Giáo trình xác suất thống kê phần 1 nguyễn đình hiền

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO »ư Á N Đ À O T Ạ O G IẦ O V IÊ N T H C S LOAN N o 1718 - VIE (SF) NGU YẾN ĐÌNH HIẺN G iá o tr ìn h XÁC SUẤT THỐNG KÊ p(Aj).p(B/Ai) P(B) w N H À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s PH Ạ M NGUYỄN ĐÌNH HIỀN Giáo trình XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Giảo trình Cao đ ẳ n g Sư ph ạm ) DẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĩĩọc LIỆU TRƯNGTÂM NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s PHẠM M ã số: 01.01 /1 ĐH 2006 M Ở ĐẨU Xác suất thống kê ngành khoa học dạy trường Đại học Cao đẳng gần tất ngành, kể tự nhiên xã hội, nhiên nội dung dạy có khác Tuỳ yêu cầu ngành mà định số tiết, ngành kĩ thuật sinh học nông nghiệp thường dạy từ 45 đến 75 tiết, nội dung lựa chọn khác Giáo trình Xác suất thống kê viết cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp Nội dung dựa chương trình Xác suất thống kê khối B Bộ Giáo dục Đào tạo viết lại theo khung chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp cho phù hợp với thời lượng yêu cầu Giáo trình cố gắng cung cấp cho học viên số kiến thức Xác suất thống kê để có cách nhìn biện chứng tượng tự nhiên xã hội, để hiểu kĩ số phần mang tính định lượng sinh học có sở để học mơn Phương pháp thí nghiệm nên trình bày cách đơn giản khái niệm xác suất biến ngẫu nhiên, kèm theo nhiều thí dụ minh hoạ Phần thống kê trình bày kĩ mục đích vấn đề, bước tính, cách kết luận thí dụ minh hoạ Để nắm kiến thức trình bày sách khơng có cách tốt xem kĩ thí dụ làm đầy đủ tập Giáo trình viết cho người học, dạy giáo viên cần tham khảo thêm sách viết kĩ hơn, sâu Xác suất thống kê toán học giáo trình dùng cho khối sinh Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm hay Đại học Nơng nghiệp Phần tập có giải mẫu đáp số Vì học viên quen với tin học nên giáo trình cung cấp thêm số chương trình đơn giản viết ngơn ngữ Pascal để học viên tự tính tốn tập xác suất thống kê chuẩn bị cho sau học mơn Phương pháp thí nghiệm Trong giáo trình phần đánh dấu * bỏ qua, có điều kiện đọc để mở rộng kiến thức Sau nội dung giáo trình: Chương trình bày khái niệm giải tích tổ hợp, học viên học (phần dạy nhiều trường Trung học phổ thống) nhắc lại củng cố qua tập Chương trình bày khái niệm Xác suất, chương quan trọng khó dạy, phải khéo léo kết hợp cách trình bày cho khơng trừu tượng q mà đảm bảo tính chặt chẽ, thực chất chương hệ tiên đề mơn Xác suất u cầu cần đạt giới thiệu mơ hình suy luận sau: Phép thử có kết trực tiếp, gọi kiện sơ cấp, kiện tập hợp số kiện sơ cấp, xác suất số đánh giá khả xuất kiện Xác suất tuân theo sô' quy tắc tính yêu cầu phải nắm hai quy tắc cộng nhân tổng quát đơn giản Chương giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên, phần không nên sa vào định nghĩa trừu tượng mà phải thật cụ thể, cần theo dõi thí dụ, qua tổng hợp nên khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối Phần sô' đặc trưng dạy sơ qua, ý đến ý nghĩa kì vọng phương sai khơng sâu chứng minh tính chất Chương cần trình bày kĩ phân phối nhị thức phân phối siêu bội Trong phần biến liên tục tập trung trình bày phân phối chuẩn cách tính gần phân phối nhị thức phân phối chuẩn Với thời lượng 15 tiết, phần không nên học dạy tràn lan mà tập trung vào số điểm chính, nhiên giáo trình viết đầy đủ để học