chương 2 đại lượng ngẫu nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử.. Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị.. L

Chương II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo

kết quả của phép thử

Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên

Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy từ hộp ra 3 bi

Gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra thì X là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3

1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

a Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn

đếm được các giá trị

Ví dụ Tiến hành n thí nghiệm Gọi X là số thí nghiệm thành công Khi đó

X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n

b Loại liên tục Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm

được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các số thực

Ví dụ Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương Ta có T là một đại

lượng ngẫu nhiên liên tục

1.3 Luật phân phối

a Trường hợp rời rạc

Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0,

x1,…,xn ta lập bảng:

X x1 x2 … xn

P(X) p1 p2 … pn

Được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X

Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm

xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong

2 sản phẩm chọn ra Tìm luật phân phối của X

Giải

Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2

Ta có

2 4 2

2 ( 0)

15

C

P X

C

2

8 ( 1)

15

C C

P X

C

2 6 2

5 ( 2)

15

C

P X

C

Lập bảng

P(X) 2 15 8 15 5 15

§2 HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1 Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định theo đại lượng ngẫu nhiên X

bằng quy tắc hàm f thì Y được gọi là một hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu Y = f(X)

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy từ hộp ra 3 bi

Goi X là số bi xanh trong ba bi lấy ra, X = {0, 1, 2, 3}

Gọi Y là số bi xanh còn lại trong hộp

Khi đó Y = 6 – X là hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

Cách lập bảng phân phối xác suất của Y = f(X)

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X x1 x2 … xn

P(X) p1 p2 … pn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y có thể nhận các giá trị y1 = f(x1), y2 = f(x2), …,

Yn = f(xn) và các xác suất tương ứng được tính theo quy tắc:

f x y f x y

Ví dụ Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X -1 0 1 2

P(X) 0,2 0,3 0,1 0,4

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:

a) Y = 2X – 1 b) Y = X c) Y = X2 – 2X + 4

2.2 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên Z được xác định theo hai đại lượng ngẫu nhiên

độc lập X và Y bằng quy tắc hàm f thì Z được gọi là một hàm theo hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Z = f(X, Y)

Ví dụ Một kho hàng có tỉ lệ phế phẩm là 20%, một lô hàng có 20 sản phẩm trong

đó có 5 phế phẩm Lấy từ lô hàng ra 2 sản phẩm và từ kho hàng ra 2 sản phẩm Goi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ kho hàng, X = {0, 1, 2}

Gọi Y là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ lô hàng, Y = {0, 1, 2}

Gọi Z là số phế phẩm trong 4 sản phẩm lấy ra từ kho hàng và lô hàng

Khi đó Z = X + Y là hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

Cách lập bảng phân phối xác suất của Z = f(X, Y)

Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X x1 x2 … xm

P(X) p1 p2 … pm

Y y1 y2 … yn

P(Y) q1 q2 … qn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z có thể nhận các giá trị zij  f x y( ,i j)như trong

bảng sau:

x1 z11 z12 … z1n

x2 z21 z22 … z2n

…

xm zm1 zm2 … zmn

Xác suất để Z nhận các giá trị tương ứng được tính theo quy tắc sau:

f x y z f x y z

Ví dụ Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X -1 0 1 2

P(X) 0,2 0,3 0,1 0,4

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:

a) Z = 2X – Y b) Z = XY c) Z = X2 – 2Y + 4

Ví dụ Cho XB(2;0, 4) và YH(10;6;2)

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z = X - Y

b) Tính P(X = Y)

§3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

3.1 Mode Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của

X được xác định như sau:

- Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số

các xác suất P(X = x)

Y 0 1 2 P(Y) 0,2 0,3 0,5

- Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất

Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau

3.2 Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)

1 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được xác định

như sau:

- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x1 x2 … xn

P(X) p1 p2 … pn

Thì M X( )x p1 1x p2 2 x p n n

2 Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:

Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính

hằng số đó, nghĩa là:

M(C) = C (C: Const)

Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

M(kX) = kM(X)

Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có

M(XY) = M(X)M(Y)

3.3 Phương sai và độ lệch chuẩn

1 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực

không âm định bởi:

D(X) = M[(X − μ)2 ]

trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X

Ta có thể tính phương sai bằng công thức sau

( ) ( ) ( )

D X M X M X

M X x p x p  x p

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ (X )

Vậy σ(X) = D(X)

Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

P(X) 2 15 8 15 5 15

Khi đó kỳ vọng của X là M(X) = 1,2

Suy ra phương sai của X là:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 − (1,2)2 = 32/75 ≈ 0,4267

3 Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:

Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,

nghĩa là:

D(C) = 0

Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

D(kX) = k2(D(X)

Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

§4 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

4.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và

tồn tại các số nguyên M, N ( nM  N) sao cho ( )

k n k

M N M n N

C C

P X k

C





  được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội theo ba tham số N, M, n và kí hiệu

X  H(N, M, n)

Ví dụ Cho X  H(10, 6, 4), tính các xác suất sau

a (P X 0), (P X 2), (P X  1), (P X 1,5)

b P X( 4), P X( 3), P(1X 4), P( 2 X 2)

4.2 Các đặc số của phân phối siêu bội

Giả sử X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n) Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng:

M(X) = np với M

p N



b) Phương sai

( )

1

N n

D X npq

N





 với q 1 p

Ví dụ Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4

bi Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X

Giải

Ta thấy X có phân phối siêu bội

X  H(N, M, n) với N = 12; M = 8, n = 4

Từ đây ta tính được

P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495;

P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495

Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4

P(X) 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495

§5 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

5.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, …, n và

tồn tại số thực p(0,1) sao cho (P X k)C p n k k(1 p)n k được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số n, p và kí hiệu X  B(n, p)

Ví dụ Cho X  B(10; 0,4), tính các xác suất sau

a (P X 0), (P X 2), (P X  1), (P X 1,5)

b P X( 8), P X( 3), P(1 X 4), P( 2  X 2)

5.2 Các đặc số của phân phối nhị thức

Giả sử X có phân phối nhị thức X  B(n,p) Khi đó X có các đặc số như sau: a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số nguyên thỏa

np – q ≤ k ≤ np – q + 1

b) Kỳ vọng: M(X) = np

c) Phương sai: D(X) = npq

Ví dụ Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là

60% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản phẩm chọn ra Hãy tìm luật phân phối của X Xác định kỳ vọng và phương sai của X Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?

Giải

Ta thấy X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 5, p = 0,6 Suy ra X nhận 6 giá trị nguyên 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Công thức Bernoulli

Từ đây ta tính được

P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304;

P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776

- Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3

- Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6 0,4 = 1,2

- Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số

nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + 1, suy ra 5 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5 0,6 – 0,4 + 1

Do đó k = 3

Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3

 Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thức

Nếu XB n p( , ) trong đó n khá lớn và np =  không nhỏ, thì ta có công thức tính gần đúng sau:

1

npq npq

P k X k

     

Trong đó:

1 f(u) là hàm mật độ Gauss, f(u) là hàm số chẵn và f(u) = 0,0001  u 4

2 ( ) u là hàm tích phân Laplace, ( ) u là hàm số lẽ và ( ) u 0,5 u 5

Ví dụ

a Cho XB(1000;0,001) Tính (P X 1)

b Cho YB(100;0,8) Tính (P X 80) và (70P  X 90)

5.3 Định lý (quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội) Cho X là

một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X  H(N, M, n) Giả sử rằng n rất nhỏ so với N Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y  B(n, p) với M

p N

 , khi đó ( ) n k k(1 )n k

P X k C p  p  , với k = 0, 1, 2, …, n

Ví dụ: Một lô hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000

sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm Tính xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt

Giải

Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra Khi đó X có phân phối siêu bội X  H(N, M, n) với N = 10000; M= 8000; n =10 Vì n = 10 rất nhỏ so với

N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 10;

p = M/N = 8000/10000 = 0,8 Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là:

10

( 7) 0,8 0, 2

P X  C

§6 PHÂN PHỐI POISSON

6.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, … và tồn

tại số thực dương  sao cho ( )

!

k

e

P X k

k



 

  được gọi là đại lượng ngẫu nhiên

có phân phối Poisson theo tham số  và kí hiệu X  P()

Ví dụ Cho X  P(4), tính các xác suất sau

a (P X 0), (P X 2), (P X  1), (P X 1,5)

b (P X 3), (1P  X 4), ( 2P  X 2)

6.2 Các đặc số của phân phối Poisson

Giả sử X có phân phối Poisson X  P() Khi đó X có các đặc số như sau:

a) Kỳ vọng: M(X) = 

b) Phương sai D(X) = 

6.3 Tính chất Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1  P(1),

X2  P(2) Khi đó X1 + X2 cũng có phân phối Poisson X1 + X2  P( 1 2)

6.4 Định lý Poisson (Quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson)

Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X  B(n,p) Giả sử rằng

n khá lớn và p khá bé (thông thường p < 0,1) Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y  P()

với  = np, nghĩa là: ( )

!

k

e

P X k

k



 

  , với k = 0, 1, 2, …

Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có

1 ống sợi bị đứt là 0,2% Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt

Giải

Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân phối nhị thức X  B(n,p) với n = 1000, p = 0,002 Vì n = 1000 khá lớn và

p = 0,002 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:

X  P() với  = np = 1000.0,002 = 2

Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là:

P X  P X  P X  P X 