Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ NI SỬ DỤNG MÔ HÌNH TOULMIN ĐỂ PHÂN TÍCH Q TRÌNH LẬP LUẬN VÀ CHỨNG MINH CỦA HỌC SINH Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN KIÊM MINH Huế, năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Kết nghiên cứu chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Ni ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, Quý Thầy giáo, Cô giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy thuộc chun ngành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn tận tình giảng dạy, truyền thụ cho tơi nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu hai năm học vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn em học sinh trường THPT chuyên Quốc Học Huế em học sinh trường THPT Tố Hữu giúp đỡ tơi q trình thực nghiệm Sau cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ủng hộ, động viên giúp đỡ tơi mặt để tơi hồn thành luận văn Do điều kiện thời gian khả hạn chế, xin chân thành biết ơn lắng nghe ý kiến dẫn, đóng góp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT LỜI GIỚI THIỆU Chƣơng ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Khái niệm chứng minh lập luận 1.1.1 Khái niệm chứng minh 1.1.2 Khái niệm lập luận 1.2 Các dạng lập luận 1.2.1 Suy diễn 1.2.2 Quy nạp 1.2.3 Ngoại suy 10 1.3 Ngoại suy chứng minh toán học 10 1.3.1 Các dạng ngoại suy 10 1.3.2 Ngoại suy chứng minh giáo dục toán 13 1.4 Mối quan hệ lập luận chứng minh 14 1.4.1 Các khía cạnh chung lập luận chứng minh 14 1.4.2 Mối quan hệ lập luận chứng minh nghiên cứu giáo dục toán 15 1.5 Kết luận chương 18 Chƣơng CƠ SỞ LÝ THUYẾT 20 2.1 Mơ hình Toulmin 20 2.1.1 Cấu trúc lập luận theo mơ hình Toulmin 20 2.1.2 Mơ hình Toulmin nghiên cứu giáo dục tốn lập luận chứng minh 21 2.2 Phân tích q trình lập luận chứng minh dựa mơ hình Toulmin 22 2.2.1 Tính thống nhận thức trình lập luận chứng minh 22 2.2.2 Khoảng cách trình lập luận chứng minh 24 2.2.3 Phân tích cấu trúc lập luận chứng minh dựa mơ hình Toulmin 24 2.2.3.1 Cấu trúc suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa mơ hình Toulmin 25 2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc trình lập luận chứng minh 27 2.3 Mơ hình Toulmin phân tích q trình ngoại suy 27 2.3.1 Đối với ngoại suy mã hoá 28 2.3.2 Đối với ngoại suy chưa mã hoá 29 2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo 29 2.4 Vai trị giáo viên q trình lập luận học sinh 30 2.5 Câu hỏi nghiên cứu 31 2.6 Kết luận chương 32 Chƣơng THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 33 3.1 Ngữ cảnh mục tiêu 33 3.1.1 Ngữ cảnh 33 3.1.2 Mục tiêu 33 3.2 Phương pháp nghiên cứu 33 3.3 Nội dung phiếu học tập 33 3.3.1 Phiếu học tập 33 3.3.2 Phiếu học tập 39 3.3.3 Phiếu học tập 42 3.3.4 Phiếu học tập 45 3.4 Kết luận chương 49 Chƣơng KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 50 4.1 Phân tích làm học sinh 50 4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc lập luận chứng minh 50 4.1.1.1 Bài toán 1: 51 4.1.1.2 Bài toán 2: 59 4.1.1.3 Bài toán 3: 66 4.1.1.4 Bài toán 4: 72 4.1.2 Các dạng ngoại suy 75 4.2 Kết luận chương 79 Chƣơng KẾT LUẬN 80 5.1 Kết luận 80 5.2 Đóng góp nghiên cứu hướng phát triển đề tài 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 PHỤ LỤC P1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Góc CM Chứng minh HS Học sinh LL Lập luận LỜI GIỚI THIỆU Quá trình lập luận (argumentation), suy luận (reasoning) chứng minh (proof) thuật ngữ xuất nhiều cơng trình nghiên