Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −Tìm nghiệm phương trình 3y” + y 0 − 2y = 0 thỏa điều kiện y(0) = 0, y0 (0) = 5 3 . A. y = e 3x2 + e −x B. y = e 2x3 − e −x C. Các câu khác sai D. y = e 2x3 + e −x E. y = e 3x2 − e −x Câu 2. Nghiệm riêng của phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = 1 là: A. Các câu khác sai B. y = 2x 2 −
Tr˜Ìng Чi HÂc Bách Khoa Tp.HCM Khoa Khoa hÂc ˘ng dˆng BỴ mơn: Tốn ˘ng dˆng ĐÁP ÁN MƠN THI GIÉI TÍCH Mơn thi: Gi£i Tích 1-MT1003 Ngày thi: 06 tháng 01 n´m 2020 ThÌi gian thi: 100 phút Khơng dùng tài liªu Đ∑ thi ci k˝ 191 NÀI DUNG TRÉ LÕI ĐIöM S» Câu (1 đi∫m) Khi t → −1+ x(t) → +∞ y(t) → +∞, xét lim+ t→−1 y(t) t3 = lim+ = +∞, x(t) t→−1 (t + 1)ln(t + 1) 0.5 đi∫m ta khơng có tiªm c™n tr˜Ìng hỊp này.có tiªm c™n tr˜Ìng hỊp nàycó tiªm c™n tr˜Ìng hỊp Khi t → +∞ x(t) → v y(t) +, ta cú mẻt tiêm cn ng 0.5 đi∫m Câu (1 đi∫m) Kho£ng cách gi˙a hai chòt im tĐi thèi im t = l s1 (8) − s2 (8)� ��� ��� ��� �� �s1 (8) − s2 (8)� = ���� (v1 (s) − v2 (s))ds + s1 (0) − s2 (0)���� = 0.8 ��� ��� �0 � 0.5 đi∫m 0.5 đi∫m Câu (1 đi∫m) T§i đi∫m k˝ d‡ +∞, ln(x) + x − √ ∼ 1�3 x +x+2 x Do I phân k˝ 0.5 đi∫m 0.5 đi∫m Câu (1 đi∫m) Hàm h1 (t) = e3−t + t + 21t + t´ng [0,3], ú Đt Đi băng 81 tĐi t = 0.5 đi∫m Hàm h2 (t) = t −24t +144 gi£m đo§n [3,12], h2 (t) ≤ 81 trờn oĐn ny Kt lun: mác nểc Đt Đi t = 0.5 đi∫m Câu (1 đi∫m) Đ∞t u = x2 +y2 , chuy∫n v∑ d§ng u′ −xu = 2x Gi£i ta đ˜Òc u = −2+Ce Do x + y2 = −2 +Ce x2 �2 x2 �2 Dùng đi∑u kiªn y(1) = ta tìm đ˜Ịc C = 4e −1�2 K∏t lu™n: x2 + y2 = −2 + 4e −1�2 e x2 �2 0.5 đi∫m 0.5 đi∫m Ghi chú: có th∫ gi£i tốn theo cách gi£i cıa ph˜Ïng trình Bernoulli Câu (1 đi∫m) Ta có � Tìm nguyên hàm � t x dx = lim− � t→3 3−x I=� Đ∞t u= ta đ˜Òc � � � x dx 3−x x , 3−x x dx 3−x 0.5 đi∫m � � 1 du = du − du � � 2 � + u2 � (1 + u2 ) (1 + u2 ) 1 = 6�arctanu − � du�� −� × 2 −2u + u 2u (1 + u2 ) u � +C = 3�arctanu − + u2 � � � x(3 − x) � x = arctan� �− +C 3−x � � 6u2 I=� T¯ tìm đ˜Ịc: � � x 3p dx = 3−x 0.5 đi∫m Câu (1 đi∫m) Kh˚ y ta tìm đ˜Ịc ph˜Ïng trình theo x ∶ x” − 3x′ + x = 3t Gi£i ta đ˜Òc: √ 5�t x(t) = C1 e �3− 0.5 đi∫m √ 5�t +C2 e �3+ + 3t + Th∏ vào ph˜Ïng trình đ¶u tìm y: √ √ √ √ 1 5−1 5+1 �3− 5�t − y(t) = 3t + + C1 e C2 e �3+ 5�t 2 0.5 đi∫m Câu (2 đi∫m) a GÂi V (t) th∫ tích n˜Ĩc thùng t§i thÌi đi∫m t (giây) Khi ú ẻ cao h(t) ca mác nểc quan vểi V (t) bi (dùng cơng th˘c th∫ tích v™t th∫ tròn xoay cho hàm sË x = y+1 )∶ y+1 V (t) = p � � � dy 0.5 đi∫m h(t) 0.5 đi∫m b D®n đ∏n h(t) + V (t) = p � � h′ (t) ′ Theo gi£ thi∏t V ′ (t) = 0.25, ta tìm đ˜Ịc h′ (t0 ) = 16 (m/giây) 9p VĨi t0 thÌi đi∫m m¸c n˜Ĩc cao 0.5 m Câu (1 đi∫m) Theo mơ hình vểi C l hăng sậ P = CPln 2000 , P 0.5 đi∫m 0.5 đi∫m V™y D®n đ∏n v™y vĨi D l hăng sậ dP = Cdt Pln 2000 P 0.5 đi∫m d (ln(P)) � ln(2000) − ln(P) = � Cdt, −ln�ln(2000) − ln(P)� = Ct + D, S˚ dˆng đi∑u kiªn P(0) = 400 P(3) = 1000 ta tìm đ˜Ịc D = −ln(ln(5)), V™y sË l˜Ịng muÈi sau tu¶n ln5 � C = ln� ln2 −5C−D P(5) = 2000e−e 0.5 đi∫m ≈ 1347 Ngèi Ch nhiêm bẻ mụn Phựng TrÂng Th¸c Nguyπn Ti∏n DÙng Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ ÔN THI GIẢI TÍCH HK191 Ngày thi: Thời gian: 100 phút Hình thức thi tự luận: Đề gồm 10 câu Sinh viên không sử dụng tài liệu NỘI DUNG ÔN TẬP Khảo sát hàm số y = f (x) đường cong tham số x = x(t), y = y(t).(Chỉ xét tiệm cận cực trị.) Vận dụng định nghĩa, ý nghĩa tích phân xác định toán thực tế Vận dụng định lý giá trị trung bình, định lý vi tích phân, cơng thức Newton-Leibnitz tốn cụ thể Khảo sát tính tích phân suy rộng (khơng cho tích phân hỗn hợp) ứng dụng hình học tpxđ (4 loại) Ứng dụng thực tế ptvp cấp (nội dung file Nội dung họp ngày 03/08 gửi đến Thầy Cô vào đầu học kỳ) Ptvp cấp tuyến tính hệ số hệ ptvp tuyến tính cấp hệ số (khơng có tốn thực tế) ĐỀ Câu : Tìm tất tiệm cận đường cong cho phương trình tham số: x(t) = t − , t y(t) = t + + t Câu : Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm f hình vẽ Biết f (1) = −2, xác định giá trị f (2), f (3), f (4) phác họa lại đồ thị f (x), ≤ x ≤ 4, rõ vị trí điểm cực trị Câu : Tại thành phố A, mức thải khí N O2 từ sáng đến chiều vào ngày tháng cho mơ hình I(t) = 0.03t3 (t − 7)4 + 60.2, ≤ t ≤ 7, I tính theo số PSI (1 PSI = 14.7 atm) Xác định thời điểm số PSI cao thấp khoảng thời gian Câu : Giải phương trình vi phân xy + x2 + xy − y = 0, x > ( x0 = 7x + 3y − 2et Câu : Tìm hàm x(t), y(t) thỏa mãn y = 3x − y Câu : Hàm chi phí cận biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm A C (x) = 0.05x2 − 0.4x + 6(USD/1đơn vị sản phẩm), xác định tổng chi phí để sản xuất 500 đơn vị sản phẩm biết phí cố định 2000USD Câu : Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo miền phẳng D giới hạn đường cong y=√ , y = 0, ≤ x < +∞ x2 + 6x + 10 quay quanh trục Ox Câu : Cho y = f (x) có đồ thị hình vẽ Đặt g(x) = g (x) x = 1; x = 2; x = Rx f (x)dx Tìm Câu : Trong cộng đồng dân cư có n người, dịch cúm xuất hiện, tốc độ lây lan bệnh (tốc độ biến động số người mắc bệnh theo số ngày) tỷ lệ thuận với số người nhiễm bệnh số người chưa nhiễm bệnh Giả sử cộng đồng có 2000 người ban đầu có người nhiễm bệnh, sau 20 ngày, số người mắc bệnh 15, xác định số người nhiễm bệnh sau tháng Câu 10 : Khảo sát hội tụ tích phân Z3 I= √ sin x dx 3x − x2 ĐỀ Tìm tất đường tiệm cận đường cong xác định phương trình tham số: ( x(t) = te−t − t − y(t) = t3 + 2t + Công ty A sản xuất mặt hàng Sau t tháng kể từ bắt đầu bán sản phẩm này, số tiền thu cho hàm số 750t S(t) = √ (USD) 4t2 + 25 Sử dụng định lý giá trị trung bình tích phân để tính số tiền trung bình thu tháng kể từ ngày công ty bắt đầu bán sản phẩm cho biết thời điểm mà số tiền thu đạt mức trung bình Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Tính I = Rd [2f (x) − 3x + 7] dx a Một loại đồng hồ đeo tay có mức giá phụ thuộc vào nhu cầu thị trường hàng tháng xác định hàm số: 50 , ≤ x ≤ 20, p(x) = 0.1x2 + x tính theo đơn vị ngàn p tính theo đơn vị USD Hỏi số lượng bán đạt doanh thu lớn theo mơ hình trên? Một mặt cầu có bán kính r = 5dm, cắt mặt cầu phẳng song song cách mặt phẳng qua tâm theo khoảng a b để tạo mảnh cầu hình vẽ Biết a = 3dm, b = 4dm Tính diện tích mảnh cầu Giải phương trình vi phân y 00 + 3y = xe−x Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân xy − y(ln y − ln x) + y = thỏa điều kiện y(1) = e xα Cho miền phẳng D giới hạn hai đường cong y = x − x + √ x+1 y= , ≤ x < +∞ Xác định tất giá trị α để diện x +x+1 tích hữu hạn Trong phân xưởng tích 10800m3 , khơng khí chứa 0.12% CO2 Quạt thơng gió đưa khơng khí với 0.04% CO2 vào phòng với tốc độ 200 m3 /phút, khơng khí phịng trộn hút với tốc độ Tìm số phần trăm CO2 cịn lại phịng sau 10 phút quạt thơng gió làm việc 10 Một chất điểm chuyển động dọc theo đường thẳng có vận tốc mơt tả theo đồ thị bên Dùng tổng tích phân ước tính quãng đường chất điểm phút (viết rõ cách phân hoạch cách chọn điểm để tính vận tốc đoạn chia) Giảng viên phụ trách đề thi Trưởng Bộ môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM Khoa Khoa học ứng dụng-BM Toán ứng dụng ĐỀ THI GIỮA KỲ HK192 Mơn: Giải tích Ngày thi: 07/06/2020 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 18 câu/4 trang) Giờ thi: CA Mã đề thi 7611 Thời gian làm bài: 100 phút, không kể thời gian phát đề Sinh viên không sử dụng tài liệu PHẦN I: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Thời gian: 50 phút Câu Tìm nghiệm phương trình 3y” + y − 2y = thỏa điều kiện y(0) = 0, y (0) = A y = e3x/2 + e−x E y = e3x/2 − e−x B y = e2x/3 − e−x C Các câu khác sai Câu Nghiệm riêng phương trình (x + 2y)dx = xdy thỏa điều kiện y(1) = là: A Các câu khác sai B y = 2x2 − 2x + C y = 2x2 − x E y = 2x2 + x − D y = e2x/3 + e−x D y = x2 − x + Câu Trong hình bên dưới, cho biết diện tích S2 gấp lần diện tích S1 Tìm mối liên hệ hoành độ a điểm A hoành độ b điểm B √ Za Câu Tính tích phân I = A Các √ câu khác sai E − a2 − − √ B b = a A Các câu khác sai E b = 4a √ C b = a xdx , ∀a ≥ x2 − √ B − a2 − √ C a2 − D b = 3a √ D a2 − − Câu Thân nhiệt bệnh nhân bắt đầu uống thuốc hạ sốt 400 C thay đổi với tốc độ t2 −2.6t(0 ≤ t ≤ 3) độ / giờ, t số kể từ uống thuốc hạ sốt Tìm cơng thức cho thân nhiệt T (t) (độ C) bệnh nhân sau t thân nhiệt bệnh nhân sau uống thuốc t3 13 A Các câu khác sai B T (t) = − t2 + 37, 370 C 10 t3 13 t3 13 C T (t) = − t + 40, 37 C D T (t) = − t2 + 40, 37.30 C 10 10 t3 13 E T (t) = − t2 + 37, 37.30 C 10 Câu Từ liệu camera giao thông gắn đoạn đường trong cao điểm buổi chiều người ta ước tính từ 16h30 đến 17h30, phút có R(t) = 100 − 0.0001t2 tơ vào đọan đường này, t thời gian (tính phút) kể từ 16h30 (t = ứng với 16h30) Tìm lượng tơ trung bình phút vào đường nửa giờ cao điểm A Các câu khác sai B 291 (ô tô phút) C 97 (ô tô phút) D 103 (ô tô phút) E 309 (ô tô phút) , ≤ x ≤ 4, quay xung quanh x trục Ox Nếu đơn vị trục tọa độ tính theo decimet (dm), tính diện tích vành loa (theo dm2 ) Câu Loa phóng có vành nhơm hình dạng phần đường cong y = A Các câu khác sai E 5.15π B 4.71π C 3.67π D 3.52π Câu Hàm số nghiệm phương trình y 00 + 4y = với điều kiện y(1) = −3, y (1) = 1? 11 11 11 A Các câu khác sai B − e−4x − C 4e−4x − D − e4−4x − e 4 4 4−4x 11 E − e − 4 Câu Tính giá trị trung bình A f (x) = x3 , ≤ x ≤ tìm x0 ∈ [0, 2] cho f (x0 ) = A √ D A = x0 = A Các câu khác sai B A = x0 = C A = x0 = √ E A = x0 = 28 2x nghiệm riêng phương trình 2y” − y − y = 4xe2x , nghiệm tổng quát phương Câu Biết e x− 25 trình 28 x x− A Các câu khác sai B C1 ex + C2 e + e2x 25 28 28 x x C C1 ex + C2 e− + e2x 4x − D C1 ex + C2 e− + e2x x− 25 28 x E C1 ex + C2 e− − e2x x− 25 Câu 10 Hàm số y = 2e5x khơng phải nghiệm phương trình nào? A Các câu khác sai B y 00 − 9y + 20y = C y 00 + 7y + 10y = 00 00 D 2y − 13y + 15y = E y − 25y = Câu 11 Gọi V = V (t) kích thước khối u tuần thứ t tính từ thời điểm Theo mơ hình Gompertz , tốc độ tăng L thể tích khối u tuần thứ t tỷ lệ thuận với hàm số ln , L kích thức lớn khối u ứng với V mức dinh dưỡng bệnh nhân Phương trình vi phân sau mơ tả thay đổi kích thước khối u theo thời gian t L L 0 , với k số dương B V = k ln , với k số âm A V = k ln V V k , với k số dương C V = D Các câu khác sai L ln V k , với k số âm E V = L ln V 2x+1 Z Câu 12 Cho f (x) = et dt, giá trị f (0) t3 + 1 A Các câu khác sai E 4e B e C e D 4e Trang 2/3- Mã đề thi 2024 Câu 13 Hai hàm số f (x), g(x) liên tục R có số giá trị cho bảng bên Đồ thị hàm f (x) nằm đồ thị g(x) Sử dụng tổng Riemann trung tâm (tổng giữa) với phân hoạch (∆x = 1) để ước tính thể tích vật thể tạo miền phẳng giới hạn đường cong y = f (x), y = g(x), x = −1, x = quay xung quanh trục Ox Bỏ qua đơn vị thể tích x f(x) g(x) A ≈ 2207π E ≈ 2571π -1 -20 -41 B ≈ 2371π Câu 14 Xét phương trình vi phân y = −1 + -0.5 -23 -39 -27 -34 0.5 -30 -36 -27 -39 C ≈ 3102π r 1+ 1.5 -25 -38 -21 -32 D Các câu khác sai y y Nếu đặt u = nghiệm tổng quát phương trình với ẩn hàm u x x tính công thức đây? Z Z dx du √ = A Các câu khác sai B x Z u+1−u−1 Z Z Z dx dx du du √ √ = = C D x 2x u+1+u−1 Z u+1+u+1 Z du 2dx √ E = x u+1−u−1 2x √ Câu 15 Cho phương trình vi phân y − y sin(x) = √ Nếu đặt z = y y, phương trình cho có dạng y 3z A Các câu khác sai B z − z sin(x) = 3x C z − sin(x) = 3x 3z 3x 3x D z − sin(x) = E z − 3z sin(x) = 2 Câu 16 Nghiệm riêng phương trình y 00 − 2y − 8y = − 32x tìm phương pháp hệ số bất định x 11 11 B − C 2x + D Các câu khác sai A 4x − 8 E −x − Câu 17 Một non có dạng miền giới hạn parabol y = − 4x2 , y = 0, x ≥ quay xung quanh trục Oy Hòn non đặt hồ nước nước chiếm chiều cao Đơn vị trục tính theo mét (m) Tính phần thể tích phía mặt nước non theo m3 A Các câu khác sai E 0.13π B 0.07π C 0.09π D 0.16π cos(x) + a thỏa y(π) = 2π với a số Biết tiếp tuyến đường sin(y) cong nghiệm nằm ngang x = 0, xác định y(x) A Các câu khác sai B y = sin(x) + cos(y) + − π C sin(x) − cos(y) + x = −π D sin(x) + cos(y) − x = − π E y = sin(x) − cos(y) + π Câu 18 y = y(x) nghiệm phương trình y = Trang 3/3- Mã đề thi 2024 ĐÁP ÁN Mã đề thi 2024 Câu D Câu B Câu D Câu 13 A Câu B Câu D Câu 10 C Câu 14 B Câu E Câu E Câu 11 A Câu 15 C Câu E Câu C Câu 12 C Câu 16 A Câu 17 B Câu 18 D Trang 1/3- Mã đề thi 2024 Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin − x √ √ Câu : Cho miền phẳng D giới hạn : y = 2x − x2 , y = 2x, ≤ x ≤ Tính diện tích bề mặt vật thể tạo miền D quay xung quanh trục Ox (Kể đáy) Z 1 √ dx Câu : Tìm tất số thực α để tích phân sau hội tụ I = α (x + 1) x arctan x Câu : Tính giá trị tích phân câu α = Câu : Tìm nghiệm phương trình vi phân y 00 = 2e−2x − sin 2x + cos 2x − 4y với điều kiện đầu: y(0) = , y (0) = Câu : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối Người ta bơm vào bể chứa dung dịch nước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch đưa với tốc độ 12 lít/phút a/ Hãy xác định thể tích dung dịch bể chứa sau t phút b/ Gọi y(t) số kilogram muối lại thùng sau t phút, xác định nồng độ muối bể sau t phút theo t y(t) c/ Chứng minh lượng muối bể sau t phút nghiệm phương trình vi 12y với điều kiện đầu y(0) = 50 phân: y = 0.05 − 2000 − 2t d/ Tìm y(t), từ tính lượng muối cịn lại thùng sau 10 phút Chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐÁP ÁN CA 1 Câu MXĐ : −1 ≤ − ≤ ⇔ x ≥ x 0 f (x) = − √ , f (x) = ⇔ x = (0.25đ) x 2x − TCX : y = x − π/2 (0.25đ) BBT (0.5đ) x y0 y + π +∞ − + & % +∞ Đồ thị (0.5đ) Chú ý: Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn điểm Kết luận cực trị TCX sai BBT khơng có hay sai TCX: tối đa 0.75đ Z √ √ Câu S1 = 2π Z S2 = 2π r √ 1 = 8.8874(0.25đ+0.25đ) 2x + dx = 2π 3− s2x 2x − x2 1+ (1 − x)2 dx = 2π = 6.2832 (0.25đ+0.25đ)(Có thể dùng 2x − x2 cơng thức hình học để tính) √ S3 = 2π− π = π(diện tích hình vành khăn, R1 = 1, R2 = 2)(0.5đ) √ S = 2π 3+ = 18.2132(0.5đ) a Câu TH1 : α ≤ 0, ≤ f (x) ∼ √ , x → 0+ : Hội tụ (0.5đ) x 1+α TH2 : α > 0, ≤ f (x) ∼ 1+α , I hội tụ ⇔ < 1, α > ⇔ ≤ α ≤ (0.5đ) x Z 1 p Câu I = I = √ dx x arctan x (x + 1) √ dt Đặt t = arctan x ⇒ dx = √ (0.5đ) x(1 + x) Z π dt √ √ √ (0.5đ)= t|0π/4 = π (0.5đ) Chú ý: Có thể đổi biến khác nhau, I = t đến tpxđ cuối ĐÚNG:(tối đa 1đ) Câu ptđt k + = ⇔ k = ±2i; y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x (0.5đ) yr = Ae−2x + x(B cos 2x + C sin 2x) (0.5đ) A = , B = 1, C = −2x → yT Q = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e + x cos 2x + 2x sin 2x (0.5đ) Thay điều kiện đầu: C1 = 1, C2 = (0.5đ) Câu a/ V (t) = 2000 + 10t − 12t = 2000 − 2t (0.25đ) y(t) b/ Nồng độ muối sau t phút : (kg/lít) (0.25đ) V (t) c/ Tốc độ thay đổi lượng muối bể y (t) = Tốc độ muối vào - tốc độ muối (0.25đ) d/ y(t) = 10−2 (1000 − t) + C ∗ (1000 − t)6 (0.5đ) C = ∗ 10−17 (0.25đ) y(10) = 47, 56kg (0.5đ) Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2018 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu xe x , x > Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 ,x ≤ x3 − Câu : Cho miền D giới hạn y ≥ 0, x2 + y ≤ 2, x2 + y ≥ 2y Tính thể tích vật thể tạo trịn xoay tạo quay miền D quanh trục Oy Z +∞ q Câu : Tính tích phân I = dx x − x2 Z +∞ Câu : Tìm tất số thực α > để tích phân I = ( x0 (t) = −2x + 5y + e3t Câu : Giải hệ phương trình y (t) = 2x + y + 8e3t xα − lnα (1 + x) dx HỘI TỤ (x3 + arctan x2 )α Câu : Khi pha 300 lít dung dịch thùng để sản xuất, người cho nhầm bao 10kg hóa chất Do đó, người ta phải pha lỗng dung dịch cách cho nước tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy với tốc độ lít / phút liên tục đến lượng hóa chất thùng kg 1/ Nếu gọi y(t) số kilogram hóa chất có thùng sau t phút tỉ lệ hóa chất thùng sau t phút bao nhiêu? y(0) bao nhiêu? 2/ Tốc độ thay đổi tỉ lệ hóa chất thùng thời điểm t0 y (t0 ) tính cơng thức nào? y 3/ Chứng minh hàm y(t) nghiệm phương trình vi phân y (t) = − với điều 60 kiện đầu y(0) = 10 Tìm y(t)? 