chương 2 đại lượng ngẫu nhiên

Chương II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN §1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử. Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên. Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3. 1.2. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên a. Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ. Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công. Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n. b. Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các số thực. Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 1.3. Luật phân phối a. Trường hợp rời rạc Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x 0 , x 1 ,…,x n ta lập bảng: X x 1 x 2 … x n P(X) p 1 p 2 … p n Được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X. Ví dụ. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X. Giải Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ta có 2 4 2 10 2 ( 0) 15 C PX C    ; 11 64 2 10 8 ( 1) 15 CC PX C    ; 2 6 2 10 5 ( 2) 15 C PX C    Lập bảng X 0 1 2 P(X) 2 15 8 15 5 15 §2. HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2.1. Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định theo đại lượng ngẫu nhiên X bằng quy tắc hàm f thì Y được gọi là một hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu Y = f(X) Ví dụ. Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy từ hộp ra 3 bi. Goi X là số bi xanh trong ba bi lấy ra, X = {0, 1, 2, 3} Gọi Y là số bi xanh còn lại trong hộp Khi đó Y = 6 – X là hàm của một đại lượng ngẫu nhiên Cách lập bảng phân phối xác suất của Y = f(X) Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X x 1 x 2 … x n P(X) p 1 p 2 … p n Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y có thể nhận các giá trị y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ), …, Y n = f(x n ) và các xác suất tương ứng được tính theo quy tắc: ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j j i i f x y f x y P Y y P X x p       Ví dụ. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X -1 0 1 2 P(X) 0,2 0,3 0,1 0,4 Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau: a) Y = 2X – 1 b) Y = X c) Y = X 2 – 2X + 4 2.2. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Z được xác định theo hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y bằng quy tắc hàm f thì Z được gọi là một hàm theo hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Z = f(X, Y) Ví dụ. Một kho hàng có tỉ lệ phế phẩm là 20%, một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy từ lô hàng ra 2 sản phẩm và từ kho hàng ra 2 sản phẩm. Goi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ kho hàng, X = {0, 1, 2} Gọi Y là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ lô hàng, Y = {0, 1, 2} Gọi Z là số phế phẩm trong 4 sản phẩm lấy ra từ kho hàng và lô hàng Khi đó Z = X + Y là hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên Cách lập bảng phân phối xác suất của Z = f(X, Y) Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X x 1 x 2 … x m P(X) p 1 p 2 … p m Y y 1 y 2 … y n P(Y) q 1 q 2 … q n Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị ij ( , ) ij z f x y như trong bảng sau: Z y 1 y 2 … y n x 1 z 11 z 12 … z 1n x 2 z 21 z 22 … z 2n … x m z m1 z m2 … z mn Xác suất để Z nhận các giá trị tương ứng được tính theo quy tắc sau: ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) i j k i j k k i j i j f x y z f x y z P Z z P X x P Y y p q        Ví dụ. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X -1 0 1 2 P(X) 0,2 0,3 0,1 0,4 Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau: a) Z = 2X – Y b) Z = XY c) Z = X 2 – 2Y + 4 Ví dụ. Cho (2;0,4)XB và (10;6;2)YH . a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z = X - Y b) Tính P(X = Y) §3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 3.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x 0 của X được xác định như sau: - Nếu X rời rạc thì x 0 là giá trị mà xác suất P(X = x 0 ) lớn nhất trong số các xác suất P(X = x). Y 0 1 2 P(Y) 0,2 0,3 0,5 - Nếu X liên tục thì x 0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất. Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. 3.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình) 1. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được xác định như sau: - Nếu X rời rạc có luật phân phối X x 1 x 2 … x n P(X) p 1 p 2 … p n Thì 1 1 2 2 () nn M X x p x p x p   2. Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau: Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng số đó, nghĩa là: M(C) = C (C: Const). Tính chất 2: Với k là hằng số ta có M(kX) = kM(X). Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có M(XY) = M(X)M(Y). 3.3. Phương sai và độ lệch chuẩn. 1. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực không âm định bởi: D(X) = M[(X − μ)2 ] trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X. Ta có thể tính phương sai bằng công thức sau 22 ( ) ( ) ( )D X M X M X Trong đó 2 2 2 2 1 1 2 2 () nn M X x p x p x p   Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ (X ). Vậy σ(X) = D(X) . Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau: X 0 1 2 P(X) 2 15 8 15 5 15 Khi đó kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 . Suy ra phương sai của X là: D(X) = M(X 2 ) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 − (1,2)2 = 32/75 ≈ 0,4267. 3. Tính chất: Phương sai có các tính chất sau: Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0, nghĩa là: D(C) = 0. Tính chất 2: Với k là hằng số ta có D(kX) = k2(D(X). Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y). §4. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 4.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và tồn tại các số nguyên M, N ( n M N ) sao cho () k n k M N M n N CC P X k C    được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội theo ba tham số N, M, n và kí hiệu X  H(N, M, n). Ví dụ. Cho X  H(10, 6, 4), tính các xác suất sau a. ( 0)PX , ( 2)PX , ( 1)PX , ( 1,5)PX b. ( 4)PX , ( 3)PX , (1 4)PX , ( 2 2)PX   4.2. Các đặc số của phân phối siêu bội Giả sử X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng: M(X) = np với M p N  b) Phương sai. () 1 Nn D X npq N    với 1qp Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X. Giải Ta thấy X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n) với N = 12; M = 8, n = 4. Từ đây ta tính được P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. Vậy luật phân phối của X là: X 0 1 2 3 4 P(X) 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 §5. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 5.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và tồn tại số thực (0,1)p sao cho ( ) (1 ) k k n k n P X k C p p     được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số n, p và kí hiệu X  B(n, p). Ví dụ. Cho X  B(10; 0,4), tính các xác suất sau a. ( 0)PX , ( 2)PX , ( 1)PX , ( 1,5)PX b. ( 8)PX , ( 3)PX , (1 4)PX , ( 2 2)PX   5.2. Các đặc số của phân phối nhị thức Giả sử X có phân phối nhị thức X  B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1 b) Kỳ vọng: M(X) = np c) Phương sai: D(X) = npq Ví dụ. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X. Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu? Giải Ta thấy X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6 giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli Từ đây ta tính được P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776. - Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3. - Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2. - Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1, suy ra 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1 Do đó k = 3. Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3.  Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thức Nếu ( , )X B n p trong đó n khá lớn và np =  không nhỏ, thì ta có công thức tính gần đúng sau: 1 () k np P X k f npq npq       21 12 () k np k np P k X k npq npq                       Trong đó: 1. f(u) là hàm mật độ Gauss, f(u) là hàm số chẵn và f(u) = 0,0001 4u 2. ()u  là hàm tích phân Laplace, ()u  là hàm số lẽ và ( ) 0,5u   5u Ví dụ. a. Cho (1000;0,001)XB . Tính ( 1)PX b. Cho (100;0,8)YB . Tính ( 80)PX và (70 90)PX 5.3. Định lý (quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội). Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X  H(N, M, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y  B(n, p) với M p N  , khi đó ( ) (1 ) k k n k n P X k C p p     , với k = 0, 1, 2, …, n Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt. Giải Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n) với N = 10000; M= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 10; p = M/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là: 7 7 3 10 ( 7) 0,8 0,2P X C §6. PHÂN PHỐI POISSON 6.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, … và tồn tại số thực dương  sao cho () ! k e P X k k     được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson theo tham số  và kí hiệu X  P(  ). Ví dụ. Cho X  P(4), tính các xác suất sau a. ( 0)PX , ( 2)PX , ( 1)PX , ( 1,5)PX b. ( 3)PX , (1 4)PX , ( 2 2)PX   6.2. Các đặc số của phân phối Poisson Giả sử X có phân phối Poisson X  P(  ). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng: M(X) =  b) Phương sai D(X) =  6.3. Tính chất. Giả sử X 1 , X 2 độc lập, có phân phối Poisson X 1  P(  1 ), X 2  P(  2 ). Khi đó X 1 + X 2 cũng có phân phối Poisson X 1 + X 2  P( 12   ). 6.4. Định lý Poisson (Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson). Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X  B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y  P(  ) với  = np, nghĩa là: () ! k e P X k k     , với k = 0, 1, 2, … Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1 ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt. Giải Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson: X  P(  ) với  = np = 1000.0,002 = 2. Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là: ( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X       . LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2. 1. Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định theo đại lượng ngẫu nhiên X bằng quy tắc hàm f thì Y được gọi là một hàm theo đại lượng. Y = 2X – 1 b) Y = X c) Y = X 2 – 2X + 4 2. 2. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên Z được xác định theo hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y bằng quy. Chương II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN §1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo