Giáo trình xác suất thống kê phần 2

PHẦN II THỐNG KÊ TOÁN Thống kê học mơn khoa học có lịch sử phát triển lâu dài từ đơn giản đến phức tạp Từ thời cổ đại người biết ý đến việc ghi chép, kê khai số người, ruộng đất tài sản , đồng thời với phát triển kinh tế, xã hội nghiên cứu phương pháp thu thập số liệu, tính tốn phân tích mặt lượng tượng kinh tế xã hội Thông qua việc phát hiện, phản ánh quy luật mặt lượng tượng, số thống kê giúp cho việc kiểm tra giảm sát, đánh giá chương trình kế hoạch định hướng phát triển kinh tế xã hội tương lai Ngày với thành tựu khoa học tự nhiên đặc biệt đời mơn lý thuyết xác suất có ảnh hưởng lớn đến phát triển mơn thống kê tốn thống kê tốn coi cơng cụ quản lý vĩ mơ quan trọng có vai trị cung cấp thông tin thống kê trung thực khách quan, xác, đầy đủ, kịp thời; sử dụng phương pháp phân tích mặt lượng hoạt động kinh tế xã hội phục vụ việc đánh giá dự báo tình hình, xây dựng sách, kế hoạch phát triển kinh tế xã hội ngắn hạn dài hạn, đồng thời kiểm tra, đánh giá tình hình thực sách, kế hoạch Chương PHƢƠNG PHÁP MẪU THỐNG KÊ § MẪU THỐNG KÊ NGẪU NHIÊN 3.1.1 Điều tra chọn mẫu Để phản ánh đƣợc chất quy luật phát triển tƣợng cần nghiên cứu, số thống kê phải đƣợc thu thập số lớn tƣợng cá biệt coi tổng thể tƣợng cá biệt nhƣ thể hoàn chỉnh cần nghiên cứu Muốn nghiên cứu tổng thể phải dựa sở nghiên cứu tƣợng cá biệt (ta gọi đơn vị tổng thể) Nếu điều tra tồn bộ, thu thập đƣợc số liệu với tất đơn vị tổng thể (còn gọi tập gốc) nhận đƣợc đầy đủ thơng tin, số liệu xác đối tƣợng cần nghiên cứu Tuy nhiên nhiều trƣờng hợp điều khơng thể thực đƣợc, kích thƣớc tập hợp gốc lớn, phần tử tập hợp gốc biến động nhanh không kiểm sốt đƣợc số lƣợng, đặc tính phần tử thay đổi thƣờng xuyên…Cho nên thông thƣờng thực điều tra khơng tồn tức chọn (với phƣơng thức chọn có 59 thể hồn lại, khơng hồn lại) nhóm đơn vị tổng thể từ tập gốc để thu thập số liệu, từ nghiên cứu xử lý đánh giá kết luận cho toàn tập gốc; gọi phương pháp điều tra chọn mẫu thống kê Phƣơng pháp điều tra điều tra chọn mẫu rút ngắn đƣợc thời gian, tiết kiệm cơng sức, giảm chi phí, nhƣng có hạn chế định, phát sinh sai số dựa vào số liệu số đơn vị tổng thể để đánh giá cho toàn tƣợng cần nghiên cứu Tuy nhiên chọn phần tử mẫu cách ngẫu nhiên, độc lập với nhau, xử lý phƣơng pháp xác suất vừa thu đƣợc kết luận cách nhanh chóng, đỡ tốn mà đảm bảo đƣợc độ xác trung thực cho tập hợp gốc 3.1.2 Mẫu ngẫu nhiên Từ tập gốc gồm toàn đơn vị tổng thể chung có kích thƣớc N chọn cách ngẫu nhiên độc lập nhóm gồm n đơn vị tổng thể để thu thập số liệu nghiên cứu ta có mẫu ngẫu nhiên, số phần tử mẫu đƣợc gọi kích thước mẫu Khi với cách chọn ngẫu nhiên có hồn lại số lƣợng mẫu hình thành k  N n mẫu, với cách N! chọn ngẫu nhiên khơng hồn lại có k  mẫu Nhƣ mẫu đƣợc chọn để n! N  n ! điều tra nghiên cứu số lớn số lƣợng mẫu hình thành Chú ý: Do dấu hiệu định lƣợng tƣợng cá biệt thƣờng chịu tác động nhiều yếu tố tất nhiên ngẫu nhiên với mức độ chiều hƣớng khác nhau; thu thập số liệu số tƣợng khó tìm đƣợc chất chung tƣợng Ngƣợc lại nghiên cứu số lớn tƣợng cá biệt, yếu tố ngẫu nhiên bù trừ triệt tiêu quy luật chung tƣợng đƣợc bộc lộ rõ, thƣờng phải chọn kích thƣớc mẫu đủ lớn Giả sử dấu hiệu định lƣợng cần nghiên cứu phần tử tập gốc tổng thể số liệu đƣợc cho biến ngẫu nhiên X , phần tử mẫu biến ngẫu nhiên X1 ; X ; ; X n chọn ngẫu nhiên độc lập từ tổng thể nên biến ngẫu nhiên X1 ; X ; ; X n độc lập với có phân phối xác suất với X ; ta ký hiệu mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  biến ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể X1  x1 ; X  x2 ; ; X n  xn mẫu ngẫu nhiên có giá trị thực nghiệm  x1 , x2 , , xn  § THỐNG KÊ MẪU Để nghiên cứu biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể, sở mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  có đƣợc vài kết luận sơ rời rạc biến ngẫu 60 nhiên gốc X, biến ngẫu nhiên X i có quy luật phân phối xác suất với X nhƣng quy luật thƣờng chƣa đƣợc xác định hoàn toàn Song tổng hợp nhiều biến ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  theo luật số lớn bộc lộ quy luật làm sở để nhận định biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể Việc tổng hợp mẫu  X1 , X , , X n  đƣợc thực dƣới dạng hàm biến ngẫu nhiên mẫu, ký hiệu: Z  g  X1 , X , , X n  đƣợc gọi thống kê mẫu Thống kê mẫu biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên mẫu nhận giá trị thực nghiệm cụ thể X1  x1 ; X  x2 ; ; X n  xn thống kê mẫu nhận giá trị thực nghiệm Ztn  g  x1 , x2 , , xn  Nghiên cứu mẫu ngẫu nhiên sử dụng nhiều dạng thống kê mẫu giá trị để phân tích biểu thị đặc trƣng mẫu, nhƣng chƣơng trình xét kỹ ba thống kê mẫu đặc trƣng có nhiều ứng dụng phân tích thống kê kinh tế, là: Kỳ vọng mẫu, tần suất mẫu, phƣơng sai độ lệch chuẩn mẫu từ suy diễn số thống kê liên quan đến thống kê để đánh giá tham số: Kỳ vọng, xác suất, phƣơng sai độ lệch chuẩn tổng thể chung 3.2.1 Trung bình mẫu 3.2.1.1 Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập hợp gốc X , thống kê mẫu X  n  X i đƣợc gọi trung bình mẫu n i 1 Vì X1 ; X ; ; X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với X , nên trung bình mẫu X biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất với X tính đƣợc kỳ vọng, phƣơng sai X theo kỳ vọng E  X    phƣơng sai V  X    biến ngẫu nhiên gốc X 3.2.1.2 Kỳ vọng trung bình mẫu n 1 n   n  n E X  E   X i   E   X i    E  X i      n i 1  n i 1  n  i 1  n i 1   (3.1) 3.2.1.3 Phƣơng sai trung bình mẫu  Do biến ngẫu nhiên X i , i  1, n  độc lập với nên ta tính đƣợc phƣơng sai trung bình mẫu: n n   1 n  n V X  V   X i   V  X i       X  n i 1 n n n  n i 1  n i 1     (3.2) 61 Chú ý: Trong trƣờng hợp tập hợp gốc có kích thƣớc N nhỏ chọn mẫu theo phƣơng pháp không hồn lại mẫu ngẫu nhiên đƣợc chọn có giá trị đặc trƣng mẫu phản ánh không xác trung thực cho tập gốc Vì tính phƣơng sai trung bình N n mẫu, (thƣờng với trƣờng hợp n ≥ N/10) ta phải nhân thêm với hệ số , N 1 phƣơng sai trung bình mẫu đƣợc tính theo công thức:   V X  N n2 N 1 n (3.3) Cơng thức hồn tồn phù hợp với trƣờng hợp chọn mẫu theo phƣơng pháp có hồn lại, tập gốc có kích thƣớc N lớn nêu phần trên, đó: N n N n2 2  lim  N  N  N  N  n n lim   Với trƣờng hợp mẫu ta chọn tồn tập gốc n = N tức n – N = V X  tức khơng có sai số 3.2.2 Tần suất mẫu 3.2.2.1 Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập gốc biến   ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli X ~ B(1;p), P  A  p P A  q   p , kỳ vọng X E  X   p phƣơng sai X V  X   pq kA (trong k A tần số A ) đƣợc gọi tần suất mẫu, f n biến ngẫu nhiên, tính đƣợc kỳ vọng, phƣơng sai Thống kê mẫu f  3.2.2.2 Kỳ vọng, phƣơng sai tần suất mẫu E  f   p V  f   pq   f   n pq n (3.4) 3.2.3 Phƣơng sai mẫu 1) Phương sai mẫu Cho mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập gốc X Thống kê mẫu S   n  Xi  X n i 1   n X i  ( X )2 đƣợc gọi phương sai mẫu;  n i 1 bậc hai phƣơng sai mẫu S  S đƣợc gọi độ lệch chuẩn mẫu Phƣơng sai mẫu S biến ngẫu nhiên tính đƣợc kỳ vọng phƣơng sai mẫu S theo phƣơng sai V  X    X : 62 1 n  1 n    n   n   n E  S   E   X i2    X i    E   X i2   E   X i2   E   X i X j    n i 1  n i 1   n  i 1  n  i 1  n  i j    n 1 1 n n 1  1 n  1 n    E( X i2 )     E( X i2 )     E( X i X j )   E( X )  E ( X )     n  i 1 n n  n  i 1  n  i j  2) Phương sai mẫu hiệu chỉnh Từ kết tính tốn kỳ vọng phƣơng sai mẫu ta thấy: E S2   n 1  2 n n nhận đƣợc thống kê ký hiệu s '2 n 1 thống kê đƣợc gọi phương sai mẫu hiệu chỉnh Do ta nhân với hệ số hiệu chỉnh s '2  Khi ta có E ( s '2 )   n n S   Xi  X n 1 n  i 1  (3.5) n E (S )   n 1 Căn bậc hai phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh : s '  s '2 đƣợc gọi độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh Ta có: s '  S n s' S   n 1 n n 1 Chú ý: Trong thực tế ta thƣờng sử dụng phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh nhƣng kích thƣớc mẫu n lớn phƣơng sai mẫu phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh có giá trị xấp xỉ nhau, sử dụng phƣơng sai mẫu thay cho phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh Để tính giá trị thực nghiệm kỳ vọng mẫu, độ lệch chuẩn mẫu độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh, ta sử dụng máy tính tay Casio, Analyzis Toolpak Excel § THỐNG KÊ MƠ TẢ Trong thực tế số liệu thu thập đƣợc trình điều tra thống kê phản ánh đƣợc đặc trƣng cá biệt đơn vị tổng thể, có tính chất rời rạc, lẻ tẻ chƣa thể sử dụng đƣợc vào công tác nghiên cứu phân tích thống kê Để thuận tiện cho việc phân tích tính tốn, nhƣng khơng làm thay đổi giá trị đặc trƣng mẫu, ta phải tiến hành tập trung chỉnh lý hệ thống hóa cách khoa học số liệu Đồng thời phải làm cho đặc trƣng riêng biệt đơn vị tổng thể bƣớc đầu chuyển thành đặc trƣng chung toàn tổng thể, làm cho biểu riêng tiêu thức điều tra bƣớc đầu chuyển thành biểu chung đặc điểm tƣợng nghiên cứu Đây giai đoạn tổng hợp thống kê, việc mô tả xếp thu gọn số liệu tính đặc trƣng 63 3.3.1 Bảng thống kê 3.3.1.1 Bảng thực nghiệm đơn giản Mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập hợp gốc X , nhận giá trị thực nghiệm cụ thể X1  x1 ; X  x2 ; ; X n  xn , trƣờng hợp mẫu có kích thƣớc nhỏ ta thƣờng cho giá trị xk mẫu dƣới dạng liệt kê toàn số liệu đƣợc gọi bảng thực nghiệm đơn giản mẫu ngẫu nhiên: x1 Giá tri thực nghiệm x2 xk xn Giá trị thực nghiệm trung bình mẫu X , phƣơng sai mẫu phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh đƣợc tính theo cơng thức: X n  xi ; n i 1 S2  n ( xi  X )2  n i 1 s '2  n ( xi  X )  n  i 1 Ví dụ 3.1: Thống kê tình hình sử dụng lao động 10 xí nghiệp ngành sản xuất ta thu đƣợc số liệu sau: Số l.động 2730 Ta tính đƣợc 200 3000 366 1210 990 880 960 1910 854 S  893,5 s '  941,6 X  1310 ; 3.3.1.2 Bảng thực nghiệm phân lớp thu gọn Trƣờng hợp mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập hợp gốc X, với giá trị thực nghiệm cụ thể xi có nhiều giá trị trùng nhau, ta gọi số lần xuất k lặp lại xi mẫu tần số xi ký hiệu ni ,(i  1, k ),  ni  n i 1 Ta xếp số liệu mẫu dƣới dạng bảng phân lớp thu gọn: Giá trị thực nghiệm Tần số x1 x2 n1 n2 … … xi ni … … xk nk phƣơng sai mẫu phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh đƣợc tính theo cơng thức: X k k k xi ni ; S   ( xi  X )2 ni ; s '2  ( xi  X )2 ni ;   n i 1 n i 1 n  i 1 (3.6) Ví dụ 3.2: Tổng hợp số liệu suất lao động (tính theo sản phẩm) 40 cơng nhân xí nghiệp ta thu đƣợc: 64 Số sản phẩm 50 55 60 65 70 72 Số cơng nhân 10 12 Ta tính đƣợc: X  62,775 ; S  6,223 s '  6,302 Ví dụ 3.3: Điều tra suất lúa X (tạ/ha) 365 ruộng huyện ta thu đƣợc số liệu sau: Xi 25 30 33 34 35 36 37 39 40 ni 13 38 74 106 85 30 10 Ta tính đƣợc: X  34,795 ; S  2,078 s '  2,0805 3.3.1.3 Bảng thực nghiệm phân lớp theo khoảng Trƣờng hợp mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập hợp gốc X có kích thƣớc n lớn đƣợc cho với nhiều giá trị khác xi , trƣờng hợp X biến ngẫu nhiên liên tục, ta phân chia giá trị số liệu mẫu thành nhóm dạng khoảng (Độ dài khoảng khơng nhau, nhƣng để đơn giản tính tốn thơng thƣờng ta chia thành khoảng cách nhau), với tần số giá trị   n  n k khoảng tƣơng ứng ni, i  1; k ;  i 1  , độ dài khoảng cách đƣợc ký hiệu i h  xi  xi 1 , i  1; k ; Khi ta có bảng phân lớp dạng khoảng: Khoảng cách  x0 ; x1   x1; x2  …  xi 1; xi  …  xk 1; xk  n1 n2 … ni … nk Tần số Để tính toán giá trị đặc trƣng mẫu ta chọn giá trị đại diện cho khoảng (thƣờng x  xi 1 chọn giá trị giá trị trung tâm khoảng tƣơng ứng), ký hiệu xi*  i ta đƣa bảng phân lớp dạng thu gọn: Khoảng cách  x0 ; x1   x1; x2  Giá trị trung tâm  x x Tần số n1 n2 …   xi 1; xi  …  i xk x … ni  xk 1; xk  … nk Giá trị thực nghiệm trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh đƣợc tính theo cơng thức: X k   x i ni ; n i 1 S2  k  k  ( x i  X )2 ni s '2    ( x i  X )2 ni n i 1 n  i 1 (3.7) 65 Ví dụ 3.4: Điều tra khối lƣợng cá đánh đƣợc X (tạ) 48 thuyền đánh cá ta thu đƣợc số liệu sau: Xi 0;25  25;50 50;75 75;100 100;125 ni 13 16 Chọn giá trị đại diện cho khoảng đƣa bảng phân lớp thu gọn : 0;25  25;50 50;75 75;100 100;125 x 12,5 37,5 50 62,5 75 ni 13 16 Xi  i Từ ta tính đƣợc: X  47,9167 ; S  16,989 s '  17,169 Ví dụ 3.5: Một cơng ty quảng cáo sản phẩm lên truyền thong sau thu thập thong tin từ 50 ngƣời xem số phần trăm nội dung mà họ nhớ đƣợc X (%) kết thu đƣợc số liệu sau: X(%) [0;10) [10;20) [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) [60;70) [70;80) ni 10 12 Chọn giá trị đại diện cho khoảng đƣa bảng phân lớp thu gọn : X (%) xi [0;10) [10;20) [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) [60;70) [70;80) 15 25 35 45 55 65 75 ni 10 12 Từ ta tính đƣợc: X  52,4 ; S  18,42 s '  18,605 3.3.2 Đồ thị thống kê Ngồi phƣơng pháp mơ tả dạng bảng, cịn mơ tả số liệu mẫu ngẫu nhiên cách trực quan hình học dƣới dạng biểu đồ đồ thị 3.3.2.1 Biểu đồ hình cột Biểu đồ hình cột tần số hình bậc thang đƣợc tạo nên nhiều hình chữ n nhật có đáy [ xi ; xi 1 ] chiều cao i , (i  1,2, , k ) h Ví dụ 3.6: Biểu đồ hình cột số hộ nông dân vay vốn ngân hàng 66 3.3.2.2 Đa giác tần số Đa giác tần số đƣờng gấp khúc nối điểm ( x1 ; n1 ); ( x2 ; n2 ); ; ( xk ; nk ) mặt phẳng Ví dụ 3.7: Đa giác tần số diện tích, suất sản lƣợng trồng lạc giới 3.3.2.3 Biểu đồ hình trịn Biểu đồ dƣới dạng hình trịn đƣợc chia thành hình quạt thƣờng có tỉ lệ đƣợc tính theo % Ví dụ 3.8: Biểu đồ hình trịn cấu tổng sản phẩm quốc nội 67 § PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA CÁC THỐNG KÊ MẪU Nghiên cứu mối quan hệ tổng thể mẫu thống kê ta thấy quy luật phân phối xác suất thống kê đặc trƣng mẫu phản ánh mối liên hệ chặt chẽ tham số mẫu với tham số tƣơng ứng tổng thể Trong thực tế kết luận thu đƣợc phân phối xác suất thống kê đặc trƣng mẫu đƣợc sử dụng suy diễn quy nạp thống kê Trong phần hệ thống số thống kê đặc trƣng liên quan đến trung bình mẫu tần suất mẫu đƣợc sử dụng nhiều tốn phân tích thống kê kinh tế 3.4.1 Thống kê với mẫu 1) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn X ~ N(𝜇; 𝜎 ) mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập gốc X , ta có: a) Z  b) Z  X   n có phân phối chuẩn tắc: Z ~ N(0;1) X  X  n n  có phân phối Student với (n – 1) bậc tự do: s' S Z ~ t(n – 1) 2) Nếu mẫu ngẫu nhiên  X1 , X , , X n  đƣợc chọn từ tập gốc X khơng có giả thiết phân phối chuẩn, nhƣng với kích thƣớc mẫu n lớn ta có: a) Z  b) Z  68 X   L  N  0;1 n có phân phối tiệm cận chuẩn Z  X  L  N  0;1 n có phân phối tiệm cận chuẩn Z  s' 6.1.2 Hệ số tƣơng quan mẫu Giả sử ta có mẫu quan sát X Y (xi, yi), i = 1, 2,…, n Khi hệ số tƣơng quan mẫu ρ(X, Y) đƣợc ƣớc lƣợng bởi: r n   xi  x  yi  y  n i 1 n  xi  x   n i 1 n  yi  y   n i 1 n  n  n  n xi yi    xi   yi  i 1  i 1  i 1     n xi2    xi  i 1  i 1  n n   n yi2    yi  i 1  i 1  n k Trƣờng hợp mẫu thu gọn: (xi, yi), ni, i = 1, 2,…, k với n i 1 k  k  k  n ni xi yi    ni xi   ni yi  i 1  i 1  i 1  r   n ni xi2    ni xi  i 1  i 1  k k   n ni yi2    ni yi  i 1  i 1  k k i n (6.1)  n, (6.2) Ví dụ 6.1: Theo dõi mức lãi suất (Y) tỉ lệ lạm phát (X) số nƣớc, ta có số liệu sau: Y X 17,5 14,2 15,6 11,7 9,8 6,4 5,3 2,1 7,9 4,8 10,0 8,1 19,2 15,4 13,1 9,8 Tính hệ số tƣơng quan mẫu Giải Áp dụng cơng thức (6.2) ta có: n = 8; ∑ x = 72,5; ∑ y = 98,4; ∑ x2 = 805,75; ∑ y2 = 1376,4; ∑ xy = 1047,85; n(∑ xy) – (∑ x)(∑ y) = 8.1047,85 – 72,5.98,4 = 1248,8; n∑ x2 – (∑ x)2 = 8.805,75 – 72,52 = 1189,75; n∑ y2 – (∑ y)2 = 8.1376,4 – 98,42 = 1328,64; Cuối ta có: r  1248,8 1189,75 1328,64  0,993256 Nhƣ mức tƣơng quan đồng biến gần nhƣ hoàn hảo mức lãi suất tỉ lệ lạm phát Chú ý, cách tính theo cơng thức nhƣ trên, ta cịn dùng máy tính phần mềm chuyên dụng để tính hệ số tƣơng quan Ta biểu diễn mối tƣơng quan X Y mặt phẳng Mỗi số liệu (xi, yi) đƣợc biểu diễn điểm Mi(xi, yi) hệ tọa độ Oxy Một mẫu kích thƣớc n đƣợc 118 biểu diễn tập hợp n điểm, gọi đám mây điểm (scatterplot) Nếu điểm tụ tập xung quanh đƣờng thẳng hệ số tƣơng quan |r| có giá trị tuyệt đối gần 1, nghĩa biến ngẫu nhiên có tƣơng quan tuyến tính mạnh Nếu đám mây điểm nằm rải rác tụ tập quanh đƣờng cong hệ số tƣơng quan |r| có giá trị tuyệt đối bé, hai biến khơng có mối tƣơng quan có nhƣng khơng phải tƣơng quan tuyến tính (xem Hình 8) Hình Đám mây điểm a) Dữ liệu có tƣơng quan tuyến tính yếu b) Dữ liệu có tƣơng quan tuyến tính mạnh 6.1.3 Kiểm định giả thuyết cho hệ số tƣơng quan Ta xét toán kiểm định giả thuyết liệu biến ngẫu nhiên X Y có tƣơng quan tuyến tính hay khơng, tức toán kiểm định với giả thuyết H0: “X Y khơng có tƣơng quan tuyến tính”, ρ(X, Y) = với đối thuyết H1: “X Y có tƣơng quan tuyến tính”, ρ(X, Y) ≠ Định lí Giả sử X Y có phân bố chuẩn đồng thời Khi H0 thống kê: T r sr có phân bố Student với n – bậc tự do, sr  1  r   n   Thành thử bác bỏ H0 T > tn – 2(α/2), với tn – 2(α/2) tra bảng phân phối Student Ví dụ 6.2: Tiếp ví dụ 6.1 (mục 6.1.2.) ta có n = sr  1  r   n    (1  0,9932562 ) (8  2)  0,047  T  r sr  0,993256 / 0,047  20,984  t6 (0,025)  2,447; 119 Vậy bác bỏ H0 kết luận có tƣơng quan tuyến tính X Y với mức ý nghĩa α = 0,05 Chú ý Đối với toán kiểm định giả thuyết H0 : ρ(X, Y) = ρ0 với đối thuyết H1 : ρ(X, Y) ≠ ρ0, ρ0 ≠ cho trƣớc, tiến hành theo bƣớc sau: u  u0 1 r 1  0 ; u0  ln ; s ; T ; • Tính u  ln 1 r  0 s n3 • Bác bỏ H0 |T| > u(α/2) Ví dụ 6.3: Gọi X lƣợng phân NPK đƣợc dùng bón ruộng vụ (từ đến lần), đơn vị kg, Y suất lúa/sào Thống kê 30 hộ nông dân ta có số liệu sau: xi yi ni 40 270 40 280 50 280 50 290 50 300 60 300 60 310 60 320 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu r b) Kiểm tra giả thuyết cho ρ = 0,90 với mức ý nghĩa 0,05 Giải a) ∑ nx = 1520; ∑ ny = 8800; ∑ nx2 = 78800; ∑ ny2 = 2587400; ∑ nxy = 448800; r 30.448800  1520.8800 30.78800  15202 30.2587400  88002  0,890973 Chứng tỏ hai đại lƣợng suất lúa lƣợng phân bón NPK có phụ thuộc tuyến tính chặt, phụ thuộc đồng biến, nghĩa lƣợng phân bón tăng từ 35 kg lên 65 kg ta khẳng định suất lúa tăng (Cịn lƣợng phân bón ngồi khoảng (35; 65) ta chƣa có thơng tin; chí q nhiều phân bón lúa tốt mà hạt) b) Ta có r = 0,890973; ρ0 = 0,90; α = 0,05; u(0,025) = 1,96; u  u0 1 r 1  0 u  ln  1,426626; u0  ln  1,472219; s  ;T   0,23691; 1 r  0 s 27 Do | T | = |- 0,23691| < 1,96 = u(0,025) nên ta chấp nhận H0: hệ số tƣơng quan X Y 0,90; độ tin cậy đến 95% Tƣơng quan nhân Khái niệm nhân khái niệm trung tâm khoa học Với hai tƣợng có tƣơng quan với nhau, cần lí giải xem ngun nhân, hậu Chẳng hạn nhiễm vi rút mắc bệnh cúm hai tƣợng có quan hệ với nhau, nhiễm vi rút nguyên nhân, mắc bệnh cúm hậu 120 Mối tƣơng quan tuyến tính hai biến X Y biểu thị qua hệ số tƣơng quan số tốn học, khơng biểu thị mối quan hệ nhân hai biến Khi biến X tăng hay giảm biến Y có xu hƣớng tăng hay giảm khơng có nghĩa biến ngun nhân, biến hậu mà có chúng liên quan đến biến thứ ba (gọi biến giấu mặt) Sự giải thích đắn lí tƣơng quan hai biến địi hỏi kiến thức tổng hợp, đơi nằm ngồi Tốn học Thống kê Chẳng hạn ta có ví dụ sau: theo số liệu thống kê từ năm 1961 đến 1977, hệ số tƣơng quan lƣơng giáo viên giá rƣợu dƣơng cao Nhƣng kết luận tăng (hay giảm) lƣơng giáo viên nguyên nhân cho tăng (hay giảm) giá rƣợu hay ngƣợc lại Để giải thích tƣơng quan ta cần tìm biến giấu mặt nguyên nhân cho tăng lƣơng cho tăng giá rƣợu Biến giấu mặt lạm phát, dẫn tới việc tăng lƣơng cho giáo viên tăng giá rƣợu § HỒI QUI TUYẾN TÍNH ĐƠN 6.2.1 Đƣờng thẳng hồi qui Giả sử biến ngẫu nhiên Y phụ thuộc biến X theo mơ hình tuyến tính: Y = αX + β + ξ (A) α, β số, ξ biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với kì vọng μ = phƣơng sai σ2 Khi ta nói Y có hồi qui tuyến tính theo X đƣờng thẳng y = αx + β đƣợc gọi đường hồi qui lí thuyết Y theo X α, β đƣợc gọi hệ số hồi qui lí thuyết X đƣợc gọi biến giải thích, cịn Y gọi biến phụ thuộc Khi X nhận giá trị X = x biến phụ thuộc Y có kì vọng hàm tuyến tính x: E(Y | X = x) = αx + β Vấn đề đặt ra: liệu mô hình tuyến tính (A) có phù hợp khơng? Biểu diễn theo hình học, từ mẫu liệu (xi, yi), i = 1, 2,…, n X, Y ta có đám mây điểm (scatterplot) (xem Hình 8) Ta cần xem điểm có tụ tập quanh đƣờng thẳng hay khơng? Giả sử Y có hồi qui tuyến tính theo X Bài toán cần ƣớc lƣợng hệ số hồi qui lí thuyết α, β dựa mẫu liệu thu đƣợc Gọi a, b ƣớc lƣợng α, β Bằng phƣơng pháp bỉnh phƣơng bé [1], ta tìm đƣợc: 121 n a  x i 1  x  yi  y  n  x i 1 i  x n b  y  ax  n  n  n  n xi yi    xi   yi   i 1  i 1  ,  i 1 n  n  n  xi    xi  i 1  i 1  (6.3) n  yi  a xi i 1 i 1 n (6.4) Từ cơng thức tính r a, ta có liên hệ nhƣ sau: ra sX s ar Y , sY sX (6.5) sX, sY độ lệch chuẩn mẫu Đƣờng thẳng y = ax + b đƣợc gọi đường hồi qui thực nghiệm Ta thấy tất đƣờng thẳng d mặt phẳng, đƣờng thẳng hồi qui y = ax + b có khoảng cách tới đám mây điểm, tức tổng bình phƣơng khoảng cách từ điểm Mi(xi, yi) tới đƣờng thẳng d bé • Ngồi việc ƣớc lƣợng hệ số hồi qui lí thuyết, ta cịn quan tâm tới ƣớc lƣợng phƣơng sai σ mơ hình hồi qui: Y = αX + β + ξ Vì σ2 = Vξ = E(Y – αX – β)2 nên đo mức độ phân tán Y quanh đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết y = αX + β Ƣớc lƣợng cho phƣơng sai σ2, kí hiệu sY2 , X đƣợc tính cơng thức: sY2 , X  n n n  n   yi  axi  b      yi  a xi yi  b yi  n  i 1 n   i 1 i 1 i 1  (6.6) Đại lƣợng sY , X  sY2 , X đƣợc gọi sai số tiêu chuẩn (Standard Error) đƣờng thẳng hồi qui Ví dụ 6.4: Tiếp ví dụ 6.1 (mục 6.1.2.) Ta xây dựng phƣơng trình đƣờng thẳng hồi qui dự báo giá trị mức lãi suất tỉ lệ lạm phát 22,5 Từ công thức (hoặc dùng máy tính) ta tính đƣợc kết sau: x  9,0625; y  12,3; xy  130,9813; s X2  18,59; s X  4,3116; sY2  20,76; sY  4,56;  x  72,5;  y  98,4;  xy  1047,85;  x 122  805,75;  y  1376,4; a 8.1047,85  72,5.98,4  1,0496; 8.805,75  72,52 a  0,99 4,56 ; b  12,3  1,05.9,0625  2,7877 4,3115 Vậy ta có phƣơng trình đƣờng thẳng hồi qui thực nghiệm: y = 1,0496x + 2,7877 Ƣớc lƣợng cho phƣơng sai: sY2 , X  0,372  sY , X  0,609973 Với tỉ lệ lạm phát x0 = 22,5 mức lãi suất ngân hàng là: y0 = 1,05.22,5 + 2,79 = 26,415 6.2.2 Kiểm định giả thuyết cho hệ số hồi qui Vấn đề quan trọng cần kiểm định xem biến giải thích X có thực giải thích biến phụ thuộc Y khơng, tức kiểm định giả thuyết H0: “Hệ số góc α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết 0” Nếu H0 Y      EY   không phụ thuộc vào X Khi Y khơng đƣợc giải thích X Việc xây dựng qui tắc kiểm định dựa định lí sau: Định lí Giả sử X Y có phân bố chuẩn đồng thời Khi H0 thống kê T a sa có phân bố Student với n – bậc tự do, đó: sa  sa2 với: sa2  sY2 , X n  x i 1 i  x  sY2 , X 1 n  x    xi   n  i 1  i 1 n i Nếu |T | > tn – (α/2) bác bỏ H0 Ví dụ 6.5: Tiếp ví dụ mục 6.1.2.: sY2 , X  0,37207;  x  72,5;  x  805,75; x   805,75  (72,5)2  148,71875; sa  0,372 148,71875  0,050018;   n T  a sa  1,04963 0,05  20,98502; T  t (0,025)  2,447 x  Vậy bác bỏ H0, ta kết luận hệ số α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết khác (biến X thực giải thích đƣợc biến Y) Mức ý nghĩa 5% 123 Câu hỏi gợi ý nội dung trọng tâm ôn tập Chƣơng Thế hệ số tƣơng quan lí thuyết, định nghĩa, ý nghĩa Hệ số tƣơng quan mẫu: khái niệm, công thức tính Bài tốn kiểm định giả thuyết cho hệ số tƣơng quan Qui tắc kiểm định Thế đƣờng thẳng hồi qui (cho hồi qui tuyến tính đơn) Biểu diễn hình học mặt phẳng tọa độ Oxy Cách xây dựng đƣờng thẳng hồi qui tuyến tính thực nghiệm ƣớc lƣợng phƣơng sai mơ hình hồi qui Bài toán kiểm định giả thuyết cho hệ số hồi qui 124 BÀI TẬP CHƢƠNG Bài Vẽ đám mây điểm tính hệ số tƣơng quan mẫu số liệu sau: a) x y 10 20 35 10 50 11 65 b) x y 50 42 10 40 12 35 15 33 22 28 Bài Một trƣờng đại học thu thập số liệu số chứng mà sinh viên đăng kí học số học nhà tuần: x (số học) y (số chứng chỉ) 20 25 12 13 30 12 50 15 20 16 23 16 a) Tính hệ số tƣơng quan b) Với mức ý nghĩa 5% có tƣơng quan tuyến tính hai biến X : “số học” Y : “số chứng chỉ” hay không? Bài Một nhà xã hội học quan tâm tới vấn đề liệu có mối quan hệ thời gian làm thêm sinh viên với điểm thi trƣờng hay không Khảo sát 10 sinh viên cho kết sau: x (số làm thêm) y (điểm thi) 84 60 56 12 73 63 14 49 10 68 13 49 11 69 53 a) Tính hệ số tƣơng quan b) Tìm hàm hồi qui biến phụ thuộc Y: “điểm thi” theo biến giải thích X: “số làm thêm” c) Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết H0: “Hệ số góc α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết Y theo X 0” 125 Bài Một đài truyền hình tiến hành nghiên cứu để xác lập xem có mối tƣơng quan giá sản xuất chƣơng trình truyền hình 30 phút với chất lƣợng chƣơng trình thơng qua điểm trung bình mà đài nhận đƣợc từ ngƣời xem Kết nhƣ sau: x y 1,2 3,3 1,6 3,9 1,8 5,7 2,5 4,2 2,7 4,5 3,0 8,2 3,5 6,1 4,4 4,6 x giá sản xuất chƣơng trình truyền hình 30 phút (đơn vị trăm nghìn USD), y điểm trung bình mà đài nhận đƣợc từ ngƣời xem a) Tính hệ số tƣơng quan b) Với mức ý nghĩa 1% có tƣơng quan tuyến tính giá sản xuất chất lƣợng chƣơng trình truyền hình hay khơng? Bài Một cơng ti muốn biết hiệu việc quảng cáo công ti với doanh số bán hàng Theo dõi tháng kết thu đƣợc nhƣ sau: x y 15 10 20 15 30 22 39 x số tiền chi cho quảng cáo (đơn vị trăm USD) y doanh số bán hàng (đơn vị nghìn USD) a) Tính hệ số tƣơng quan X: “số tiền chi cho quảng cáo” Y: “doanh số bán hàng” b) Tìm đƣờng hồi qui biến phụ thuộc Y Bài Đo đƣờng kính chiều cao 20 ta thu đƣợc mẫu số liệu sau: x 2,3 2,5 2,6 3,1 3,4 3,7 7,3 3,9 4,1 y 4 6 14 12 x 4,1 4,2 4,4 4,7 5,1 5,5 5,8 6,2 6,9 6,9 y 10 13 11 11 16 x đƣờng kính y chiều cao (đơn vị m) a) Tìm đƣờng hồi qui biến phụ thuộc Y: “chiều cao” theo biến giải thích X: “đƣờng kính” 126 b) Tính sai số tiêu chuẩn đƣờng hồi qui c) Ƣớc lƣợng chiều cao có đƣờng kính 4,3 m d) Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết H0: “Hệ số góc α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết Y theo X 0” 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất Thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Năm 2007 [2] Trần Ngọc Phác – Trần Thị Kim Thu, Giáo trình Lý thuyết Thống kê, Nhà xuất Thống kê, Hà Nội, 2006 [3] Tống Đình Quỳ, Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Đặng Hùng Thắng (chủ biên), Trần Mạnh Cƣờng, Thống kê cho Khoa học xã hội Khoa học sống, Nà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2019 [5] Nguyễn Cao Văn (Chủ biên) – Trần Thái Ninh, Lý thuyết Xác suất Thống kê toán, Nhà xuất Giáo dục, 2002 128 PHỤ LỤC 𝝀𝒌 Bảng GIÁ TRỊ PHÂN PHỐI POISSON P(𝝀) P(X = k) = 𝒌! 𝒆−𝝀 λ 10 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003 0.0001 0.0000 0.3679 0.2707 0.1494 0.0733 0.0337 0.0149 0.0064 0.0027 0.0011 0.0005 0.1839 0.2707 0.2240 0.1465 0.0842 0.0446 0.0223 0.0107 0.0050 0.0023 0.0613 0.1804 0.2240 0.1954 0.1404 0.0892 0.0521 0.0286 0.0150 0.0076 0.0153 0.0902 0.1680 0.1954 0.1755 0.1339 0.0912 0.0573 0.0337 0.0189 0.0031 0.0361 0.1008 0.1563 0.1755 0.1606 0.1277 0.0916 0.0607 0.0378 0.0005 0.0120 0.0504 0.1042 0.1462 0.1606 0.1490 0.1221 0.0911 0.0631 0.0001 0.0034 0.0216 0.0595 0.1044 0.1377 0.1490 0.1396 0.1171 0.0901 0.0000 0.0009 0.0081 0.0298 0.0653 0.1033 0.1304 0.1396 0.1318 0.1126 0.0002 0.0027 0.0132 0.0363 0.0688 0.1014 0.1241 0.1318 0.1251 10 0.0000 0.0008 0.0053 0.0181 0.0413 0.0710 0.0993 0.1186 0.1251 11 0.0002 0.0019 0.0082 0.0225 0.0452 0.0722 0.0970 0.1137 12 0.0001 0.0006 0.0034 0.0113 0.0263 0.0481 0.0728 0.0948 13 0.0000 0.0002 0.0013 0.0052 0.0142 0.0296 0.0504 0.0729 14 0.0001 0.0005 0.0022 0.0071 0.0169 0.0324 0.0521 15 0.0000 0.0002 0.0009 0.0033 0.0090 0.0194 0.0347 0.0000 0.0003 0.0014 0.0045 0.0109 0.0217 17 0.0001 0.0006 0.0021 0.0058 0.0128 18 0.0000 0.0002 0.0009 0.0029 0.0071 19 0.0001 0.0004 0.0014 0.0037 20 0.0000 0.0002 0.0006 0.0019 21 0.0001 0.0003 0.0009 22 0.0000 0.0001 0.0004 0.0000 0.0002 k 16 23 24 0.0001 25 0.0000 129 Bảng GIÁ TRỊ HÀM PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC   u   2 u e  x2 dx  P  X  u   u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 130 Bảng GIÁ TRỊ TỚI HẠN PHÂN PHỐI CHUẨN P  X  u    u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0013 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0013 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0013 0.0009 0.0006 0.0005 0.0003 0.0002 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0012 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0002 3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.7 3.8 3.9 4.0 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 131   Bảng GIÁ TRỊ TỚI HẠN PHÂN PHỐI STUDENT P X  t n     α 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 240 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.866 0.865 0.863 0.862 0.861 0.860 0.859 0.858 0.858 0.857 0.856 0.856 0.855 0.855 0.854 0.854 0.851 0.849 0.848 0.847 0.846 0.846 0.845 0.845 0.843 1.963 1.386 1.250 1.190 1.156 1.134 1.119 1.108 1.100 1.093 1.088 1.083 1.079 1.076 1.074 1.071 1.069 1.067 1.066 1.064 1.063 1.061 1.060 1.059 1.058 1.058 1.057 1.056 1.055 1.055 1.050 1.047 1.045 1.044 1.043 1.042 1.042 1.041 1.039 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.299 1.296 1.294 1.292 1.291 1.290 1.289 1.285 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.658 1.651 12.71 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.980 1.970 31.82 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.403 2.390 2.381 2.374 2.368 2.364 2.358 2.342 63.66 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.617 2.596 127.3 14.09 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.030 2.971 2.937 2.915 2.899 2.887 2.878 2.871 2.860 2.833 318.3 22.33 10.22 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.261 3.232 3.211 3.195 3.183 3.174 3.160 3.125 ∞ 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 n 132 ... 23 ,8 20 ,8 25 ,3 21 ,3 19,7 20 ,3 22 ,8 20 ,7 21 ,5 24 ,2 23,6 21 ,9 22 ,5 23 ,1 23 ,8 19,0 22 ,0 21 ,2 19,9 20 ,7 25 ,1 20 ,7 23 ,8 24 ,2 23,8 25 ,0 20 ,9 23 ,3 24 ,1 24 ,3 19,5 25 ,0 20 ,9 19,8 21 ,1 24 ,1 22 ,2 22, 9 23 ,9... ch trình: X (pound) Cân nặng sau ch trình: X (pound) Số cân giảm D  X1  X (pound) 189 170 19 20 2 22 0 179 20 3 23 17 20 7 194 177 193 20 2 20 8 23 3 1 92 1 72 161 174 187 186 20 4 15 22 16 19 15 22 29 ... 23 ,9 20 ,9 24 ,2 22, 8 23 ,5 22 ,8 21 ,6 21 ,8 20 ,1 19,5 23 ,8 22 ,7 Hãy mô tả lại số liệu theo dạng bảng phân khoảng (7 khoảng cách nhau) tính kỳ vọng X phƣơng sai mẫu S , phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh s ''2