GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG GÓC GIỮA HAI MẶT BÊN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC) Cách 1 Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SBC) Cá[.]
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG - GÓC GIỮA HAI MẶT BÊN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Tính góc hai mặt bên (SAC) (SBC) Cách 1: Tính góc đường thẳng a b vng góc với mặt phẳng (SAC) (SBC) Cách 2: Dựng đường cao SH ABC Lấy điểm M thuộc AC, dựng MN HC Lại có: MN SH MN SHC MN SC Dựng MK SC SC MKN SAC ; SBC MK, KN B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông B có AB a, BC a Biết SA a , tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Lời giải Dựng BH AC BH SAC BH SC Dựng BH SC HKB SC SBC ; SAC HKB Ta có: SA SB2 AB2 Khi sin KCH a ; AC AB2 BC2 2a HK SA SA a HK 2 HC SC 3 SA AC Mặt khác: BH BA.BC a BH tan HKB AC HK HKB 60 Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có ABC 60 , SA ABC SA a Tính cosin góc giữa: a) (SBC) (SCD) b) (SBC) (SCD) Lời giải a) Nhận xét ABC tam giác cạnh a AB BC a ABC 60 Gọi O tâm hình thoi ABCD BD AC BD SAC BD SC BD SA Ta có: Dựng BE SC SC BED Mặt khác: SA AC a SAC vuông cân A suy ECO 45 Khi OE OCsin 45 Lại có: OB a a OB tan BEO OE Do BED 2BEO sử dụng cơng thức lượng giác máy tính CASIO ta tính cos BED 5 Cách khác: Ta có: BE DE OE OB2 14 EB2 ED2 BD2 5 cos BED 2.EB.ED Suy SBC ; SCD CM AD CM SAD CM SD CM SA b) Dựng CM AD ta có: Dựng CK SD SD MKC Tam giác ACD cạnh a nên CM SDM 45 Do MK MDsin 45 a Do SA AD a SAD vuông cân A suy a Suy tan MKC CM cos MKC MK Vậy cos SCD ; SAD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a với AD 2a , biết SA ABCD mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 45 Tính cosin góc mặt phẳng (SCD) (SBC) Lời giải Do AD 2a nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD 2a AC CD CD SAC CD SA Ta có: Suy SCD ; ABCD SCA 45 SA AC 4a a a Dựng AE SC AE SCD AH BC AF SBC , góc mặt phẳng (SCD) (SBC) góc AE AF AF SH Dựng Tacó: AE Suy AF SA.AC SA AC2 SA.AH SA AH 2 a a ; AH ACsin 30 2 a AF 10 , AF SBC AF FE Do cos FAE AE 5 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a; AD a , cạnh bên SA ABCD Biết mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Lời giải Do SA ABCD BC AB BC SBA Do SBC ; ABC SBA 60; AC 2a SA ABsin 60 a DE AC E BC Dựng I, mặt khác DE SA DE SAC DE SC Dựng IH SC SC EHD Ta có: DI DCsin ICD tan ICD ICD 60 Suy DI a sin 60 a DC2 2a ; DE DI a a SA a CI EI.DI ;sin ICH IH ICsin IHC SC 7 IE DE DI Suy EH EI2 IH2 Do cos EHD 2a a 42 ; ED 21 EH HD2 ED2 2 cos SBC ; SCD 2.EH.HD 4 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O, cạnh a Biết SA ABCD , tính độ dài đoạn thẳng SA để góc mặt phẳng (SBC) (SCD) 60 Lời giải BD AC BD SAC BD SC BD SA Ta có: Kẻ BI SC SC BID Vậy SBC ; SCD BI; ID 60 OI SC Dễ thấy BIO BID ■ Trường hợp 1: BID 60 BIO 30 Ta có: tan BIO BO a a (vô lý) tan 30 OI OC IO 2 (OI cạnh góc vng, OC cạnh huyền tam giác vuông OIC) ■ Trường hợp 2: BID 120 BIO 60 Ta có: tan BIO BO a tan 60 OI IO Mặt khác: sin ICO OI tan ICO SA AC tan ICO a OC Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a với AB 2a , biết SA ABCD SA a Tính tan góc mặt phẳng (SAB) (SCD) Lời giải Do ABCD nửa lục giác cạnh a với AB 2a ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Do ABD 90 Gọi I AB CD SI SAB SCD AI BD BD SAI BD SI BD SA Do Dựng BK SI SI BKD Khi SAB ; SCD BK; KD BKD Do BD SAI BD BK KBD vuông B có BD AD2 AB2 a BC / /AD Do BC đường trung bình tam giác AID AB BI AI 2a BC AD 1 SA.AI a 21 BD BK d A;SI tan BKD 2 2 SA AI BK ... IO Mặt khác: sin ICO OI tan ICO SA AC tan ICO a OC Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a với AB 2a , biết SA ABCD SA a Tính tan góc mặt phẳng (SAB)... 30 Ta có: tan BIO BO a a (vô lý) tan 30 OI OC IO 2 (OI cạnh góc vng, OC cạnh huyền tam giác vuông OIC) ■ Trường hợp 2: BID 120 BIO 60 Ta có: tan BIO BO a tan 60 OI... SDM 45 Do MK MDsin 45 a Do SA AD a SAD vuông cân A suy a Suy tan MKC CM cos MKC MK Vậy cos SCD ; SAD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác