Casio bài 20 tính nhanh diện tích hình phẳng

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACALNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 20 TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x a, x b tính theo cơng thức b S  f  x   g  x  dx (1) (Dạng 1) a Quy ước : Trong học ta gọi đường thẳng x a cận thứ , x b cận thứ hai Chú ý : Khi đề không cho hai cận hai cận có dạng x x1 , x  x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  hai cận y a, y b tính theo cơng thức : b S  f  y   g  y  dy (2) (Dạng 2) a Tổng hợp phương pháp (gồm bước) +)Bước 1: Xác định rõ hai hàm y  f  x  , y g  x  x  f  y  , x  g  y  +)Bước 2: Xác định rõ cận x a, x b y a, y b +)Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) sử dụng máy tính casio 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa mơn Tốn Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y  x  x A 37 12 B C 81 12 D 13 GIẢI  Ta có hai hàm số y  x  x y  x  x  x 0   Giải phương trình hồnh độ giao điểm x  x x  x  x  x  x 0   x 1  x  Ta có cận x 0; x 1; x  mà công thức có cận ta chia thành khoảng cận   x 0  x 1  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  x , y 3  x hai đường thẳng 3     x  2; x 0 S1   x  x  x  x dx 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  x , y 3  x hai đường thẳng x 0; x 1 S  x  x    x  x  dx 0  Vậy tổng diện tích S   x  x    x  x 2  dx   x  x    x  x  dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)R0E1= Trang 1/13 37 ta chọn đáp án xác A 12  Bình luận :  Thật tuyệt vời phải không, tư theo bước kết hợp Casio ta làm liên quan đến tính diện tích hình phẳng VD2-[Đề cương chun KHTN Hà Nội năm 2017] Cho miền  D  giới hạn đồ thị hàm số y ln  x  1 , y ln x , x 2 Diện tích miền Vậy S  phẳng  D  : A ln 16 C ln  ln 2   3ln  3 16 D ln  ln 2  27  B    3ln  16  ln  27   GIẢI  Ta có hai hàm số y ln  x  1 y ln x  Cận x 2 ta tìm cận cách giải phương trình hồnh độ giao điểm ln  x  1 ln x  ln  x  1  ln x 0 Để giải nhanh phương trình ta sử dụng Casio với chức dò nghiệm SHIFT SOLVE hQ)+1)ph2)OsQ)qr2= Ta nghiệm x 1 Vậy ta tìm hai cận x 1; x 2  Diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm số y ln  x  1 , y ln x hai đường thẳng x 1; x 2 S ln  x  1  ln x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2= Vậy S 0, 0646 Tính giá trị xem đáp án có kết 0, 0646 đáp án xac  ta chọn B  Bình luận :  Việc tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta tính nhanh kỹ thuật dò nghiệm với chức SHIFT SOLVE học trước VD3-[Th thử website Vnmath.com lần năm 2017] Trang 2/13 Đường thẳng y c chia hình phẳng giới hạn đường cong y x đường thẳng y 4 thành hai phần Tìm c A 16 B C 2 D 3 GIẢI  Hai hàm số y  x y 4 Giải phương trình hồnh độ giao điểm x  0  x 2 Vậy cận thứ x  cận thứ hai x 2  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x , y 4 hai đường thẳng x  2, x 2 : S  x  dx 2 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp4Rp2E2= 32 16  nửa diện tích 3 y  c  Vì đường thẳng chia hình phẳng S thành phần  Diện tích hình 16 phẳng giới hạn đường cong y  x , đường thẳng y c có độ lớn 3  Thử với đáp án A ta có y  16 Giải phương trình hồnh độ giao điểm Vậy S  x  16  x 6 16  S1  16 x  16 dx  16 yqcQ)dpqs16Rpq^6$16Eq^6$16= 16 Vậy S1  (đúng)  đáp án xác A VD4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  trục Oy : A B C GIẢI Oy  Hai hàm số x  y  trục có phương trình x 0 D 16 Giải phương trình tung độ giao điểm y  0  y 1 Vậy cận thứ y  cận thứ hai y 1  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x  y  , x 0 hai đường thẳng y  1, y 1 : S   y  1  dy 1 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp1Rp1E1= Trang 3/13  đáp số xác C  Bình luận :  Bài tốn nên đưa dạng dễ dàng tính tốn Nếu đưa dạng ta phải tính y  x  lại phải tìm cận khó  Ta hiểu với máy tính X hay Y kí hiệu nên Vậy S  1 S   y  1  dy  x  1  dx 1 1 Nên ta thực phép tính với máy tính casio VD5-[Sách tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x  y , đường cong x  y 2 trục hoành A B C 5 D GIẢI 4  Hai hàm số x  y x 2  y Trục hồnh có phương trình y 0  cận thứ y 0 Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm : y 2  y Để giải nhanh ta sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE Q)^a2R3$$+Q)^4$p2qr1= cận thứ hai y 1  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x  y , x 2  x hai đường  23  thẳng y 0, y 1 : S  y     y  dy   Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)^a2R3$$p2+Q)^4R0E1= Vậy S 2  đáp số xác A  Bình luận :  Do cài đặt làm trịn máy tính máy nên ta nhanh nhạy việc làm trịn để tìm đáp án VD6-[Thi thử lớp tốn thầy Bình lần năm 2017] Trang 4/13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn Elip có phương trình x  A  B 3 C y2 1 9 GIẢI  Ta có x  D 7 y y y2  y2 Hai hàm số x   1  x 1   x   9 9 y2 Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm : x  1 y2 y2 y2  1  1 0  y 9  y 3 9 y  cận thứ cận thứ hai y 3  1  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x   đường thẳng y  3, y 3 : S    3 y2 y2 , x  1 hai 9 y2  y2     1  dy   Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc2s1paQ)dR9Rp3E3= Vậy S 9.4247 3  đáp số xác B  Bình luận :  Trong chương trình lớp 10 sách giáo khoa đề cập đến tính chất hình Elip chưa đề cập đến cơng thức tính diện tích Elip việc sử dụng tích phân để tính diện tích Elip ứng dụng tuyệt vời VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB, CD đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB 2  m  , AD 2  m  Tính diện tích đất phần cịn lại (đơn vị tính m ) A 4  B    1 C   D   GIẢI  Diện tích hình chữ nhật ABCD : S1  AB.CD 4  m   Hình sin có biên độ 1 chu kì 2 nên có phương trình : y sin x Gắn hinh lên trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O giao điểm đồ thị hình sin với trục hồnh MN Trang 5/13  Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành : S sin x  dx 2 qw4yqcjQ))p0R0EqK= Diện tích cần tìm S1  2S 4   đáp số xác B  Bình luận : Nếu đề thay đổi thành AD 4 biên độ hình sin 2 có phương trình y 2sin x VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y e x , y 0, x 0  x ln Đường thẳng x k   k  ln  chia  H  thành hai phần có diện tích S1 , S hình vẽ bên Tìm k để S1 2S 2 A k  ln B k ln C k ln D k ln 3 GIẢI ln  x Gọi S diện tích hình  H  ta có S   e  dx 3 yqcQK^Q)R0Eh4)= k  Vì S1 2S mà tổng diện tích  S1 2  e x dx 2 Thử đáp án ta có k ln yqcQK^Q)R0Eh3)=  Đáp số xác D VD9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Ông An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng Trang 6/13 hoa 100.000 đồng m Hổi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất ? (Số tiền làm trịn đến hàng ngàn) A 7.862.000 B 7.653.000 C 7.128.000 D 7.826.000 GIẢI  Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn x2 y2  1 64 25 x2 64 Diện tích S dải đất lần phần hình phẳng giới hạn đồ thị y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  , đường thẳng x 4 Xét phần đồ thị Elip nằm phía trục hồnh có y 5   x2  S 2 5   dx 76.5389182 64 4 2yqc5s1paQ)dR64Rp4E4=  Số tiền cần 100.000S O100000=  Đáp số xác B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x , đường thẳng y 2  x trục hoành miền x 0 : A B C 14 15 C 20 C D D 15 Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  y  x  x  A 15 B 10 B 15 Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y  x  : A 40 D 52 Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x đồ thị hàm số y 3  x trục tung Trang 7/13 A  ln B  ln C  ln D  Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm tốn 12] Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y ln x , y 0 , x   1 thể viết dạng S a    Tìm khẳng định sai :  e A a  3a  0 B a2  a  0 ln , x e có e C a2  3a  0 D 2a  3a  0 Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  P  : y x  x  tiếp tuyến với  P qua điểm A  2;   : A B 64 C 16 D 40 Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y 2 ax  a   , trục hoành đường thẳng x a ka Tính giá trị tham số k A k  B k  C k  12 D k  LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x , đường thẳng y 2  x trục hoành miền x 0 : A B C 10 D GIẢI  x 1  Phương trình hồnh độ giao điểm x 2  x   Tuy nhiên đề yêu cầu tính diện  x  tích miền x 0  Ta tính diện tích hình phẳng miền  0;1  Cận thứ x 0 , cận thứ hai x 1 x    x  dx   Diện tích cần tính : S  yqcQ)dp(2pQ))R0E1=  Chú ý: Nếu đề khơng u cầu tính diện tích hình phẳng miền x 0 ta tính toàn miền   2;0 Ta có : S  x    x  dx  Nếu đề yêu cầu tính diện tích hình phẳng miền x 0 ta tính miền   2; 0 Ta 10 có : S  x    x  dx  Trang 8/13 Các e học sinh ý điều dễ gây nhầm lẫn Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  y  x  x  15 A  B 14 15 C 15 D GIẢI 15  x 0  Phương trình hồnh độ giao điểm x  x   x  x   x  x 0  x  x  1   x 1  x  4 2  Ta có cận thứ x  , cận thứ hai , cận thứ ba x 1 x  x  1   x  x  1 dx    x  x  1   x  x  1 dx   Diện tích cần tính : S   1 15 yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4$+Q)p1)Rp1E0$ +yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4+Q)p1)R0E1=  Đáp số xác C  Chú ý: Em hiểu phép biến đổi tính diện tích bấm máy theo công thức 1 S  x  x dx   x  x dx rút gọn thao tác bấm máy Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y  x  : A 10 B 20 C 40 D 52 GIẢI 2  Phương trình hồnh độ giao điểm x   x   x   x   x  x  0 (1) Với x 0  (1)  x  x  0  x 2 (vì x 0 ) Với x   (1)  x  x  0  x  (vì x  )  Cận thứ x  , cận thứ hai x 2 20 x    x  3 dx   Diện tích cần tính : S  2 yqcQ)d+1pqcQ)$p3Rp2E2=  Đáp số xác B  Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối x  x  0 giải Casio thay chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối Q)dpqcQ)$p2qrp5= Trang 9/13 qr5=  Ta tìm hai nghiệm x  2; x 2 Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x đồ thị hàm số y 3  x trục tung A  ln B  ln C  ln D  ln GIẢI  Đề cho trục tung có phương trình x 0 nên cận thứ x 0 Phương trình hồnh độ giao điểm x 3  x  x 1 nghiệm  cận thứ hai x 1 x    x  dx 1.0573    Diện tích cần tính : S  ln yqc2^Q)$p(3pQ))R0E1=  Đáp số xác A  Chú ý: Để giải phương trình x 3  x ta sử dụng máy tính Casio 2^Q)$Qr3pQ)qr1= Ta nhận nghiệm x 1 Tuy nhiên x 1 lại nghiệm xem lại “Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ.” Bài 5-[Đồn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm toán 12] Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y ln x , y 0 , x  , x e có e  1 thể viết dạng S a    Tìm khẳng định sai :  e A a  3a  0 B a2  a  0 C a2  3a  0 D 2a  3a  0 GIẢI Trang 10/13  Diện tích hình phẳng giới hạn y ln x , y 0 , x  , x e : e e S ln x  dx 1.2642 e yqchQ))Ra1RQKEEQK=  S  1 S a     a  2 Vì  e 1 e P(1pa1RQK$)= Chỉ có phương trình câu C không chứa nghiệm  đáp án C đáp án xác  Chú ý: Bài khơng cần dùng đến kiến thức tích phân làm Đề u cầu tìm đáp án mà số a không thỏa mãn  a nghiệm chung phương trình Mà nghiệm chung phương trình nên đáp số C không thỏa mãn Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  P  : y x  x  tiếp tuyến với  P qua điểm A  2;   : A B 64 C GIẢI  Viết phương trình tiếp tuyến qua A  2;   ta thu 16 D 40 Tiếp tuyến thứ y  x  với tiếp điểm B  0;  Tiếp tuyến thứ hai y 6 x  14 với tiếp điểm C  4;10  Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích phần đường cong có đỉnh A, B, C ta thu ba cận : x 0; x 2; x 4 16  S  x  x      x   dx   x  x     x  14  dx  yqc(Q)dp2Q)+2)p(p2Q)+2)R0E2$+yqc(Q)dp2Q)+2)p(6Q)p14)R2E4=  Đáp số xác C  Chú ý: Để biết tiếp tuyến lại y  x  2; y 6 x  14 xem lại Casio tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số Trang 11/13 Giải thích cơng thức (1) : Trên miền x   0; 2 ta thấy hai cận hình thành hai đường cong y x  x  2; y  x  nên diện tích phải tính theo cơng thức  x  x      x   dx Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y 2 ax  a   , trục hoành đường thẳng x a ka Tính giá trị tham số k A k  B k  C k  12 D k  GIẢI  Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong trục hoành : ax 0  x 0 Ta cận thứ x 0 cận thứ hai x a Khi diện tích hình phẳng : a S 2 ax  dx a  Thiết lập quan hệ a 2 ax  dx ka  k  2 ax  dx 0 a Chọn giá trị dương a ví a 3x  dx 1.33  3   90 a1R9$Oy2s3Q)R0E3= dụ a 3 k  Ra kết khác đáp án A sai  Đáp số xác B  Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương a đáp số k ví dụ ta chọn a 1.125 1.125 1.125x  dx 1.33  3  Khi k   1.125 a1R1.125d$y2s1.125Q)R0E1.125= Trang 12/13