T 41 ôn tập toán lớp 10

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) x  x  x  a) Rút gọn biểu thức A = x  x 1  x  3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y ) x y z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Hãy tính giá trị biểu thức: A = Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 3 Tính f(a) a = 16   16  b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a)  x   x 3 b) x  x  2 x  Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn:   x y   y x  xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn   1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC  CB  BA2  2 a) Chứng minh: KB CB  BA  AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) x  x  x  a/ Rút gọn biểu thức A = x  x 1  x  3 x ĐKXĐ: x  4; x  x A=    =  x  2  x x 1  x   x  3 x x  x 1 x   x   x  x     x x x x     x  x x  x  x 1 x b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = x Hãy tính: A = (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Gợi ý: xy + yz + xz =  + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 3 Tính f(a) a = 16   16  b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải 3 a/Từ a= 16   16      a 32  3 16  16   16   16   32  12a   nên a3 + 12a = 32 Vậy f(a) =  k  n 1  n 8  b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k   ) k > n  (k – n)(k + n) = 17  k  n 17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/  x   x 3 b/ x  x  2 x  Giải a/ ĐK:   x 1 Bình phương vế:  x   x  (1  x)(4  x) 9  (1  x)(4  x) 2  x 0   x  x 4  x( x  3) 0    x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x  x  2 x  ĐKXĐ: x     3   x  x   x   2 x   0  x  1     x  0 x   0    x   x  1 phương trình có nghiệm x = -  Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn:   x y   y x   xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn   1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c 0 Giải a/   x y   y x   xy  x.2 y   y.2 x   xy y  Xét VP = x.2 y   y.2 x  theo BĐT cosi: 4 y y 4x x  ;2 x    2 2 VP  xy = VT  x  2  x  y 8  y   Dấu = xảy khi:  b/ Do a; b; c thuộc đoạn   1; 2 nên a +  0; a –  nên (a + 1)(a – 2)  Hay: a2 – a –   a2  a + Tương tự: b2  b + 2; c2  c + Ta có: a2 + b2 + c2  a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c  Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC  CB  BA2  2 a/ Chứng minh: KB CB  BA  AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC  CB  BA2 AK  KC  ( BK  CK )2  AB  CB  BA2  AC ( BK  CK )2  BA2  ( AK  KC ) 2CK  BK CK 2CK (CK  BK ) CK   2 BK  BK CK BK ( BK  CK ) BK = D E H AK AK b/ Ta có: tanB = BK ; tanC = CK B AK Nên: tanBtanC = BK CK (1) K C KC B HKC  Mặt khác ta có: mà: tanHKC = KH KC KB KB.KC  tan B.tan C  KH (2) Nên tanB = KH tương tự tanC = KH  AK    tan B.tan C     KH  Từ (1)(2) Theo gt: HK = AK  tan B.tan C 3 S ABC  AB    S  AD  (3)  ABC ADE  ADE c/ Ta chứng minh được: đồng dạng vậy:  Mà BÂC = 600 nên ABD 30  AB = 2AD(4) S ABC 4  S ADE 30(cm ) S Từ (3)(4) ta có: ADE