QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Nhu cầu & ý nghĩa Thành lập toán Mối quan hệ §1 NHU CẦU & Ý NGHĨA 1.1 Lập mơ hình tốn: Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất ba loại giấy A1, A2, A3 từ hai loại nguyên liệu có sẵn 5000m3 gỗ 90 axit Mức tiêu hao nguyên liệu sản xuất giá bán thành phẩm cho bảng sau: §1 NHU CẦU & Ý NGHĨA Nguyên liệu Gỗ (m3) Axít (kg) Giá bán (triệu/tấn) A1 20 Sản phẩm A2 A3 30 24 12 10 a) Lập mơ hình tính toán kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền bán sản phẩm thu nhiều Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU §1 NHU CẦU & Ý NGHĨA b) Giả sử có cơng ty B muốn mua lại tồn nguyên liệu Có thể xác định giá mua – bán nguyên liệu để xí nghiệp A thu số tiền nhiều bán thành phẩm công ty B mua với số tiền rẻ khơng? Nếu có thể, lập mơ hình để xác định giá mua – bán thỏa yêu cầu §1 NHU CẦU & Ý NGHĨA Ý nghĩa: Khi tốn có số lượng ràng buộc đại số nhiều số ẩn, việc giải tốn đối ngẫu, từ suy nghiệm toán gốc (hoặc ngược lại) dễ dàng giải trực tiếp toán gốc(đối ngẫu) Cách giải gọi phương pháp đối ngẫu §2 THÀNH LẬP BÀI TỐN I Ẩn, hàm mục tiêu hệ số Ràng buộc đại số thứ i tương ứng ẩn thứ i ngược lại Số lượng ẩn = số lượng ràng buộc đại số ngược lại Hàm mục tiêu: min/max max/min Hệ số hàm mục tiêu hệ số tự ràng buộc đại số ngược lại Ma trận hệ số ẩn hệ ràng buộc đại số hai toán hai ma trận chuyển vị Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU §2 THÀNH LẬP BÀI TOÁN II Quy tắc dấu ràng buộc Dấu ràng buộc đại số toán gốc định dấu ràng buộc biến tương ứng toán đối ngẫu Dấu ràng buộc biến toán gốc định dấu ràng buộc đại số tương ứng toán đối ngẫu Quy tắc định chi tiết theo bảng sau: §2 THÀNH LẬP BÀI TỐN GỐC Min ĐỐI NGẪU Max 0 Ràng buộc biến Ràng buộc đại số Tùy ý 0 Tùy ý 0 Ràng buộc biến Ràng buộc đại số ĐỐI NGẪU Min GỐC Max §2 THÀNH LẬP BÀI TỐN Ghi nhớ: Bài tốn max Ràng buộc đại số ràng buộc biến: ngược dấu Ràng buộc biến ràng buộc đại số: dấu Bài toán max Ràng buộc đại số ràng buộc biến: dấu Ràng buộc biến ràng buộc đại số: ngược dấu Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU §2 THÀNH LẬP BÀI TỐN Ví dụ 2.1: Hãy thành lập toán đối ngẫu toán sau f ( x) x x x x1 x2 x3 19 2 x1 x2 x3 24 x j 0; j 1,3 §2 THÀNH LẬP BÀI TỐN Ví dụ 2.2: Hãy thành lập toán đối ngẫu toán sau g (Y ) 30 y1 20 y2 26 y3 max y1 6 y y y y2 2 y1 y2 9 y1 y2 y3 5 y3 §3 MỐI QUAN HỆ Định lý Nếu hai tốn gốc đối ngẫu có tập phương án ≠ Ø hai tốn có phương án tối ưu Nếu hai tốn (gốc đối ngẫu) có phương án tối ưu tốn cịn lại có phương án tối ưu giá trị tối ưu hai hàm mục tiêu ln Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU §3 MỐI QUAN HỆ Định lý Độ lệch bù Xét cặp toán đối ngẫu (G) >< (Đ): f ( x) c0 c1 x1 cn xn g(y) c0 b1 y1 bm ym n m aij x j bi , i 1, m (G) (D) a ji yi c j , j 1,n j 1 i 1 y1 ; y2 ; ; y m x1 ; x2 ; ; xn §3 MỐI QUAN HỆ Định lý Độ lệch bù Gọi α = (α1; α2; ; αn) β = (β1; β2; ; βm) cặp phương án tối ưu cặp tốn (G) >< (Đ), chúng thỏa mãn hệ phương trình: n aij j bi i 0;i 1;m j 1 m a ji i c j j 0; j 1; n i 1 §3 MỐI QUAN HỆ Ý nghĩa: tìm phương tối ưu tốn có phương án tối ưu toán ngược lại Kĩ thuật áp dụng (chiêu): Giả sử có phương án tối ưu β tốn Đ, tìm phương án tối ưu α toán G sau: Bước 1: Có đủ mơ hình hai tốn Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU §3 MỐI QUAN HỆ Kĩ thuật áp dụng (chiêu): Bước 2: Thay β vào hệ ràng buộc đại số nó, m ràng buộc thỏa a i 1 ji i c j thành phần tương ứng αj = Bước 3: Sử dụng phương trình ràng buộc đại số n a j1 ij j bi hệ ràng buộc toán G tương ứng thành phần βi ≠ để giải thành phần αi ≠ §3 MỐI QUAN HỆ Ví dụ 2.3: Cho tốn Quy hoạch tuyến tính f ( x) x1 x2 x3 x4 x4 x1 x2 x x x4 x j 0, j 1, 2,3, (P) Bài tốn có phương án tối ưu x (2, 4,0,0) giá trị tối ưu -6 Tìm phương án tối ưu tốn đối ngẫu ƠN TẬP Ví dụ 2.5: Cho toán f ( x) 15 x1 19 x2 3 x1 x2 x1 x2 3 x x x j 0; j 1, Giải toán cách chuyển tốn đối ngẫu Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU ƠN TẬP Ví dụ 2.6: Cho toán : f x1 x2 x3 6 x1 x2 x3 20 x1 x2 x3 25 3 x x x 30 x j 0, j 1, 2,3 Xây dựng toán đối ngẫu tốn Giải tốn đối ngẫu từ tìm phương án tối ưu tốn gốc Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo