Bài giảng Đại số tuyến tính và hình học. Khái niệm và các dạng ma trận đặc biệt. Các phép toán trên ma trận. Các phép toán đại số trên ma trận. Định thức, khái niệm về định thức. Các tính chất của định thức. Hệ phương trình tuyến tính. Khái niệm và điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
Chương Ma trận 1.1 1.1.1 Khái niệm dạng ma trận đặc biệt Khái niệm Định nghĩa Ma trận cấp m × n bảng số thực xếp thành m hàng n cột sau a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= am1 am2 · · · amn aij : phần tử hi (A) = ai1 a1j a2j cj (A) = giao dòng ivà cột j ma trận A ai2 · · · ain hàng thứ i ma trận A cột j ma trận A amj Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu M(m, n) 1.1.2 Các dạng ma trận đặc biệt ♣ n = tức ma trận có cấp m × đgl ma trận cột ♣ m = tức ma trận có cấp × n đgl ma trận hàng ♣ n = m tức ma trận có cấp n × n đgl ma trận vuông X :đường chéo ma trận ♦ X X : ma trận tam giác ♦ ♦ : ma trận tam giác X : ma trận chéo ♦ CHƯƠNG MA TRẬN ♦ ··· ··· 0 0 ··· 1.2 = In : ma trận đơn vị Các phép toán hàng ma trận 1.2.1 Các phép toán hàng Định nghĩa : Các phép toán hàng ♣ Phép đổi hàng : hi ↔ hj ♣ Phép tỷ lệ hoá : hi → αhi , α 6= ♣ Phép thay hàng : hi → hi + αhj Định nghĩa Hàng khơng hàng có tất phần tử Phần tử cở sở số khác tính từ trái qua hàng 1.2.2 Ma trận có dạng bậc thang, bậc thang rút gọn Định nghĩa Ma trận A gọi ma trận bậc thang thoả hai điều kiện sau 1) Nếu có hàng phải nằm hàng khác 2) Phần tử sở hàng phải nằm cột bên phải phần tử sở hàng Ví dụ 0 0 0 0 0 0 0 Định nghĩa Ma trận bậc thang A gọi ma trận bậc thang rút gọn thoả hai điều kiện sau 1) Tất phần tử sở phải 2) Tất phần tử khác nằm cột với phần tử sở phải Ví dụ 0 0 3 0 0 Một ma trận A dùng phép tốn hàng để đưa dạng bậc thang (tương ứng bậc thang rút gọn) B Khi đó, B đgl dạng bậc thang (tương ứng bậc thang rút gọn) A Mỗi ma trận có vơ số ma trận bậc thang tương ứng có ma trận bậc thang rút gọn Thuật toán đưa ma trận dạng bậc thang Bước 1: Dùng phép đổi hàng (nếu cần) để có phần tử đỉnh cột khác (tính từ trái sang phải) ma trận phần tử khác Phần tử gọi phần tử sở thứ ma trận Bước 2: Dựa vào phần tử sở thứ nhất, phát phép toán hàng cần thiết để biến tất phần tử nằm phía phần tử sở thứ (trong cột) thành phần tử thực phép toán CHƯƠNG MA TRẬN Bước 3: Lặp lại hai bước ma trận thu từ ma trận ban đầu cách bỏ hàng cột chứa phần tử sở thứ nhất, lặp lại trình phần tử sở cuối ♦ Chú ý: Phần tử sở ma trận bậc thang nằm hàng liên tục (hàng 1,2,3, ) chưa cột liên tục (cột 1,2 4, 6, ) Ví dụ Dùng phép tốn −1 −1 1 A= −3 −1 −1 −1 h4 →4h4 −3h3 −− −−−−−−→ 0 0 h1 →h1 −h4 A −−−−−−−−−−→ h2 → h2 + h4 h3 → h3 − h4 0 h1 →h1 +h1 −−−−−−−→ 0 0 1.2.3 hàng đưa ma trận sau dạng bậc thang sau đưa bậc thang −1 3 −3 −1 −5 h3 →h3 +h2 h2 →h2 −2h1 −−− −− −−−−−−→ − − − − − − − − → 10 h4 →h4 −2h2 h3 → h3 + 3h1 −1 h4 → h4 − 3h1 −3 −1 −11 −2 −3 −1 −5 (Dạng bậc thang A) −19 −1 0 10 −1 22 h3 → 41 h3 −3 −24 0 −6 −−−− −−−−−−−→ 24 h1 → h1 − 12 h4 0 h2 → h2 + 34 h4 0 −19 0 −19 −6 (Dạng bậc thang rút gọn A) −19 rút gọn 0 −1 −3 −1 −5 −1 Hạng ma trận Định nghĩa Hạng ma trận A số hàng khác có dạng bậc thang (hay bậc thang rút gọn) A Ký hiệu: r(A)= Số phần tử sở có dạng bậc thang A 1.3 1.3.1 Các phép toán đại số ma trận Phép cộng ma trận-Phép nhân số với ma trận ♣ Cho A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n ♣ Cho α ∈ R A = [aij ]m×n ⇐⇒ ⇐⇒ Định nghĩa Ví dụ Tính A + B biết A = Giải: A + B = Định nghĩa A + B = [aij + bij ] αA = [αaij ] B = Tính chất 1 A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + θ = A, ma trận khơng θ = [0]m×n A + (−A) = θ, ma trận đối −A = [−aij ] (α + β)A = αA + βA α(A + B) = αA + αB α(βA) = (αβ)A 1.A = A αA = θ ⇒ α = A = θ −1 −5 CHƯƠNG MA TRẬN 1.3.2 Phép nhân hai ma trận Định nghĩa Phép nhân ma trận hàng ma trận cột b1 b2 Định nghĩa A = a1 a2 · · · an ∈ M(1, n) B = ∈ M(n, 1) ⇐⇒ A.B := [a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ] bn Định nghĩa Tích hai ma trận A = [aik ]m×n , B = [bkj ] Định nghĩa ⇐⇒ AB = [hi A.cj B] = [ n X k=1 Ví dụ Tính AB biết A = Giải: (AB)11 (AB)12 (AB)13 (AB)21 (AB)22 (AB)23 = h1 A.c1 B = h1 A.c2 B = h1 A.c3 B = h2 A.c1 B = h2 A.c2 B = h2 A.c 3 B Vậy AB = 2 −2 −1 B = −2 = 1.2 + (−2)(−2) + 3.0 = = 1.1 + (−2).1 + 3.1 = = 1.3 + (−2)1 + 3.1 = = 2.2 + 1.(−2) + (−1).0 = = 2.1 + 1.1 + (−1).1 = = 2.3 +1.1 + (−1).1 = 6 Nhận xét (AB)ij = hi A.cj B 1 aik bkj ] CHƯƠNG MA TRẬN cj (AB) = h1 A.cj B h2 A.cj B h3 A.cj B hm A.cj B = A.cj (B) hi (AB) = hi A.c1 B hi A.c2 B · · · hi A.cp B = hi A.B h1 A.B h2 A.B AB = h3 A.B = A.c1 B A.c2 B A.c3 B · · · A.cp B hm A.B Tính chất Cho A, B, C ma trận với cấp thích hợp để phép tốn có nghĩa cịn α ∈ R Khi đó, (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (αA)B = α(AB) = A(αB) Im A = A.In = A, ∀A ∈ M(m, n) Chú ý Một vài tính chất mà phép nhân hai ma trận khơng có AB 6= BA A B AB = θ AB = θ ; = = θ Thật ta lấy Phản ví dụ sau: Ta có A = θ AB = AC ; B = C Thật ta có Phản ví dụ sau: A = ràng B 6= C AB = = AC 0 1.3.3 0 −1 ,B = 6= θ B = ,C = Ma trận chuyển vị Định nghĩa A= a11 a21 am1 a12 a22 am2 ··· ··· ··· a1n a2n amn AT gọi ma trận chuyển vị A Tính chất (AT )T = A (A + B)T = AT + B T (αA)T = αAT (AB)T = B T AT tích AB xác định Đổi hàng thành cột ⇐⇒ a11 a12 a1n a21 a22 a2n ··· ··· ··· am1 am2 amn T =A 2 0 6= θ Rõ CHƯƠNG MA TRẬN 1.3.4 Ma trận khả nghịch Định nghĩa 10 Ma trận A ∈ M(n, n) gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B ∈ M(n, n) cho AB = In = BA Khi ma trận B gọi nghịch đảo A Ký hiệu A−1 = B −1 Nhận xét Ma trận nghịch đảo A A Thật vậy, giả sử A có hai ma trận nghịch đảo B C AB = BA = In nên B = BIn = B.(AC) = (BA)C = In C = C AC = CA = In Tính chất Nếu A, B ∈ M(n, n) khả nghịch 6= α ∈ R thì: A−1 khả nghịch (A−1 )−1 = A αA khả nghịch (αA)−1 = A−1 α AB khả nghịch (AB)−1 = B −1 A−1 AT khả nghịch (AT )−1 = (A−1 )T Chương Định thức 2.1 2.1.1 Khái niệm định thức Định thức cấp Định nghĩa 11 Cho A = 2.1.2 a11 a21 a12 a22 Định nghĩa ⇐⇒ a11 det(A) = a22 a23 D12 = detM12 = a21 a23 D13 = detM13 = a21 a22 Đặt D11 = detM11 = a31 a32