Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên) Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên) Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên) Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên) Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên) Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên) Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, gồm lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt với đầy đủ các dạng bài tập toán lớp 11 sách kết nối tri thức) (bản giáo viên)
C HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC H VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ư Ơ N GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC BÀI G I LÝ THUYẾT I = GĨC = LƯỢNG GIÁC a Khái niệm góc lượng giác số đo góc lượng giác = Trong mặt phẳng cho hai tia Ou , Ov Xét tia Om nằm mặt phẳng Nếu tia Om I quay điểm O , theo chiều định từ Ou đến Ov , ta nói quét góc lượng giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov kí hiệu Ou , Ov Góc lượng giác Ou , Ov xác định ta biết chiều chuyển động quay tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay kim đồng hồ chiều dương, chiều quay với chiều quay kim đồng hồ chiều âm Khi tia Om quay góc ta nói góc lượng giác mà tia quét nên có số đo Số đo góc lượng giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov kí hiệu sd Ou , Ov Cho hai tia Ou , Ov có vơ số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov Mỗi góc lượng giác kí hiệu Ou , Ov Số đo góc lượng giác sai khác bội nguyên 360 b Hệ thức Chasles: với tia Ou , Ov, Ow ta có: sd Ou , Ov sd Ov, Ow sd Ou , Ow k 360 Từ suy ra: sd Ou , Ov sd Ou , Ow sd Ov, Ow k 360 k k ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRỊN a Đơn vị đo góc cung tròn Đơn vị độ: Đơn vị radian: Cho đường trịn O tâm O bán kính R cung AB O Ta nói cung AB có số đo radian độ dài bán kính R Khi ta nói góc AOB radian AOB có số đo radian viết b) Quan hệ độ radian 10 180 rad 1rad 180 b Độ dài cung trịn Một cung đường trịn bán kính R có số đo rad có độ dài R GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC 3) cot xác định với k k a Đường tròn lượng giác Đường tròn lượng giác đường tròn có tâm gốc tọa độ, bán kính 1, định hướng lấy điểm A 1;0 làm 4) Dấu giá trị lượng giác góc đường tròn lượng giác gốc đường tròn Đường tròn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A 1;0 phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn A ' 1;0 , B 0;1, B ' 0; 1 Điểm đường trịn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo điểm M đường tròn lượng giác cho sd OA, OM b Giá trị lượng giác góc lượng giác Giả sử M x; y điểm đường trịn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo • Hồnh độ x điểm M gọi cơsin kí hiệu cos Bảng xác định dấu giá trị lượng giác cos x • Tung độ y điểm M gọi sin kí hiệu sin sin y sin gọi tang kí hiệu tan (người ta cịn dùng kí hiệu cos • Nếu cos 0, tỉ số tg ): tan sin cos • Nếu sin 0, tỉ số cos gọi cơtang kí hiệu cot (người ta cịn dùng kí hiệu sin cos cotg ) : cot sin Các giá trị sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác cung c Giá trị lượng giác cung đặc biệt 2 2 cos 2 2 tan 3 Không xác định cot Không xác định 1 sin Chú ý: a) Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin b) Từ định nghĩa ta suy ra: 1) sin cos xác định với Hơn nữa, ta có: sin k 2 sin , k ; cos k 2 cos , k 2) tan xác định với k k 1 sin 1 cos QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC a Công thức lượng giác M Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin cos 1 tan , k , k cos Góc đối Góc bù Góc phụ cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 1 cot , k , k sin k tan cot 1, , k b Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc II = = =I Góc sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Một cung trịn có số đo a (hoặc rad) có độ dài l a R (hoặc l R ) 180 Câu 1: Một đường tròn có bán kính 10 Tính độ dài cung trịn có số đo 30o Lời giải 30 30 R 10 5, 26(cm) Độ dài cung trịn có số đo 30 l 180 180 Câu 2: Một bánh xe máy có đường kính 60 Nếu xe chạy với vận tốc 50(km / h) giây bánh xe quay vòng Lời giải 50.1000 : (0, 6. ) 36,9 Trong phút bánh xe quay được: 3600 Câu 3: Một đu quay công viên có bán kính 10m Tốc độ đu quay vòng/phút Hỏi để đu quay quay góc 270 ? Lời giải Tính được: 270 Ta có: Đu quay quay vịng Đu quay quay vòng sin x tan x cos x phút 3 1 vòng phút 4 Câu 6: Vì vạch nên cung trịn có độ dài bao nhiêu? Lời giải l R. l 10, 25 12 Sử dụng công thức lượng giác toán: , k , k sin 4) tan cot 1, 5) tan 6) cot Câu 5: Câu 7: 3) cot k , k Cho tan x cos x cot x sin x x Tính giá trị giá trị lượng giác lại 2 cos x tan x.cot x cot x 1 tan x 3 Ta có cos sin 16 25 tan x cos x cos x 25 16 Vậy cos x x Tính giá trị giá trị lượng giác lại x sin x x cos x Vì x tan x Lời giải Vì Lời giải sin cos Cho cos x sin x tan x ; cos x 4 DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC , k , k cos x Tính giá trị giá trị lượng giác lại 2 Vậy cos x 2,68 cm 2) tan cos x cot x 2 sin x rad Khi độ dài cung tròn mà kim vạch 30 phút 1) sin cos 1 1; 2 16 2 2 Ta có sin x cos x cos x sin x 25 Trong kim vạch nên cung có số đo rad , 30 phút kim vạch 12 Cho sin x Lời giải Một đồng hồ treo tường có kim dài 10, 25cm , kim phút dài 13, 25cm Trong 30 phút kim nên cung có số đo Vậy sin x 270 3 2 180 Vậy đu quay quay góc 270 quay Câu 4: 2 2 Ta có sin x cos x sin x cos x 5 Câu 8: sin x 4 sin x tan x.cos x cos x 5 Cho cot x 3 x Tính giá trị giá trị lượng giác lại cos a sin a cot a tan a cos2 a sin a sin a cos a Ta có A tan a cot a sin a cos a sin a cos2 a 2 cos a sin a Lời giải Vì x 3 sin x tan x.cot x tan x 1 cot x 3 Ta có 16 25 cot x sin x sin x 25 16 Vậy sin x cot x Câu 9: 2 Ta có: A sin x cos x 5 2sin x 5cos x cos x tan x 4 13 cos x cos x sin x 3cos x sin x tan x 4 cos x cos x Câu 14: Cho tan , giá trị biểu thức P 1 cos tan 5 Chia tử mẫu P cho cos ta được: P 0 Do 180 270 nên cos cos Suy ra, cos sin tan cos Câu 15: Cho góc thỏa mãn 1 cos Giá trị biểu thức P sin cos Lời giải 3sin cos sin cos Lời giải Với cos 3sin cos tan 7 sin cos tan 2sin x cos x Câu 11: Cho tan x Tính P sin x cos x Vì 1 sin 1 sin 2 2 nên sin 0sin A Vậy: P sin Lời giải Câu 12: Cho sin a 2sin cos tan 3sin 5cos tan Cách 1: Ta có: sin cos 1 sin 1 cos Câu 10: Cho tan Tính giá trị biểu thức: A Ta có tan x 2sin x 5cos x 3cos x sin x Lời giải 2sin cos 3sin 5cos Lời giải Biết tan 1800 2700 Tính giá trị biểu thức: sin cos Lời giải Do đó, sin cos 2 Câu 13: Cho tan x 4 Giá trị biểu thức A cos x 4 cos x cot x.sin x sin x 5 cos 2 1 sin a sin a sin a sin a 1 sin a sin a 17 sin x 2.3cos x cos x 5cos x sin x 3cos x Khi P cos x 3cos x cos x cos x cot a tan a Giá trị biểu thức A tan a cot a Lời giải 3 4 2 cos 2 2 cos Cách 2: Theo giả thiết: 0 Vậy P sin sin cos 3 4 2 2 cos 3 Câu 16: Cho tan Tính giá trị biểu thức P sin 3sin cos cos sin sin cos 2cos Lời giải Do tan nên cos Chia tử mẫu biểu thức P cho cos ta được: sin sin cos cos tan tan 4 cos cos cos cos P 1 sin sin cos cos 2 tan tan cos cos cos cos cos tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan tan Vậy P Tính giá trị biểu thức P tan 8 a cot a 3 tan a Lời giải tan a cot a tan a Vì ab ab ab at bt 2bt b a b t 2bt b ab ab ab b a b t 2b a b t b t ab Vậy: Câu 17: Cho tan a cot a với tan a 1 1 tan a tan a nên tan a , suy tan a , cot a 2 3 a cot a Ta có: tan 8 a tan a ; cot a cot a ; tan tan 8 a cot a tan a cot a 7 P 3cot a 12 3 tan a Câu 18: Cho sin x cos x m Tính giá trị biểu thức: M sin x cos x Lời giải Ta có: M sin x cos x sin x sin x.cos x cos x sin x.cos x Mặt khác: M sin x cos x sin x cos x sin x.cos x m sin x.cos x 2 m2 Suy ra: 2sin x.cos x m 4sin x.cos x sin x.cos x 2 Do đó: M m M m sin cos sin cos8 Câu 19: Cho Tính giá trị biểu thức: A a b ab a3 b3 Lời giải t2 b ab 2 34 a b 1 t at Suy cos 3.2 24 4.22 34 1 t 2 Đặt cos t b a ;sin ab ab sin cos8 a b 4 a3 b3 a b a b a b DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 20: Tính giá trị biểu thức: S sin 90 cos 60 tan 45 Lời giải 1 Ta có S sin 90 cos 60 tan 45 12 3.12 2 5 cos 13 3sin 5 Câu 21: Rút gọn biểu thức D sin Lời giải 5 cos 13 3sin 5 Ta có D sin sin cos 3sin cos cos 3sin 3sin 2 Câu 22: Tính giá trị biểu thức: sin 100 sin 200 sin 300 sin 700 sin 800 Lời giải sin 100 sin 200 sin 300 sin 700 sin 800 sin 100 sin 200 sin 300 cos 30 cos 200 cos 100 sin 100 cos 100 sin 200 cos 200 sin 300 cos 30 sin 400 cos 40 4 Câu 23: Tính giá trị biểu thức: M cos 100 cos 200 cos 300 cos 400 cos 500 cos 600 cos 700 cos 800 cos 900 cos 1000 cos 1100 cos 1200 cos 1300 cos 1400 cos 1500 cos 1600 cos 1700 cos 1800 Lời giải Áp dụng công thức cos cos 1800 , cos sin ta có: sin cos sin cos M cos 100 cos 200 cos 300 cos 1700 cos 1800 Câu 29: Cho Đặt A DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 24: Rút gọn biểu thức A 1 – sin x .cot x 1 – cot x Vì Câu 25: Rút gọn biểu thức M sin x cos x sin x cos x 2 C cos x sin x cos x sin x Câu 26: Rút gọn biểu thức 2 cos cos x sin x cos cos x sin x cos cos 2 x sin x cos x sin x 4 Suy : C 1 cos x sin x 1 cos x sin x cos x sin x C cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x =1 1 tan x sin x.cos x Gía trị lớn P cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b 2 sin x cos x A 1 2 cos x.sin x 2 cos x.sin x cos x 2 cos x 2 cot x tan x sin x.cos x sin x sin x.cos x sin x sin x 1 cos x cos x 6 2 Câu 28: Tính giá trị biểu thức A sin cos 3sin cos Lời giải Ta có: M 1 sin x sin x sin x Câu 32: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cot a cot b tan a tan b Lời giải sin x cos x A Lời giải Ta có: Ta có Q sin x cos x sin 2 x Ta có: sin x 1, x 9 sin x 9, x sin x 2, x Câu 27: Đơn giản biểu thức cos Câu 31: Giá trị lớn biểu thức M cos x sin x Lời giải cos x sin x cos x sin x x sin x nên cos A Nên giá trị lớn x sin x cos x sin x cos x sin x 3 Vì sin 2 x 1 sin 2 x sin 2 x 4 4 Ta có : cos x sin x Lời giải x sin x Lời giải cos8 x sin x sin sin sin sin Câu 30: Giá trị lớn Q sin x cos x bằng: M sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x Tính DẠNG 5: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Lời giải 2 A 1 – sin x .cot x 1 – cot x cot x cos x cot x sin x sin sin sin sin 2 cos sin cos 3sin cos sin sin Khi A2 sin cos sin Lời giải 2 Lời giải sin 800 sin 500 cos 500 cos 800 cos 900 2 2 2 Suy ra: A 3sin cos 3sin cos cos 100 cos 200 cos 800 cos 900 cos 800 cos 200 cos 100 cos 900 cos 100 cos 200 cos 300 cos 800 cos 900 3sin cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b cot a.cotb.tan a.tan b cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b 2 cot a cot b cot a Dấu xảy cot a.cot b tan a.tan b cot b ab k , (k ) Câu 33: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết: 3 a sin x với x b cos x với x c cos x với x 900 d cos x với 1800 x 2700 13 Lời giải sin x cos x 3 a Do x tan x cot x sin x tan x cos x Từ với sin x cos x 1 sin x cos x 5 cot x sin x sin x cos x b Do x tan x cot x sin x tan x 15 15 cos x Từ với cos x sin x 1 cos x cos x 4 cot x sin x 15 sin x cos x x 90 c Do tan x cot x sin x tan x cos x Từ với cos x sin x 1 cos x cos x 5 cot x sin x sin x cos x 0 d Do 180 x 270 tan x cot x sin x 12 tan x 12 cos x Từ với cos x sin x 1 cos x cos x 13 13 cot x sin x 12 Câu 34: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết a) cos x c) sin x với x b) cos x với 270 x 360 5 với x d) sin x với 180 x 270 13 sin x cos x a) Do x tan x cot x Lời giải sin x tan x cos x 2 sin x 1 cos x Từ với cos x 5 cot x 2 tan x sin x cos x b) Do 270 x 360 tan x cot x sin x tan x cos x 4 Từ với cos x sin x 1 cos x 5 cot x tan x sin x cos x c) Do x tan x cot x sin x tan x 12 cos x 12 sin x cos x sin x Từ với 13 13 12 cot x tan x sin x cos x d) Do 180 x 270 tan x cot x sin x tan x 2 cos x Từ với sin x cos x 1 sin x 3 cot x 2 tan x Câu 35: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết a) tan x với x c) tan x 3 với x 2 b) tan x 2 với x d) cot x với x 3 Lời giải a) tan x cot x sin x tan x sin x cos x sin x 1 sin x sin x cos x 10 sin x 3 Vì x cos x 10 10 ; cos x 10 10 b) tan x 2 cot x sin x tan x 2 2 sin x cos x sin x 1 sin x sin x cos x sin x Vì x cos x Do sin x Do sin x 5 ; cos x 5 c) tan x cot x 2 sin x 1 tan x sin x cos x 4sin x 11 sin x sin x cos x sin x Vì x cos x 5 ; cos x 5 d) cot x tan x sin x 1 tan x 9sin x cos x 9sin x 1 sin x sin x cos x 10 sin x 3 Vì x cos x Câu 36: Tính giá trị lượng giác biểu thức sau: 5cot x tan x 2sin x cos x , A2 a) Cho tan x 2 Tính: A1 5cot x tan x cos x 3sin x b) Cho cot x Tính: B1 c) Cho cot x Tính: C1 10 10 ; cos x 10 10 2sin x 3cos x , C2 3sin x cos x cos x sin x cos x cot x tan x d) Cho sin x , x Tính: E cot x tan x tan x 3cot x 1 e) Cho sin x ,900 x 1800 Tính: F tan x cot x Lời giải 4.2 5cot x tan x 21 a) tan x 2 cot x A1 5cot x tan x 2 11 tan x 2 A2 2sin x cos x tan x 2.(2) cos x 3sin x 1 tan x 1 3.(2) b) cot x B1 3sin x cos x cot x 5 sin x cos x cot x cot x B2 sin x 3cos x 1 3cot x 1 19 sin x 3cos x 3cot x 17 c) cot x C1 2sin x 3cos x 3cot x 3.2 8 3sin x cos x cot x 2.2 cot x C2 d) x Do sin x Do sin x 3sin x cos x sin x 3cos x , B2 sin x cos x sin x 3cos x E 1 cot x 1 22 1 cos x sin x cos x 3cot x cot x 3.22 2 3 sin x sin x cos x 1 tan x ; cot x 5 cos x cos x cot x tan x 25 cot x tan x sin x 1 2 cos x 1 e) Ta có 90o x 180o cos x 3 tan x sin x 1 ; cot x 2 cos x 2 1 8. 3.2 1 tan x 3cot x 1 2 Do F tan x cot x 2 2 2 d cot x cos x cos x 1 sin x cos x cos x 1 cos x cot x.cos x sin x sin x sin x Câu 40: Chứng minh đẳng thức sau: a tan x cot x sin x.cos x Câu 37: Chứng minh đẳng thức sau: a) cos x sin x 1 sin x b) cos x 1 1 sin x c) sin x cos x 1 d) sin x cot x cos x tan x sin x cos x c b 1 cos x sin x sin x cos x d 1 1 tan x cos x cos x 1 1 tan x cot x Lời giải Lời giải a) Ta có cos x sin x 1 sin x cos x 1 sin x 2 2 a tan x cot x b) Ta có cos x 1 1 sin x1 1 2sin x b 1 cos x sin x 1 cos x 1 cos x sin x 1 cos x sin x sin x cos x sin x cos x c) Có 4sin x 1 cos x cos x 1 d) Ta có sin x cot x cos x tan x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x Câu 38: Chứng minh đẳng thức sau: a sin x cos x 1 sin x.cos x c b cos x sin x cos x sin x d 1 cos xsin x cos x cos x sin x c cos x 1 2sin x 1 2sin x Lời giải a sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x 1 2sin x.cos x 2 2 2 c) B cos x cos x sin x sin x c 1 2sin x 1 2sin x 1 4sin x 1 1 cos x cos x 2 Lời giải d 1 cos x sin x cos x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x Câu 39: Chứng minh đẳng thức sau: a sin x cos x 1 cos x sin x 1 c tan x sin x tan x.sin x 2 2 a) Ta có sin x cos x 2sin x sin x cos xsin x cos x 2sin x 4 2 sin x cos x b sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos x 3 d cot x cos x cot x.cos x 2 2 Lời giải a sin x cos x sin x cos xcos x sin x cos x sin x 1 sin x sin x sin x 1 1 cos x1 1 cos x b sin x.cos x sin x.cos3 x sin x.cos x sin x cos x sin x.cos x c tan x sin x sin x sin x cos x 1 0 d 1 1 tan x 1 cos x cos x cos x cos x cos x b) B sin x cos x sin x cos x b cos x sin x cos x sin xcos x sin x cos x sin x 1 1 tan x 1 tan x cot x tan x 1 tan x tan x tan x Câu 41: Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x : a) A sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x.cos x sin x.cos x sin x 1 cos x sin x sin x 1 sin x tan x.sin x cos x cos x cos x b) Ta có B sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x 1.sin x cos x c) Ta có B cos x cos x sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x.1 sin x