4/ Sau phút lượng hóa chất thùng đạt yêu cầu 5kg? Chủ nhiệm môn duyệt TS Nguyễn Tiến Dũng ĐÁP ÁN CA √ Câu 1: MXĐ : (−∞, +∞), gpt y = : x = − 2, x = 1(0.25đ) TC: x = 0, y = 0, y = x + 1(0.25d) BBT (0.5đ) √ −∞ −32 +∞ x y − 0√ + k − + y & − % 0| + ∞ & e % +∞ Đồ thị (0.5đ) Chú ý: Không kết luận cực tiểu BBT cho trọn điểm Kết luận cực trị TC sai BBT: tối đa 0.75đ Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay √ Oy pt chẵn với x nên cần tính nửa bên phải, giao điểm:(0, 0), (1, 1), ( 2, 0) hoặc√ vẽ hình (0.5d) Z Z √ √ x − − x dx + 2π Vy = 2π x − x2 dx(0.5d) = π(0.5d) Z Z Z +∞ 1 −dt −dt √ √ √ √ dx (0.5d)= + dx+ (0.5đ) Câu 3: I = 2 x x2 − 4t2 − 1 − 4t x 4−x 2 √ π √ 1 1 2 I = ln 2t + 4t − | + arcsin 2t|0 (0.5d)= ln + + ≈ 1, 444 (0.5d) 2 2 Z Z +∞ Câu 4: I = f (x)dx + f (x)dx = I1 + I2 Z α α+1 x x2α α > nên I1 HT ↔ α < 2(0.5d) α xα−1 x 1 Khi x → +∞ : f ∼ 3α = 2α > nên I2 HT ↔> x x Vậy HT ↔ < α < 2(0.5d) 00 x + x0 − 12x = 42e3t x = C1 e3t + C2 e−4t + ate3t Câu 5: Khử hàm: (0.5d) → 00 3t y + y − 12y = 42e y = C1 e3t + C2 e−4t + ate3t x = C1 e3t + C2 e−4t + 6te3t (0.5d) → (0.5d) 3t −4t 3t y = C1 e + C2 e + 6te x = C e3t − C e−4t + 6te3t − e3t x = C1 e3t + C2 e−4t + 6te3t Nghiệm pt 2 y = C1 e3t − C2 e−4t + 6te3t + e3t y = C e3t + C e−4t + 6te3t Khi x → 0+ : f ∼ = y(t) , y(0) = 10 (0.5d) 300 y 2/y (t) = − (0.5d) 300 −t 3/y = 10e 60 (0.5d) 4/y = ↔ t = 60 ln ≈ 42 (phút) (0.5d) Câu 6: 1/Tỉ lệ: (0 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng Dụng ĐỀ THI CHK181 – Mơn: GIẢI TÍCH Ngày thi: 07-01-2019 Thời gian: 90 phút Ca thi: CA Hình thức tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑥 > 𝐂â𝐮 𝟏: Khảo sát vẽ đồ thi hàm số 𝑦 = { 𝑥 ,𝑥 ≤ 𝑥3 − 𝐂â𝐮 𝟐: Cho miền D giới hạn 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 + 𝑦 ≥ 2𝑦 Tính thể tích vật thể tạo trịn xoay tạo quay miền D quanh trục Oy +∞ 𝐂â𝐮 𝟑: Tính tích phân 𝐼 = ∫ 1 𝑥√|4 − 𝑥 | 𝑑𝑥 +∞ 𝐂â𝐮 𝟒: Tìm tất số thực α > để tích phân 𝐼 = ∫ 𝐂â𝐮 𝟓: Giải hệ phương trình { 𝑥 𝛼 − 𝑙𝑛𝛼 (1 + 𝑥) 𝑑𝑥 HỘI TỤ (𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 )𝛼 ′ (𝑡) 𝑥 = −2𝑥 + 5𝑦 + 𝑒 3𝑡 𝑦 ′ (𝑡) = 2𝑥 + 𝑦 + 8𝑒 3𝑡 Câu 6: Khi pha 300 lít dung dịch thùng để sản xuất, người cho nhầm bao 10kg hóa chất Do đó, người ta phải pha loãng dung dịch cách cho nước tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy với tốc độ lít/ phút liên tục đến lượng hóa chất thùng cịn 5kg 1/ Nếu gọi y(t) số kilogam hóa chất có thùng sau t phút tỉ lệ hóa chất thùng sau t phút bao nhiêu? y(0) bao nhiêu? 2/ Tốc độ thay đổi tỉ lệ hóa chất thùng thời điểm t0 𝑦′(𝑡0 ) tính cơng thức nào? 𝑦 3/ Chứng minh hàm 𝑦(𝑡) nghiệm phương trình vi phân 𝑦 ′ (𝑡) = − 60 với điều kiện đầu 𝑦(0) = 10 Tìm 𝑦(𝑡)? 4/ Sau phút lượng hóa chất thùng đạt u cầu 5kg? Chủ nhiệm môn TS Nguyễn Tiến Dũng Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ ĐÁP ÁN Câu 1: Tập xác định D=R 1 𝑒 𝑥 (1 − ) , 𝑥 > 𝑥 𝑦′ = −𝑥 − 2𝑥 ,𝑥 < { (𝑥 − 1)2 Xét 𝑦 ′ = 0: 1 𝑒 𝑥 (1 − ) = → 𝑥 = 1(Nhận) 𝑥 ; −𝑥 − 2𝑥 = → 𝑥 = − √2(Nhận) x = 0(Nhận) (𝑥 − 1)2 lim+ 𝑦 = lim+ 𝑥𝑒 𝑥 = +∞ → Có tiệm cận đứng x = 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2 lim 𝑦 = lim− =0 𝑥→0− 𝑥→0 𝑥 − 1 lim 𝑦 = lim 𝑥𝑒 𝑥 = lim 𝑥 (1 + 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 1 + 𝑜 ( )) = 𝑥 + → Có tiệm cận xiên y = x + 𝑥 𝑥 𝑥2 lim 𝑦 = lim = → Có tiệm cận ngang y = 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥 − Bảng biến thiên x y’ −∞ − − √2 0 + − +∞ + +∞ +∞ y 𝑒 0 −√4 Hàm số có hai cực tiểu (− √2, − √4 ) (1, 𝑒) Vẽ đồ thị: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Câu 2: Miền bị chặn phần màu xanh pha đỏ nằm phía trục Ox, gọi thể tích tạo miền quay quanh Oy V1 Gọi thể tích nửa bán cầu quay quanh Oy ( tâm O, bán kính √2) V Gọi thể tích phần màu trắng pha xanh V2 𝑏 Ta tính V2 theo công thức ∫𝑎 𝑥 𝑑𝑦: √2 𝑉2 = 𝜋 ∫ (2𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑦 + 𝜋 ∫ (2 − 𝑦 )𝑑𝑦 = 2.78225 V1 thể tích nửa bán cầu bán kính √2: 𝑉1 = 𝜋(√2) = 5.9238 Vậy thể tích phần cần tính là: 𝑉 = 𝑉1 − 𝑉2 = 3.14 = 𝝅 Câu 3: Xét: − 𝑥 = → 𝑥 = ±2 x |4 − 𝑥 | − 𝑥2 +∞ 𝑥 −4 Vậy, ta có: +∞ 𝐼=∫ 𝑥√|4 − 𝑥 | 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥√4 − 𝑥 +∞ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥√𝑥 − 𝑑𝑥 = 𝐼1 + 𝐼2 Xét I1 : 1 Đặt 𝑡 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑡 → 𝑑𝑥 = −1 𝑡2 𝑑𝑡 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Với x=1, t=1 ; với x=2,t=0.5 𝐼1 = ∫ 1 𝑥√4 − 𝑥 0.5 𝑑𝑥 = ∫ 1 0.5 𝑑𝑡 −𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡2 =∫ =∫ √4𝑡 − 1√ 1 0.5 √4𝑡 − − 𝑡 𝑡 − 1 Suy ra: 𝐼1 = ln |2𝑡 + √4𝑡 − 1| = ln|2 + √3| 2 0.5 Xét I2 : 1 Đặt 𝑡 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑡 → 𝑑𝑥 = −1 𝑡2 𝑑𝑡 Với x=2, t=0.5 ; với x=+∞,t=0 0.5 𝑑𝑡 −𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝐼2 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ =∫ =∫ 𝑥√𝑥 − √1 − 4𝑡 0.5 0.5 √1 − 4𝑡 √ 12 − 𝑡 𝑡 − Suy ra: 𝜋 𝐼2 = arcsin(2𝑡) |0.5 = Vậy: 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = 𝟏 𝝅 𝐥𝐧(𝟐 + √𝟑) + 𝟐 𝟒 Câu 4: +∞ +∞ 𝑥 𝛼 − 𝑙𝑛𝛼 (1 + x) 𝑥 𝛼 − 𝑙𝑛𝛼 (1 + x) 𝑥 𝛼 − 𝑙𝑛𝛼 (1 + x) 𝐼=∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝐼1 + 𝐼2 (𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 )𝛼 (𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 )𝛼 (𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 )𝛼 0 Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝛼 − 𝑙𝑛𝛼 (1 + x) (𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 )𝛼 Xét 𝐼1 : 𝛼 𝑥2 𝑥 𝛼 𝛼 𝑥 𝛼 − (𝑥 − ) 𝑥 𝛼 − 𝑥 𝛼 (1 − 2) 𝑥 𝛼 − 𝑥 𝛼 (1 − 𝑥) 𝑥 𝛼+1 Khi 𝑥 → 0+ : 𝑓(𝑥)~ = ~ ~ = (𝑥 + 𝑥 )𝛼 (𝑥 + 𝑥 )𝛼 𝑥 2𝛼 𝑥 2𝛼 𝑥 𝛼−1 Suy I1 chất với ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑑𝑥 Vậy để I1 hội tụ thì: 𝛼 − < → 𝛼 < (1) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang