Giáo trình xác suất thống kê và ứng dụng phần 1

LÊ SĨ ĐỒNG XÁC SUẤT - THONG KE _ VÀ ƯNG DỤNG ( Tái lân thứ sáu ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM LỜI NÓI Đầu Ngày nay, XÁC SUẤT - THỐNG KÊ ứng dụng sâu rộng ` ngành Kinh tế - Xã hội Khoa học kĩ thuật Môn Xác suất - Thống kê giảng dạy rộng rãi môn học trường đại học, cao đẳng Đặc điểm mơn học vừa có tính chặt chẽ khái qt mơn Tốn lại vừa có tính ứng dụng thực tế cao Để phục vụ cho bạn đọc khơng chun Tốn, bạn đọc ngành Ngân hàng, Tài chính, Kinh tế, KT thuật mong giúp bạn dễ dàng tiếp cận vấn đề LÍ thuyết Xác suất — Thống kê áp dụng chúng việc giải toán đặt - hoạt động thực tiễn, biên soạn “Xác suất ~ Thống kê Ứng dụng" Cuốn sách xem giáo trình phù hợp với thời lượng khoảng 60 tiết giảng dạy, theo chương trình Bộ Giáo dục Đào tạo quy định cho trường đại học, cao đẳng khối khơng chun Tốn Nội dung sách gồm hai phần Xác suất Thống kê Mỗi phần có bốn chương Các nội dung trình bày sách nhằm mục đích làm rõ khía cạnh ứng dụng cố gắng đảm bảo tính chặt chẽ, hệ thống môn học Các khái niệm, công thức trình bày tương đối đơn giản, dễ hiếu, có nhiều ví dụ minh họa Sau chương có tập áp dụng để ban doc ty giải nhằm củng cố lí thuyết rèn luyện khả thực hành Các tập có đáp số gợi ý Với mục đích biên soạn sách để đạt mục tiêu trình bày trên, cố gắng phục vụ tốt bạn đọc có lẽ sách cịn thiếu sót, tác giả trân trọng cám dn góp ý để hồn thiện sách TÁC GIẢ _ Phần ï XÁC SUẤT CHƯƠNG I BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Phép thử biến cố Trong 1í thuyết xác suất ta hiểu “phép ¿bở” việc thực nhóm điều kiện xác định (chẳng hạn làm thí nghiệm) để quan sát biện tượng có xảy hay khơng Hiện tượng có xảy hay khơng kết cục phép thử gọi “biến cố ngẫu nhiên”; trường hợp riêng: kết phép thử gọi biến cố Biến cố ngẫu nhiên thường kí hiệu chữ A, B, C Ví dụ: - Gieo đồng tiền (phép thử), biến cố ngẫu nhiên “mặt sấp xuất hiện”, “mặt ngửa xuất hiện” - Lấy ngẫu nhiên số sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra, biến cố là: “lấy phế phẩm”, “không lấy phế phẩm” CO Các loại biến cố liên hệ ; Giả sử thực phép thử đó, ta có loại biến cố nhu sau: * Bién cé chắn, kí biệu Q, biến cố định xảy Ví dụ: Biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ gieo xúc xắc © : s Biến cố khơng thể, kí hiệu Ø, biến cố định khơng xảy Ví dụ: Biến cố “mặt sấp mặt ngửa xuất hiện” gieo đồng tiền Ø * Su kéo theo: A kéo theo B, kí hiệu A c B, A xảy B xảy Ta cịn nói A biến cố thuận lợi cho B, « Sự tương đương: A tương đương với B, kí hiệu A = B, néu A xảy B xảy ngược lại A=BoAcBvaBcA s Biến cố tổng (còn gọi tổng) A B, kí hiệuA + B, biến cố xảy có hai biến cố A, B xảy (A B xảy ra) ne nghĩa là: à đối lập Ac+ |À+A=@ Từ khái niệm loại biến cố liên hệ cho ta thấy có tương ứng biến cố tập hợp Do ta suy tính chất biến cố từ tính chất tươn/ hợp Chẳng hạn: w ESÁI AB=BA; AA=Á; AQ=A: A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C3 *AcB>BcA; ACA+B; *A+BzA+ BA * A (B + C) = AB.+ AC - AB=A+B; A+B=ADB ABCA; Hãy biểu diễn qua A; biến cố sau: : a) A = “Thi bi trúng đạn” b) B = “Thú không bị trúng đạn” : GIẢI: Ta có A; = “xạ thủ thứ ¡ không bắn trúng thú” a) Á = Ai + A¿ + A; (ít viên trúng) = A1 Az As (cả ba xạ thủ bắn b) B= A=A,+Ag+Ag trugt thd) c) C = Ay.Ao.As (c& ba xạ thủ bắn trúng thú) A^=ø ° Biến cố hiệu A B, kí hiệu A \ B, biến cố A xây nhưngB không xảy ra, nghĩa A \ B = AB “GÀ CÁ thú Gọi biến cố A¡: “xạ thủ thứ ¡ bắn trúng thú”, ¡ = 1, 2, d)D = “Thú bị trúng 1-viên đạn” - » Biến cố đối lập A, kí hiệu A, biến cố A khơng xảy Ví dụ 1: Ba xạ thủ bắn người viên đạn vào e) C = “Thi bi trúng viên đạn” + Biến cố tích (cịn gọi tích) Á B, kí hiệu A.B, biến cố xảy A B đồng thời xảy * Sự xung khắc: A xung khác với B A B khô để n thời xảy ra, nghĩa A.B= Ø Sau để đặt tên cho biến cố ta thường kí hiệu dấu _ chẳng han A = “Thu bi tring dan” | ,” d)D= AIÁ23+Ã1A¿2Ã2 +AiA2Ag Ngoài ta cịn có số loại biến cố sau: « Biến cố sơ cấp biến cố biểu diễn thành tổng biến cố khác « Mọi biến cố ngấu nhiên A biếu diễn thành tổng biến cố sơ cấp Các biến cố sơ cấp biến cố thuận lợi cho A Biến cố chắn Q@ tổng biến cố sơ cấp có nên © cịn gọi “khơng gian biến cố sơ cấp” hay “không gian mẫu” —» Các biến cố đồng khả biến cố có khả xuất phép thử Trong tính tốn xác suất nhiều phải tìm số lượng biến cố sơ cấp dẫn đến áp dụng kết giải tích tổ hợp ` Giải tích tổ hợp a) bi đỏ; b) bi có nhiều bi đỏ _ 8.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân GIẢI: a) Việc lấy bi đỏ từ hộp tương ứng với tổ hợp chập 2: a) Quy tắc cộng: ~ Quy tắc cộng cho khả Để lam việc v A phan tử (Bạn thử tưởng tượng: lấy bị đỏ đảo thứ tự « Khá thứ có: n cách bi đỏ từ hộp _ thực theo khả năng: b) Để lấy bi có nhiều bì đỏ ta có khả sau: * Kha thứ hai có: m cách => n +m cach làm việc A _ Lấy bỉ có bi đồ (tồn bi vàng) có: CẢ = 16 cách ~ Tương tự quy tắc cộng cho k khả với khả thứ ¡ có ~ Lấy4 bị -có1 bi dé, để làm việc ta thực qua bước: n¡ cách —© có nị + nạ + + ny khả « Bước 1: lấy bi đồ từ hộp, có: cách b) Quy tắc nhân e Bước 2: lấy bi vàng từ hộp, có: C = 20 cách - Quy tắc nhân cho bước (2 giai đoạn) Theo quy tắc nhân, có: 5.20 = 100 cách Để làm việc A cn thực qua2 bước: * Bước có n cách * Bước có m cách - ~ Lấy bì có bị đồ: | * Bước 1: lấy bi đỏ từ hộp, có: C2 = 10 cách =n.m cách làm việc A « Bước 2: lấy bi vàng từ hộp có C = Tương tự lạ quy tắc nhân cho k bước, tất cả: nụ.nạ .n„ cách 8.2 Tổ hợp chập k n phần tử bước ¡ có n; cách, có = Là bộk phân ti ấ từ n phân tỉ) thoả mãn hai tính chất sa: * khác =12 Vi du 8: - Một từ hộp: hộp có bi đã, Theo quy tắc nhân, có: 10.15 = 150 cách Như theo quy tắc cộng có: 15 + 100 + 150 = 265 cách lấy bi từ hộp có nhiều bi đỏ 3.3 Chỉnh hợp chập k n phần tử » khác Số tổ hợp chập k n phần tử: c*- —?`— peep = 15 cách Là k phần tử (lấy từ n phần tử) thỏa hai tính chất sau: s khơng kể thứ tự bí có bi khác khong?) Do d6 c6 C2 = 10 cách lấy = 1; ki(a-k)! với ol bi¡ vàng Có cách lấy : » có kể thứ tự - Số chỉnh hợp chập k n phần tử: AÈ = n! (n -k)! Ví dụ 3: Cho chữ số 41, 2, 3, 4‡, có cách lập số: 82 XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ - a) Có chữ số khác từ các.chữ số b) Có chữ aố từ chữ số GIẢI: a) Nấu ta lấy chữ số 1, 3, ta lập số 134, 314, Như thứ tự phần tử kể đến Do việc lập số có chữ số khác từ chữ số tương ứng với chỉnh hợp chập phần tử Số số A3 = 24 b) Ta thấy số 111 thỏa mãn quan tâm tới mức độ xuất biến cố nhiều hay phép thử Khái niệm xác suất hình thành để nghiên cứu vấn để Sau định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất tốn tính chất thứ tổ hợp chỉnh hợp khơng thỏa mãn Gọi số 418943 Một biến cố ngẫu nhiên có xảy hay khơng thực phép thử khơng thể đốn trước Tuy nhiên điều mà ta để lập số ta tiến hành theo bước: a) Định nghĩa Nếu phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả năng, có m biến cố thuận lợi cho biến cố A xác suất A, kí hiệu P(A), tỉ số = s Bước lấy ay có cách * Bước lấy a; có cách P(A) = * Bước lấy a; có cách s P(Ø)= (hơng có khả thuận NHẬN XÉT: _ Tổ hợp hay chỉnh hợp liên quan tới việc lấy phần tổ tử có liên - Từ tính chất ta phân biệt tổ hợp chỉnh hợp 8.4 Hoán vị n phần tử Hoán vị n phần tử cách thứ tự n phần tử hay chỉnh hợp chập n n phần tử Số hoán vị n phần tử =n!l(= AD) 3.5 Nhị thức Newton n (a+b = Ð3 Ca rbh~È k=0 10 Số biến cố thuận lợi cho A ` Số tất biến cố — Các tính chất suy từ định nghĩa: Theo quy tắc nhân có 4.4.4 = 4° = 64 cách lập số ~ Từ tính chất ta nhận biết cách lấy phần quan tới tổ hợp chỉnh hợp hay khơng m_ lợi cho Ø), «Ồ P(Q) = (cú n kh nng thun li cho â), ô 0< P(A) < (vì 0 50; p < 0,1 * Do n lén; p rat bé, tix dinh li người ta cịn nói luật phân phối Poisson 1a luật phân phối biến cố Ví dụ 3: Xác suất để máy sản xuất phế phẩm 0,1% Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất có Ý nghĩa hai định lí trên: Trong thực hành, với X ~ B(n; p), n đủ lớn p không lớn p không bé ta có: phế phẩm có máy sản xuất 1000 sản GIẢI: Gọi X số phế phẩm phẩm X ~ B(1000; 0,001); n = 1000 lớn; p = 0,001 bé va np = 1, tacoi X = P(1): P{X = 2} xe?—Vii 2! th b) Xap xi phan phối nhị thúc phan phối chuẩn Định lí (định lí giới hạn địa phương Moivre-Laplace): Gọi Pa(Œ) xác suất xuất k lần biến cố A dãy n phép thử ¿ Bernoulli với P(A) = p, p không gắn không gần thì: ⁄ lim /npq P, (k)/f(x;,) = ee ới = = ——=e?2;q=l1-Pp; Tag XkL= ‹knp xnpq Java hữu hạn thi S¿ —— 78 —np | vnpq }-o[ k, -np Japa } Chú ý: * Công | (2.9) " hà thức (2.9) xấp xỉ tốt np > nq > npq > 20 n > P{k, œ Xp (p # 0, p #1) thi Chitng minh: RCN, _ CN ~ Na —k+j] ĐẠT" N-n+j CD Do đó: CN ƠN CN b) Số tờ khai tối thiểu khơng thích hợp kiểm tra 18 nhóm 400 tờ khai thuế đặc thù để xác suất nhóm bị kiểm tra lại tồn 0,31 kiểm tra X ~ HaO0; Bin; p);q=1-p Xác suất nhóm bị kiểm tra tồn bộ: ak (N, —k+1) N, (Ng —n+k +1) Nz *(N-n+1) (N-n+k)(N-n+k+1) N › Ng N Nz -n+k+j “Ps _ Cà =q Cioo b) Gọi Y số tờ khai khơng thích hợp kiểm tra 18 tờ Ba; p) Giá sử X ~ H(N; Nạ; n), N lớn ; n nhỏ so với N _ c& - 90 CỉaCáo „0,B854 P{X > 1} = ~ P{X=0} - P(X=1} = 1-2 Cao N N-n+k+j Ò CK p™.q™* nghia la X —£_, thi P{X=x}~=Cip*q"™™, p= xa Na; 6) Na= p.N= 0,8 100 = 30 Ý nghĩa thực hành (2.18) Công thức xấp xỉ (2.13) tốt n < 0,05N 82 a) Nếu chọn tờ khai từ nhóm 100 tờ khai thuế đặc thù mà có tờ khai khơng thích hợp nhóm bị kiểm tra tồn Tính xác suất nhóm bị kiểm tra toàn GIẢI: a) Gọi X số tờ khai khơng thích hợp tờ khai x —£, Mà Ví dụ &: Một nhân viên thuế chọn ngẫu nhiên số tờ khai từ nhóm tờ khai thuế đặc thù để kiểm tra Kinh nghiệm cho n-1) == EX’2 —- (EX) 22= VX H(N -2;N, Khi N lớn so với n Việc lấy n phần tử từ tổng thể N phần tử theo phương thức: có hồn lại hay khơng hồn lại, coi 6B.XAG SUAT THONG KE VA UNG DUNG Y ~ H(400; Nạ; 18), Nạ = 0,3.400 = 120 Gọi xọ số tờ khai khơng thích hợp tối thiểu : _P{xe < Y < 18) = 0,31 Vi N = 400 lớn so với n = 18 (n < 0,0B.N), suy : Y = B(18; 0,3), phan phéi nhị thức trường hợp xấp xỉ phân phối chuẩn Ní(np; npg); np = ð,4; npq = 3,78 83 trước bạn Tính xác suất bạn phải đợi : a) 10 phút; b) khoảng 10 đến 20 phút Ta tinh: P{x, < ¥ < 18} =P{xy < ¥ of ty) gg s( S2) , 1,9442 - = 0,19 = 9(0,49) xo —5,9 _ 0,49 hay xọ ~ 6,85 Vậy xo tối thiểu 1,9442 Thời gian hoạt động máy X (đơn vị: năm) có phân phối mũ với = = An mua máy sử dụng rơi Tính xác suất hoạt động thêm năm a) Một trạm cứu hoả đặt đọc quốc lộ có độ dài A (A < œ) Giả sử hoả hoạn xuất điểm X có phân phối (0, A) Nên đặt trạm đâu để cực tiểu kì vọng khoảng cách từ chỗ hoả hoạn đến trạm nghĩa tim a: minE|X- al BAI TAP CHUONG III Gọi X thời gian (tính tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiên khách hàng ngân hàng Giả sử X ~ N(18; 16) Tính tỉ lệ: a) khách hàng trả tiền khoảng 12 đến 18 tháng; /b) tháng; c) khơng năm Với khoảng thời gian X tối thiểu để có 99,5% khách hàng trả tiền lại cho ngân hàng Giả sử X ~ N(5; ø?) Nếu P{X > 9} = 0,2, tính ơ? Tuổi thọ loại bóng đèn X (đơn vị: năm) với X ~ N(4,2; 2,25) Khi bán bóng đèn lãi 100 ngàn đồng, song bóng đèn phải bảo hành lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiên lãi trung bình bán bóng đèn 30 ngàn đồng cần quy định thời gian bảo hành Một xe buýt xuất bến đợi từ sáng, 15 phút chuyến Giả sử thời