T 51 ôn tập toán lớp 10

Phòng Giáo dục đào tạo huyện cẩm giàng đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2011 2012 2012 môn: toán Lớp: (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu (2 điểm): a) Cho a; b; c số dơng thoả mÃn: a + b + c + TÝnh Q = abc = a(4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a)  c(4  a)(4  b) - abc b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 2abc < C©u (2 ®iĨm): x  x  10  x  x  3( x 1) a) Giải phơng trình b) Cho x, y hai số không âm thoả mÃn: x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức A =  x   y Câu (2 điểm): Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m – a) T×m m để đồ thị hàm số song song với đờng thẳng 3x 2y = b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ tạo với gốc toạ độ tam giác có diện tích 1/6 (đơn vị diện tích) Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A; AD tia phân giác tam giác Cho 7 BD = cm; CD = cm a) Tính đờng cao AH tam giác ABC b) LÊy E thuéc AC cho XE = 1cm Gọi I trung điểm BE, F giao điểm HI AC Tính độ dài đoạn thẳng EF Câu (1 điểm): Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh: x y = 50 -HÕt - Phòng Giáo dục đào tạo huyện cẩm giàng đáp án đề thi học sinh giỏi năm học 2011 2012 2012 môn: toán Lớp: (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu (2 điểm): a) Xét a(4 b )(  c) = a (16  4b  4c  bc) abc = =>16- 4b - 4c = 4a + Tõ gi¶ thiÕt a + b + c + Do ®ã = a (  b )(  c) = a ( 4a  abc  bc) = T¬ng tù abc a (16  4b  4c  bc) a ( 4a  abc  bc) = = 2b + b(  a )(4  c) c(  a )(4  b ) (2a  abc ) = 2a + abc abc ; = 2c + abc abc ) = b) Theo bất đẳng thức tam giác ta cã: b + c > a => a + b + c > 2a => > 2a => a < T¬ng tù => b < 1; c < Nên ta đợc: a > 0; – b > 0; – c > => (1 – a)(1 – b)(1 – c) > => – a – b – c – abc + ab + bc + ca > => – (a + b + c) + (ab + bc + ca) – abc > => – + (ab + bc + ca) – abc > => ab + bc + ca > + abc (1) Ta cã = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) => a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (2) Tõ (1) vµ (2) => > a2 + b2 + c2 + 2(1 + abc) => a2 + b2 + c2 + 2abc < (đccm) Câu (2 điểm): Vậy Q = 2(a + b + c - a) x  x  10  x  x  3( x  1) (1) 2  31  31   x  x  10 2  x     0, x  x  2  x     0, x   4 4   - NÕu x  0  x  th× VP(1) 0, VT(1) (không thoả mÃn) - Nếu x    x   th× (1)  x  3  x 1 x  x  10  x  x   x  x  10  x  x  2 (2) Tõ (1) (2) suy (2) suy 2 x  x  3x  3x  0   2 4(2 x  x  4) 9 x  x  1   x     x  x  15 0    x   x 3    x 3, x  Thử lại, với x = VT(1) = VP(1) = 12 Vậy phơng trình có nghiệm x = b) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cã: (x + y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) = 2.2 =4 => x + y ≤ ( v× x; y≥ 0) (1) Ta cã: A =  x   y > với x; y Nên áp dụng bất ®¼ng thøc Bunhiacopxki ta cã: A2 = (  x   y )2 ≤ (12 + 12)(1 + 2x + + 2y) = 2(2 + 2x + 2y) = 4(1 + x + y) (2) Tõ (1) vµ (2) => A ≤ 4(1 + 2) = 12 => A ≤ (v× A > 0)  x  y 0  DÊu “=” x¶y    x   y  x = y =  2  x  y 2 VËy MaxA = x = y = C©u (2 ®iĨm): a) Ta cã 3x – 2y = y = x2 Đồ thị hµm sè y = (m + 2)x + 2m – song song với đờng thẳng 3x 2y = hay    m    m  y= x-     m = -1/2 1 2  2m   m    b) Đồ thị hàm số y = (m + 2)x + 2m cắt hai trục toạ độ tạo thành với gốc toạ độ m 0 mét tam gi¸c     2m  0  m     m  Víi x = => y = 2m – => ®iĨm A(0; 2m-1) Víi y = => x =  2m  2m => điểm B( ;0) m2 m2 => Đồ thị hµm sè y = (m + 2)x + 2m – cắt hai trục toạ độ hai điểm là: A(0; 2m-1); B(  2m ;0) m2 => OA = 2m  , OB =  2m m2 L¹i cã SABO = OA.OB:2 = 1/6  OA.OB = 1/3  2m  1  2m = 1/3  3(2m-1)2 = m  (*) m2 Ta cã 3(2m-1)2≥ víi mäi m  m 1  *TH1: m> -2 th× (*) 12m -12m + = m+2 (Đều thoả mÃn đk) m 12  11  119 m   24 *TH2: m AB2:9=AC2:16=(AB2+AC2):(9+16) = BC2:25 = 25:25=1 => AB = 3, AC = Theo hệ thức lợng tam B vuông ABC : BC.AH = AB.AC A F I H D gi¸c E gi¸c C M => AH = 3.4:5 = 2,4(cm) b) Lấy trung điểm M BC=> MI đờng trung bình tam giác BCE => IM = EC:2 = 0,5 (tÝnh chÊt) L¹i cã MB = MC =BC:2 = 2,5 Mặt khác AB BH H nằm B M Và BH =AB2 : BC = 1,8 (theo hệ thức lợng tam giác vuông ABC) => HM = BM – BH = 0,7 XÐt HCF cã IM//FC ( v× IM//EC) => HM: HC = IM:FC (hệ định lí Talet) Do HM = 0,7, IM = 0,5, HC = BC – BH = 5- 1,8 = 3,2 => FC = HC.IM:HM = 3,2.0,5:0,7 = 16/7 => EF = FC – EC = 9/7 (cm) Câu 5.(1điểm): Đk: x; y Z, x; y Ta cã x  y 5 => x , y đồng dạng với đặt x = a ; y = b ( a; b số nguyên không âm) Ta đợc: a + b = => (a; b) = (0;5); (1;4); (2;3); (3;2) (4;1); (5;0) => (x;y) = (0;50); ( 2; 32); (8; 18); ( 18;8); (32;2); (50;0) (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn)