Giáo trình xác suất thống kê

ĐÀ NẴNG – NĂM 2016 LỜI NÓI ĐẦU Xác suất thống kê phận toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên có phạm vi ứng dụng rộng rãi khoa học thực tiễn Hiện nay, Xác suất thống kê môn học thuộc khối khoa học giảng dạy hầu hết trường đại học, cao đẳng toàn quốc Học phần xác suất thống kê bao gồm hai nội dung Lý thuyết xác suất Thống kê tốn Mục đích Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên phân tích để rút quy luật khả xuất hiện tượng Nhờ vào ứng dụng Lý thuyết xác suất, Thống kê toán nghiên cứu phương pháp thu thập phân tích liệu để khám phá tri thức thơng tin cịn ẩn náu Thống kê tốn ứng dụng rộng rãi lĩnh vực như: Kinh tế, Sinh học, Xã hội học, “Giáo trình Xác suất thống kê” biên soạn theo chương trình đào tạo Cử nhân sư phạm Sinh học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng với thời lượng tín (45 tiết) Ngồi ra, giáo trình sử dụng để giảng dạy học phần Xác suất thống kê tín ngành đào tạo khác trường Nội dung giáo trình gồm chương Chương giới thiệu kiến thức lý thuyết xác suất Chương giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên định lý giới hạn, Luật số lớn Định lý giới hạn trung tâm định lý quan trọng ứng dụng thống kê Chương trình bày kiến thức vectơ ngẫu nhiên Nội dung chương đến chương trình bày kiến thức thống kê tốn Bên cạnh đó, cuối chương cịn có phần tập giúp bạn sinh viên hệ thống lại kiến thức lý thuyết học, rèn luyện kỹ tính tốn phát triển tư xác suất thống kê tốn Ngồi ra, giáo trình cịn có phần phụ lục cung cấp giá trị hàm phân phối chuẩn tắc, giá trị tới hạn phân bố Student (t - phân bố), giá trị tới hạn phân bố bình phương (χ2 ) giá trị tới hạn phân bố F Mặc dù có nhiều cố gắng cơng tác biên soạn, tham khảo nhiều tài liệu trình bày cách có hệ thống để giúp bạn đọc dễ dàng tiếp cận hơn, song giáo trình xuất lần đầu khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để giáo trình hồn thiện lần tái sau Mọi góp ý xin gửi địa chỉ: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Qua tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy, cô khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng ủng hộ cho việc biên soạn xuất giáo trình Đà Nẵng, năm 2016 Tác giả MỤC LỤC Lời nói đầu Chương XÁC SUẤT 1.1 Không gian mẫu biến cố 1.1.1 Phép thử 1.1.2 Không gian mẫu .9 1.1.3 Biến cố .10 1.2 Xác suất biến cố 11 1.2.1 Hệ tiên đề xác suất 11 1.2.2 Một số tính chất xác suất 12 1.2.3 Mơ hình xác suất cổ điển 13 1.3 Đại số tổ hợp 14 1.3.1 Quy tắc nhân 14 1.3.2 Hoán vị 14 1.3.3 Tổ hợp 15 1.4 Xác suất có điều kiện 15 1.5 Công thức nhân xác suất 16 1.6 Các biến cố độc lập 17 1.7 Cơng thức xác suất tồn phần công thức Bayes 18 1.7.1 Hệ đầy đủ 18 1.7.2 Công thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes 19 1.8 Công thức Bernoulli 20 Bài tập chương 22 Chương BIẾN NGẪU NHIÊN 29 2.1 Biến ngẫu nhiên 29 2.2 Hai loại biến ngẫu nhiên 30 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 30 2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 31 2.3 Hàm phân phối xác suất 32 2.3.1 Định nghĩa 32 2.4 Kì vọng 34 2.5 Phương sai độ lệch chuẩn 34 2.6 Trung vị 35 2.7 Biến ngẫu nhiên độc lập 36 2.8 Một số phân bố xác suất quan trọng 37 2.8.1 Phân bố Bernoulli 37 2.8.2 Phân bố nhị thức 37 2.8.3 Phân bố Poisson 38 2.8.4 Phân bố chuẩn 40 2.8.5 Phân bố 43 2.8.6 Phân bố mũ 43 2.8.7 Phân bố Student (t-distribution) 44 2.8.8 Phân phối chi bình phương 45 2.9 Các định lí giới hạn 45 2.9.1 Luật số lớn 45 