gian xuất khách bến đợi có phân phối từ đến 30 Tìm xác suất người phải đợi xe buýt ð phút; nhiều 10 phút Giả sử độ dài cú điện thoại X (đơn vị: phút) có phân phối mũ với ^ = = 84 Nếu người đến trạm điện thoại công cộng b) Với câu hỏi tương tự, giả sử Á = œ Nếu khoảng cách từ đến chỗ có hoả hoạn X có phân phối mũ với tham số i Trung bình phút có ơtơ qua trạm giao thơng Tính xác suất: a) Có ôtô qua trạm phút; từ đến ơtơ qua trạm phút b) Tính xác suất để khoảng thời gian t t phút có ơtơ qua Xác định t để xác suất 0,99, Một trạm cho thuê xe tắc xi có xe Hàng ngày phải nộp thuế USD cho xe (dù xe có thuê hay không) Mỗi xe thuê với giá 20 USD Giả sử yêu cầu thuê xe trạm X có phân phối Poisson với tham số = 2,8 a) Gọi Y số tiên thu ngày trạm (nếu không thuê bị lỗ 24 USD) Tìm phân bố xác suất Y từ tính số tiển trung bình thu trạm ngày b) Giải tốn trường hợp có xe _ €) Trạm nên có hay xe 10 Bài tốn Samuel-Pepys đặt cho Newton Biến cố biến cố sau có xác suất lớn -85 a) Có lần xuất mặt gieo xúc xắc lần b) Tương tự, lần xuất mặt gieo xúc xắc 12 lần e) Tương tự, lần xuất mặt gieo xúc xắc 18 lần 11 Tuổi thọ chip tương hỗ máy tính X (đơn vị: giờ) X ~ N(p, ø?; p = 1,4.10%; o = 3.10 Tính xác suất 100 chip loại có 20 chip mà tuổi thọ nhỏ 1,8.10° Tính sé chip loai nhiéu kha nang nhét 100 chip 12 Các sản phẩm loại sản xuất độc lập với xác suất sản phẩm chấp nhận 0,99 Tính xác suất 150 sản phẩm loại có nhiều 10 sản phẩm không chấp nhận 18 Một trạm bơm xăng trung bình có 12 xe máy đến tiếp xăng Tính xác suất để có : a) xe đến tiếp xăng; b) 15 xe đến tiếp xăng; e) 10 xe đến tiếp xăng 14 Mơ hình chuyển động chứng khoán cho ˆ sau: giá s sau phiên giao dịch u.s với xác suất p d.s với xác suất - p tăng hay giảm giá phiên giao dịch độc lập với Tính xác suất giá chứng khốn lên 30% sau 1000 phiên giao dịch u = 1,012; d = 0,99; p = 0,52 15 Trọng lượng sản phẩm X (đơn vị` gam) máy tự động sản xuất ra, X ~ N(100; 1) Sản phẩm coi đạt kĩ thuật trọng lượng đạt từ 98 đến 102 gam a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kĩ thuật máy b) Tìm tỉ lệ phế phẩm c) Cho máy sắn xuất 90 sản phẩm đạt kĩ thuật 100 sản phẩm, tính xác suất có q 0,33mm Biết đường kính trục máy biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0,3mm a) Tìm xác suất lấy ngẫu nhiên õ chi tiết loại có tiết đạt kĩ thuật b) Tìm xác suất để 100 tiết loại có 90 tiết đạt kĩ thuật 17 Một xí nghiệp có máy Trong ngày hội thi công nhân dự thi chọn ngẫu nhiên hai máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu 100 sản phẩm có 80 sản phẩm loại trở lên thưởng Xác suất để công nhân A sản xuất sản phẩm loại với máy tương ứng 0,6; 0,7 a) Tính xác suất cơng nhân A thưởng b) Giả sử A dự thi 200 lần số lần thưởng nhiều khả c) À phải dự thi lần để xác suất có lần thưởng không 90% 18 Cho lô hàng, lô có 1000 sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại B lô 10%, 20% Người mua lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra Nếu 10 sắn phẩm lấy từ lô hàng có khơng q sản phẩm loại B mua lơ hàng Tính xác suất có lô hàng mua 19 Trong 20 giấy báo thuế thu nhập có giấy mắc sai sót Lấy ngẫu nhiên õ giấy để kiểm tra Lập bảng phân phối xác suất số giấy có sai sót Tìm trung bình phương sai 20 Từ lơ hàng có 1000 sản phẩm có 10 phế phẩm chọn ngẫu nhiên 20 sản phẩm để kiếm tra Tính xác suất có : a) phế phẩm ; b) có từ đến 10 phế phẩm 16 Một loại tiết máy gọi đạt kĩ thuật trị tuyệt đối sai lệch đường kính với đường kính thiết kế khơng 86 87 CHUONG IV BIEN NGAU NHIEN HAI CHIEU P(x, +œ) = Ex(x) ; F(+e, y) = Fv(y) (+ © hiểu theo nghĩa giới hạn) 4) P(xi 0, nhu vay fx(x) > 95 f(x,y) fly |x) = { fy (x) =xe * P{Z = 2} = P{X = 2, Y = 1} = 0,28, * P{Z = 3} = P{X = LÝ =0} =0,1 véiy>0 với x lại +00 ° P{Z = ð} = P{X = 2, Y = 0} = 0,15 a) c) g(x) = E(Y|X = x) = f yf (y|x)dx = Í xye dy = — = —ye ~ - o x e Ta có: +00 2-chiều ~ Tìm xác suất: Pữ = zy} = lập) x 0,1 0,15 0,15 | 0,25 | 0,25 xe=0 ~ » Đụ: = — , o(x;, 9} = ex a e® ea Aytho) - z! z ' Dela Mã” (Ay +Ag)* Vậy z ~ PỨu + Aa) 3.2 Trường hợp liên tục Giả sử (X, Y) biến ngẫu nhiên 2-chiều có hàm mật độ xác 0,2 | 0,05 xz0 ee GIẢI: Tính giá trị Z ZW | ‹ P{Z = -3} = P{X = L, Y = 2) = 0,05, ‹ P{Z = -L) = P{X = 9, Ý = 9} = 0,96, « P{Z= 0} = P(X = 1, Ý = 1} = 0,9, 96 0,25 độc Vi dụ 3: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời X, Y Lập bảng phân phối = 2X - 3Ÿ + P{Z =z} = ŠP(X=x,Y=z-x) = ŸP(X=x}P{z—x} (tính ~ Tìm tập giá trị Z tương ứng với giá trị X, Y; 0,1 xác suất Z = X + Y Ta tiến hành: 0,2 GIAI: Z(Q) = {0, 1, , n, } Cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2-chiều (X, Y) hàm œ(x, y) Lập bang phan phối xác suất cha Z = ọ(%, y) 0,25 Ví dụ 4: Cho X ~ P(A;), Y ~ PAs), X, Y déc lap Tim phan phối 8.1, Trường hợp rời rạc x -1 -3 | 005 —s Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Y | z 2 suất ffx, y); hàm U = u(x, y); T = t(x, y) liên tục với hàm ngược x = x(u, t); y = y(u, t) chúng ; đạo hàm riêng ~8 - a x ôx ôyBa? oyOE "=1 định: ox Ox lâu tổn tại,na liên tục Jacôbi x_ J = by &# ơu at #0 Khi hàm mật độ biến ngẫu nhiên 2-chiểu (u, t) xác atu, t) = f(x(u, t), y(u, t)) [J] 7A.XAG SUAT THONG KE VA UNG DỤNG (1.22) 97 Vi dy 5: Cho biến ngẫu nhiên 2-chiểu ŒX, Y) có hàm mật độ xác suất f(x, y) Chứng tỏ hàm mật độ T = X + Y là: +00 f(t} = Í f(u,t—u)du hay fy(t) = +00 ị f(t -u,uddu 41 (t~u)¥) (1.23) +co +00 GIẢI: Xét u = x; t = X + Y suy X=u,y=t~u -1 : “fe EU TH fx(t) = J fx(u)fy(t—u)du fr(t) = ƒfx(t~u)£y(u)du (1.24) 10 2ø patve A] fire X, Y déc lap thi: Jacobi: J = eea 1 Néu |g - + vi+ơ? du — = TÐJe dv = 1+ơF vi+ơ? % + "SỈ" + (tu“| 4s +00 au (125) (1+ (1.25) ) t? is) lax tou) *° (1.26) u? te Fdu= 2= |- mm đưu ƒ 1+ơ? ert i at ———© 2no +00 Từ hàm mật độ T: fr(t) = Tương tự ta có: fr(t) = : Từ ví dụ 5: fr(t)= J fa(t —wfywrtu= [—=s a(u, t) = flu, t — w) Ỉ f(u,t — u)du ƒ f(t —u,u)du ~o Nếu X, Y độc lập: Ñu, t—u) = #x(u).fyŒ~u) nên: +00 f(t)= ff(u,t-u)du = | fy(udfy(t- udu Tuong ty: fy(t) = f f(t-u)fy (udu 20 ofan oer) Trước tiên ta chimg minh cho X ~ N(O, 07); ¥ ~ N(O, 1) He) 2m 1407 4mh+ø ˆ Chứng tỏ fr(t) hàm mật độ phân phối chuẩn N(0, 1+ơ?), V6i X ~ N(uy, 07); Y= Ny, of), bién déi XK, + X2 = o,{ —H Sg vất G2 HH + Hị + Hạ (1.97) Từ mệnh đề [mục b, 1.2, 1, §1, chương 3] ta có: (Xi -ki)/Ga -N[o Vi du 6: Cho X ~ Nu, 07), Y ~ N(u2, 09), dBc lap Chimg minh T = X + Y c6 phan phéi chufn N(y; + pe; of +03) GIẢI: _— < OV AT | =1 Từ công thức (1.22) ta có hàm mật độ đồng thời (u, t): +® sơ ‘có ơ? 4): (X;¿ ~bạ)/ø¿~ N(,1) Theo chứng minh phần trên: (Xi —x)/G; + (X; — Hạ)/Ø;~ N[o1+ 5) Ta có: 98 7B.XAG SUẤT THONG KE VA UNG DUNG 99 Do từ (1.27): Xị + X; ~ N(i, + 42,07 +03) Từ ví dụ ta có kết quả: | * Cac hiệp phương sai biến ngẫu nhiên nhiều chiêu đặt ma trận gọi ma trận hiệp phương sai Chẳng - hạn với (%, Y) ma trận hiệp phương sai: Dinh li 1: Néu Xị ~ Nụ, ø?), độc lập, ¡ = 1,2 n thì: T=Xi+Xz+ .+X~ N(i +hạ + + pyioe + + +øÌ Từ mệnh để [mục b, 1.2, §1, chương 3] ví dụ ta suy ra: Định lí 3: X ~ NG, 02), ¥ ~ Nu, 08) độc lập thì: Cc vx oy) ov(Y, X) VY Từ khái niệm hiệp phương sai ta có cơng thức tính phương sai: V(aX + bY) = aVX + bVY + 2abcow(X, Ơ); Đ2 HIEP PHUONG SAI VA HE SO TUONG QUAN Chúng số đặc trưng cho phụ thuộc biến ngẫu Hiệp phương sai Định nghĩa: Hiệp phương sai (còn gọi covarian) ‹ hai biến ngẫu nhiên X va Y, kí hiệu covŒX, Y) xác định bởi:: - EX)(Y - EV)] = cov(X, Y) = B[Œ > (x: ~EX)(Y, -EY)Py MU hộ x-EX)(y-EY)f(œx,ydxdy Ly iPi -EXEV “\f J tts y)dxdy-EXEY 100 (2.4) VV, (2.5) Ý nghĩa kinh tế (2.5) là: rủi ro liên quan tới dự án đầu tư X, Y giảm thực phương thức “không xếp tất trứng vào giỏ” Ví dụ 1: Đầu ngân hàng A chúng tương T vào A va B tư ứng dé chứng khoán T(USD) vào loại cổ phiếu B với khả sinh lời hàng năm 100 (USD) biến ngẫu nhiên X, Ÿ Tìm tỉ lệ đầu tư thu nhập bàng năm đặn ` GIẢI: Giả sử ta đầu tư OT, (1 — 6)T vao A va B tương ứng z_ T8X , (1-8) TY 100 100 (9.1) với Œ, Y) liên tục Để có thu nhập ổn định (ít rủi ro nhất) nghĩa VZ nhỏ > dune công thức (2.3) biến đổi ta có: V¥)0,+ VY] Y) -(X X, +2(cov _ af [(vx + V¥ -2cov(¥))6? | = EXY- EX.EY (2.3) - (0 0 =c +1 em nghĩa +8 pxy = +1 4) Suy trực tiếp từ định nghĩa py y (2.7) Định nghĩa 2: Các biến ngẫu nhiên X, Y gọi không tương quan pxy = Ô te, Px, y = â cov(, Y) =  Một sộ tinh chat cia sé tuong quan: 1) lpaxeb:ev-+al = loxy|; Va,b,c,deR, Ý nghĩa: Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính ac#0 X Y |pxx| (Giá trị tuyệt đối hệ số tương quan không phụ thuộc vào gốc tính đơn vị đo) 2) |pxv| ) >) xiy,Pj = 1.1.0,22 + 1.2.0,12 = 0,46 ij cov(X, Y) = EXY - EX.EY = -0,0447 Vậy pxy= Heta -0,1293 108 ` §3 PHÂN PHỐI CHUẨN HAI CHIỀU 1) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2-chiều Œ%, Y) gọi có phân phối chuẩn 9-chiểu hàm mật độ xác suất có đạng: f(x,y)= mee 2nơ,ơ iF (x-w,Ýy-w) (v¬m} ad eae alice? p? 3.) Tính chất fx(x)= Ï f(,y)dy= 18 +2 as” ụ —n aoe? —1 a{i-o*) a4 2v? g “r»ätrs)| xly)=£@9)- i, (y) (8.2) ~ My) (3.3) đà hàm tuyến tính y) va: (3.4) = y) = 02 (1-17) V(XỊY ay = OF jv TO" guy radu= Se Chứng minh: Dit u= 2H Ox Oy : Ox Oy ẨX, y) = - 2no,0, i -p "đụ =@ te ~ a J2no, = e h _ p2 =e sim ụ ; (t=v-pu) v2 V2n0, 2_ 2puv+v ay? 1~p* = fg afi-p? aL "|=»st-sÌ) V2no, 1-9” phân phối chuẩn NỈ +pˆ*(y P hàm mật độ — py )io2 (a -?)| Do đó: | ỳ B(Xly) = te +E (y- Hy) va V(Xly) =o; (1~p?) Chú ý: Từ tính chất ta nhận tham số © (3.1) lA EX =p; minh duge 104 ia V2n0, ° onc, h- Do kì vọng có điều kiện: Y e2 le liu f( b) điều kiện X = x) phân phối chuẩn với hàm mật độ xác suất Tinsy Do d6 X ~ N(x, 62); tuong tyY ~ Ni, 07) 3) Các phân phối điều kiện X với didu kién Y = y (của Y với E(X|Y = y) =p + p2k(y = = &(x).&(y) Vậy X, Y độc lập 2) X, Y khéng tuong quan = X, Y doc lap øxvil- p? 42x 1- p? t? = K~ N(x, of); Y~ N(uy, oF) (sb) = ee ——c Ht _— V2n t2x0, tx, y=~ ¥2n0, e) 1) Các phân phối biên: : fe ft 2) X, Y không tương quan nghĩa p = 0, ta có: Giả sử ŒX, Y) có phân phối chuẩn 2-chiều Khi đó: Ties, EY = wy, VX = of; VY = c; Người ta chứng Px,Y = P 105 BÀI TẬP CHƯƠNG IV Y Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị triệu đồng) cặp vợ chồng làm việc với X: thu nhập chổng, Y: thu nhập vợ, kết cho bảng: YT X 10 20 30 40 10 20 - 0,20 | 0,04 | 0,10 | 0,36 | 0,05 | 0 30 40 0,01 0,09 0,10 0 0 0,06 a) Tìm phân phối biên thu nhập nhập trung bình hàng năm họ b) Tìm phân phối thu nhập 20 triệu/năm; thu nhập trung bình họ _ chồng, vợ có chồng -2 10 -1 0,10 0,15 0,10 0,05 0,20 0,10 0,10 0,15 0,05 X a) Lập bảng phân phối biên X, Y Tính lãi cd phan trung bình cho ngân hàng b) Khi Y = 5% tính lãi cổ phần trung bình X c) X Y có độc lập với khơng? Tính øxy vợ; thu thu nhập V(T) d) Lập bảng phân phối xác suất T = X + Y Tính E(T) Cho hàm mật độ đồng thời X Y: Š(z,„xz + fx, y) = a( e) Tìm pxy, từ cho kết luận phụ thuộc thu nhập vợ chồng đ) Lập bảng phân phối xác suất tổng thu nhập cặp vợ chồng Tính trung bình tổng thu nhập (theo cách) Giả sử chọn ngẫu nhiên cầu từ hộp có cầu đỏ, cầu trắng, cầu vàng X; Y tương ứng số cầu đỏ, cầu vàng có cầu chọn a) Lập bảng phân phối đồng thời X Y b) Tìm phân phối biên X Y ce) Tim phân phối số cầu đỏ biết số cầu vàng chọn d) Tim px,y Thống kê lãi cổ phần tính cho 100 USD ngân hàng :0