Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
5.4. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ
Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân bố Bernoulli với tham sốplà tỉ lệ phần tử trong tổng thể có tính chất A nào đó. Trong phần này ta sẽ xây dựng công thức khoảng tin cậy cho p với mức ý nghĩa α.
Gọi (X1, X2, ..., Xn) mẫu ngẫu nhiên của X. Đặt Pˆ = X1+X2+...+Xn
n .
Theo Định lí giới hạn trung tâm, với n đủ lớn ta có Pˆ−p
pp(1−p)
√n
có xấp xỉ phân phối chuẩn tắcN(0; 1). Nên vớiα ∈(0; 1)cho trước, lấyzα
2 = Φ−1(1−α2), ta có
P −zα
2 < Pˆ−p pp(1−p)
√n < zα
2
!
≈1−α.
Tương đương với
P Pˆ−zα
2
rp(1−p)
n < p <Pˆ+zα
2
rp(1−p) n
!
≈1−α
Mặt khác do E(X) =p nên Pˆ là một ước lượng của p. Vì vậy ta có P
Pˆ−zα
2
s
Pˆ(1−Pˆ)
n < p < X+zα
2
s
Pˆ(1−Pˆ) n
≈1−α.
Vì vậy ta định nghĩa khoảng tin cậy cho p như sau.
Nếupˆ=k/n là một ước lượng của tỉ lệptừ 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n thì với độ tin cậy1−α, khoảng tin cậy cho p là
ˆ p−zα
2
rp(1ˆ −p)ˆ
n < p <pˆ+zα
2
rp(1ˆ −p)ˆ n . Ước lượng trên tốt nhất khi k ≥10và n−k≥10.
Ví dụ 5.10. Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy biết rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy có 10 phế phẩm.
Giải.
k= 10 n= 100 α= 0,05
⇒
pˆ= 0,1 zα
2 =z0,025= 1,96 =zα
2
rp(1ˆ −p)ˆ
n = 1,96
r0,1.0,9
100 = 0,059.
Với độ tin cậy 95%, khoảng tin cậy cho tỉ lệ phế phẩm của nhà máy là 0,041 < p <0,159.
Khoảng tin cậy một phía
Chopˆ=k/n là một ước lượng của tỉ lệp từ một mẫu ngẫu nhiên kích thướcn. với độ tin cậy1−α, khoảng tin cậy tối đa cho p là
p < pˆ+zα
rp(1ˆ −p)ˆ n ; với độ tin cậy1−α, khoảng tin cậy tối thiểu cho p là
p >pˆ−z(α)
rp(1ˆ −p)ˆ n .
Nội dung trọng tâm Chương 5
1. Khoảng tin cậy kì vọng của phân bố chuẩn.
i) Đã biết phương sai.
x−zα
2
√σ
n < à < x+zα
2
√σ n. ii) Chưa biết phương sai.
x−tn−1;α
2
√s
n < à < x+tn−1;α
2
√s n, 2. Khoảng tin cậy tỉ lệ.
ˆ p−zα
2
rp(1ˆ −p)ˆ
n < p <pˆ+zα
2
rp(1ˆ −p)ˆ n . BÀI TẬP
. 5.1. Công ty bao bì HP mới nhập về 1 lô hàng gồm 20.000 bao hạt nhựa của một nhà cung cấp quen. Dữ liệu quá khứ cho thấy khối lượng của các bao hạt nhựa này có phân bố chuẩn với phương sai 36(kg2). Chọn ngẫu nhiên 25 bao hạt nhựa từ lô hàng trên để cân và thu được giá trị trung bình mẫu là 96 kg/bao Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy khối lượng trung bình của 20.000 bao hạt nhựa này.
. 5.2. Doanh số của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 2 triệu đồng/tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh số của 600 cửa hàng có quy mô tương tự nhau tìm được doanh số trung bình là 8,5 triệu. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy doanh số trung bình của các cửa hàng thuộc quy mô đó.
. 5.3. Cho một ô tô chạy thử 32 lần trên đoạn đường từ A đến B người ta ghi nhận được lượng xăng hao phí như sau:
Lượng xăng hao phí (lít) Tần số
[9,6; 9,8) 3
[9,8; 10,0) 7
[10,0; 10,2) 10
[10,2; 10,4) 8
[10,4; 10,6) 4
a) Vẽ biểu đồ tần số kiểm tra phân bố chuẩn.
b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy lượng xăng hao phí trung bình của xe trên chạy từ A đến B.
. 5.4. Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu nhiên quá trình gia công 25 chi tiết và thu được số liệu sau:
Thời gian gia công (phút) Tần số
[15; 17) 1
[17; 19) 3
[19; 21) 4
[21; 23) 12
[23; 25) 3
[25; 27) 2
a) Vẽ biểu đồ tần số kiểm tra phân bố chuẩn.
b) Hãy ước lượng khoảng tin cậy thời gian gia công trung bình một chi tiếu máy với độ tin cậy 1−α= 0,95.
. 5.5. Để ước lượng kích thước trung bình của chi tiết máy được gia công bởi của một máy gia công, người ta lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết do máy đó gia công, đem đo và thu được các kích thước như sau:
24,1 27,2 26,7 23,6 26,4
25,8 27,3 23,2 26,9 27,1
22,7 26,9 24,8 24,0 23,4
24,5 26,1 25,9 25,4 22,9
26,4 25,4 23,3 23,0 24,3
a) Vẽ biểu đồ tần số, biểu đồ xác suất chuẩn để kiểm tra phân bố chuẩn.
b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy kích thước trung bình các chi tiết do máy đó gia công.
. 5.6. Một nghiên cứu lương kĩ sư tốt nghiệp trường đại học Bách khoa tốt nghiệp sau 3 năm, 100 kĩ sư được chọn ngẫu nhiên có kết quả như sau (đơn vị: triệu đồng):
12,3 5,1 9,2 14,3 10,2 5,9 14,7 12,8 14,7 11,5 15,6 11,8 12,0 11,9 13,7 9,7 11,6 14,1 12,8 9,6 12,1 12,6 4,0 11,2 10,7 11,3 13,9 6,8 13,4 10,1 10,5 9,6
a) Vẽ biểu đồ tần số, biểu đồ xác suất chuẩn.
b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy lương trung bình của kĩ sư tốt nghiệp sau 3 năm.
. 5.7. Hãy ước lượng khoảng tin cậy tỷ lệ chính phẩm của một nhà máy với độ tin cậy 0,95 biết rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy có 10 phế phẩm.
. 5.8. Mở 200 hộp của một kho đồ hộp, người ta thấy có 28 hộp bị biến chất. Với độ tin cậy 0,95, hãy ước lượng khoảng tin cậy tỷ lệ đồ hộp biến chất ở trong kho.
. 5.9. Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 90%, hãy tìm khoảng tin cậy tỉ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A.
. 5.10. Nhà máy A sản xuất 1 loại sản phẩm. Để ước lượng tỉ lệ thành phẩm người ta chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm và chia thành 40 nhóm để kiểm tra. Kết quả thu được như sau
Số thành phẩm trong nhóm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số nhóm 2 1 3 6 8 10 4 5 1 0
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng tin cậy tỉ lệ thành phẩm của nhà máy.
Chương 6