Casio bài 33 phương trình số phức

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Chuyển số phức dạng lượng giác  Dạng lượng giác số phức : Cho số phức z có dạng  z r  cos   i sin   ta ln có : z n r n  cos n  i sin n  Lệnh chuyển số phức z a  bi dạng lượng giác : Lệnh SHIFT Bước 1: Nhập số phức z a  bi vào hình dùng lệnh SHIFT (Ví dụ z 1  3i ) + s $ b q = Bước 2: Từ bảng kết ta đọc hiểu r 2    II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Giá trị z1  z2 : A B C D (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio Tính nghiệm phương trình bậc hai z  z  0 chức  MODE w = p = = =  Vậy ta hai nghiệm z   i z   i Tính tổng Mơđun 2 2 hai số phức ta lại dùng chức SHIFT HYP w q c a R $ + a s R $ b $ + q c a R $ p a s R $ b = Trang 1/11  z1  z2 2 ta thấy B đáp án xác VD2 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  0 Tính giá trị biểu thức P z12016  z22016 : A 21009 B C 22017 D 21008 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio Tính nghiệm phương trình bậc hai z  z  0 chức  MODE w = = = =  Ta thu hai nghiệm z1   i z2   i Với cụm đặc biệt 4   i ,   i ta có điều đặc biệt sau:    i   ,    i   w ( p + b ) Vậy P  z12016  z22016    i      504    4 504 ^ = 2016    1 i  2016     i     504     1 i     504 4504  4504 21008  21008 2.21008 21009 P z12016  z22016 21009 ta thấy A đáp án xác  Cách Casio Ngồi cách sử dụng tính chất đặc biệt cụm   i  ta xử lý  i cách đưa dạng lượng giác lệnh SHIFT Với z1   i r  cos   i sin   p + b q = Ta nhận r  góc   3 3 3   2016  z1   cos  i sin   z1  4   Tính cos  2016 3   i.sin  2016 3       2  2016 3 3    cos 2016  i sin 2016  4   Trang 2/11 k O a q K O a q K R $ ) )  2 z12016   2016 R $ + b O j o = 21008 Tương tự z22016 21008  T 21009 VD3 Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z  z  12 0 Tính tổng : T  z1  z2  z3  z4 A T 4  B T 2 C T 4  D T 2  (Đề minh họa GD-ĐT lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio Để tính nghiệm phương trình ta dùng chức MODE Tuy nhiên máy tính tính phương trình bậc nên để tính phương trình bậc trùng phương z  z  12 0 ta coi z t phương trình trở thành t  t  12 0 w = p = p = =  z 4  t 4 Vậy  hay   t   z     Với z 4  z 2 Với z  ta đưa z 3i  z  3i với i  Hoặc ta tiếp tục sử dụng chức MODE cho phương trình z   z  0 w = = = = Tóm lại ta có nghiệm z 1, z  3i Tính T ta lại sử dụng chức tính mơđun SHIFT HYP w q c $ + q c p $ + q $ + q c p s $ b = c s $ b Trang 3/11  Đáp án xác C VD4- Giải phương trình sau tập số phức : z   i  1 z   i  1 z  i 0 A z  i  Q B z   i 2 C z   i D.Cả A, B, C 2 (Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio Để kiểm tra nghiệm phương trình ta sử dụng chức CALC ) ^ $ + ( b + ) Q ) d + ( b + ) Q ) + b r p b = Vậy z  i nghiệm  Tiếp tục kiểm tra z   i giá trị nghiệm đáp án 2 A B có nghĩa đáp án D xác Nếu giá trị khơng nghiệm có đáp án A r p ( P ) +( s ) P ) b = Vậy z   i tiếp tục nghiệm có nghĩa đáp án A B 2  Đáp án xác D  Cách tự luận Để giải phương trình số phức xuất số i ta khơng thể sử  dụng chức MODE mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung 2 Phương trình  z  z  z   z  z  1 i 0   z  i   z  i   z  z  1 0    z  z  0 Phương trình z  z  0 khơng chứa số i nên ta sử dụng máy tính Casio với chức giải phương trình MODE w = = = = Trang 4/11 Tóm lại phương trình có nghiệm z  i ; z  3  i ; z   i 2 2  D đáp án xác VD5 Trong phương trình đây, phương trình có hai nghiệm z1 1  ; z2 1  A z  i 3z  0   B z  2z  0 C z  2z  0 D z  2z  0 (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017) Lời giải: Ta hiểu phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có hai nghiệm tn theo định lý Vi-et (kể tập số thực hay tập số phức ) b   z1  z2  a  z z c  a Tính z1  z2 2 w + s $ b + p s $ b = Tính z1 z2 4 ( + s $ b ) ( p s $ b ) = Rõ ràng có phương trình z  2z  0 có  b c 2 4 a a  Đáp số xác C VD6 Phương trình z  iz  0 có nghiệm tập số phức : A B C D.Vô số (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải: Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai ax  bx  c 0  có hai nghiệm phân biệt   , có hai nghiệm kép  0 , vô nghiệm   Tuy nhiên tập số phức phương trình bậc hai Trang 5/11  ax  bx  c 0 có nghiệm  0 , có hai nghiệm phân    biệt     Vậy ta cần tính  xong Với phương trình z  iz  0  i   đại lượng  phương trình có nghiệm phân biệt  Đáp số xác A VD7 Phần thực số phức z biết z  A   i  1 i 10  i   1 i   10 B C  2i D 25 i Lời giải: Để xử lý số phức bậc cao   3 ta sử đưa số phức dạng lượng giác z110 z25 z310 Tính z1 1  i r  cos   i sin   Để tính r  ta lại sử dụng chức sử dụng công thức Moa-vơ Và để dễ nhìn ta đặt z   SHIF p b q = 10      10      i sin  i sin10 Vậy z1   cos  z1   cos10  4  4       i sin10 Tính cos10 4 k O a p q K R $ ) + b j O a p q K R $ ) =    2 Vậy z110   10 i 25.i   Tương tự z25 25  cos   i sin   25    i    6   2   2  2  z310 210  cos10  i sin10 3     10 i   2      2  Trang 6/11   5 i   i  2  z110 z25  Tổng hợp z  10  z3   210    i  2  a ^ $ b O ^ $ ( R $ b ) R ^ $ ( R $ b ) = p a s R $ + a p a R $ p a s Vậy z 1  Đáp số xác B III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho phương trình z  2z  17 0 có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1  z2 : A 17 B 13 C 10 D 15 (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Bài Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z  2z  10 0 Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 A 10 B 20 C D 10 (Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009) Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z  27 0 Tính tổng T  z1  z2  z3 A T 0 C T 9 D T 3 (Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017) Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z  3z  0 Tính tổng sau T  z1  z2  z3  z4 A B T 3 B C D (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Bài Xét phương trình z 1 tập số phức Tập nghiệm phương trình : Trang 7/11   1            B S 1;  C S 1;   i  D S   i      2    2      (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Bài Biết z nghiệm phương trình z  1 Tính giá trị biểu thức z P  z 2009  2009 z A P 1 B P 0 C P  D P  LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho phương trình z  2z  17 0 có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị A S  1 z1  z2 : A 17 B 13 C 10 D 15 (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio Tìm hai nghiệm phương trình z  2z  17 0  w = p = = =  Tính tổng hai môđun lệnh SHIFT HYP w q c + b $ + q c p b = Vậy z1  z2 2 17  Đáp số xác A Bài Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z  2z  10 0 Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 A 10 B 20 C D 10 (Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009) Lời giải:  Cách Casio  Tìm hai nghiệm phương trình z  2z  10 0 w = = = = Trang 8/11  Tính tổng bình phương hai môđun lệnh SHIFT HYP w q c p + b $ d + q c p p b $ d = 2 Vậy A  z1  z2 20  Đáp số xác B Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z  27 0 Tính tổng T  z1  z2  z3 A T 0 B T 3 C T 9 D T 3 (Thi thử Group Nhóm toán lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Tính nghiệm phương trình z  27 0 chức MODE w = = = = = 3 3 3 Vậy z1  3, z2   i , z3   i 2 2  Tính tổng mơđun T  z1  z2  z3 w = = = = = = = w w q c p $ + q c a R $ + a s R $ b $ + q c a R $ p a s R $ b = Vậy T 9  Đáp số xác C Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z  3z  0 Tính tổng sau Trang 9/11 T  z1  z2  z3  z4 A B C D (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Đặt t z Tìm nghiệm phương trình 2t  3t  0 w = p = p = =  z 2  t 2   Vậy   z   t     Với z 2  z  1 i2 i Với z   z   z  2 2  Tính tổng mơđun T  z1  z2  z3  z4 w q c s $ $ + q c p s $ $ + q R s $ $ $ + q c a p b R s = c a b Vậy T 3  Đáp số xác C Bài Xét phương trình z 1 tập số phức Tập nghiệm phương trình : A S  1        1       B S 1;  C S 1;   i  D S   i         2    2   (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio Giải phương trình bậc ba z  0 với chức MODE 54  w = = = p = = Trang 10/11 3 i, x3   i  Phương trình có nghiệm x1 1, x2   2 2  Đáp số xác C Bài Biết z nghiệm phương trình z  1 Tính giá trị biểu thức z P  z 2009  2009 z A P 1 B P 0 C P  D P  Lời giải:  Cách Casio  Quy đồng phương trình z  0 ta phương trình bậc hai z  z  0 z Tính nghiệm phương trình với chức MODE w = p = = =  Ta thu hai nghiệm z hai nghiệm có vai trị nên cần lấy nghiệm z đại diện    Với z   i ta chuyển dạng lượng giác  z 1 cos  i sin  3  2 a R $ + a s R $ b q =       2009 12009  cos 2009  i sin 2009   cos 2009  i sin 2009  Vậy  z 3  3  2009 Tính z lưu biến A W k 0 O a q K R $ ) + b j 0 O a q K R $ ) = q J z Trang 11/11 1 A z + a R Q z = Tổng kết P  A  Q  Đáp số xác A Trang 12/11