SỜ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÈ TÀI VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI TOÁN Tính’ Góc giữa hai mật phảng V V MỤC LỤC Trang I Đặt vấn đề 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục tiên, đối tượn[.]
SỜ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÈ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI TỐN TÍNH’ GĨC GIỮA HAI MẬT PHẢNG V V MỤC LỤC Trang I Đặt vấn đề II Lý chọn đề tài 2 Mục tiên, đối tượng nghiên cứu Già thiết khoa học Dự báo đóng góp đề tài Giải vấn đề Cơ sở lý thuyết Cơ sờ thực tiền Nội dung a Ví dụ mờ đầu b Các tập vận dụng Vấn đề Tính góc giừa hai mặt phẳng hình chóp Vấn đề Tinh góc giừa hai mặt phẳng hình lãng tiự 12 c Một số tập đề nghị d Đánh giá hiệu quà đề tài 20 22 III Kết luận 22 IV Kiến nghị 23 I ĐẬT VẤN ĐÊ Lý chọn đề tài Trong trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia thường gặp tốn hên quan đến góc, có tốn góc giừa hai mặt phẳng Với nhiều học sinh, giáo viên nhiều lúng túng việc xác định phương pháp để giải tốn Thơng thường tính góc giừa hai mặt phẳng, thường sử dụng định nghía, sữ dụng cách xác định góc giừa hai mặt phẳng cắt nhau, phương pháp tọa độ hóa Tuy nhiên, q trình giải có nhiều u cầu nhận định tính tốn phức tạp nhiều thời gian Với nhùng lý trên, với mong muốn góp phần phát triền tư duy, kỳ cho học sinh, tòi xin giới thiệu phương pháp mà giáo viên học sinh sử dụng “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phăng” Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu Phát triển tư rèn luyện kỳ giải tập liên quan đến góc giừa hai mật phẳng cho học sinh khá, giói Nâng cao hiệu q việc ơn thi THPT Quốc gia Đề tài áp dụng hiệu quà cho đối tượng học sinh khá, giòi lớp 11, 12 Giả thiết khoa học Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phăng” vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia sè tạo hứng thú kích thích dam mê học tập mòn cho học sinh Đồng thời học sinh ựr tin việc giãi dạng tập Riẻng phần tập tính góc giừa hai mặt phẳng, học sinh khắc sâu kiến thức có kỳ giãi nhanh khơng chì tốn góc mà nhùng tốn liên quan đến tính khống cách thường gặp đề thi Dự báo đóng góp đề tài Đe tài “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phăng” giúp nắm thêm cách để tính góc giừa hai mặt phẳng, đồng thời củng cố thêm phương pháp tính khoảng cách tìr điềm đến đường thẳng mặt phẳng khơng gian Từ rèn luyện tư kỳ việc dạy học toán Đe tài giúp giãi tốn liên quan đến góc cách nhanh chóng, đặc biệt nhùng khó xác định góc giừa hai mặt phẳng thực còng cụ hừu hiệu Qua số tập điền hình đtrợc trinh bày chuyên đề, ví dụ đtrợc xếp tìr dề đến khó giúp học sinh nhận đtrợc im việt kill vận dụng phương pháp vào giãi tập II GIẢI QUYÉT VẤN ĐÈ Cơ sờ lý thuyết Phương pháp vận dụng khoáng cách toán tính góc giừa hai mặt phẳng Già sử hai mặt phẳng (ơ) (/?) cắt theo giao tuyến Lấy 4e(ữ) Aịa, dựng AK lư, (Ẩ' eư), AH l(/7), (H e (/?)) Khi đó, a (AHK) suy HK lư Do đó, ((a), (p j) = (AK, HK) = AKH =0).Ke BH TSC(H-_SC) s Dề thấy BD ± (S14C) =• BD ± sc /: \\ Từ suy sc -L(BDH) — DH CSC Ị■\ Tacó (SBC)c(SDC) = SC \ kff \ Kill a = ((SBC),(SDC)) = (BH.DH) / \a-ỊĨ \ 'N / „ / // \ / Xét tam giác SBC vuông B đường cao BH ta ị Jr X \ / CÓ D 111 1 2 2 2 + 2 BH ~ SB BC ~ SA + AB BC ~ ^^ _|_ a2 a ~ 4a “VT -A' c _ K''"' a 267 ,.,, 2 AB ± SA phẳng vng góc với đáy suy Mặt khác AE = SA = a nên tam giác SAE vng cân A Do AK = ị.S’£ = SA2 + AE- = 2 Ta lại có, AH ± CM, AH ± SM (SM ± (ABCD}] => AH ± (scw) hay d(A,(SCM^ = AH Xét tam giác AME vng A, đường cao AH Ta có 1 , 1,4 , ITr C1J5 *2 = ——T + —y-T = -y + -y = -y => AH = —y- AH- AE~ AM2 a2 a2 a2 dV5 . AH _ Suy sill a = —— = —^=- = AK ajl o => cot a = Chọn B Nhận xét: này, việc chi góc khó Do vận dụng khoảng cách để tính hợp lý Việc lựa chọn tính khoáng cách n'r điềm A hay B đến mặt phẳng (SCW) Ngồi tính sina dÍMẨSAB)) d(C,(SAB)) = ——————— = ——í cách d(M,SE) d(C,SE) ■ Việc tính theo cơng thức đơn giàn tíiili Bài 3: (Đề thi thử trường THPT Hà Huy Tạp - Hà Tình năm 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành AB = 3, AD = 4, BAD = 120° Cạnh SA = 2^3 vng góc với đáy Gọi M, N, p tiling điềm cạnh SA, AD, BC Gọi a góc giừa hai mặt phẳng (S5C) (W7VP) Tính a A a = 60° B a = 45° c a = 90° D a = 30° Lời giải Gọi tiling điềm SB Khi (.MVP) n (ssc) = PQ j(B,(ÀCVP)) í/(j,(ACVP)) Ta có sin a = ———4 = —_ _ _y d(B,PQ) d(B.PO) Ke AI ± PN ự e PN), AH ± MI ựỉ e MI) Kill d(A,(MNP)) = AH Ta có BAD = 120° =- ANP = 60°, Al = AN.sin ANP = 2.ệ = V3 Xét tam giác AIM vuông A, đường cao AH, ta có 1,1 ,1 ATT Vó 2 AH MA AI 3 Ke BK ± ỘP [K e ỘP) =■ đ[B, OP) = BK Ta có AC2 = AD2 + DC2 —2AD.DC cosADC ^.4C2 = 16 + 9-2.4.3.4 = 13 Suy sc = y/SA2+AC2 = V12 + 13 = SB' = y/SA2+AB2 = 712+9 = Vĩĩ COSỘPB = cosSCB = 2SC.CB Ta có BK = 5PsinỌPẺ = 2.4^- = V3 Vẽ Từ suy sin a = 4“4 = -2= = 2/Z => a = 45° Chọn B BK Nhận xét: việc xác định góc giừa hai mặt phẳng khó Do đó, ta nên vận dụng khoảng cách đề tính góc Lựa chọn tính khống cách từ điềm B đến giao tuyến PO mặt phẳng [MNP) hay tính khoảng cách từ điểm N, M đến giao tuyến PQ mặt phẳng [SBC) trường hợp tùy thuộc vào cách nhìn bao qưát tồn diện mồi học sinh Tưy nhiên nến em lựa chọn điềm ngầu nhiên bước đến kết qưâ phương pháp đơn giãn gọn nhẹ Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc 5.40 = 120° Hình chiếu vng góc đinh 5' lên mặt phẳng [ABCD) điềm H nằm đoạn thẳng AB cho HA = 2HB Góc sc mặt phẳng [ABCD) 60° Gọi Q góc hai mặtphẳng (S.4C) [SCD) Tính cota Lời giải B+ D Ta có (£4C)n(SCZ>) = sc Khi smci d(A,(SCD)) d(A,SC) Gọi M tiling điềm cùa AD Vì ABCD hình thoi cạnh a, 7770 = 120° nên ABC ACD tam giác cạnh d(M,SA) = X\I2 Từ (1) (2) ta Vậy cos((SJB),(JBDC)) = ^y Chọn c 5_f1,1Y2 4x lw2 + SN2 ) HK2 2_ Từ suy sin((S45),( ABDC)) = 1A SH ' HK2 ) + „£7 HK d(ỉỉ,(SAB)) _ x d(ỈỈ.AB) 2x 11 X2 + HK2 HK = 2x 2' Nhận xét: Đây toán hay, xác định góc cụ thể cùa cặp mặt phẳng thi rối hình Tuy nhiên, nhu nhìn thấy, vận dụng khống cách đề giải tốn trờ nên nhẹ nhàng, đơn giàn nhiều Van đề 2: Tính góc hai mặt phăng hình lăng trụ Bài 1: íĐề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hình lăng tụi tam giác ABC.A'B'C' CĨ AB = 2V3 AA' = Gọi M, N, p tiling điềm cạnh A'B', Arc' BC Cơsin cùa góc tạo bời hai mặt phẳng (AB'C') (w) óVĨ3 A —-— 65 65 c 17^ D 65 65 J8^ Lời giải Vì p e BC, BC / /MN nên mặt phẳng (A/VP) mặt Khi (AB'C'^MNP) = IJ (UHBCHMN)phẳng (MNBC) Gọi a góc tạo bời hai mặt phẳng (và (MNP) Ta có sina d(B',(MNP)) d(B',IJ) Gọi I = AB’nBM J = AC' ("\CN Vì ABC.A'B'C' lãng tam giác đền nên tam giác AB'C' càn A Suy AKLB'C' Do d(B.IJ) = d(K.IJ) = KE Ta có AB' = y/AB2 + BB'2 = 4, AK = JAB'2-B'K2 = VÕ Dễ thấy I trọng tâm tam giác BB'A Suy B'I = -B'A Từ ta có KE = \AK = 3 Gọi Q H hình chiếu vng góc B' lên MN BQ Khi đ(B' ,(MNP))= B'H Ta có B'Q = Ị-A'K = ệ 2 Xét tam giác BB'Q vng B', đường cao B'H, ta có =+=+== B'H- B'Q- B B2 36 _B'H _ _ 18-713 V13 _ Suy sin Cl = —— = —i= = —=> cosa = —— Chọn B KE 713 65 65 _ Nhận xét: Vai trò B' c' nên lựa chọn điềm c' đế thực bước hoàn toàn tương tự Bài 2: (Đề thi thừ trường THPT cẩm Bình - Hà Tình năm 2018) Cho hình lãng tụi ABC.A'B'e' CĨ đáy tam giác đền cạnh 2a Hình chiến vng góc cùa A' mặt phẳng (ABC) tiling điềm H cạnh AB Biết góc giừa cạnh bên mặt đáy 60° Gọi ip góc giừa hai mặt phẳng (và (ABC) Khi COS92 c B D Lời giải Ta có (5CC'5')n(J5C) = 5C Khi sino = v , _ —- d(A,BC) Gọi M trung điểm BC Vì tam giác ABC cạnh 2ữ nên AM-EBC, AM = ayỊĨ> => d(A,BC) = AM = ay/ĩ Gọi D chân đường cao hạ hr đinh B’ xuống mặt phẳng (ABC) Khi B trung điếm cùa HD d A, BCƠB')) , _ Ta có ;_ , ; =^- = hay d(AÁBCCB' = 2d(DẢBCCB' d(D,(BCC'B')] DB kA Gọi Ị, K hình chiếu vng góc D lên BC B'ỉ Khi d(D,(BCC'B')) = DK DI DB DI = \AM 2 AM AB Vì góc giừa cạnh bên mặt đáy A'AH = 60° => B'D = A'H = Ta có Xét tam giác BfDI vuông D, đường cao DK ta có tan 60° = dyỊĨ 1 1,1 2 2 DK DI B D 3a 3a 3a ? "V15 5 Cly/l5 ^■„2DK_ ~r_ r n Suy sin (p = —= jD— = —Ị= =Ị- coup = —Ị= Chọn B AM aj3 ^5 V? Z Nhận xét: Trong trinh giâi tốn tính góc theo khống cách ngồi cách chọn cách điềm nhu ta chọn điếm H, B', c' đế tính khoảng cách tới giao tuyến mặt phẳng tương ứng hồn tồn đơn giàn Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.ẢB'C'D' Gọi M trưng điềm cạnh BC, a góc giừa hai mặt phẳng (B'AM) (A'B'CD) Khi đó, số đo góc a A 30° c 60° B 45° Lời giải Kẻ AM cắt DC N Ta có (SIAM) Q(A'B'CD) = BrN Khi í7(C,(5W)) sin a = —7 d(C.BM) d(B,(B'AM)) d(C,B'M) Ke BH DAM {He AM), BK ± SH Suy d (B.{B'AMỴ) = BK Xét tam giác B’BH vuông B, đường cao BK, ta có 1 1 1 "VỐ BK2 ~ BB’2 + BH2 ~ BB'2 + BM2 + BA2 ~ a2 + a2 + a2 ~ a2 - Ke CP ± B’N (p e B'N) Kill d(C.B'N) = CP Xét tam giác B'CN vuông c, đường cao CP, ta có 11 11 2+ 2 + r_ ~CP ~ CB' ~CĨĨ ~ la ỡ la2 _ 3 ơVó D 75° ad6 Vậy sin a = = —4= ị => ũ = 30° Chọn A CP a4ẽ Nhận xét: Việc tính tốn đơn giàn nhẹ nhàng, thay lựa chọn tính khoảng cách từ điềm c đến giao tuyến B'N mặt phẳng ỊB'AM) lựa chọn tính khoảng cách n'r điểm A đến giao tuyến mặt phẳng (A'B'CD), việc hoàn toàn đơn giàn, tương tự câư Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.ÂB'C' có đáy tam giác đềư tất cà cạnh ỐI, M trung điềm ẢB' Cơsin góc tạo bời hai mặt phẳng (À43C') (ACC'A1) c Lời giải Ke A4' cắt BM D Ta có (MBC')^(ACC'A') = C'D Gọi a góc tạo bời hai mặtphẳng (Ả/BC') (.4CCÍ4') Khi sina = d(B,(ACC'A')) d(B.CD) Gọi N trung điềm cạnh AC Ta có BN _ AC, BN _ X4' => BN (ACC'A') Hay d(B,(ACC'Af)) = BN Tam giác ABC cạnh a nên BN = CM = Ke BK _ DCr (Á' G DỜ) => d(B,DCr) = BK Ta có \c-BZ) = ^CM.BD ACBD = 1-BK.CD => BK = c C D D Xét tam giác ABD vuông A ta có BD = Ja2 + (2ơ): = A’H 1ỜM Từ suy A'H ± (BƠ) hay í/(4,(wc')) = A'H Xét tam giác A'DM vuông A' đường cao A'H ta có -1 + 1+4= ^=^1 A'H2 A'D2 A'M2 a2 a2 a2 Ke A'K _ DỜ (K e DC') => d(A',DỜ] = A'K Xét tam giác A'DC vuông 4Z, đường cao ÀK , ta có = -7-77 = , 4—7 = —7 Ả H = —7— A'K- A'D- A'c2 a2 a2 a2 1 112, J/TT ayỉĩ _AH _ viu _x/i? r l. n Từ suy sin a = —— = —= —— => cos a = Chọn D A'K aji 5 Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' CÓ AB = a, AC = a*j3, AA' = a, BAC = 150° Gọi M tiling điểm CC', a góc giừa mặt phẳng (AB'M) mặt phẳng [ABC) Khẳng định sau đúng? A sin a = 66 c sin a = A— B sin a = 22 44 D sina = Lời giải Kẻ BC cắt BrM N Khi M tiling điểm B'N Ta có (.4B'M)n(>íBC) = ^ Khi sin a = d B', J5C = J" d[B',AN) 2d(M,AN) Ta có d[B',[ABC)) = BB' = a Ke MH VAN [He AN) => d[M,AN) = MH Xét tam giác ABC ta có BC2 = AB2 +AC2 -2AB.AC.COSBAC 7) X“ĩ2 I O ==> BC = a + 3a 2.a.ayỊĨ > AB2+BC2-AC2 2ABBC = SA15C ^AB.AC.SỈIÌBAC = —a.a cos ABC = = BC = Ci4ĩ a2 + 7ơ2 — 3ữ2 2ơ.ax/7 5x/ỹ 14 Xét tam giác ABN có AN2 = AB2 — BN2 — 2AB.BN.COSABC '2=a2+ 28ứ2 -2.a.2a4ĩ.^4- = \9a2 => AN = r/ỰĨ9 14 Ị~^ MH = _ 76 38 38 ^BB'_ a _ V4Ĩ8 r, _ Vạy sina = = , = — Chọn D 2MH n «7418 22 2, —„ 38 Nhận xét: Với lựa chọn cách tính khoáng cách n'r điềm c đến giao tuyến AN vàmặtphẳng (AB'M) tương tự cách Bài 6: Cho lãng till ABC.A'B'C' CÓ đáy tam giác đền cạnh 3«, hình chiến vng góc A' lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB thỏa AH — 2BH = góc giừa AA' mặt đáy, biết taiiý9 = ——— Khi tan góc hai mặt phẳng (ABC') (A'HC) A 2^6 B ệ C.3yf6 12 D ệ 18 Lời giải Gọi I giao điểm cùa AC' A'c Ta có (ABC') n (A'HC) = HI Gọi a góc giừa hai mặt phăng (ABC'] (A'HC) Khi sin a = v , _■ ■ v7v7 d(C.Hỉ) Xét tam giác BCH ta có CH2 = BC2 + BH2 -2BC.BH.COS ABC => CH2 = 9a2 — a2 — 2.3«.«.ị = la2 ^CH = ơĩ Góc giừa A47 (ABC) A'AH = 99 — , _ A H _ y[ĩ A! TT „ n Ta có tanự? = = => A H =