cứu gần dạy học tốn Điều chứng tỏ ngày có nhiều nhà nghiên cứu quan tâm phân tích mặt nhận thức cấu trúc lơgic q trình lập luận chứng minh Từ quan điểm tri thức luận, lập luận toán học xem q trình thuyết phục giá trị chân lý mệnh đề hay phát biểu (Chazan 1993, [9]; De Villiers 1990, [10]; Hanna, 1989, [14]; Healy Hoyles, 2000, [16]; Lakatos, 1976, [22]) Q trình lập luận suy diễn, ngoại suy quy nạp Chứng minh trường hợp đặc biệt trình lập luận kết luận đưa từ lập luận diễn dịch quy tắc suy luận Trong tốn học, chứng minh thường q trình lập luận suy diễn, q trình lập luận dẫn đến giả thuyết thường trình ngoại suy quy nạp Gần đây, có nhiều tác giả tập trung vào nghiên cứu chất cấu trúc trình nhận thức liên quan đến mối quan hệ lập luận chứng minh toán học học sinh (Boero v.v 1996, [8]; Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2005, [29]; Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte Reid, 2010, [32]; Reid Knipping, 2010, [38]; Martinez Pedemonte, 2014, [24]) Các nghiên cứu rằng, lập luận thường có cấu trúc ngoại suy quy nạp, chứng minh thường có cấu trúc diễn dịch Nếu từ lập luận ngoại suy (quy nạp) hình thành giả thuyết, học sinh chuyển đổi thành lập luận diễn dịch để đến chứng minh (quy nạp tốn học) giả thuyết ta nói có tính liên tục cấu trúc (structural continuity) trình lập luận chứng minh Ngược lại, từ lập luận ngoại suy hay quy nạp, học sinh đến chứng minh diễn dịch ta nói có gián đoạn cấu trúc (structural distance/ structural discontinuity) trình lập luận chứng minh Các nghiên cứu sử dụng mô hình Toulmin (Toulmin, 1958, [40]) để lập luận cơng cụ có tính phương pháp luận nhằm phân tích mối quan hệ q trình lập luận đến giả thuyết chứng minh Mơ hình Toulmin góp phần quan trọng nghiên cứu mối quan hệ lập luận chứng minh chẳng hạn như: phân tích tính liên tục/gián đoạn cấu trúc trình lập luận chứng minh (Pedemonte, 2005, [29]; Pedemonte, 2007, [30]) phân tích vai trị dạng ngoại suy học sinh sử dụng trình chứng minh (Pedemonte Reid, 2010, [32]) Dựa nghiên cứu Pedemonte, chúng tơi chọn đề tài ― Sử dụng mơ hình Toulmin để phân tích q trình lập luận chứng minh học sinh‖ với mục tiêu sau:  Phân tích mối liên hệ cấu trúc trình lập luận chứng minh học sinh giải tốn  Phân tích dạng ngoại suy khác học sinh sử dụng trình chứng minh Luận văn bao gồm chương: Trong chương 1, việc giới thiệu khái niệm lập luận khái niệm chứng minh Toán, dạng lập luận thường gặp, mối quan hệ trình lập luận chứng minh Tốn Từ chúng tơi đặt số vấn đề khởi đầu cho nghiên cứu Trong chương 2, chúng tơi trình bày mơ hình Toulmin bản, công cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc lập luận chứng minh Sau đó, dựa vào mơ hình Toulmin, chúng tơi phân tích mối liên hệ cấu trúc lập luận chứng minh toán học cấu trúc dạng ngoại suy mà học sinh sử dụng chứng minh tốn Chương cung cấp khung lý thuyết cho phép thiết kế thực nghiệm phân tích liệu thực nghiệm chương sau Cuối cùng, đặt số câu hỏi nghiên cứu cho đề tài Trong chương 3, chúng tơi trình bày ngữ cảnh mục tiêu thực nghiệm Sau đó, chúng tơi trình bày nội dung phiếu học tập Cuối cùng, chúng tơi tiến hành phân tích tiên nghiệm tốn phiếu học tập Các phân tích cung cấp nhìn tổng quan tốn đưa cho học sinh, làm sở để đối chiếu phân tích sau thực nghiệm chương Trong chương 4, trước tiên mô tả lại liệu thực nghiệm thu thập số cặp học sinh điển hình Sau đó, chúng tơi tiến hành phân tích kết chủ yếu từ liệu thu thập Dựa lý thuyết trình bày Chương 2, chúng tơi phân tích theo hướng: mối liên hệ cấu trúc lập luận chứng minh, dạng ngoại suy học sinh sử dụng lập luận Từ phát khó khăn học sinh việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh xem xét dạng ngoại suy hỗ trợ cho học sinh việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh Cuối cùng, chương 6, đưa kết luận cho nghiên cứu cách phân tích yếu tố cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt Bên cạnh việc trả lời câu hỏi nghiên cứu, chúng tơi bàn luận đóng góp nghiên cứu vấn đề lớn có tính khái qt việc dạy học chứng minh Toán học Kết nghiên cứu góp phần khẳng định vai trị chủ đạo giáo viên việc thúc đẩy trình lập luận chứng minh Toán học sinh P25 P26 Bài tốn Tuấn: n có 0, ak có hình tam giác Hợp: n …, hình có này, hình có tam giác, hình có Tuấn: hình mà có tam giác được, hình có tam giác Hợp: 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9 hình to Tuấn: đợi tí, sai Hình có hình tam giác? Hình có hình tam giác? Hợp: Tuấn: 5, hình tam giác Hợp: cộng thêm nữa, hình Tuấn: 10 Hợp: 9, tam giác, cộng thêm 11 Tuấn: 13 12 Hợp: cộng à, khơng phải 13 Tuấn: Thì nhìn vào hình thấy, khơng tính tam giác nhỏ nằm giữa, tam giác nhỏ nằm hình 2, tam giác to có tam giác nhỏ hình hình 2, hình có, khơng tính tam giác to hình tam giác nhỏ có hình tam giác, tính tiếp tục vậy, sau hình số hình tam giác tăng lên là, tăng lên hình 14 Hợp: tăng lên hình kể từ hình trở đi, giống hình lên hình tăng hình, à, tăng 15 Tuấn: từ lên tăng 4, lên 16 Hợp: tăng 4, qua hình tăng 4, thêm tam giác thêm tam giác 17 Tuấn: tăng 4, có cơng thức… 18 Hợp: hình thứ n 19 Tuấn: hình thứ n có 1cộng 20 Hợp: nhân n 21 Tuấn: cộng cho nhân cho n trừ 22 Hợp: nhân n trừ P27 23 Tuấn: không? 24 Hợp: Đúng rồi, thêm tam giác thêm tam giác 25 Tuấn: Ừ, tam giác nhỏ, lại tiếp tục có hình số nên tăng lên thơi 26 Hợp: n 2, , ok 27 Tuấn: số tam giác hình 1, H(1) 1, số tam giác hình ta có H(2) =5, số tam giác hình H(3) 9, hình 13 28 Hợp: số tam giác hình n H(n) 1cộng nhân cho hiệu n trừ Cứ sau hình số tam giác tăng hình 29 Tuấn: tăng hình 30 Hợp: tăng tam giác, H(2)= H(1)+4, H(3) = H(2) + 4, H(4) = H(3) +4 31 Tuấn: suy H(n+1) = H(n) +4 32 Hợp: Rồi, chứng minh P28 P29 Nhóm Thu Sƣơng - Huyền Trang Bài toán 1 S: Cho tam giác ABC, vẽ T: Rồi S: Về phía ngồi tam giác dựng tam giác ABD T: ABD S: ABD vuông cân BCE vuông cân, hai tam giác vuông cân E T: Tại B, vuông cân B S: So sánh diện tích tam giác ABC BDE T: Diện tích chi S: Nối ABD đi, đánh dấu vuông cân 10 T: AB BD, BC BE ,…, sử dụng cơng thức diện tích ½ tích hai cạnh nhân với sin góc xen hè ? Diện tích tam giác ABC ½ nhân với AB.BC nhân sin góc ABC 11 S: Diện tích tam giác BDE ½ nhân BD nhân BE nhân sin DBE 12 T: Ừ 13 S: Cần so sánh hai sin 14 T: Có là, bên sin ABC hey, bên sin DBE hey Có góc cộng lại 3600 ABC cộng góc ABD cộng góc DBE cộng góc EBC 3600 mà hai góc vng 15 S: hai góc cịn lại ABC BDE 16 T: 3600 trừ 1800 hai góc vng, mà có sina= sin(180 0-a), hai góc bù nhau, sin hai góc bù nhau, chưa? 17 S: 18 T: suy sinABC = sin DBE Bài toán S: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vuông ABEF, BCDG T: ABEF S: ABEF, BCDG P30 T: Rồi S: M trung điểm AG T: Rồi, nữa? S: N trung điểm CE Hỏi tam giác MBN tam giác gì? … T: S: Tam giác à? 10 T: Vuông cân 11 S: Không 12 T: Không đều, vuông cân 13 S: Ừ 14 T: Xét tam giác ABG EBC có góc vng, hai góc vng ABG với EBC 15 S: có hai cạnh AB với BE 16 T: rồi, có thêm BG với BC 17 S: Nên suy ra, hai tam giác theo trường hợp cạnh- góc- cạnh 18 T: Suy hai cạnh 19 S: hai cạnh huyền 20 T: AG với EC 21 S: mà MB ½ AG 22 T: với ta có góc AGB góc ECB 23 S: MB ½ AG, trung điểm, cạnh huyền 24 T: MB ½ AG mà BN =1/2 EC nên BM=BN 25 S: nên tam giác BMN cân B 26 T: Ừ, ta có BM MG suy tam giác MGB cân M suy góc MGB góc MBG 27 S: tương tự tam giác… 28 T: Tam giác NBC cân N suy góc NBC góc NCB Mà góc NCB góc MGB hai tam giác Nên suy góc MBG góc NBC Được chưa 29 S: Ừ 30 T: Tam giác EBC vuông B nên suy 31 S: góc NBC cộng góc EBG 900 32 T: Hay góc MBG cộng góc GBN 900 P31 33 S: suy góc MBN 900 34 T: suy góc tam giác MBN vuông B , với thêm tam giác MBN cân B suy tam giác MBN vuông cân B P32 Nhóm Linh - Thắng Bài tốn Linh: Tìm quy luật Thắng: Hình hình, hình hình, khơng? Linh: Ừ, hình hình Thắng: hình ? Linh: hè Thắng: cộng Linh: Sao mà biết được, nhiều cộng sao? Thắng: Làm cho rồi, hình hình? Linh: hình 10 Thắng: hình phải khơng? Rồi 11 Linh: Một hình thêm hình phải ? 12 Thắng: Ừ, Là cộng 4, khơng ? Hình 13 Linh: hình thêm hình 13 hình, … 14 Thắng: 13 hình, rồi, cộng 15 Linh: 1cộng 16 Thắng: hình hình cộng 4, hình hình cộng 4, hình sau hình trước cộng 17 Linh: Ừ 18 Thắng: hình cộng lần 2, hình 19 Linh : 1cộng lần 20 Thắng: suy hình n mấy? 21 Linh: cộng nhân n, n thuộc N* hình đầu n 22 Thắng: hình 1là 1, hình n 23 Linh: này, lại phải n trừ 24 Thắng: ừ, hình n 3, hình n 25 Linh: ừ, n giảm 26 Thắng: Như hình n cộng nhân n trừ Giờ chứng minh 27 Linh: Chứng minh quy nạp thơi P33 P34 P35 Bài tốn Thắng : Đọc đề để bạn vẽ hình cho Linh : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Thắng : Đáy hình thoi vẽ hình bình hành Linh : Tâm O SO vng góc với đáy Gọi I,J trung điểm AB,BC Đường thẳng IJ có vng góc với mặt phẳng (SBD) không ? Tại ? Thắng: Linh: Cho IJ vng góc với mặt phẳng (SBD), ta chứng minh IJ vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng (SBD) Thắng : Phải chứng minh IJ vng góc với đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (SBD) Linh : đường thẳng thuộc mặt phẳng (SBD) Thắng : đường thẳng phải cắt 10 Linh : Xem BD có 11 Thắng : BD vng góc với IJ SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO vng góc với BD 12 Linh : Chứng minh SO vng góc với BD làm ? IJ vng góc với BD ABCD hình thoi có hai đường chéo vng góc với tức AC vng góc với BD mà IJ song song với AC 13 Thắng : IJ song song với AC theo tính chất đường trung bình tam giác 14 Linh : Thêm SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) mà IJ nằm mặt phẳng (ABCD) nên suy SO vng góc với IJ, mà SO BD cắt nên suy IJ vng góc với mặt phẳng (SBD) P36 P37 Bài toán Linh: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Thắng: Rồi Linh.: Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vng ABEF, BCDG Thắng: BCDG… Linh: Gọi M, N M trung điểm AG, N trung điểm CE Thắng: Rồi Linh Hỏi tam giác MBN tam giác gì? Thắng: MBN Linh: Xem BM, BN có khơng? Đo xem 10 Thắng: BM.BN Có vẻ Xem góc góc gì? 11 Linh: thấy vng, vng cân 12 Thắng: 13 Linh: dùng phép quay phải, cho hai hình vuông À, tam giác ABG dựng lên tam giác BEC Phép quay ngược chiều kim đồng hồ 900, chiều kim đồng hồ – 900 Phải không? 14 Thắng: Ừ, phép quay tâm B 15 Linh: Tâm B góc quay 90 0, biến A thành E, G thành C Được chưa? 16 Thắng: 17 Linh: Mà M trung điểm AG, N trung điểm EC nên suy phép quay biến M thành N 18 Thắng: Ừ 19 Linh: Suy BM =BN, Do phép quay góc 90 nên góc MBN 900 Suy tam giác BMN vuông cân,vuông cân B 20 Thắng: ừ, P38 P39