viên tham khảo Phần tập chọn phù hợp với trĩnh độ cao đẳng, khơng khó q, coi dễ Phần thống kê bắt đầu chương 5, giới thiệu khái niệm tổng thể, mẫu quan sát tham số mẫu quan sát, công thức ước lượng trung bình |J biến phân phối chuẩn xác suất p phân phối nhị thức Chương không u cầu trình bày lí thuyết mà phải thật cụ thể, học xong phải biết cách tính trung bình cộng, phương sai mẫu, cách tra cứu bảng cp(u), (t), t biết cách ước lượng |I, p Chương trình bày ngắn gọn tốn kiểm định giả thiết, giả thiết đối thiết, giới thiệu quy tắc kiểm định giá trị trung bình biến phân phối chuẩn toán so sánh hai trung bình hai tổng thể phân phối chuẩn Chương để tiết kiệm thời gian trình bày bảng kẻ sẵn, nêu trường hợp gặp phải kiểm định, cơng thức tính, cách kết luận (tương tự phụ chương 2) Chương trình bày kiểm định phân phối bảng tương liên Cả hai phần liên quan đến biến định tính dùng phân phối Khi bình phương (%2) trinh bày dùng bảng kẻ sẩn để làm bật nội dung cách làm giống hai phần (xem phụ chương 2) Chương giới thiệu tương quan hồi quy tuyến tính, thời gian trình bày ý nghĩa hệ số tương quan, cách tính, kết luận Phần hồi quy tuyến tính trình bày ý nghĩa mơ hình tuyến tính để tính xấp xỉ biến ngẫu nhiên Y theo biến cho X, cách tính hệ số, kết luận Phần đáp số trình bày gần hết đáp số tập chương, kể tập thường tập có ghi dấu * Phụ chương giới thiệu sô' chương trình viết ngơn ngữ Pascal dạng thật đơn giản để học sinh, học tin học có điều kiện sử dụng máy tính, tự tính tốn xác suất thống kê máy tính tự tạo bảng tính để tra cứu Phần phụ chương có bảng ghi thuật ngữ xác suất thống kê dùng giáo trình cơng thức Phần cơng thức dùng để tham khảo trình bày phần thống kê cho ngắn gọn, dễ hiểu Cuối bảng tính, bảng cần cho phần thống kê nên dạy phải cho học viên cách tra cứu xi lẫn ngược Giáo trình nhận góp ý chân tình, xác tỉ mỉ Phó giáo sư, Tiến sĩ Đào Hữu Hồ Phó giáo sư, Tiến sĩ Tơ cẩm Tú Tác giả xin chân thành cảm ơn Viết giáo trình việc khó khó thời lượng tương ứng mơn học lại Chắc chắn sách cịn nhiểu thiếu sót, mong góp ý bạn đọc Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2003 Tác giả GIẢI TÍCH TỔ HỢP C hương không nằm nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc vé kiến thức chung dạy Phổ thông, nhiên để hiểu phép tính xác suất, thống kê chương sau cần phải học, học thỉ ôn lại khái niệm như: chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lặp, nhị thức Niu-tơn §1 CHỈNH HỢP Thí dụ Cửa hàng có mũ màu xanh, đỏ, tím Có khách đến mua, cô bán hàng lấy mũ giao cho khách, thứ màu xanh, thứ hai màu đỏ, ta kí hiệu tắt kết (X, Đ), thứ màu đỏ, thứ hai màu xanh (Đ, X), (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ) Ta gọi kết chỉnh hợp chập vật, có tất chỉnh hợp chập mũ Có thể lập luận sau: Cái mũ chọn mũ mũ, có cách chọn, sau có cách chọn mũ thứ hai, có 3.2 = cách chọn mũ Hai cách chọn (X, Đ) (X, T) khác có mũ khác nhau, cịn cách chọn (X, Đ) (Đ, X) khác vẻ thứ tự chọn Thí dụ Một tổ có 10 người, chọn người làm việc, người thứ nhóm trưởng, người thứ hai theo dõi tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi tiêu kĩ thuật Giả sử 10 người tổ có khả nãng làm việc có 10 cách chọn nhóm trưởng, sau có cách chọn người phụ trách tiêu kinh tế cuối có cách chọn người thứ ba Gọi nhóm người chỉnh hợp chập 10 người có tất 10.9.8 = 720 chỉnh hợp chập 10 người Hai nhóm khác có thành viên khác thành viên nhóm giống thứ tự chọn khác nhau, phân cơng cơng việc nhóm khác Thí dụ Có đội bóng chuyền vào chung kết Có đội huy chươne: đội huy chương vàng, đội huy chương bạc, đội huy chương đồng Nếu đội thực lực có dự báo vế danh sách ba huy chương? Ta lại lập luận thí dụ 2, thực lực nên có cách dự báo đội huy chương vàng, sau cịn cách dự báo đội huy chương bạc, cuối có cách dự báo đội huy chương đồng, tất có 8.7.6 = 336 chỉnh hợp chập đội Hai dự báo khác danh sách đội huy chương có tên đội khác tên đội thứ tự khác có thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương Tổng quát Có n vật khác lấy k vật, nhóm k vật gọi chỉnh hợp chập k n vật Nếu vật có khả chọn có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai (n - k + 1) cách chọn vật thứ k Tất có n(n - 1) (n - k + 1) chỉnh hợp chập k n vật Hai chỉnh hợp khác có vật khác vật thứ tự lấy khác Định nghĩa Một nhóm k vật lấy sơ' n vật khác gọi chỉnh liợp chập k n vật Số chỉnh hợp chập k n vật, kí hiệu A* , tính theo công thức: A„ = n(n n - k + 1) ■ l< k < n ) (1Ế1) §2 HỐN VỊ Thí dụ Trong thí dụ có khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy mũ đưa cho khách, khách thứ nhận mũ xanh, khách thứ hai nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím ta có kết (X, Đ, T), bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết (Đ, X, T) hay (T, Đ, X), tất có kết khác Vì có mũ lấy nên hai kết khác thứ tự đưa mũ cho khách hàng, chẳng khác để mũ X, Đ, T bên cạnh sau đổi chỗ (hốn vị) mũ, sau lần đổi chỗ kết khác, kết gọi hốn vị mũ Nếu nói theo cách trình bày thí dụ 1.1 hốn vị chỉnh hợp chập mũ Thí dụ Có người bạn A, B, c , D xem văn nghệ chọn ghế ngồi cạnh A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, c ngồi ghế 3, D ngồi ghế có cách xếp người vào chỗ Nếu đổi chỗ người cách săp xếp mới, cách xếp gọi hốn vị Nếu nhìn theo góc độ chỉnh hợp có người chọn thứ tự chọn số ghế, hốn vị chỉnh hợp chập người, dùng công thức (1.1) có số hốn vị người 4! = 4.3.2.1 = 24 Thí dụ Có cụ ơng hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy phấn khích cụ định từ ngày hôm sau tập tiếp ngày hàng theo trật tự khác lần tập trước Hỏi sau ngày cụ quay lại cách xếp hàng đầu tiên? Coi cách hàng cách xếp cụ vào chỗ, tức hoán vị cụ, coi chỉnh hợp chập cụ, tính tất có 6! = 720 cách xếp hàng Như phải 720 ngày sau, tức gần năm sau cụ xếp hàng lại theo cách hàng Tổng quát Có n vật khác xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật thứ để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai, , (n - k + 1) cách chọn vật thứ k để vào chỗ thứ k Mỗi cách xếp gọi hoán vị n vật Định nghĩa Một nhóm il vật xếp vào n chỗ, cách xếp gọi hoán vị Mỗi hoán vị chỉnh hợp chập n n vật Sơ'hốn vị tính theo công thức: A¡¡ = n(n - ) 3.2.1 = nỉ (1.2) §3 TỔ HỢP Thí dụ Trong thí dụ 1, bán hàng chọn mũ, có cách chọn: xanh đỏ, xanh tím, đỏ tím Gọi cách tổ hợp chập mũ Sau chọn xong có cách đưa cho hai khách tức có chỉnh hợp chập Thí dụ chọn tổ hợp (X, Đ) đưa mũ xanh cho khách thứ nhất, đưa mũ đỏ cho khách thứ hai hay đổi chỗ (hoán vị) hai mũ, đưa mũ đỏ cho khách thứ đưa mũ xanh cho khách thứ hai Như ta có hệ thức: (tổ hợp chập mũ) X (hoán vị mũ) = (chỉnh hợp chập mũ) p(Y = yj / X = Xj) = P(Y = Yj) p(X = Xj / Y = yj) = p(X = Xj) hai biến X, Y gọi độc lập Nếu hai biến X, Y liên tục có hàm mật độ xác suất hai chiều f(x,y) từ tìm phân phối biên X Y Hệ hai biến X, Y có số đặc trưng riêng cho biến (MX, DX), (MY, DY) Các số đặc trưng chung cặp biến là: Hiệp phương sai: Cov(X,Y)=M((X-MX)(Y-MY)) = X X xiyjPij -M X M Y i j Hệ số tương quan: = covgO O VDXVDY BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Tỉ lệ học sinh lên lớp trường 0,9 Gặp ngẫu nhiên hai em học sinh, gọi X số em lên lớp hai em Viết bảng phân phối hàm phân phối X Tính kì vọng MX phương sai DX 3.2ẵ Trong số 10 hạt giống đem trồng có hạt hoa vàng, hạt hoa trắng Lấy ngẫu nhiên hạt Gọi X số hạt hoa vàng, tìm bảng phân phối hàm phân phối X Tính MX DX 3.3 Tỉ lệ phẩm máy sản xuất 90% Kiểm tra sản phẩm, gọi X số phế phẩm sản phẩm Viết bảng phân phối hàm phân phối X Tính MX DX 3ẳ4 Một bác sĩ thú y chữa bệnh cho bò với xác suất chữa khỏi 0,8 Một nhóm bò bị bệnh đem đến để bác sĩ chữa, gọi X sô' khỏi bệnh Viết bảng phân phối hàm phân phối X Tính MX DX 3.5 Một học sinh thi ngoại ngữ để lấy chứng chỉ, xác suất thi đỗ 0,3, khơng đỗ phải thi lại đỗ thơi Gọi X số lần thi viết bảng phân phối X kì vọng X 45 3.6 Một người trồng cảnh, xác suất để thứ hoa 0,4, xác suất để thứ hai hoa 0,6 Gọi X số hoa, viết bảng phân phối hàm phân phối X, tính kì vọng MX phương sai DX *3.7 Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X, Y có dãy phân phối: X p 0,15 0,3 0,25 0,2 0,08 0,02 Y p 0,3 0,2 0,2 0,15 0,1 0,05 a) Tính MX, MY b) Tính p(X + Y < 3) *3Ề8 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y có xác suất đồng thời: Y 0,12 0,15 0,03 0,28 0,35 0,07 X a) Kiểm tra để thấy X, Y độc lập b) Tim luật phân phối z = X.Y c) Kiểm tra để thấy MZ = MX.MY *3.9 Số trẻ em sinh vùng biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối X p 0,4 0,3 0,2 0,1 Số người chết vùng biến ngẫu nhiên Y có bảng phân phối Y p 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Giả sử X, Y độc lập a) Tìm phân phối đồng thời X, Y; b) Tính xác suất p(Y < X) 46 *3.10 Phân phối đồng thời giới tính X lương tháng Y (triệu đồng) công nhân công ty sau: Y X 0,5 1.5 Nữ 0,1 0,3 0,2 Nam 0,06 0,18 0,16 a) Tìm phân phối biên X Y tính MX, MY b) Tính xác suất có điều kiện p(yj/ X j ) c) Tính cov(X, Y) d) Tính p(X, Y) 47 MỘT ■ SỐ PHÂN PHỐI THƯÒNG GẶP ■ rong chương đề cập đến biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối hàm phân phối (đối với biến ngẫu nhiên liên tục nghiên cứu hàm mật độ xác suất hàm phân phối) T Trong ngành, nghề khảo sát tượng tự nhiên xã hội gặp biến ngẫu nhiên có phân phối khác thông thường hay gặp số phân phối sau đây: §1 PHÂN PHỐI BÉC-NU-LI (hay cịn gọi phân phối (0,1), kí hiệu A(p)) Biến ngẫu nhiên X phân phối Bec-nu-li bảng phân phối có dạng: X p q = 1- p p Phân phối có kì vọng MX = p phương sai DX = pq Phán phối Béc-nu-li gắn liền với phép thử có hai kết dôi lập, kết quả, quy ước gọi hay thành cơng, có xác suất p, kết quy ước gọi hay thất bại, có xác suất q = - p Thí dụ Gieo xúc xắc, gọi X số lần mặt chẵn X lấy giá trị (chẵn) với xác suất p = —, giá tri (lẻ) với xác suất q = — MX = —; DX = — Sinh con, gọi X số trai X lấy giá trị (trai) với xác suất p = —, giá trị (gái) với xác suất q = —; MX = —; DX = — 48 Ấp trứng, gọi X số trứng nở X lấy giá trị (nở) với xác suất p 0,8, giá trị (không nở) với xác suất q = 0,2; MX = 0,8; DX = 0,16 Một học sinh thi, gọi X kết thi X lấy giá trị (đỗ) với xác suất p = 0,9, giá trị (trượt) với xác suất q = ,lế MX = 0,9; DX = 0,09 Kiểm tra sản phẩm, gọi X số sản phẩm tốt, X lấy giá trị (sản phẩm tốt) với xác suất p = 0,8, giá trị (sản phẩm hỏng) với xác suất q = 0,2 MX = 0,8; DX = 0,16 §2 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Biến ngẫu nhiên X phân phối nhị thức bảng phân phối có dạng: X k n p Po P1 Pk Pn pk = p(X = k )= c ỉ p kqn-k (4.1) Phân phối có Kì vọng Phương sai MX = np (4.2) DX = npq (4.3) Giá trị có xác suất lớn ModX số nguyên thoả mãn bất đẳng thức kép np - q < ModX < np + p (4.4) Phán phối nhị thức gắn liên với việc lặp lại n lần phép thử có hai kiện đối lập (thành cơng thất bại) với X sô' lần thành công Lặp đáy có nghĩa dãy phép thủ tiến hành điều kiện độc lập với Phàn phối nhị thức thường kí hiệu Bịn, p) Thí dụ Gia đình có con, xác suất sinh trai 0,5 Coi lần sinh phép thử đôc lâp, số trai X phân phối B(2, 0,5) với p = —; q = —; n = 2 4-GTXSTK 49 X p — 4 MX = 1; DX = —; ModX = Thí dụ Gieo hạt đậu, xác suất để hạt cho hoa vàng 0,75, hoa trắng 0,25 Sô' đậu hoa vàng X phân phối nhị thức B(4; 0,75) p 0,252 0,75 0,253 0,752.0,252 4.0,753.0,25 0,754 MX = 0,75 = 3; DX = 0,75 0,25 = 0,75; ModX = §3 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Cho N, M (M < N) số n < min(M, N - M) Biến ngẫu nhiên X phân phối siêu bội hay siêu hình học bảng phân phối có dạng: X k n p Po P1 Pk Pn /^n-k Pk = CfrCN-M (4.5) CN Phân phối có: Kì vong MX = n — ẻ N Phương sai _ M N -M DX = n- ^f — N N (4.6) N -n —N -l (4.7) Cho hộp đựng N bi có M bi trắng, N - M bi đen Lấy ngẫu nhiên lúc lấy không hồn lại nhóm n bi Sơ bi trắng X nhóm phân phơi siêu bội 50 Phân phối siêu bội thường kí hiệu M(N, n) Nếu khơng có điều kiện n < II T3 X k) = q k_1 p vói q = - p ( k = 1,00) (4.10) Kì vọng MX = — p (4.11) Phương sai D X = -ị (4.12) p Thí dụ Lơ hàng lớn có 20% phế phẩm Kiểm tra phát phế phẩm Gọi X số sản phẩm kiểm tra, X phân phối hình học với p = 0,2 Kì vọng MX = —í— = 5; Phương sai DX = - 20 0,2 0,04 Thí dụ Phát tín hiệu liên lạc với trạm bạn, xác suất nhận 0,4 Nếu trạm bạn báo nhận tín hiệu dừng, khơng phát tiếp Gọi X số tín hiệu phát dừng, X phân phối hình học với p = 0,4 Kì vọng MX = —ỉ— = 2,5; 0,4 Phương sai DX = 0,16 §6 PHÂN PHỐI CHUẨN Biến ngẫu nhiên X phàn phối chuẩn Nịụ, 2) X có th ể lấy giá tri từ -oo đến +oo với mãt đô xác suất: 53 f(x) = (x-nr 2ơ2 ( - 00 < X < + 00) (4.13) \Ỉ2n< 7ĨƠ Biến X có kì vọng MX = fj DX = Thường gặp biến phân phối chuẩn khảo sát biến định lượng chiều cao, trọng lượng, bán kính, chiều dài, Biến phân phối chuẩn biến phổ biến đóng vai trị quan trọng nghiên cứu lí thuyết xác suất thống kê Nếu X phân phối chuẩn N(fi, o 2) chứng minh biến z=^ ^ phân phối chuẩn với kì vọng phương sai Phân phối chuẩn N(0, 1), gọi phân phối chuẩn tắc, có mật độ xác suất ,2 cp(z) = - (4.14) Phân phối có hàm phân phối: z —-— p(Z < z) = (z ) = - 7= f e dt yj2n —00 _ Xác suất để z khoảng (4.15) [a,b) Hình Hàm mật độ (p p (a < z < b) = O(b) - (a) Đối với biến chuẩn N(n, ơ2) ta tính xác suất sau biến đổi từ X qua (phép chuẩn hoá): p(a < X < b) = ( K_ ẾỆA fb-^0 - l J l J z (4.16) Các giá trị hàm mật độ xác suất cp(x) hàm phân phối O(x) cho bảng bảng phần phụ lục Thí dụ 10 Gọi X chiều cao ngơ tính cm Gịả sử X phân phối chuẩn N(165, 9) Tính tỉ lệ có chiều cao: 54 a) Dưới 162cm; b) Từ 162 đến 171cm; c) Trên 171cm Hình Hàm phân phối a) p(X < 162) = 162-165 =