ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MÔN TOÁN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Dành cho sinh viên tất cả các ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 M� l� PhÇn 1 Lý[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MƠN TỐN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Dành cho sinh viên tất ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 M l PhÇn Lý thuyÕt x¸ suÊt BiÕn è ngÉu nhiên xá suất 1.1 Giải tí h tổ hợp 1.1.1 Quy t¾ éng 1.1.2 Quy tắ nhân 1.1.3 Hoán vị 1.1.4 ChØnh hỵp 1.1.5 Chỉnh hợp lặp 1.1.6 Tỉ hỵp 1.1.7 Phương pháp giải toán giải tí h tổ hợp 1.2 Ph p thử vµ biÕn è 1.2.1 Ph p thö 1.2.2 BiÕn è (sù kiÖn) 1.2.3 Quan hệ biÕn è 1.2.4 Ph©n hia mét biÕn è theo hệ đầy đủ 1.3 Cá định nghĩa xá suất 1.3.1 Định nghĩa ổ điển xá suất 1.3.2 Định nghĩa thống kê xá suất 1.3.3 Nguyên lý xá suất lớn xá suất nhỏ 1.4 Cá định lý ¬ b¶n 1.4.1 Định lý ộng xá suất 1.4.2 Định lý nhân xá suất 1.4.3 Định lý xá suất toàn phần - Định lý Bayes 1.4.4 Định lý Bernoulli 6 7 8 9 10 10 11 11 13 14 14 17 18 19 19 20 23 26 Bài tập hương 28 Biến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xá suất 33 2.1 BiÕn ngÉu nhiªn 2.2 Quy luật phân phối xá suất biến ngẫu nhiên 2.2.1 Bảng phân phối xá suất biến ngẫu nhiên 2.2.2 Hàm phân phối xá xuÊt 2.2.3 Hàm mật độ xá suất 2.3 Cá tham số đặ trưng biến ngẫu nhiên 2.3.1 Kỳ vọng toán 2.3.2 Ph¬ng sai 2.3.3 §é lÖ h huÈn 2.4 Một số quy luật phân phối xá suất thông d ng 2.4.1 Quy luËt kh«ng-mét rêi r¹ 33 34 35 37 40 43 44 48 50 51 52 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 Quy luËt nhÞ thø Quy luËt Poisson Quy luËt huÈn N(a, σ ) Quy luËt bình phương-2 Quy luật Student-T(n) Cá định lí giới hạn 52 53 54 60 61 62 Bµi tập hương 66 Phần Thống kê toán 70 Cơ sở lý thuyết mẫu 3.1 Tổng thể mÉu 3.1.1 Tỉng thĨ vµ kÝ h thí đa tỉng thĨ 3.1.2 MÉu phương pháp họn mẫu 3.1.3 MÉu ngÉu nhiªn 3.2 Cá phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên 3.2.1 Sắp xÕp sè liÖu thù nghiÖm 3.2.2 Hàm phân phối thự nghiệm mẫu 3.2.3 BiĨu diƠn sè liƯu b»ng biĨu ®å 3.3 Cá đặ trưng mẫu ngẫu nhiên 3.3.1 Hàm thống kª 3.3.2 Trung b×nh mÉu 3.3.3 Ph¬ng sai mÉu 3.3.4 Phương sai điều hỉnh mẫu 3.3.5 Độ lệ h tiêu huẩn mẫu độ lệ h tiªu 3.3.6 Sai sè tiªu huÈn 3.3.7 C¸ h tính đặ trưng mẫu 3.3.8 TÇn suÊt mÉu 71 hn ®iỊu hØnh mÉu 71 71 71 73 74 74 75 76 79 79 79 80 80 80 81 81 84 Bài tập hương 84 ớ lượng tham số 87 4.1 Phương pháp ướ lượng ®iÓm 4.1.1 Phương pháp hàm ướ lượng (phương pháp mô men) 4.2 Phương pháp ướ lượng khoảng tin Ëy 4.2.1 Kh¸i niÖm 4.2.2 í lỵng kú väng đa biÕn ngÉu nhiên ó phân phối huẩn 4.2.3 ớ lượng kì vọng