PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) x x x a) Rút gọn biểu thức A = x x 1 x 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) x y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Hãy tính giá trị biểu thức: A = Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 3 Tính f(a) a = 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 3 b) x x 2 x Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh: KB CB BA AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) x x x a/ Rút gọn biểu thức A = x x 1 x 3 x ĐKXĐ: x 4; x x A= = x 2 x x 1 x x 3 x x x 1 x x x x x x x x x x x x x 1 x b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = x Hãy tính: A = (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Gợi ý: xy + yz + xz = + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 3 Tính f(a) a = 16 16 b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải 3 a/Từ a= 16 16 a 32 3 16 16 16 16 32 12a nên a3 + 12a = 32 Vậy f(a) = k n 1 n 8 b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ) k > n (k – n)(k + n) = 17 k n 17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ x x 3 b/ x x 2 x Giải a/ ĐK: x 1 Bình phương vế: x x (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2 x 0 x x 4 x( x 3) 0 x (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x x 2 x ĐKXĐ: x 3 x x x 2 x 0 x 1 x 0 x 0 x x 1 phương trình có nghiệm x = - Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c 0 Giải a/ x y y x xy x.2 y y.2 x xy y Xét VP = x.2 y y.2 x theo BĐT cosi: 4 y y 4x x ;2 x 2 2 VP xy = VT x 2 x y 8 y Dấu = xảy khi: b/ Do a; b; c thuộc đoạn 1; 2 nên a + 0; a – nên (a + 1)(a – 2) Hay: a2 – a – a2 a + Tương tự: b2 b + 2; c2 c + Ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a/ Chứng minh: KB CB BA AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC CB BA2 AK KC ( BK CK )2 AB CB BA2 AC ( BK CK )2 BA2 ( AK KC ) 2CK BK CK 2CK (CK BK ) CK 2 BK BK CK BK ( BK CK ) BK = D E H AK AK b/ Ta có: tanB = BK ; tanC = CK B AK Nên: tanBtanC = BK CK (1) K C KC B HKC Mặt khác ta có: mà: tanHKC = KH KC KB KB.KC tan B.tan C KH (2) Nên tanB = KH tương tự tanC = KH AK tan B.tan C KH Từ (1)(2) Theo gt: HK = AK tan B.tan C 3 S ABC AB S AD (3) ABC ADE ADE c/ Ta chứng minh được: đồng dạng vậy: Mà BÂC = 600 nên ABD 30 AB = 2AD(4) S ABC 4 S ADE 30(cm ) S Từ (3)(4) ta có: ADE