2.9.2 Định lí giới hạn trung tâm 47 Bài tập chương 50 Chương VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 55 3.1 Định nghĩa 55 3.2 Phân bố xác suất vectơ ngẫu nhiên 55 3.2.1 Vectơ ngẫu nhiên chiều rời rạc 55 3.2.2 Vectơ ngẫu nhiên chiều liên tục 58 3.2.3 Hàm phân phối xác suất đồng thời 59 3.3 Kì vọng có điều kiện 60 3.3.1 Trường hợp rời rạc 60 3.3.2 Trường hợp liên tục 60 3.4 Hiệp phương sai, hệ số tương quan 62 Bài tập chương 65 Chương THỐNG KÊ MÔ TẢ 69 4.1 Khái niệm mẫu tổng thể 69 4.2 Các số đặc trưng mẫu số liệu 70 4.2.1 Trung bình, phương sai độ lệch chuẩn mẫu 70 4.2.2 Trung vị mẫu 71 4.2.3 Hệ số tương quan mẫu 71 4.3 Biểu đồ 72 4.3.1 Biểu đồ phân bố tần số 72 4.3.2 Biểu đồ thân-lá 74 4.3.3 Biểu đồ xác suất chuẩn 75 4.4 Mẫu ngẫu nhiên 77 4.5 Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản 77 4.5.1 Chọn mẫu từ tổng thể hữu hạn 77 4.5.2 Chọn mẫu từ tổng thể vô hạn 79 4.6 Phân bố trung bình mẫu 79 Bài tập chương 81 Chương ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 85 5.1 Ước lượng điểm 85 5.1.1 Ước lượng điểm hàm ước lượng 85 5.1.2 Ước lượng không chệch 85 5.1.3 Ước lượng khơng chệch kì vọng phương sai 86 5.1.4 Ước lượng không chệch tỉ lệ 86 5.2 Nguyên lí xác suất nhỏ nguyên lí xác suất lớn 87 5.3 Khoảng tin cậy cho kì vọng 88 5.3.1 X ∼ N (µ; σ ) với σ biết 89 5.3.2 X ∼ N (µ; σ ) với σ chưa biết 91 5.4 Khoảng tin cậy cho tỉ lệ 95 Bài tập chương 97 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 101 6.1 Khái niệm chung 101 6.1.1 Giả thuyết thống kê 101 6.1.2 Sai lầm loại I sai lầm loại II 102 6.2 Kiểm định kì vọng phân phối chuẩn 103 6.2.1 Đã biết phương sai 103 6.2.2 Chưa biết phương sai 107 6.3 So sánh kì vọng 111 6.3.1 Cỡ mẫu lớn 112 6.3.2 Cỡ mẫu nhỏ hai phương sai 113 6.3.3 Cỡ mẫu nhỏ hai phương sai không 115 6.4 So sánh cặp 117 6.5 Kiểm định giả thuyết tỉ lệ 119 6.6 So sánh hai tỉ lệ 121 Bài tập chương 125 Chương KIỂM ĐỊNH KHI BÌNH PHƯƠNG 131 7.1 Kiểm định giả thuyết quy luật phân phối 131 7.1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 131 7.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 133 7.2 Kiểm định tính độc lập 135 7.3 Kiểm định phù hợp 138 Bài tập chương 140 Chương PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI 143 8.1 Phân tích phương sai nhân tố 143 8.2 Phân tích phương sai hai nhân tố 147 8.2.1 Phân tích phương sai hai nhân tố khơng lặp lại 147 8.2.2 Phân tích phương sai hai nhân tố có lặp 152 8.3 Đại cương bố trí thí nghiệm 158 8.3.1 Một số khái niệm 158 8.3.2 Hai nguyên tắc bố trí thí nghiệm 158 8.3.3 Kỹ thuật ngẫu nhiên hoá 158 8.3.4 Các kiểu bố trí thí nghiệm phổ biến 158 Bài tập chương 163 Bảng phụ lục 171 Tài liệu tham khảo 179 Chương XÁC SUẤT 1.1 Không gian mẫu biến cố 1.1.1 Phép thử Trong thực tế có nhiều thí nghiệm lặp lặp lại nhiều lần điều kiện biết chắn kết xảy thực thí nghiệm Những thí nghiệm ta gọi phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt phép thử) Ví dụ 1.1 - Gieo xúc xắc - Hỏi tháng sinh sinh viên chọn ngẫu nhiên - Đo chiều cao sinh viên chọn ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2 Phép thử thí nghiệm mà thực xảy kết hoàn toàn ngẫu nhiên thí nghiệm lặp lại nhiều lần điều kiện giống 1.1.2 Không gian mẫu Định nghĩa 1.3 Tập tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu Kí hiệu khơng gian mẫu Ω Ví dụ 1.4 Khi tung đồng xu, có hai kết xảy ra: xuất mặt sấp (S) xuất mặt ngữa (N) Không gian mẫu trường hợp Ω = {S; N } Ví dụ 1.5 Hỏi tháng sinh sinh viên chọn ngẫu nhiên lớp học Ta có khơng gian mẫu: Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Ví dụ 1.6 Gieo đồng thời hai xúc xắc Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hai mặt hai xúc xắc khơng gian mẫu là: Ω = {(i; j) : i, j = 1; 2; 3; 4; 5; 6} Ví dụ 1.7 Đo chiều cao sinh viên chọn ngẫu nhiên lớp học (đơn vị: mét) Ta có khơng gian mẫu: Ω = {x ∈ R : < x < 2} 1.1.3 Biến cố Định nghĩa 1.8 Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố Biến cố có phần tử gọi biến cố sơ cấp, biến cố rỗng (∅) gọi biến cố không thể, không gian mẫu (Ω) gọi biến cố chắn Một biến cố xảy thực phép thử kết thực phép thử rơi vào biến cố Ví dụ 1.9 Cho khơng gian mẫu tuổi thọ (năm) thiết bị điện tử Ω = {x ∈ R : x ≥ 0} Biến cố thiết bị điện tử bị hỏng trước năm A = {x ∈ R : ≤ x < 5} Ví dụ 1.10 Hỏi tháng sinh sinh viên chọn ngẫu nhiên lớp học - Biến cố sinh viên sinh vào tháng chẵn A = {2,4,6,8,10,12} - Biến cố sinh viên có tháng sinh 32 ngày ∅ - Biến cố sinh viên có tháng sinh bé 32 ngày Ω Các phép toán biến cố Cho A B hai biến cố không gian mẫu Ω a) Phép giao A ∩ B (hoặc kí hiệu là: A.B hay đơn giản AB ), biến cố xảy đồng thời hai biến cố A B xảy Nếu hai biến cố A B đồng thời xảy (A ∩ B = ∅) ta nói A B xung khắc A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ω ∈ B} b) Phép hợp A ∪ B , biến cố xảy có hai biến cố A, B xảy A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ω ∈ B} c) Phép lấy phần bù Biến cố A = Ω\A gọi biến cố đối A Nếu A xảy A không xảy ngược lại A = {ω ∈ Ω : ω 6∈ A} 10 12.8 22.4 38.4 23.1 35.4 22.6 21.6 27.5 32.9 29.4 27.4 40.4 14.8 23.1 20.3 38.7 48.5 20.9 16.0 20.1 19.3 41.8 34.4 30.4 34.6 26.4 11.6 23.3 20.3 14.9 19.7 23.7 22.3 22.9 37.6 51.8 22.6 26.1 30.2 22.5 36.9 33.8 29.6 29.5 33.4 15.1 37.3 37.9 16.4 38.6 26.7 31.0 28.2 29.5 20.3 44.4 39.0 16.9 23.4 42.4 29.3 23.2 12.8 16.1 33.7 36.6 14.9 23.6 14.6 10.8 29.2 47.4 27.3 12.2 41.7 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra hai giả thuyết: a) Các dòng chọn lọc (RS SS) dịng đối chứng (NS) khơng có khác biệt độ mắn đẻ (fecundity) b) Dòng RS dịng SS khơng có khác biệt độ mắn đẻ 8.7 Ba kiểu gen khác BB, Bb, bb loài bọ cánh cứng Tribolium castaneum nuôi mật độ 20 con/1 gram bột Trọng lượng khô (mg) kiểu gen ghi nhận thời điểm khác nhau, thời điểm cách vài tháng Kiểu gen Thời điểm BB Bb bb 0.958 0.986 0.925 0.971 1.051 0.952 0.927 0.891 0.829 0.971 1.01 0.955 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem nhân tố A (kiểu gen) nhân tố B (thời điểm) có ảnh hưởng đến trọng lượng bọ hay không 8.8 Nhằm khảo sát sai khác tiêu thụ thức ăn mỡ tươi thay mỡ ôi phần ăn chuột, người ta bố trí thí nghiệm 12 chuột (6 165 đực, cái) có độ tuổi từ 30 đến 34 ngày, phần ăn cho giới gồm chuột Lượng thức ăn tiêu thụ (gram) suốt 73 ngày ghi nhận bảng sau Khẩu phần ăn Giới tính Đực Cái Mỡ tươi Mỡ ôi 709 592 679 538 699 476 657 508 594 677 505 539 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem: a) có khác tiêu thụ thức ăn chuột đực chuột không? b) có khác tiêu thụ thức ăn mỡ tươi mỡ ôi không? 8.9 Nhằm khảo sát ảnh hưởng stress cường độ sáng lên tăng trưởng đậu nành, thí nghiệm bố trí ngẫu nhiên thành nghiệm thức, nghiệm thức gồm 13 hạt đậu trồng 13 chậu Để gây stress người ta cho chậu vào máy lắc, ngày lắc lần, lần 20 phút Có thể tóm tắt bố trí thí nghiệm sau: Nghiệm thức 1: đối chứng, ánh sáng yếu Nghiệm thức 2: stress, ánh sáng yếu Nghiệm thức 3: đối chứng, ánh sáng trung bình Nghiệm thức 4: stress, ánh sáng trung bình Sau 16 ngày trồng, thu hoạch đo tổng diện tích (cm2 ) Kết ghi nhận bảng sau: NT1 NT2 NT3 NT4 264 235 314 283 200 188 320 312 225 195 310 291 268 205 340 259 215 212 299 216 241 214 268 201 232 182 345 267 256 215 271 326 166 229 272 285 241 288 163 309 291 256 230 337 269 288 255 282 282 230 202 273 257 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem: a) Nhân tố ánh sáng có ảnh hưởng đến diện tích khơng? b) Nhân tố tress có ảnh hưởng đến diện tích khơng? c) Hai yếu tố ánh sáng tress có tương tác khơng? 8.10 Một thầy giáo phân phối ngẫu nhiên 20 sinh viên có trình độ đồng thành nhóm, nhóm sinh viên Nhóm A học giờ/tuần, nhóm B học giờ/tuần, nhóm C học giờ/tuần nhóm D học giờ/tuần Sau tuần lễ, thầy giáo khảo sát Kết điểm số nhóm sau: Nhóm A Nhóm B Nhóm C Nhóm D 19,2 18,4 22,0 24,5 21,0 19,0 23,1 27,0 23,3 17,6 19,8 26,7 20,4 19,5 17,0 27,5 22,5 20,1 20,4 27,8 Với mức ý nghĩa 5%, cho điểm trung bình sinh viên nhóm khơng? 167 168 BẢNG PHỤ LỤC 169 BẢNG PHỤ LỤC Bảng Ia Các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc ( z )  P( Z  z )  2 z 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 -2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 -2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 -3.0 -3.1 -3.2 -3.3 0.500 0.460 0.421 0.382 0.345 0.309 0.274 0.242 0.212 0.184 0.159 0.136 0.115 0.097 0.081 0.067 0.055 0.045 0.036 0.029 0.023 0.018 0.014 0.011 0.008 0.006 0.005 0.003 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.01 0.496 0.456 0.417 0.378 0.341 0.305 0.271 0.239 0.209 0.181 0.156 0.133 0.113 0.095 0.079 0.066 0.054 0.044 0.035 0.028 0.022 0.017 0.014 0.010 0.008 0.006 0.005 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.02 0.492 0.452 0.413 0.374 0.337 0.302 0.268 0.236 0.206 0.179 0.154 0.131 0.111 0.093 0.078 0.064 0.053 0.043 0.034 0.027 0.022 0.017 0.013 0.010 0.008 0.006 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.03 0.488 0.448 0.409 0.371 0.334 0.298 0.264 0.233 0.203 0.176 0.152 0.129 0.109 0.092 0.076 0.063 0.052 0.042 0.034 0.027 0.021 0.017 0.013 0.010 0.008 0.006 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.04 0.484 0.444 0.405 0.367 0.330 0.295 0.261 0.230 0.200 0.174 0.149 0.127 0.107 0.090 0.075 0.062 0.051 0.041 0.033 0.026 0.021 0.016 0.013 0.010 0.007 0.006 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.05 0.480 0.440 0.401 0.363 0.326 0.291 0.258 0.227 0.198 0.171 0.147 0.125 0.106 0.089 0.074 0.061 0.049 0.040 0.032 0.026 0.020 0.016 0.012 0.009 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.06 0.476 0.436 0.397 0.359 0.323 0.288 0.255 0.224 0.195 0.169 0.145 0.123 0.104 0.087 0.072 0.059 0.048 0.039 0.031 0.025 0.020 0.015 0.012 0.009 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000 z e t 2 dt  -0.07 0.472 0.433 0.394 0.356 0.319 0.284 0.251 0.221 0.192 0.166 0.142 0.121 0.102 0.085 0.071 0.058 0.047 0.038 0.031 0.024 0.019 0.015 0.012 0.009 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.08 0.468 0.429 0.390 0.352 0.316 0.281 0.248 0.218 0.189 0.164 0.140 0.119 0.100 0.084 0.069 0.057 0.046 0.038 0.030 0.024 0.019 0.015 0.011 0.009 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 -0.09 0.464 0.425 0.386 0.348 0.312 0.278 0.245 0.215 0.187 0.161 0.138 0.117 0.099 0.082 0.068 0.056 0.046 0.037 0.029 0.023 0.018 0.014 0.011 0.008 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 171 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng Ib Các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc ( z )  P( Z  z )  2 z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 172 0.500 0.540 0.579 0.618 0.655 0.691 0.726 0.758 0.788 0.816 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.945 0.955 0.964 0.971 0.977 0.982 0.986 0.989 0.992 0.994 0.995 0.997 0.997 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 0.01 0.504 0.544 0.583 0.622 0.659 0.695 0.729 0.761 0.791 0.819 0.844 0.867 0.887 0.905 0.921 0.934 0.946 0.956 0.965 0.972 0.978 0.983 0.986 0.990 0.992 0.994 0.995 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 0.02 0.508 0.548 0.587 0.626 0.663 0.698 0.732 0.764 0.794 0.821 0.846 0.869 0.889 0.907 0.922 0.936 0.947 0.957 0.966 0.973 0.978 0.983 0.987 0.990 0.992 0.994 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 0.03 0.512 0.552 0.591 0.629 0.666 0.702 0.736 0.767 0.797 0.824 0.848 0.871 0.891 0.908 0.924 0.937 0.948 0.958 0.966 0.973 0.979 0.983 0.987 0.990 0.992 0.994 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 0.04 0.516 0.556 0.595 0.633 0.670 0.705 0.739 0.770 0.800 0.826 0.851 0.873 0.893 0.910 0.925 0.938 0.949 0.959 0.967 0.974 0.979 0.984 0.987 0.990 0.993 0.994 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 z e t 2 dt  0.05 0.520 0.560 0.599 0.637 0.674 0.709 0.742 0.773 0.802 0.829 0.853 0.875 0.894 0.911 0.926 0.939 0.951 0.960 0.968 0.974 0.980 0.984 0.988 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 0.06 0.524 0.564 0.603 0.641 0.677 0.712 0.745 0.776 0.805 0.831 0.855 0.877 0.896 0.913 0.928 0.941 0.952 0.961 0.969 0.975 0.980 0.985 0.988 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 1.000 0.07 0.528 0.567 0.606 0.644 0.681 0.716 0.749 0.779 0.808 0.834 0.858 0.879 0.898 0.915 0.929 0.942 0.953 0.962 0.969 0.976 0.981 0.985 0.988 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999 1.000 0.08 0.532 0.571 0.610 0.648 0.684 0.719 0.752 0.782 0.811 0.836 0.860 0.881 0.900 0.916 0.931 0.943 0.954 0.962 0.970 0.976 0.981 0.985 0.989 0.991 0.993 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999 1.000 0.09 0.536 0.575 0.614 0.652 0.688 0.722 0.755 0.785 0.813 0.839 0.862 0.883 0.901 0.918 0.932 0.944 0.954 0.963 0.971 0.977 0.982 0.986 0.989 0.992 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999 1.000 BẢNG PHỤ LỤC Bảng II Giá trị tới hạn t-phân bố P(Tn  tn, )   n  30 : tn;  z  n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.250 1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267 0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998 0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912 0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870 0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844 0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828 0.100 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 0.050 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 0.025 12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 0.010 31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 0.005 63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 173 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng III Giá trị tới hạn phân bố bình phương P(  n2   n2; )    174 n 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.000 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 0.000 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879 13.565 14.256 14.953 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.041 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 5.024 7.378 9.348 11.143 12.833 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.195 44.461 45.722 46.979 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 BẢNG PHỤ LỤC Bảng IVa Giá trị tới hạn phân bố F P( Fm,n  f m,n;0,05 )  0,05 n m 10 11 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 240.543 241.882 242.983 243.906 244.690 245.364 245.950 246.464 246.918 247.323 247.686 248.013 248.309 248.579 248.826 249.052 249.260 249.453 249.631 249.797 249.951 250.095 250.230 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396 19.405 19.413 19.419 19.424 19.429 19.433 19.437 19.440 19.443 19.446 19.448 19.450 19.452 19.454 19.456 19.457 19.459 19.460 19.461 19.462 19.463 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 8.683 8.675 8.667 8.660 8.654 8.648 8.643 8.639 8.634 8.630 8.626 8.623 8.620 8.617 8.614 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 5.832 5.821 5.811 5.803 5.795 5.787 5.781 5.774 5.769 5.763 5.759 5.754 5.750 5.746 5.742 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 4.590 4.579 4.568 4.558 4.549 4.541 4.534 4.527 4.521 4.515 4.510 4.505 4.500 4.496 4.492 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 3.908 3.896 3.884 3.874 3.865 3.856 3.849 3.841 3.835 3.829 3.823 3.818 3.813 3.808 3.804 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 3.480 3.467 3.455 3.445 3.435 3.426 3.418 3.410 3.404 3.397 3.391 3.386 3.381 3.376 3.371 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 3.187 3.173 3.161 3.150 3.140 3.131 3.123 3.115 3.108 3.102 3.095 3.090 3.084 3.079 3.075 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 2.974 2.960 2.948 2.936 2.926 2.917 2.908 2.900 2.893 2.886 2.880 2.874 2.869 2.864 2.859 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.828 2.812 2.798 2.785 2.774 2.764 2.754 2.745 2.737 2.730 2.723 2.716 2.710 2.705 2.700 2.695 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.701 2.685 2.671 2.658 2.646 2.636 2.626 2.617 2.609 2.601 2.594 2.588 2.582 2.576 2.570 2.565 175 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bảng IVb Giá trị tới hạn phân bố F P( Fm,n  f m,n;0,05 )  0,05 n m 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 176 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.599 2.583 2.568 2.555 2.544 2.533 2.523 2.514 2.505 2.498 2.491 2.484 2.478 2.472 2.466 2.461 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.515 2.499 2.484 2.471 2.459 2.448 2.438 2.429 2.420 2.412 2.405 2.398 2.392 2.386 2.380 2.375 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.445 2.428 2.413 2.400 2.388 2.377 2.367 2.357 2.349 2.341 2.333 2.326 2.320 2.314 2.308 2.303 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.385 2.368 2.353 2.340 2.328 2.316 2.306 2.297 2.288 2.280 2.272 2.265 2.259 2.253 2.247 2.241 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.333 2.317 2.302 2.288 2.276 2.264 2.254 2.244 2.235 2.227 2.220 2.212 2.206 2.200 2.194 2.188 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.289 2.272 2.257 2.243 2.230 2.219 2.208 2.199 2.190 2.181 2.174 2.167 2.160 2.154 2.148 2.142 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.250 2.233 2.217 2.203 2.191 2.179 2.168 2.159 2.150 2.141 2.134 2.126 2.119 2.113 2.107 2.102 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.215 2.198 2.182 2.168 2.155 2.144 2.133 2.123 2.114 2.106 2.098 2.090 2.084 2.077 2.071 2.066 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.184 2.167 2.151 2.137 2.124 2.112 2.102 2.092 2.082 2.074 2.066 2.059 2.052 2.045 2.039 2.033 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.156 2.139 2.123 2.109 2.096 2.084 2.073 2.063 2.054 2.045 2.037 2.030 2.023 2.016 2.010 2.004 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.131 2.114 2.098 2.084 2.071 2.059 2.048 2.038 2.028 2.02 2.012 2.004 1.997 1.99 1.984 1.978 BẢNG PHỤ LỤC Bảng IVc Giá trị tới hạn phân bố F P( Fm,n  f m,n;0,05 )  0,05 n m 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 23 24 25 26 27 28 29 30 31 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.109 2.091 2.075 2.061 2.048 2.036 2.025 2.014 2.005 1.996 1.988 1.981 1.973 1.967 1.961 1.955 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.088 2.070 2.054 2.040 2.027 2.015 2.003 1.993 1.984 1.975 1.967 1.959 1.952 1.945 1.939 1.933 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.069 2.051 2.035 2.021 2.007 1.995 1.984 1.974 1.964 1.955 1.947 1.939 1.932 1.926 1.919 1.913 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 2.052 2.034 2.018 2.003 1.990 1.978 1.966 1.956 1.946 1.938 1.929 1.921 1.914 1.907 1.901 1.895 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 2.036 2.018 2.002 1.987 1.974 1.961 1.950 1.940 1.930 1.921 1.913 1.905 1.898 1.891 1.884 1.878 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 2.021 2.003 1.987 1.972 1.959 1.946 1.935 1.924 1.915 1.906 1.897 1.889 1.882 1.875 1.869 1.863 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 2.007 1.989 1.973 1.958 1.945 1.932 1.921 1.910 1.901 1.891 1.883 1.875 1.868 1.861 1.854 1.848 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.995 1.976 1.960 1.945 1.932 1.919 1.908 1.897 1.887 1.878 1.870 1.862 1.854 1.847 1.841 1.835 4.160 3.305 2.911 2.679 2.523 2.409 2.323 2.255 2.199 2.153 2.114 2.080 2.051 2.026 2.003 1.983 1.965 1.948 1.933 1.920 1.907 1.896 1.885 1.875 1.866 1.857 1.849 1.842 1.835 1.828 1.822 32 33 4.149 3.295 2.901 2.668 2.512 2.399 2.313 2.244 2.189 2.142 2.103 2.07 2.04 2.015 1.992 1.972 1.953 1.937 1.922 1.908 1.896 1.884 1.873 1.864 1.854 1.846 1.838 1.83 1.823 1.817 1.81 4.139 3.285 2.892 2.659 2.503 2.389 2.303 2.235 2.179 2.133 2.093 2.06 2.03 2.004 1.982 1.961 1.943 1.926 1.911 1.898 1.885 1.873 1.863 1.853 1.844 1.835 1.827 1.819 1.812 1.806 1.799 177 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dương Thiệu Tống (2005), Thống kê ứng dụng nghiên cứu khoa học giáo dục, Nhà Xuất Khoa học Xã hội [2] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà Xuất Giáo dục [3] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà Xuất Giáo dục [4] Đặng Hùng Thắng ( 2008), Thống kê ứng dụng, Nhà Xuất Giáo dục [5] Đặng Hùng Thắng (2009), Bài tập xác suất, Nhà Xuất Giáo dục [6] Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập thống kê, Nhà Xuất Giáo dục [7] Jay L Devore (2010), Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 8th Edition, Brooks/Cole [8] Shelldon M Cross (2004), Introduction to Probability and Statistics for engineers and scientists, Elsevier Academic Press [9] Douglas C Montgomery; George C Runger (2007), Applied Statistics and Probability for Engineers(4th Edition), John Wiley and Sons, Inc [10] Welham,S.J., Gezan, S.A., Clark, S.J., Mead, A (2013), Statistical Methods in Biology: Design and Analysis of Experiments and Regression, JChapman and Hall/CRC 179