Vốn gốc ban đầu FVn: Số tiền nhận sau n kì khoản I: Tiền lãi hay lợi tức nhận r: Lãi suất n: số kì khoản Lưu ý: n r phải có tương thích, VD n tính theo ngày lãi suất phải tính theo ngày CHUYỂN ĐỔI LÃI SUẤT DANH NGHĨA Lãi suất ngày = LS tháng LS quý LS năm = = 30 90 360 CÁCH TÍNH SỐ NGÀY CHỊU LÃI CỦA MỘT NGHIỆP VỤ TÍN DỤNG NGẮN HẠN Tháng đầu (a) = Ngày cuối tháng – Ngày phát sinh + Các tháng (b) = Tính theo lịch Tháng cuối (c) = Ngày đáo hạn – (*) Tổng số ngày tính lãi (n) = (a) + (b) = (c) Chú thích (*): Ngày đáo hạn (cịn gọi đến hạn) khơng tính lãi gọi ngày ngân hàng CƠNG THỨC HỆ QUẢ Thời gian đầu tư cần thiết n= FV n −PV r x PV = I r x PV Lãi suất mong muốn r= FV n −PV n x PV = I n x PV LÃI SUẤT BÌNH QUÂN ĐỐI VỚI MỘT KHOẢN VAY TRONG NHIỀU ĐỊNH KÌ THAY ĐỔI LÃI SUẤT ´r =¿ r n 1+r n2 +…+ r n nn n 1+ n2+ …+nn II LÃI KÉP FVn = PV(1+r )n CÁC CÔNG THỨC HỆ QUẢ Khoản vốn ban đầu cần đầu tư: PV = FVn ( 1+r )−n FV n PV ln(1+r ) ln Thời gian đầu tư cần thiết: n = Suất chiết khấu mong muốn: r=n √ FV n −1 PV CHUYỂN ĐỔI LÃI SUẤT THỰC TƯƠNG ĐƯƠNG THEO THỜI ĐOẠN NGẮN VÀ DÀI Nếu gọi r1: Lãi suất thực thời đoạn ngắn (tháng, quý, tháng) r2: Lại suất thực thời đoạn dài (năm) n: số thời đoạn ngắn có thời đoạn dài Với ý nghĩa sử dụng r1 r2 cho giá trị đáo hạn sau thời hạn Phương trình FV = PV (1+r )n = PV (1+r )1 (1+r )n=(1+ r 2)1 r 2=(1+r )n−1 hay r 1= √n 1+r −1 LÃI SUẤT BÌNH QUÂN ´r = ∑ C i r i x 100% Ci ´r : Lại suất chiết khấu bình quân khoản vay (hay dự án) C i: Lượng tiền nguồn vốn thứ i r i : Lãi suất nguồn vốn thứ i GHÉP LÃI ĐỊNH KÌ m LẦN MỘT NĂM TRONG n NĂM ĐẦU TƯ (LÃI GỘP VỐN) Nếu tính lãi định kì hàng năm giá trị nhận sau n năm FV = PV (1+r )n Nếu ghép lãi với định kì nhỏ (chẳng hạn theo quý tháng sáu tháng, ngày, tuần, …) r m mx n FV = PV(1+ ) r: Lãi suất tính theo năm r : Lãi suất danh nghĩa tính theo định kì nhỏ m LÃI SUẤT HIỆU DỤNG (THỰC) CỦA MỘT KHOẢN VAY m r rhd = (1+ ) −¿1 m LÃI SUẤT TRUNG BÌNH TRONG LÃI KÉP Cơng thức tính giá trị trung bình n r =√ (1+r )n (1+r )2 …(1+ r k )n −1 k n1, n2, …, nk: thời gian đầu tư giai đoạn 1, 2, …, k n = n1 + n2 + n3 r1, r2, …, rk: lãi suất giai đoạn 1, 2, …, k Cơng thức tính giá trị đáo hạn đạt r =√n (1+r )n (1+r )2 …(1+ r k )n −1 k LÃI SUẤT THỰC BAO GỒM CHI PHÍ TRONG LÃI KÉP (LÃI SUẤT HIỆU NĂNG) rt = √ n FV n −1 PV −f f: chi phí vay vốn, lệ phí vay, chi phí phát hành, … n: thời gian vay III GIÁ TRỊ TIỀN TỆ THEO THỜI GIAN NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ CẤP SỐ NHÂN Số hạng tổng quát un un =u1 x qn−1 Tổng hữu hạn cấp số nhân n số hạng 1−q n Sn=u1 1−q Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Sn= u1 1−q GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU (KÝ HIỆU FVA n ) Đối với dịng tiền cuối kì FVA n=CF x (1+ r)n −1 r Đối với dòng tiền đầu kì n FVA n=CF x (1+ r) −1 x (1+r ) r HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU (KÝ HIỆU PVAn) Đối với dịng tiền cuối kì PVA n=CF x 1−(1+r )−n r Đối với dòng tiền đầu kì PVA n=CF x 1−(1+r )−n x (1+r ) r HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU MÃI MÃI (VĨNH CỮU) PVA ∞= CF r GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỔI TIỀN TỆ KHÔNG ĐỒNG ĐỀU n n FV =CF (1+r )1 +CF (1+r )2 +…+CF n ( 1+r ) =∑ CF i (1+r )i i=1 HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ KHÔNG ĐỒNG ĐỀU PV = n n CF CF CF n CF i + +…+ = = CF i (1+r )−i ∑ ∑ n i 1+ r ( 1+ r)2 ( 1+ r ) i=1 ( 1+ r ) i=1 Bài tập SV làm thêm chương (1) Bài 1: Một người cho vay 250 triệu đồng, lãi suất 10%/năm thời gian từ 1/5 đến 15/9 Tính khoản lãi mà người thu Tóm tắt PV = 250 000 000 đồng r = 10%/năm n = 137 ngày I = ? đồng Giải I = PV x n x r = 250 000 000 x 137 x 10 % = 514 000 đồng 360 Bài 2: Một người gửi vào ngân hàng 550 triệu đồng từ ngày 20/4 đến ngày 31/8 thu khoản lợi tức 14 630 000 đồng Xác định lãi suất tiền gửi Tóm tắt I = 14 630 000 đồng PV = 550 000 000 đồng n = 133 r=?% Giải I = PV x n x r (=) 14 630 000 = 550 000 000 x 133 x r r = 7.2%/ năm Bài 3: Ngày 1/6 công ty ABC vay ngân hàng 400 triệu đồng với lãi suất 10%/năm Khi đáo hạn công ty phải trả 408 triệu Biết ngân hàng áp dụng p/p tính lãi đơn, xác định ngày đáo hạn khoản vay Tóm tắt PV = 400 000 000 đồng FV = 408 000 000 đồng r = 10%/ năm n = ? Từ xác định ngày đáo hạn Giải n= FV n −PV = r x PV 408 000 000−400 000 000 10 % = 72 ngày x 400 000 000 360 Vậy ngày 12/8 ngày đáo hạn (1 tháng quy định 30 ngày) Bài 4: Công ty XYZ vay ngân hàng số tiền từ ngày 20/4 đến ngày 15/7 với lãi suất 9%/năm Khi đáo hạn, công ty phải trả vốn lẫn lãi 265 590 000 đồng Tính số tiền cơng ty vay? Tóm tắt n = 86 ngày r = 9%/năm FV = 265 590 000 đồng PV = ? đồng Giải FV = PV (1 + nr) (=) 265 590 000 = PV (1+ 86 x 9% ) 360 PV = 260 000 000 đồng Bài 5: Một công ty vay ngân hàng 405 triệu đồng từ ngày 1/8 đến ngày 12/10 Tính lợi tức mà cơng ty phải trả cho ngân hàng với lãi suất 9.36%/năm, 0.8%/tháng Tóm tắt PV = 405 000 000 đồng n = 72 ngày = 2.4 tháng = 0.2 năm I = ? (r= 9.36%/năm, r= 0.8%/tháng) Giải I = PV x n x r TH1: r = 9.36%/năm (=) I = 405 000 000 x 0.2 x 9.36% = 581 000 đồng TH2: r = 0.8%/tháng (=) I = 405 000 000 x 2.4 x 0.8% = 776 000 đồng Bài 6: Ngân hàng cho vay số tiền 300 triệu đồng Tính lãi đơn với mức lãi suất thay đổi sau: + 10%/năm từ 1/2 đến 6/4 + 11%/năm từ ngày 7/4 đến 20/6 + 10.5%/năm từ ngày 21/6 đến 28/7 + 9%/ năm từ ngày 29/7 đến ngày 15/9 Yêu cầu: a Xác định lãi suất trung bình khoản vốn cho vay trên? b Tính tổng lợi tức mà ngân hàng thu được? Giải ´r = r n1 +r n2 +…+r n n n n1 +n2 +…+ nn 10 % x = 65 75 38 48 +11 % x +10.5 % x +9% x 360 360 360 360 65+ 75+38+48 360 = 10.2% /năm I = I1 + I2 + I3 + I4 I1 = PV x n x r = 300 000 000 x 65 x 10% = 416 666 đồng 360 I2 = PV x n x r = 300 000 000 x 75 x 11% = 875 000 đồng 360 I3 = PV x n x r = 300 000 000 x 38 x 10.5% = 325 000 đồng 360 I4 = PV x n x r = 300 000 000 x 48 x 9% = 600 000 đồng 360 I = 19 216 000 đồng Bài 7: Tính tổng lợi tức thu từ khoản vay sau: Vốn vay (triệu đồng) 250 300 450 500 Thơi hạn vay 1/4 đến 20/6 5/5 đến 8/7 7/6 đến 11/8 9/7 đến 19/9 Với lãi suất 9%/năm: I1 = PV1 x n1 x r = 250 x 80 x 9% = 360 I2 = PV2 x n2 x r = 300 x 64 x 9% = 4.8 360 I3 = PV3 x n3 x r = 450 x 65 x 9% = 7.3125 360 I4 = PV4 x n4 x r = 500 x 72 x 9% = 360 I = 26.1125 Yêu cầu Với lãi suất vay: 9%/năm 0.8%/tháng Với lãi suất 0.8%/tháng: I1 = PV1 x n1 x r = 250 x 80 x 0.8% = 5.33333 30 I2 = PV2 x n2 x r = 300 x 64 x 0.8% = 5.12 30 I3 = PV3 x n3 x r = 450 x 65 x 0.8% = 7.8 30 I4 = PV4 x n4 x r = 500 x 72 x 0.8% = 9.6 30 I = 27.8533333 Bài 8: Tính tổng lợi tức thu từ khoản vay cho sau: Vốn vay (triệu đổng) 100 150 180 Lãi suất 0.84%/ tháng 9.72%/ năm 0.9%/ tháng I1 = PV1 x n1 x r1 = 100 x 138 x Thời hạn 138 ngày 68 ngày 75 ngày 0.84 % = 3.864 30 I2 = PV2 x n2 x r2 = 150 x 68 x 9.72 % = 2.754 360 I3 = PV3 x n3 x r3 = 180 x 75 x 0.9 % = 4.05 30 I = 10.668 Bài 9: Ngân hàng cho vay khoản tiền với mức lãi suất thay đổi sau: + 1%/tháng 68 ngày + 1.1%/tháng 112 ngày + 1.2%/tháng 45 ngày Khi đáo hạn ngân hàng thu khoản lợi tức 24.525 triệu đồng Hãy xác định số tiền mà ngân hàng cho vay? I = I1 + I2 + I3 I = PV x n1 x r1 + PV x n2 x r2 + PV x n3 x r3 I = PV ( n1r1+ n2r2 + n3r3) 24.525 = PV ( 68 112 45 x1% + x 1.1 % + x 1.2 %) 30 30 30 PV = 300 triệu đồng Bài 10: Một người vay số tiền 240 triệu đồng tháng với lãi suất 10%/ năm, lệ phí vay triệu đồng Nếu lợi tức trả vay, xác định lãi suất thực mà người phải chịu? Tóm tắt PV = 240 triệu n = tháng r = 10%/năm = 0.84 %/tháng f = triệu đồng Giải FV = PV (1+r)n = 240 (1+ 0.84 %)5 = 250.25 √ √ rt = ¿ n FV n −1 PV −f FV n −1 240−1 = 11% Bài 11: Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng tháng, lãi suất 8.4%/ năm Chi phí vay 0.5% vốn gốc Hãy xác định lãi suất thực hai trường hợp a) Lợi tức trả đáo hạn? b) Lợi tức trả nhận vốn? Tóm tắt PV = 120 triệu n = tháng r = 8.4 %/năm = 0.7%/ tháng f = 0.6 triệu a) rt = ¿ √ √ n rt = √ n FV n −1 PV −f PV x (1+ r)n −1 PV −f 120 x (1+0.7 %)8 −1 120−0.6 = 9.2%/năm b) Tổng lợi tức chi phí vay (120 x 0.7% x 8) + 0.6 = 7.32 Vốn thực tế sử dụng: 120 – 7.32 = 112.68 Lãi suất thực 7.32/112,68 x 12/8 = 9.74%/năm Bài 12: Một người vay ngân hàng từ ngày 15/4 đến ngày 16/8 với lãi suất 0.8%/tháng Nếu lợi tức phải trả nhận vốn, tính lãi suất thực mà người phải gánh chịu? Tóm tắt n = 123 ngày r = 0.8%/tháng = 0.027%/tháng Giải Trắc nghiệm Câu 33: Một người vay ngân hàng 400 triệu đồng, lãi suất 9%/năm, kì ghép lãi tháng, vốn lãi trả lần đáo hạn Lệ phí vay 0.5% vốn gốc Hãy xác định lãi suất thực mà người vay phải gánh chịu với thời hạn vay năm? Tóm tắt PV = 400 triệu đồng r= 9%/năm = 4.5%/ thang n = kì f=2 Giải FV = PV x (1+r)n rt = √ n FV n −1 PV −f r t =¿9.18% Câu 31: Một người đầu tư khoản vốn 500 triệu đồng, tính lãi kép với mức lãi suất biến đổi sau: -8%/năm thời thời gian năm -8.5%/ năm thời gian năm - 9%/năm thời gian năm cuối Giải n r =√ (1+r )n (1+r )2 …(1+ r k )n −1 =8.5% k Câu 38: Một công ty đầu tư 700 triệu đồng, lãi suất 12%/năm (lãi nhập vốn hàng năm) Giá trị đạt cuối đợt đầu tư 1350 triệu đồng Xác định thời gian đầu tư? Tóm tắt PV = 700 triệu đồng r = 12%/năm FV = 1350 triệu đồng n= ? năm n= FV n PV ln (1+r ) ln = 5.795351235 BÀI TẬP SINH VIÊN LÀM THÊM (3) Bài 1: Một người gửi vào ngân hàng cuối quý 20 triệu đồng, lãi suất 8%/năm với mong muốn số vốn tương lai 300 triệu đồng a) Xác định số kì gửi tiền (Quy ước trịn xuống)? b) Tính số tiền phải gửi kì cuối cùng? Tóm tắt CF= 20 triệu đồng FV = 300 triệu đồng r = 8%/năm = 2%/Quý a) FVA n=CF x (1+ r)n −1 r ¿> n=13 kì b ¿Tổng số tiền có kì thứ 12 (1+ r)n −1 FVA n=CF x r = 20 x (1+2 %)12−1 2% x (1+r) x (1+2%) = 273.6066305 triệu đồng Số tiền phải gửi kì cuối 300 – 273.6066305 = 26.3934 Bài 2: Một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì có giá 600 triệu đồng, lãi suất 8%/kì, giá trị kì khoản 60 triệu đồng 1−(1+r )−n a ¿ PVA ¿n=CF x x (1+r ) r n = 18 kì b)