toán biến ngẫu nhiên không theo quy luËt phèi huÈn 4.2.4 ớ lượng khoảng ho tỉ lÖ ph©n 87 87 90 90 91 97 97 Bài tập hương 100 Kiểm định giả thuyết thống kê 106 5.1 Khái niệm 5.1.1 Gi¶ thuyÕt thèng kª 5.1.2 Tiêu huẩn kiểm định giả thuyết thống kê 5.1.3 Miền bá bỏ giả thuyết thống kê 5.1.4 Giá trị quan sát tiêu huẩn kiểm định 5.1.5 Quy tắ kiểm định gi¶ thuyÕt 106 106 107 107 107 107 5.1.6 C¸ sai lầm mắ phải kiểm định 5.1.7 Thủ t kiểm định giả thuyết thống kê 5.2 Kiểm định giả thuyết giá trị trung bình 5.2.1 Đà biết phương sai 5.2.2 Cha biÕt ph¬ng sai 5.3 Kiểm định hai kỳ vọng hai biÕn huÈn 5.4 Kiểm định giả thuyết xá suất 5.4.1 Trêng hỵp mét tỉng thĨ 5.4.2 Trêng hỵp hai tỉng thÓ ngÉu nhiªn ã ph©n phèi Bài tập hương 113 116 116 117 118 Tương quan hồi quy 6.1 Đồ thị phân tán 6.2 HƯ sè t¬ng quan 6.2.1 Ph©n tÝ h ý nghÜa hƯ sè t¬ng quan 6.2.2 HƯ sè t¬ng quan mÉu 6.2.3 Kiểm định giả thuyết giá trị 6.3 Hồi quy tuyến tính đơn gi¶n 6.3.1 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản 6.3.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản 6.3.3 Phương trình đường håi quy tuyÕn tÝnh mÉu 108 108 108 109 110 123 tỉng thĨ 123 124 124 125 127 128 128 129 130 Bài tập hương 133 Ph l 139 Ph l 141 Ph l 142 Ph l 143 Tài liệu tham khảo 144 Lời nói đầu "Xá suất thống kê" môn họ ần thiết sinh viên khối trường Kinh tếNông-Lâm-Sinh-Y nội dung phong phú ứng d ng réng r·i đa nã nhiỊu lÜnh vù kh¸ khoa họ tự nhiên, kỹ thuật, y họ kinh tế-xà hội Đà ó nhiều uốn sá h giáo trình đượ viết ho môn họ này, nhiên nhóm tá giả mong muốn viết uốn giáo trình phù hợp với nội dung hương trình Trường Đại họ Nông Lâm để sinh viên ó thể tiếp ận môn họ môn họ sở ngành sau đó, ũng ập nhật với hương trình thi tuyển sau đại họ môn Toán ao ấp thống kê Đại họ Thái Nguyên ho khối ngành Nông-Lâm-Sinh-Y Giáo trình gồm hai phần Phần I: "Lý thuyết xá suất" ó hai hương Chương trang bị kiến thứ giải tí h tổ hợp, khái niệm tảng, định lý quan trọng lý thuyết xá suất ổ điển Chương quan tâm đến khái niệm trung tâm xá suất biến ngẫu nhiên ¸ quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt, ¸ tham sè đặ trưng Một số quy luật phân phối xá suất thông d ng định lý luật số lớn, định lý giới hạn ũng đượ trình bày hương Phần II: "Thống kê toán" gồm ó hương Chương trình bày sở lý thuyết mẫu: phương pháp họn mẫu, xếp mẫu, đặ trưng mẫu Chương Chương quan tâm đến hai toán ướ lượng tham số kiểm định giả thuyết thống kê Cá toán tương quan hồi quy tuyến tính đơn giản đượ đề ập đến Chương Phần uối ùng số bảng ph l thông d ng Bạn đọ ó thể tự họ môn "Xá suất thống kê" với uốn giáo trình đà đượ trang bị số kiến thứ Giải tí h ổ điển Đại số tuyến tính Cá khái niệm đượ ập nhật thêm thuật ngữ tiếng Anh để bạn đọ ó thể làm quen với thuật ngữ đọ sá h nướ Hệ thống ví d đượ lựa họn nhiều liên quan đến toán thường gặp thự tế lĩnh vự Nông, Lâm nghiệp, Sinh họ Cá tập uối hương dành ho bạn đọ giải thông qua vận d ng lý thuyết lời giải ví d hương Trong kiến thứ rộng lớn lý thuyết xá suất thống kê toán, để lựa họn đượ vấn đề ần thiết viết khuôn khổ uốn giáo trình nhỏ ho phù hợp với nội dung hương trình bậ đại họ , đáp ứng đượ m tiêu đà đề khó khăn không tránh khỏi sai sót Cá tá giả mong muốn nhận đượ nhận x t góp ý đồng nghiệp, sinh viên bạn đọ để uốn giáo trình đượ hoàn thiện Nhóm tá giả Phần Lý thuyết xá suất Sự không hắ phổ biến giới mà ta sống: từ vấn đề giới tự nhiên nắng, mưa, giông, bÃo, đến vấn đề đời sống hính trị, xà hội on ngêi Ngay ¶ Sinh - L·o - BƯnh - Tư - mét quy lt tÊt u mµ ịng biết, hặng đường hắ mà đời người phải trải qua nhìn ũng nằm điều khiển húng ta Tuy nhiên, không hắ làm ho uộ sống húng ta trở nên thú vị nhiều HÃy thử tưởng tượng xem giới trở nên buồn tẻ, hán ngắt đến mứ thứ ó thể biết trướ á h hắ hắn, hoàn hảo? Lý thuyết xá suất ngành khoa họ Toán họ xá lập suy luận mang tính định lượng không hắ hắn, thông qua nghiên ứu quy luật tất nhiên ẩn dấu sau tượng mang tính ngẫu nhiên nhằm ho ph p dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính vậy, phương pháp lý thuyết xá suất đượ ứng d ng rộng rÃi lĩnh vù đa sèng Ch¬ng BiÕn è ngÉu nhiên xá suất Chương dành để giới thiệu ¸ kh¸i niƯm nỊn mãng đa x¸ st: ph p thư, biến ố ngẫu nhiên, biến ố sơ ấp, Cá định nghĩa xá suất đượ giới thiệu M ùng M 1.3 uối 1.4 ung ấp ông để tính xá suất: định lý ộng, định lý nhân, định lý toàn phần, Bayes định lý Bernoulli 1.1 Giải tí h tổ hợp M dành để tóm lượ lại kiến thứ giải tí h tổ hợp mà sinh viên đà đượ họ hương trình phổ thông Cá toán giải tí h tổ hợp òn đượ gọi toán "đếm": đếm số kết quả, đếm số khả xảy ra, đếm á h giải vấn đề, nói đếm số lượng đối tượng mà hầu hết loại đối tượng đượ đề ập đến ó thể mô tả dÃy phần tử thỏa mÃn điều kiện định Ta ó thể mô toán giải tí h tổ hợp sau Bài toán "Cho n, k N tËp hỵp E = {x1 , x2 , , xn } gồm n phần tử Cã bao nhiªu d·y x1 x2 xk phần tử đượ lấy từ tập E thỏa m·n ¸ tÝnh hÊt N1 , N2 , ?" Có nhiều á h giải toán tùy theo á h lấy k phần tử phương pháp xếp húng để ho ta kết 1.1.1 Quy tắ ộng Giả sử ông việ ó thể thự theo k phương án A1 , A2 , , Ak , phương án Ai ó ni á h thự á h thự phương án Ai không trùng với á h thự phương án thể đượ thự hiÖn bëi VÝ d 1.1.1 n1 + n2 + + nk á h ta gọi quy tắ ộng (Additional Rule) Một tổ gồm ó Tuyên Quang vµ Aj nÕu i 6= j , víi mäi i, j = 1, , k Khi đó, ông việ ó sinh viên Thái Nguyên, sinh viên Yên Bái, sinh viên sinh viên Hà Giang Cần họn sinh viên ùng tỉnh để lao động Hỏi ó á h họn? Giải Phương án 1: ó á h họn sinh viên Thái Nguyên; Phương ¸n 2: ã ¸ h hän sinh viªn ë Yên Bái; Phương án 3: ó ó á h họn sinh viên Tuyên Quang; Phương án 4: á h họn sinh viên Hà Giang Vậy, ó n = + + + = 10 á h họn Chú ý rằng, hất quy tắ đếm số phần tử tập hợp hữu hạn không giao Tuy nhiên, nhiều trường hợp, ta ần đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn ó giao Nếu ký hiệu n(ã) số phần tử tập hợp ta ó quy tắ ộng mở réng sau: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A B) Ví d 1.1.2 Pháp, Một hội nghị khoa hä què tÕ gåm 100 ngêi biÕt tiÕng Anh, 60 ngêi biÕt tiÕng 20 ngêi biÕt ¶ hai thø tiếng 50 người òn lại ả hai thứ tiếng Hỏi Hội nghị khoa họ ó người? Giải Gọi tập hợp người biết tiếng Anh A, người biết tiếng Pháp B Khi tập hợp người biết tiếng Anh hoặ Pháp AB Theo ta ã n(A) = 100; n(B) = 60; n(A ∩ B) = 20 vµ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 100 + 60 − 20 = 140 Vậy Hội nghị khoa họ ó 1.1.2 140 + 50 = 190 (người) Quy tắ nhân Giả sử ông việ phải thự k giai đoạn A1 , A2 , , Ak , giai đoạn Ai đượ thự ni ¸ h, víi mäi i = 1, , k Khi ®ã, ã n1 n2 nk á h thự ông việ nói ta gọi quy tắ nhân (Multipli ative Rule) Ví d 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm hữ bảng ký tự, ký tự đầu mà số tỉnh, ký tự thứ ba 26 hữ tiếng Anh, ký tự hữ số thuộ tập {0, 1, , 9} Hái nÕu hØ dïng mét mà số tỉnh ố định tỉnh ó thể làm đượ nhiều biển số xe nhau? Giải Vì mà số tỉnh đà đượ ố định nên ta ó 26 á h họn hữ xếp vị trí thứ ba ó 10 á h họn hữ số ho vị trí bốn vị trí òn lại Theo quy tắ nhân, ta ó 26 ì 10 × 10 × 10 × 10 = 260.000 (biÓn sè xe) 1.1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1.4 Một hoán vị (permutation) tử theo thứ tự định n phần tử tập E á h xếp n phần Số hoán vị n phần tử, ký hiƯu Pn , lµ Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) 2.1 vµ quy í 0! = VÝ d 1.1.5 (i) Cã xÕp nh sau: ngêi A, B, C xÕp vµo hỗ ngồi Ta ó P3 = 3! = ì ì = á h ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (ii) Tõ h÷ sè 1, 2, ó thể tạo đượ số gồm hữ số nhau? Giải Rõ ràng số gồm hữ số tạo từ 1, 2, hoán vị phần tử Vậy ta ã 1.1.4 P3 = 3! = × × = số, là: 123, 132, 213, 231, 312, 321 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.6 ó thứ tự gồm Một hỉnh hợp (arrangement) hập k n phần tư (0 < k n) lµ mét d·y k phần tử đượ lấy từ tập E Số hỉnh hợp hập k n phần tử, ký hiƯu Akn , lµ Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = VÝ d 1.1.7 n! (n k)! Sinh viên năm thứ Trường Đại họ Nông Lâm phải họ họ kỳ, ngày họ họ phần họ phần Hỏi Phòng Đào tạo Trường ó á h xếp thời khóa biểu ngày? Giải Số á h ần tìm hính số á h gh p họ phần từ họ phần, ¸ h gh p sÏ kh¸ nÕu ã Ýt nhÊt mét họ phần hoặ thứ tự họ phần Vì á h xếp thời khóa biểu ngày A25 = ì ì = 60 ( á h) 1.1.5 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1.8 Một hỉnh hợp lặp (arrangement with repetition) hập dÃy ó thứ tự gồm k n phần tử k phần tử (không thiết nhau) đượ lấy từ tập E Số hỉnh hợp lặp hập k n phần tử, ký hiệu Akn , Akn = nk Ví d 1.1.9 ó Có khá h hàng không quen biết ùng vào mua hàng ửa hàng gồm quầy Giả sử khá h hàng vào mua hàng quầy á h ngẫu nhiên Hỏi ó á h để người vào quầy nói trên? Giải Vì người ó á h họn quầy nên số á h để người vào mua hàng á h ngẫu nhiên quầy hính A57 = 75 = 16.807 1.1.6 Tổ hợp Định nghĩa 1.1.10 on gồm Một tổ hợp ( ombination) hập k đa n phÇn tư (0 < k n) tập k phần tử tập E Số tổ hợp hập k n phần tử, ký hiệu Cnk , Cnk = Vì Cnnk = nên á h lấy n(n 1) (n − k + 1) n! = k!(n − k)! k! n! n! = = Cnk , (n − k)!(n − (n − k))! k!(n − k)! k phần tử ũng hính á h lấy n k phần tử òn lại Ta ó số trường hợp đặ biệt sau Cn0 = Cnn = 1; Cn1 = Cnn−1 = n Tõ «ng thø tỉ hợp trên, ta ó ông thứ Nhị thứ Newton (a + b)n = an + Cn1 an−1 b + + Cnk an−k bk + + Cnn−1 abn−1 + bn Thay n = 2, vào ông thứ ta ó đẳng thứ đáng nhớ quen thuộ Ví d 1.1.11 (i) Chän ngÉu nhiªn C32 = (ii) Cã ngêi tõ mét nhãm ngêi A, B, C Khi đó, ó 3! = á h họn : AB, AC, BC 2!.1! hä sinh, Çn hän họ sinh để trự lớp, hỏi ó á h họn? Giải Rõ ràng số á h họn họ sinh bÊt kú sè hä sinh lµ sè tổ hợp hập phần tử Vậy ta ã C52 = 1.1.7 5×4 5! = = 10 á h họn 2!3! Phương pháp giải toán giải tí h tổ hợp Giải tí h tổ hợp ông quan trọng, ph v đắ lự ho việ giải tập xá suất sau Trong trình giải toán giải tí h tổ hợp, ông việ đòi hỏi nhiều tư hính "nhận dạng" xem toán thuộ á h đếm Nói á h khá , điều quan trọng ần phân biệt, so sánh đượ khái niệm để áp d ng đượ ông thứ ần dùng Do đó, ta ã mét sè nhËn x t sau a) VỊ ¸ h lÊy phần tử: Ta thường dùng á h để lấy k phÇn tư tõ n phÇn tư LÊy theo nghÜa tỉ hỵp LÊy theo nghÜa hØnh hỵp ... 12 3 12 4 12 4 12 5 12 7 12 8 12 8 12 9 13 0 Bài tập hương 13 3 Ph l 13 9 Ph l 14 1 Ph l 14 2 Ph l 14 3 Tµi liƯu tham khảo 14 4 Lời nói đầu "Xá suất thống kê" môn họ ần thiết sinh... 6 7 8 9 10 10 11 11 13 14 14 17 18 19 19 20 23 26 Bài tập hương 28 Biến ngẫu nhiên Quy luật phân phối xá suÊt 33 2 .1 BiÕn ngÉu nhiªn 2.2 Quy luËt ph©n phèi xá suất biến ngẫu... 87 90 90 91 97 97 Bài tập hương 10 0 Kiểm định giả thuyết thống kê 10 6 5 .1 Khái niÖm 5 .1. 1 Giả thuyết thống kê 5 .1. 2 Tiªu hn kiĨm định giả thuyết thống kê 5 .1. 3 Miền