Thông tin tài liệu
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM THƯ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN ( Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Giáo viên đề : Lê Hùng Tú Câu 1: (5 đ) a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b/ Tìm số nguyên tố mà tích chúng lần tổng chúng Câu 2: ( đ): Giải phương trình: 3x x 10 2 14 x Câu 3: ( đ) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y y2 x 1 b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn x y y z z x 6 1 Chứng minh rằng: 3x y z x y z x y z Câu 4: ( đ) Cho điểm A di chuyển đường trịn O đường kính BC = 2R ( A không trùng với B C) Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC I trung điểm HC a/ CMR: M chuyển động đường tròn cố định b/ CMR: AHM đồng dạng với CIA Câu 5: ( đ) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm GTLN tích KH.KM./ Hết Lưu ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP Năm học: 2013-2014 Thời gian làm bài: 150 phút Câu Ý a Nội dung Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x = 38 – 6y2 Điểm 5đ 3đ 4x2 + 8x + = 42 – 6y2 2x 2 42 y 2x 2 6 y (1) Vì x 0 y 0 y 7 , mà y Z nên: y = 0; 1; 2 x 6 0,5 x 2 + Với y = , từ (1) x 36 x x Trường hợp phương trình có nghiệm ngun là: (2;1) (-4;1) + Với y = -1 x 6 x 2 Thì từ (1) x 36 x x Trường hợp pt có nghiệm nguyên là: (2;-1) (-4;-1) + Với y 2 x 18 x x 14 0 x x 7 pt khơng có nghiêm ngun VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2 x 42 x x 38 0 + Với y = 0, từ(1) x x 19 PT khơng có nghiệm ngun VT chia hết cho 2; VP không chia hết cho Vậy PT cho có nghiệm nguyên là: (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1) b Tìm số ngun tố mà tích chúng lần tổng chúng Gọi a, b, c số ngun tố cần tìm Ta có: abc = 5(a+b+c) abc 5 mà nguyên tố, nên số a, b, c có số Khơng tính tổng qt, giả sử a= 5, ta có: 5bc = 5(5+b+c) bc 5 b c bc b c 6 b(c 1) (c 1) 6 (c 1)(b 1) 6 b,c số ngun dương có vai trị nên ta có hệ: b 1 b 2 i) c 6 c 7 0,5 0,5 0,5 2,0đ 0,5 0,5 0,5 b 2 b 3 ii) trường hợp loại hợp số c 3 c 4 Vậy số nguyên tố cần tìm là: 2; 5; Giải pt sau: 3x x 10 2 14 x (1) x 2 2 ĐKXĐ: 14 x 0 x 0 x x 26 Vì 3x x 10 3( x )2 0 3 0,5 2đ 0,5 Ta có: (1) x x 10 x 0 x x x 2 x 0 x 2 2x 0 x x 0 x 2 x (TMĐK) x 0 x Vậy PT có nghiệm là: x = -2 a 0,5 0,5 6,0 đ 3đ Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1 Tìm GTNN biểu thức: M = x 0,5 y y2 x x4 y x2 y 1 2 x y x y M= = y2 x2 x2 y x2 y x y 1 2 x2 y 1 xy 2 x y xy xy 15 Ta có: xy xy xy 16 xy 16 xy 1 1 2 xy 2 (1) * 16 xy 16 xy x y 1 1 15 15 xy xy 4 (2) 2 xy 16 xy 16 16 xy * Ta có: xy Từ (1) (2) xy 15 15 17 xy xy 16 xy 16 xy 4 0,5 0, 0,5 0,5 2 17 289 Vậy M = xy xy 16 xy xy 16 xy x y (Vì x, y > 0) Dấu “=” xảy x y x y 289 Vậy M = x = y = 16 b 1 6 x y yz zx 1 Chứng minh rằng: 3x y z 3x y 3z x y 3z Cho x, y số dương thỏa mãn: Áp dụng BĐT 1 a b a b (với a, b > 0) 0,5 0,5 3đ 1 1 1 a b a b Ta có: 1 1 1 3x y z x y z x y z x y z x y z 11 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 1 1 16 x y x z y z Tương tự: 1 1 x y z 16 x z x y y z 1 1 x y 3z 16 y z x y x z cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 x y z x y z x y z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z 0,5 0,5 0,5 0,5 4,0 A B O' H O I C M a Lấy O’ đối xứng với O qua B, O’ cố định Ta có AOB MOB ( c.g.c) O ' M OA R , M chuyển động đường tròn (O’; R) cố định 2đ b Ta có ABC vng A (Vì có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) nên: MAH (1) (2 góc có cạnh tương ứng vng góc) ACI mà AHB CHA (g.g) 2đ 0,5 AC AB AC AB AC AB AM HC AH 2CI AH CI AH AH AC AM Vậy CI AH 0,5 0,5 (2) Từ (1) & (2) AHM CIA (c.g.c) Ta có: BKM HKA (g.g) 0,5 3đ M H A K B BK KM BK KA KM KH HK KA AB BK KA Mặt khác: BK.KA Dấu “=” xảy BK = KA AB KM KH AB Vậy max (KM.KH) = BK = KA, tức K trung điểm AB 0,5 0,5 0,5 0,5
Ngày đăng: 16/12/2023, 20:58
Xem thêm: