Sáng kiến kinh nghiệm thpt khai thác bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN Tên đề tài: KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Mơn/Lĩnh vực: TỐN Mã số: 01 Hà Tĩnh, tháng 12 năm 2022 PHẦN MỞ ĐẦU I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Hội nghị TW8 khóa XI thông qua Nghị số 29/NQ-TW ngày 04/11/2013 đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng XHCN hội nhập quốc tế Quốc hội ban hành Nghị số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 đổi chương trình, sách giáo khoa GDPT góp phần đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Mục tiêu đổi Nghị số 88/2014/QH13 quy định: “Đổi chương trình, sách giáo khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến bản, toàn diện chất lượng hiệu giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển biến giáo dục nặng truyền thụ kiến thức sang giáo dục phát triển toàn diện phẩm chất lực, hài hịa đức, trí, thể, mỹ phát huy tốt tiềm học sinh Từ năm học 2022-2023 năm học trường THPT thực song song chương trình GDPT 2018 cho học sinh lớp 10 chương trình 2006 cho học sinh lớp 11, 12 Để thực có hiệu điều nhà trường, người quản lý giáo dục hay giáo viên cần trọng phát triển chương trình 2006, đổi phương pháp dạy học để vừa đáp ứng ôn tập, ôn thi cho đối tượng học sinh lớp 12 vừa phát triển toàn diện lực, phẩm chất cho người học II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình mơn Tốn cấp phổ thơng nói vấn đề Hình học khơng gian kiến thức giảng dạy đầy đủ Các kiến thức học dạng hình bản, quen thuộc lớp cấp THCS sâu nghiên cứu lớp 11, lớp 12 hai chương trình 2006 2018 Phần kiến thức “Góc” nội dung quan trọng khối kiến thức Hình học khơng gian Góc hai mặt phẳng nội dung kiến thức tương đối khó lại xuất nhiều kỳ thi hình ảnh sống ngày Hiện thi tốt nghiệp THPT môn Tốn với hình thức trắc nghiệm khách quan dẫn đến cách dạy cách học có nhiều thay đổi Đánh giá đề thi tốt nghiệp THPT năm gần sử dụng kiến thức để câu vận dụng, vận dụng cao, đòi hỏi giáo viên học sinh cần phát huy việc tìm tịi, sáng tạo tập trung tư duy, liên hệ, mở rộng kiến thức Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp Tỉnh thường xuất nhiều toán có liên quan đến “Góc hai mặt phẳng” Và chắn điều nội dung kỳ thi năm tới cho chương trình 2018 sử dụng kiến thức nhiều Đây thường tốn cần có nhiều suy luận, vận dụng huy động đa số kiến thức hình học khơng gian địi hỏi học sinh phải có niềm u thích mơn Hình học thầy có cách thức để giảng dạy học sinh dễ hiểu nhất, kích thích tự học học sinh Hiểu khó khăn yêu cầu, mong muốn Giáo viên Học sinh trình day-học Yêu cầu giáo viên cần tích cực học tập nâng cao trình độ; đổi phương pháp hình thức dạy học; nghiên cứu, khai thác, phát triển kiến thức, xây dựng cho phương pháp, tổ chức dạy học phù hợp với đối tượng học sinh nhằm đáp ứng tốt đổi giáo dục, hình thành cho em học sinh tư tích cực, đam mê, sáng tạo tính tự học cao Từ lí nêu tơi thực đề tài Sáng kiến kinh nghiệm có tên: “KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG” III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức hình học khơng gian trình bày sách giáo khoa chương trình 2006, đề thi tốt nghiệp THPT năm gần đây, đề thi thử tốt nghiệp THPT trường Sở GD&ĐT tỉnh số tài liệu tham khảo Đối tƣợng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức khái niệm góc hai mặt phẳng, phương pháp xác định tính tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu đề tài thông qua nghiên cứu từ sở lý luận thực tiễn gặp tốn hình học khơng gian có tốn góc hai mặt phẳng, học sinh thường gặp khó khăn định hướng phân tích, phối hợp sử dụng kiến thức học để giải tốn; bên cạnh sách giáo khoa, tài liệu tham khảo trình bày lời giải cụ thể thiếu tổng hợp, bao quát nên giáo viên học sinh khó khăn dạy học Đề tài sáng kiến góp phần khắc phục khó khăn nói nhằm tạo cho học sinh có hệ thống kiến thức, biết vận dụng cách có hệ thống, tạo niềm say mê, sáng tạo học tập Nhằm đưa lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh xét tuyển đại học; tăng khả xây dựng hệ thống tập, ngân hàng đề thi V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Hệ thống lại kiến thức phương pháp giải giúp người dạy người học có tính bao qt đứng trước tốn góc hai mặt phẳng Phát triển phương pháp riêng cá nhân cách xác định góc hai mặt phẳng Phân tích, rút số nhận xét quan trọng dạng toán Phân dạng xây dựng hệ thống tốn có tính hợp lý, khoa học tính kết nối hệ thống kiến thức Có thể sử dụng đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy học, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thi Đại học PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Một số sở lý luận thực tiễn 1.1 Cơ sở lý luận Hình học khơng gian kiến thức quen thuộc, quan trọng nghiên cứu Toán học cấp trung học phổ thơng nói chung phân mơn hình học nói riêng Trong phát triển tư duy, thực tiễn sống, định hướng nghề nghiệp môn Hình học ứng dụng nhiều đặc biệt Hình học khơng gian, Góc hai mặt phẳng chiếm phần quan trọng Như nghiên cứu Góc hai mặt phẳng hồn tồn có tính tự nhiên, thiết thực, khơng hàn lâm Trong chương trình, sách giáo khoa bậc phổ thơng nay, kiến thức hình học khơng gian, tốn góc trình bày với nội dung sau:  Hình học lớp 9: Trình bày số hình bản, có hình ảnh quen thuộc sống hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình trịn xoay  Hình học lớp 11: Trình bày loại hình khơng gian, quan hệ, tính chất Trình bày góc, khoảng cách  Hình học lớp 12: Trình bày loại khối khơng gian cách tính thể tích số khối Trình bày phương pháp tọa độ khơng gian 1.2 Cơ sở thực tiễn Dựa yêu cầu cao học sinh việc định hướng, phương pháp giải tốn hệ thống vấn đề Góc hai mặt phẳng phục vụ cho học tập thi cử Mặt khác gợi ý, xây dựng nguồn tài liệu cho đồng nghiệp giáo viên để tạo giao lưu, học hỏi dạy tốt II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Về phía Giáo viên - Qua dự giờ, kiểm tra nhiệm vụ dạy học giáo viên dạy Toán lớp 12 trường năm học 2018-2019 đến năm học 2021-2022 nhận thấy trình bày tốn Góc hai mặt phẳng dạng đơn giản giải tốn cụ thể chưa có tổng hợp để tạo thành phương pháp giải để giải đa dạng tốn góc Hệ thống tài liệu hạn chế chưa đáp ứng cho học sinh học tập - Khảo sát 10 giáo viên dạy lớp 12 trường địa bàn tỉnh Hà Tĩnh với hệ thống câu hỏi sau: Câu 1: Thầy cô thường dạy tốn Góc hai mặt phẳng mức độ nào? *) Kết quả: Mức độ Nhận biết &Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Số lượng % 70% 20% 10% Câu 2: Trước tốn Góc hai mặt phẳng Thầy thường hướng dẫn học sinh giải theo cách nào? *) Kết quả: 8/10 Giáo viên trả lời: Sử dụng cách xác định góc mặt phẳng cắt 2/10 Giáo viên trả lời: Thường có cách (Cách thứ 1-xác định góc mặt phẳng cắt nhau; cách tọa độ hóa) Câu 3: Thầy học sinh đề nghị hay chủ động dạy tốn phức tạp Góc hai mặt phẳng? *) Kết quả: Trả lời Rất ít: 3/10; Trả lời Không: 7/10 Câu 4: Khi dạy phần kiến thức Góc hai mặt phẳng, thầy có hệ thống phương pháp để giải loại toán này? *) Kết quả: Trả lời Khơng: 9/10 Về phía học sinh Năm học 2019-2020, khảo sát 300 học sinh lớp 11, lớp 12 giỏi trường THPT địa bàn huyện X, tỉnh Hà Tĩnh với kiểm tra 60 phút sau: Bài tốn 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tâm O; cạnh bên SA vng góc với đáy Em điền vào bảng sau: NHẬN XÉT PHÁT BIỂU TT Góc phẳng hai mặt phẳng hai mặt phẳng SAC ;(SAD)    BD;CD Góc mặt SAC ;(SAD)   SC;SD Góc hai SBD ;(ABCD)   SOA Góc ĐÚNG/SAI hai mặt phẳng SAB ;(SAC)    cos   SSAO SSAB GIẢI THÍCH Bài tốn 2: (Giải tốn 03 đến 04 cách) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  *) KẾT QUẢ KHẢO SÁT Bài toán Câu Số học sinh trả lời Nhận xét Tỷ lệ Số học sinh giải thích đƣợc Tỷ lệ 300 100% 300 100% 280 99.33% 243 81% 122 40.67% 97 32.33% 24 8% 11 3.67% Bài toán Số học sinh giải đƣợc cách 273 Tỷ lệ Số học sinh giải đƣợc cách Tỷ lệ Số học sinh giải đƣợc đên cách 91.00% 85 28.33% Tỷ lệ 1.67% Qua số thăm dò nêu nhận thấy giải tốn Góc hai mặt phẳng chủ yếu học sinh tập trung vào phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt mà sử dụng đến cách thức khác dùng định nghĩa hay khoảng cách cơng thức diện tích hình chiếu Điều phản ảnh việc dạy học phần giáo viên học sinh đơn điệu, sáng tạo, ngại khai thác kiến thức Do việc tổng hợp phương pháp giúp học sinh định hướng tư duy, làm nhẹ nhàng cách tiếp cận đặc biệt học sinh có liên hệ, kết nối mạch kiến thức liên quan tạo hiệu học tập; tạo niềm hứng khởi, đam mê dạy học Toán đồng nghiệp học sinh điều cần thiết người giáo viên III CÁC BIỆN PHÁP TRIỂN KHAI Kiến thức cần nắm vững 1.1 Định nghĩa Góc hai mặt phẳng Xét hai mặt phẳng  P   Q  Đường thẳng a vng góc mặt phẳng P ; đường thẳng b vng góc mặt phẳng  Q  a b P Q Khi  ( P);(Q)    a; b  1.2 Phƣơng pháp xác định Góc hai mặt phẳng cắt Xét hai mặt phẳng  P   Q  cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng  R  vuông a góc giao tuyến d b Mặt phẳng  R  cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến đường thẳng m , cắt mặt phẳng  Q  m P Q O theo giao tuyến đường thẳng n Khi n d  ( P);(Q)    m; n  Kiến thức đƣợc khai thác Từ kiến thức góc hai mặt phẳng sách giáo khoa trình bày, thân có ứng dụng, khai thác thêm, mở rộng toán tổng hợp lại phương pháp giải toán góc hai mặt phẳng sau: 2.1 Khai thác, mở rộng, phát triển, tổng hợp phƣơng pháp tìm góc hai mặt phẳng Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa Góc hai mặt phẳng Hai mặt phẳng  P   Q  có đường thẳng a vng góc mặt phẳng  P  đường thẳng b vng góc mặt phẳng  Q  Khi  ( P);(Q)    a; b  Phương pháp 2: “Tìm điểm xuất phát để xác định góc hai mặt phẳng” Khi gặp tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng (P) (Q) Khi Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng “Phƣơng pháp xác P Q O định Góc hai mặt phẳng cắt nhau” sau: b a Bước 1: Xác định giao tuyến   (P)  (Q) Bước 2: Trong mặt phẳng (P) xác định đường thẳng a vng góc giao tuyến  điểm O Trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng b vng góc giao tuyến  điểm O Bước 3: Khi  ( P);(Q)    a; b  Sự khó khăn Học sinh là: “làm xác định đƣờng thẳng a đƣờng thẳng b ” Giáo viên nêu câu hỏi “Có cách hƣớng dẫn đơn giản khơng?” Để giải băn khoăn trên, nêu cách thức xác định Góc hai mặt phẳng đặt tên “Tìm điểm xuất phát việc xác định Góc hai mặt phẳng” Phân tích: Nếu ta lấy điểm A; B đường thẳng a đường thẳng b ta có   (OAB)    AB Phƣơng pháp Tìm điểm xuất phát việc xác định Góc hai mặt phẳng”: Bước 1: Xác định giao tuyến   (P)  (Q) Bước 2: Tìm mặt phẳng (P) điểm A, tìm P Q O mặt phẳng (Q) điểm B cho AB   b Bước 3: Từ A (hoặc B) kẻ đường thẳng vng góc A đường thẳng  điểm O Khi a  (P);(Q)   OA; OB   AOB 00  AOB  900 0  ( P);(Q)    OA; OB   180  AOB 90  AOB  180 B Phương pháp 3: Sử dụng khoảng cách tính góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  P    Q   d Q Từ A   P  , dựng AK  d ; AH   Q  Khi d   AKH  nên Khi sin    P  ; Q   AKH   d  A;  Q   AH , hay sin   AK d  A; d  H A P α K d Phương pháp 4: Sử dụng diện tích tính góc hai mặt phẳng Gọi  góc hai mặt phẳng      Lấy mặt phẳng   đa giác    có diện tích S , hình chiếu vng góc đa giác    đa giác    có diện tích S Khi ta có cơng thức cos   2.2 S S Một số ví dụ tốn Góc hai mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AD  2AB  2BC  2a ; cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  a Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  Phân tích Khi nghiên cứu tốn ta nhận thấy dạng hình quen thuộc, hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy đáy đa giác quen thuộc Nhưng bắt tay vào giải tốn cách xác định góc hai mặt phẳng cắt gặp nhiều khó khăn Điều cần suy nghĩ, phân tích để sử dụng phương pháp Nếu sử dụng phương pháp “Góc hai mặt phẳng cắt nhau” cần phải chuyển đổi sang hai mặt phẳng khác Từ đề xuất số cách tiếp cận sau: LỜI GIẢI 3a HK tan HMK     HMK  600 HM a Vậy góc hai mặt phẳng  ABC   BCC1B1  600 Phân tích Hai mặt phẳng  ABC   BCC1B1  cắt theo giao tuyến BC Đường thẳng A1H  (ABC)  A1H  BC Điều gợi ý cho ta chuyển đổi góc hai mặt phẳng  ABC   BCC1B1  góc hai mặt phẳng  ABC      chứa điểm A1 Từ ta có: CÁCH GIẢI Gọi D điểm cho tứ giác ABCD hình bình hành Do AD / /BC A1A / /B1B suy  A1AD  / /  B1C1CB  suy  (ABC);(BCC1B1 )    (ABCD);(A1AD)  Ta có HA  AD  A1A  AD 1 a a  Ta có AH  AM  2 C1 A1 B1 D 3a A1H tan A1AH     A1AH  600 AH a A C H M B Phân tích Ta có A1H  (ABC) Điều gợi ý cho ta xác định đường thẳng vng góc với mặt phẳng  BCC1B1  để sử dụng định nghĩa Góc hai mặt phẳng Để dễ cho việc tính tốn góc theo cách giải này, từ điểm A1 từ điểm H ta kẻ đường thẳng vng góc với mặt phẳng  BCC1B1  CÁCH GIẢI (Sử dụng phương pháp 1: Định nghĩa góc hai mặt phẳng) 15 Gọi M1 trung điểm cạnh B1C1 C1 A1 Kẻ A1E  MM1  A1E   BCC1B1  M1 Lại có A1H  (ABC) B1 Theo định nghĩa ta có E A  (ABC);(BCC1B1 )    A1H;A1E   HA1E C H Kéo dài MM1 cắt A1H K ta có: A1K  2A1H  M B a 3a A1M1  2 K Áp dụng tam giác A1M1K vng A1 ta có A1E  A1M1.A1K A1M12  A1K  3a 3a A1E Áp dụng tam giác A1EK vuông E ta có cos HA1E     HA1E  600 A1K 3a 2 Vậy góc hai mặt phẳng  ABC   BCC1B1  600 Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC1  cos  a , góc hai mặt phẳng  ABC1   BCC1B1   với Thể tích khối lăng trụ ABC A1B1C1 Phân tích Bài tốn cần phải xác định góc hai mặt phẳng  ABC1   BCC1B1  cắt theo giao tuyến BC1 Gọi M; N trung điểm BC; AB ta dễ nhận thấy AM  BC CN  AB Từ AM  BC  AM   BCC1B1   AM  BC1 16 Khi ta sử dụng Phương pháp “Điểm xuất phát để xác định góc hai mặt phẳng  ABC1   BCC1B1  điểm A điểm M”, Từ ta có lời giải: CÁCH GIẢI Gọi M trung điểm BC suy AM  BC  AM   BCC1B1   AM  BC1 Ta kẻ ME  BC1  BC1   AME   AE  BC1   (ABC1 );(BCC1B1 )    AE;ME   AEM Từ cos   tan   11  tan AEM  11  Đặt x  AB h  CC1 ta có AM  CN  AM  11  AM  EM 11 (1) EM x 1 x.h EM  CF  2 x2  h2 thay vào (1) được: C1 A1 x x.h 11h  11    3x  8h (*) 2 2 x h x h F B1 Mặt khác d  C;  ABC1    CH  a H Ta có E C A 1 1 1 3a          h2  2 C1C CN a h 3x a h 8h a Từ (*) có 3x  8h  3x  M N B 8.3a 3x  x  4a  SABC   3a 2 Khối lăng trụ ABC A1B1C1 tích V  h.S ABC  a 2a a  2 Phân tích Dễ dàng nhận thấy AM   BCC1B1  Khi xác định khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC1  cho ta suy nghĩ điều gì? Có xác định hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  ABC1   BCC1B1  để sử dụng Phương pháp “Sử dụng định nghĩa” 17 CÁCH GIẢI C1 A1 Ta có AM  BC  AM   BCC1B1  Lại có CN  AB  AB   CC1N  nên kẻ F B1 H GK  C1N  GK   ABC1  Từ    (ABC1 );(BCC1B1 )    AM;GK   AGK Đặt x  AB ta có AG  x AM  3 E K C A N G M B 1 a Có GK  CH  d  C;(ABC1   Xét tam giác AKG vng K có 3 cos  cos AGK  Từ có SABC   a x KG  x  2a   3KG  AG   3 AG 3x  3a 1 1 3a a       C C   C1C  2 2 2 C1C a CN a 3a 3a 2 Vậy thể tích V  h.S ABC  a 2a a  2 Ví dụ Cho lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy , cạnh bên Gọi M trung điểm CC  Tính sin góc hai mặt phẳng  ACB   BMA  Phân tích Nhận thấy toán phức tạp việc xác định phương pháp giải Nếu theo thói quen sử dụng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt chắn có bế tắc Nếu khơng có tính bao qt phương pháp giải việc lựa chọn cách tiếp cận gặp khó khăn 18 Nhận thấy việc tính khoảng cách từ điểm A đến  BMA  (khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt phẳng xiên) Mặt khác việc tính khoảng cách từ A đến giao tuyến hai mặt phẳng  ACB   BMA  sử dụng diện tích tam giác ta giải Do ta hồn tồn sử dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng CÁCH GIẢI (Phương pháp 3: Sử dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng) Gọi I tâm hình chữ nhật ABBA J giao điểm BM BC suy IJ   ACB    BMA  Gọi  góc mặt phẳng  ACB   BMA  Khi đó: sin   Gọi D  AM  AC , suy C trung điểm AD  BC  AD  ABD vuông d A; BMA d A;IJ  A' C' B B'  BD   ABBA    BDA    ABBA  1 M I Dựng AK  AB   Từ 1  2 K suy AK   BDA  SBAC C B Tam giác BAC có BA  BC  , AC   S BAC   J A  AK  d A; BDA  d A; BDA  SBIJ 15 cos ABC  15 BI BJ   SBIJ  12 BA BC Ta có: BI  BA  ; BJ  BC   IJ  BI  BJ  BI BJ cos IBJ  3  d A;IJ   d B;IJ   2SBIJ 15 15 2   sin   :  Vậy sin   IJ 4 5 19 D