Biến cố và quan hệ giữa các biến cỗ
Phép thử và biến cố
Trong toán học, một số khái niệm không có định nghĩa chính xác mà chỉ có thể được mô tả thông qua hình ảnh hoặc tư duy trực giác Ví dụ, trong hình học, các khái niệm như điểm, đường thẳng và mặt phẳng là những khái niệm không thể định nghĩa một cách cụ thể.
Trong xác suất, phép thử là khái niệm cơ bản, thường được hiểu là việc thực hiện thí nghiệm hoặc quan sát hiện tượng Phép thử được xem là ngẫu nhiên khi chúng ta không thể dự đoán chính xác kết quả sẽ xảy ra.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là không gian mẫu, ký hiệu ©
Khi thực hiện phép thử tung ngẫu nhiên một con xúc xắc, chúng ta quan sát số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc Kết quả có thể là 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 Không gian mẫu được ký hiệu là @ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
|@| = 6 là số phần tử của @ oO
Tap 4 C @ được gọi là biến cố, và ta thường dùng chữ cái in hoa A, 8,C, để ký hiệu biến cô
Trong phép thử tung một đồng xu, không gian mẫu được xác định là @ = {S, W}, với S đại diện cho mặt ngửa và W cho mặt sấp của đồng xu Biến cố A = {W} được gọi là "đồng xu sấp".
Ví dụ 1.8 Thực hiện phép thử tung lần lượt 1 đồng xu 8 lần, ta có không gian mẫu 9 gồm có:
@s5=NSS; we=NSN; œứ;=NNS; œạ =NNN
Nếu ta đặt 4 là biến cố “cú hai đồng xu ngửa” thỡ A = {@a, (6, ỉ7} a
Khi ta thue hién phép thit va duge két qua w: e Néu két qua w © A ta nói biến cố 4 xảy ra © Ngược lại, nếu œ £ 4 ta nói biến cố 4 không xảy ra
Trong một bài thi kết thúc môn xác suất thống kê, sinh viên được xem là thi đạt nếu đạt từ 5 điểm trở lên Biến cố này được ký hiệu là 4.
Sinh viên này thi đạt nếu điểm số của họ nằm trong khoảng A = {5, , 10} Nếu sinh viên nhận được kết quả là 6, chúng ta sẽ nói rằng biến cố 4 xảy ra (sinh viên này thi đạt) Ngược lại, nếu kết quả là 2, biến cố 4 không xảy ra (sinh viên này thi không đạt).
Trang 3 Chương 1 Xác suất của biến cô
Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu @
Là biến cỗ khụng bao giờ xảy ra khi thực hiện phộp thử, ký hiệu ỉ.
Quan hệ giữa các biến cố 3
Cho 4, ỉ là hai biến cố trong cựng phộp thử với khụng gian mẫu @
Biến cố A được gọi là kéo theo biến cỗ # nếu 4 xảy ra thì # xảy ra, ký hiệu A C ệ
Ví dụ 1.5 Theo dõi 3 bệnh nhân phỏng đang được diều trị Goi:
Ai : “Có ¡ bệnh nhân tử vong”, í = 0, 1,2,3,
B: “Có nhiều hơn một bệnh nhân tử vong”
Hai biến cỗ A và # được gọi là tương đương nếu 4© # và # € 4, ký hiệu
Hai biến cỗ 4 và # được gọi là xung khắc nếu chúng |o không cùng xảy ra trong một phép thử, nghĩa là 41
Vi dụ 1.6 Tung một đồng xu cân đối Gọi:
4i : “Đồng xu sắp”, 4i = {S}, Ava 8 xung khắc
Az : “Dong xu ngita”, Az = {N}
Vi A, 9 Az = ỉ nờn Ay va Az 1a xung khae nhau, oO
Biến cố không xảy ra biến'cố 4 được gọi là biến cố | @ bù của biến cỗ 4, ký hiệu 4Ã = {w: w ¢ A} A a
Ví dụ 1.7 Tung một xúc xắc Gọi biến cố Ava A bia nhau
A: s6 chim xuat hiện nhỏ hơn 5”,
Biến cố 4 = {0,1,2,3,4} va bién c6 bù của 4 là A = {5, 6} dutge goi 1a bién có “số chấm xuất hiện lớn hơn 5” oO
1.1.38 Phép toán trên các biến cố
Cho A, ỉ là hai biến cố trong cựng phộp thử với khụng gian mẫu @
Bién c6 C = AB = AN B xay ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A va B cing xay ra Ta viét: wEC=ANBS wea wes
Ví du 1.8 Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một phát Gọi các biến cố:
Ai : “Người thứ nhất bắn trúng mục tiêu”,
4a : “Người thứ hai bắn trúng mục tiêu”,
€ = 4i4a là biến cô cả hai người bắn trúng mục tiêu, Qo
Bién c6 C = AU B = A + B xay ra khi va chi khi biến cố 4 hoặc # xảy ra Ta viết: weB wea
Ví dụ 1.9 Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một mục tiêu Gọi 44¡ 4; lần lượt là biến cỗ viên thứ 1, 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu Biến cố
Biến cố "viên đạn thứ 1 hoặc viên đạn thứ 3 trúng mục tiêu" có thể được định nghĩa là biến cố có ít nhất một trong ba viên đạn trúng mục tiêu Trong đó, C = A + A2 biểu thị mối quan hệ giữa các biến cố liên quan đến việc bắn trúng mục tiêu.
Trang 5 Chương 1 Xác suất của biến có về iad
Biến cỗ € = A4\ # xảy ra khi và chỉ khi biến cỗ 4 xảy ra và # không xảy ra Ta viết: œ€C=A\Be wea sựP A B
1.2 Xac suat cua bién cé
1.2.1 Dinh nghia cổ điển của xác suất Định nghĩa 1.1 Xét một phép thử dồng khả năng, có không gian mẫu
AC G là một biến cỗ Xác suất xảy ra biển có A là
Pye - số trường hợp thuận lợi dối uói A (11
KT số trường hợp có thể ) uói |A| là số phần tử của biến cỗ A
Vi dụ 1.10 Tung một con xúc xắc cân đối Tính xác suất: a Xuất hiện mặt 6 chấm b Xuất hiện mặt bội của 3
Giải Gọi các biên cố;
B: “Xuất hiện mặt bội của 3”
Phép thử tung 1 con xúc xắc cân đối có không gian mẫu @ = {1,2, 3, 4, 5, 6} va |Q| = 6 a Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm:
A| 1 A=t16, vay P(A) = Tot = 5 b Xác suất xuất hiện mặt bội của 3:
Định nghĩa cổ điển của xác suất
a 2 quả cầu trắng b 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen
Giải Gọi các biến cố: Ỷ
A: “Lây được 2 quả cầu trắng”,
B: “Lây được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”,
Khi lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng có 10 quả cầu sẽ có Cÿ = 28 số trường hợp có thể a Số trường hợp thuận lợi đối với 4 là C‡ = 3, vậy
Định nghĩa xác suất theo thống kê
Định nghĩa xác suất theo hìnhhọc
Xác suất theo hình học được định nghĩa trong bối cảnh một phép thử đẳng khả năng, trong đó không gian mẫu có số phần tử hữu hạn và được biểu diễn bởi miền hình học Q với độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) khác không và hữu hạn.
Biến có A C Q được biểu diễn bằng hình học A, trong đó xác suất của biến có A được xác định bởi độ đo của miễn A và độ đo của miễn Q.
Trong bài toán tàu cập bến, hai tàu thủy cập vào một bến cảng độc lập trong vòng một ngày đêm Tàu thứ nhất dừng lại để bốc hàng trong 4 giờ, trong khi tàu thứ hai mất 6 giờ cho cùng mục đích Mục tiêu của bài toán là tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến.
Giải Gọi x, y (giờ) là thời điểm tàu thứ nhất, thứ hai cập bến và biến cố A : “Một trong hai tàu phải chờ để cập bến” Miền © giới hạn bởi
Nếu tàu 1 đến trước, tàu 2 phải chờ nếu điều kiện y - x < 4 được thỏa mãn Ngược lại, nếu tàu 2 đến trước, tàu 1 phải chờ khi x - y < 6 Điều này dẫn đến việc 4 < x - y < 6, thể hiện miền gạch chéo Kết luận, các giá trị O' có thể là 6, 12, 18, 24.
‘ 242 (= 18? sả 2 Tế x š esi Erg sta
P(A) = Diện tích miền gach chéo _ 2 2 ~ 0,3715 n
Dinh nghĩa xác suất theo tiên đề
Xét không gian mẫu &, o- đại số Z là tập hợp các tập con của @ thỏa các điều kiện sau: i O.QEF, ii, néu A, BE Fthide F,A+BeEF,
Xác suất được định nghĩa là một hàm số I xác định trên đại số Ƒ với giá trị trong khoảng [0, 1] Để thỏa mãn các tiên đề, hàm số này phải đáp ứng ba điều kiện: thứ nhất, IP(Q) = 1; thứ hai, P(A) ≥ 0 với A thuộc Ƒ; và thứ ba, nếu A1, A2, , An là các sự kiện độc lập với nhau, thì P(A1 ∪ A2 ∪ ∪ An) = P(A1) + P(A2) + + P(An).
Tính chất 1.5 Xác suất của biến cỗ có các tinh chat co ban sau: i O< P(A) < 1 0ới mọi biển cỗ A
P (0) = 0, P(Q) =1 iti, Néw AC B thi (A)
= = el lu Số nữ |B] 30' b Xác suất người này là nữ biết rằng người này hút thuốc:
Số nữ hút thuốc |AB| 5
P(B|A) = >= = rE Oo la) Số người hút thuốc |A| 20 Định lý 1.7 (Công thức xác suất có điều kiện) Cho A, B la hai bién cb trong cùng phép thử uà IP(B) > 0 Khi đó
Tính chất 1.8 Xác suất có điều biện có các tính chat: ¿0< P(A|B) < 1 uới mọi biến cố A ii Néu A C A’ thi P(A|B) < P(A'|B) iii, P (A|B) = 1—P (A[B)
Một công ty đang tuyển 4 nhân viên từ 10 ứng viên, trong đó có 4 nữ Để tính xác suất, trước tiên, xác suất để cả 4 nữ trúng tuyển là một yếu tố cần xem xét Tiếp theo, xác suất có ít nhất một nữ trúng tuyển cũng cần được tính toán Cuối cùng, xác suất để cả 4 nữ trúng tuyển, với điều kiện là đã có ít nhất một nữ trúng tuyển, cũng là một phần quan trọng trong bài toán này.
Trang 11 Chương 1 Xác suất của biến cố
Giải Gọi các biến cố:
B: “Có ít nhất một nữ trúng tuyển” a Xỏc suất cả 4 nữ trỳng tuyển: P (4) = ch + 0,0048 + 10 ọ b Xác suất có ít nhất một nữ trúng tuyển:
-Ci0 œ Xác suất cả 4 nữ trúng tuyển, biết có ít nhất một nữ trúng tuyển:
1.3.2 Su déc lap Định nghĩa 1.9 (Hai biến cố độc lập) Hai bién cé A, B trong cùng phép thứ được gọi là độc lập khi va chỉ khi
Nhận xét Diều kiện P (A|8) = IP (A|8) nghĩa là biến cỗ ở có xảy ra hay không cũng không làm thay đổi “khả năng” xảy ra biến cố 4
Ví dụ 1.18 Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi Mỗi lần lấy 1 bi (lấy không hoàn lại) Đặt các biến cố:
A: “Lan 1 ly duge bi den”,
B: “Lần 2 lấy được bi trắng” ệ lần thứ nhất, ta lấy ra một bớ sẽ cú 2 trường hợp: © Lấy được bi đen (4 xảy ra):
4bitrắng aa Axảyra Í4bi trắng
6 bi den 5 bi den nén P (BA) = 4/9 e Lấy được bi trắng (Ã xảy ra):
4bitrắng © Axiyra §3 bi trang foe
6 bi den 6 bi den nén P (BJA) = 3/9.
Vay |? (B|A) = IP (BIA), hay bién c6 A va # không độc lập o
Ví dụ 1.19 Thực hiện phép thử tung một đồng xu và một xúc xắc Gọi các biến cố:
# : “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc sắc lớn hơn 4”
Hỗi hai biến cố 44 và # có độc lập?
Giải Ta có các biến cố;
"Theo công thức xác suất có điều kiện ta có
Suy ra I? (B|A) = P (B]A), vay hai biến cỗ 41 và # độc lập Oo
Tinh chat 1.10 Hai bién cd A va B doc lap khi va chi khi có một trong các điều sau: i P(A|B) = P(A) ii P(AB) = P(A) P(B)
Tính chất 1.11 Nếu hai biến cố A va B độc lập thì các cặp biến có A va
B; Ava B; A va B cũng độc lập
Dinh nghia 1.12 (1 bién c6 déc lap) Cade bién cd Ay, A2, , An được gọi tà độc lập khi dù chỉ khi
P(Aj, Aig +s Aig) = P(Ai IP (Ai) ô1 PAR) uới mọi k € {1,2, , n}.fWlassse ig} QO 2505 n}.
Trang 13 Chương 1 Xác suất của biến cô
1⁄4 Các công thức tính xác suất
1.41 Công thức nhân xác suất Định lý 1.13 (Công thức nhân) Cho bai biến cố A, B trong cùng một phép thử uà IP(AB) > 0 Khi đó
IP (AB) = P(A) P (BIA) = PCB) P (AB) (1.6)
Chứng mình Sừ dụng công thức xác suất có điều kiện (1.4)
Chú ý Theo tính chất 1.10, nếu hai biến cố A va B doc lap thì
Trong ví dụ này, có một người bán sở hữu 4 con gà mái và 6 con gà trống Hai người mua đến lần lượt, mỗi người mua 3 con gà Để tính xác suất người thứ nhất mua được một con gà trống và người thứ hai mua hai con gà trống, chúng ta cần xác định tổng số gà và cách chọn ngẫu nhiên từ số gà có sẵn.
Giải Gọi các biến cố:
A: “Người thứ nhất mua một gà trồng và một gà mái”,
PB: “Người thứ hai mua hai con gà trồng” ƒ 4 con gà mái ——————— A xây ra ƒ 3 con gà mái Ta
{ 6 con ga tréng “Ga bin mat gà trồng và một gà mái | 5 con gà trồng
Xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người thứ hai mua hai gà trống là
Dinh ly 1.14 (Cong thite nhan cia n bién cd) Cho Aj,.-.,/ Ay lan bién cb trong cùng phép thit va P(A, Az An—1) > 0 Khi đó
Chứng mình Bằng quy nạp và sử dụng kết quả định lý 1.18 a
1.4.2 Công thức cộng xác suất Định lý 1.15 (Cộng hai biến cố) Cho hai biến cỗ A, B trong cùng một phép thử, ta có
` B= B\A+AB, va cỏc biến cỗ 4 \ #, ỉ \ A và 4 xung khắc với nhau từng đụi nờn
Chứ ý Nếu hai biến cố A và 8 xung khắc (AB = 9) thi
Trong một lớp học gồm 100 sinh viên, có 40 sinh viên giỏi toán, 50 sinh viên giỏi văn và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Để tính xác suất một sinh viên được thưởng vì giỏi ít nhất một trong hai môn, trước tiên ta xác định tổng số sinh viên giỏi ít nhất một môn Số sinh viên này được tính bằng công thức: số sinh viên giỏi toán cộng số sinh viên giỏi văn trừ đi số sinh viên giỏi cả hai môn Từ đó, xác suất để một sinh viên được thưởng sẽ là tỷ lệ số sinh viên giỏi ít nhất một môn so với tổng số sinh viên trong lớp.
Giải Gọi các biến cố:
7 : “Sinh viên được chọn giỏi toán”,
V : “Sinh viên được chọn giỏi văn”
Biến cố A = T + V chính là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn toán và văn
= 100 ” 100 — 100 —-— = ~ 10° Oo Định lý 1.16 (Cộng 3 biến cố) Cho ba biến cỗ A, B uà C trong cùng phép thử:
Trang 15 Chương 1 Xác suất của biến cố
Chứng mình Vì tổng các biên cỗ có tính kết hợp cho nên
Chú ý Khi ba biến cỗ 4, 8 và C xung khắc nhau từng đôi thi
P(A+B+C)=P(A)+P(B) + P(C) (1.10) Định lý 1.17 (Công thức cộng tổng quát) Cho các biến cố A¡, A2 An trong cùng phép thử:
T i 0 Khi đó
Chứng mình Bằng quy nạp và sử dụng kết quả định lý 1.18 a
Công thức cộng xác suất 2Í, J- P34 1/43 Công thức xác suất dầy dủ
Định lý 1.15 (Cộng hai biến cố) Cho hai biến cỗ A, B trong cùng một phép thử, ta có
` B= B\A+AB, va cỏc biến cỗ 4 \ #, ỉ \ A và 4 xung khắc với nhau từng đụi nờn
Chứ ý Nếu hai biến cố A và 8 xung khắc (AB = 9) thi
Trong một lớp học có 100 sinh viên, có 40 sinh viên giỏi toán, 50 sinh viên giỏi văn và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Để tính xác suất một sinh viên được thưởng vì giỏi ít nhất một trong hai môn, ta cần xác định tổng số sinh viên giỏi ít nhất một môn Số sinh viên này được tính bằng công thức: số sinh viên giỏi toán cộng số sinh viên giỏi văn trừ đi số sinh viên giỏi cả hai môn Kết quả là 40 + 50 - 20 = 70 sinh viên Do đó, xác suất để một sinh viên ngẫu nhiên được thưởng là 70/100 hay 0,7.
Giải Gọi các biến cố:
7 : “Sinh viên được chọn giỏi toán”,
V : “Sinh viên được chọn giỏi văn”
Biến cố A = T + V chính là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn toán và văn
= 100 ” 100 — 100 —-— = ~ 10° Oo Định lý 1.16 (Cộng 3 biến cố) Cho ba biến cỗ A, B uà C trong cùng phép thử:
Trang 15 Chương 1 Xác suất của biến cố
Chứng mình Vì tổng các biên cỗ có tính kết hợp cho nên
Chú ý Khi ba biến cỗ 4, 8 và C xung khắc nhau từng đôi thi
P(A+B+C)=P(A)+P(B) + P(C) (1.10) Định lý 1.17 (Công thức cộng tổng quát) Cho các biến cố A¡, A2 An trong cùng phép thử:
T i 0).
Chứng mình Ap dụng công thức xác suất có điều kiện (1.4) và công thức xác xuất diy đủ (1.13) La được điều cần chứng minh o
Trong lớp 1.27, số học sinh nam chiếm 2/3 số học sinh nữ Tỷ lệ học sinh nam giỏi toán là 40%, trong khi tỷ lệ học sinh nữ giỏi toán là 30%.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp này, tính xác suất: a Học sinh này giỏi toán b Học sinh này là nam, biết rằng học sinh này giỏi toán
Giải Gọi các biến cố:
Ai : “Chọn được học sinh nam”,
4¿ : “Chọn được học sinh nữ”,
8 : “Chọn được học sinh giỏi toán”.
P(A)= ló chọn đượ 4! 5MT`L ơ, mẹDI219 II có ¿ con gà trỗng”, ¡ = 0,1,2,
8: “Hai con chạy ra từ chuồng II là 2 con gà trống”
Cis : II có 19 trỗng + 12 mái cá
P(A)) = oe LE PBA) Cis 2 THỊ có 18 tréng + 11 mái cu
Cần có 14 con trống và 10 con mái trong chuồng II Xác suất để hai con gà từ chuồng I chạy sang chuồng II là hai con trống, và xác suất cho hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trống.
Trang 21 Chương 1 Xác suất của biến cố b Xác suất hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống:
Xác suất hai con gà từ chuồng II chạy sang chuồng T là 0,2885, với điều kiện rằng hai con gà này đều là giống trồng.
P(A2|B) 1.5 Bài tập tự luận chương 1
Trong một lớp học gồm 40 học sinh, có 8 học sinh giỏi, 20 học sinh khá và 12 học sinh trung bình Khi chọn ngẫu nhiên 3 học sinh, xác suất để có một học sinh trung bình, một học sinh khá và một học sinh giỏi được tính toán Đồng thời, cần xác định xác suất có ít nhất một học sinh giỏi trong nhóm 3 học sinh được chọn.
Trong một nhóm gồm 30 nhà đầu tư, có 13 nhà đầu tư vàng, 17 nhà đầu tư chứng khoán và 10 nhà đầu tư tham gia cả hai loại Khi một đối tác ngẫu nhiên gặp một nhà đầu tư trong nhóm, xác suất để người đó gặp được nhà đầu tư vàng hoặc chứng khoán cần được tính toán dựa trên số lượng nhà đầu tư trong từng loại.
Bài tập 1.3 Từ một hộp chứa 3 bỉ đỏ và 7 bi xanh người ta bốc ngẫu nhiên ra 2 bi Gọi 4: “bốc dược bi đỏ”; #:; “bốc được bi xanh” Hãy tính
Bài tập trắc nghiệm chương 1l
Câu 1.1 Cho lP (4) = 0,2 và IP(8) = 0,4 Giả sử A và # độc lập, chọn phát biểu đúng:
Câu 1.2 Hai người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, mỗi người bắn một viên đạn Khả năng bắn trúng của người I; II là 0,8; 0,9
Biết mục tiêu bị trúng đạn, xác suất người II bắn trúng là:
Ba sinh viên A, B và C làm bài thi độc lập với xác suất lần lượt là 0,8, 0,7 và 0,6 Để tính xác suất có ít nhất một sinh viên làm được bài, ta cần xác định xác suất không ai làm được bài và sau đó trừ khỏi 1 Xác suất không sinh viên nào làm được bài là (1 - 0,8) * (1 - 0,7) * (1 - 0,6) = 0,2 * 0,3 * 0,4 = 0,024 Do đó, xác suất có ít nhất một sinh viên làm được bài là 1 - 0,024 = 0,976.
Trong một bài thi, ba sinh viên A, B và C làm bài độc lập với xác suất làm được lần lượt là 0,8, 0,7 và 0,6 Khi biết có hai sinh viên đã hoàn thành bài thi, ta cần tính xác suất để sinh viên C cũng làm được bài.
Cau 1.5 Cho P(A + B) = 0,7 va P(A + 8) = 0,9, Xác định P (A):
Câu 1.6 Cho (4) = 0,1 và P(48) = 0,3 Xác định P(B|A):
Câu 1.7 Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn Một sinh viên
Xác suất để sinh viên A đạt môn thứ hai được tính dựa trên xác suất đạt môn thứ nhất và xác suất đạt môn thứ hai trong các trường hợp khác nhau Cụ thể, xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8, trong khi xác suất đạt môn thứ hai nếu đã đạt môn thứ nhất là 0,6 Ngược lại, nếu không đạt môn thứ nhất, xác suất đạt môn thứ hai chỉ là 0,3 Từ những thông tin này, ta có thể ước lượng xác suất tổng hợp cho sinh viên A đạt môn thứ hai.
Trong một công ty quảng cáo, 30% khách hàng biết thông tin về sản phẩm qua báo chí, 50% qua Tivi, và 35% biết thông tin qua cả hai phương tiện Khi chọn ngẫu nhiên một khách hàng chỉ biết thông tin qua một phương tiện, xác suất khách hàng đó biết thông tin qua Tivi là một yếu tố quan trọng cần xem xét trong chiến lược quảng cáo.
Câu 1.9 Hai xạ thủ cùng bắn vào một tắm bia, mỗi người bắn một phát Xác suất xạ thủ I, II bắn trúng là 70%; 80% Đặt các biến cố:
A: “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng”
Câu 1.10 Một nghiên cứu ghỉ nhận 937 người chết trong năm 1999 có: + 210 người chết do bệnh tim
+ 312 người có bố hoặc mẹ cố bệnh tim Trong 312 người này có 102 người chết đo bệnh tim
Xác suất chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 937 người đã chết mà không phải do bệnh tim, trong bối cảnh người này có bố hoặc mẹ mắc bệnh tim, là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu dịch tễ học.
Hai xí nghiệp hoạt động độc lập, với xác suất hoàn thành kế hoạch của xí nghiệp thứ nhất là 0,46 và xí nghiệp thứ hai là 0,6 Khi biết rằng ít nhất một trong hai xí nghiệp hoàn thành kế hoạch, xác suất để xí nghiệp thứ nhất hoàn thành kế hoạch cần được tính toán.
Một người sở hữu 3 con gà mái với xác suất đẻ trứng trong ngày lần lượt là 0,55 cho gà I, 0,6 cho gà II và 0,7 cho gà III Để tính xác suất có 2 con gà đẻ trứng trong ngày, ta cần áp dụng công thức xác suất kết hợp giữa các xác suất của từng con gà.
Một hộp bóng bàn chứa 20 bóng mới và 8 bóng cũ Trong lần đầu tiên, 2 bóng được lấy ra và sau đó được cho lại vào hộp Ở lần thứ hai, 3 bóng được lấy ra, và cả 3 bóng này đều là bóng mới Để tính xác suất trong 2 bóng lấy ra lần đầu tiên có ít nhất 1 bóng mới, cần phân tích các khả năng kết hợp giữa bóng mới và bóng cũ trong lần rút đầu tiên.
Câu 1.14 Có hai chuồng gà: Chuồng I có 10 gà trồng và 8 gà mái; Chuông
Trong chuồng II có tổng cộng 19 con gà trống và 10 con gà mái Có hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II, sau đó có hai con gà chạy ra từ chuồng II Xác suất để hai con gà chạy ra từ chuồng II đều là gà trống được tính toán dựa trên số lượng gà trống và gà mái hiện có.
Trong một lô hàng được sản xuất bởi ba nhà máy I, II và TII, tỷ lệ sản phẩm của từng nhà máy lần lượt là 30%, 20% và 50%, cùng với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2% và 3% Khi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, xác suất để sản phẩm này không phải là phế phẩm được tính toán dựa trên tỷ lệ sản phẩm và tỷ lệ phế phẩm của từng nhà máy.
Trang 31 Chương 1 Xác suất của biến cô
Câu 1.16 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng I và II,
Biết rằng phân xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xưởng I, với tỷ lệ bóng hư của phân xưởng I là 10% và phân xưởng II là 20% Khi mua một bóng đèn từ nhà máy, xác suất để bóng này thuộc phân xưởng I là một yếu tố quan trọng cần xem xét.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai lô sản phẩm khác nhau Lô thứ nhất bao gồm 10 sản phẩm loại T và 2 sản phẩm loại II, trong khi lô thứ hai chứa 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II Sự phân chia này cho thấy sự đa dạng trong các loại sản phẩm của từng lô.
Từ mỗi lô, chúng ta lấy ra một sản phẩm, sau đó từ hai sản phẩm thu được, ngẫu nhiên chọn một sản phẩm và xác định được sản phẩm loại I Xác suất để hai sản phẩm lấy từ hai lô đều là sản phẩm loại I được tính toán như sau:
Trong một trạm cấp cứu, tỷ lệ bệnh nhân bị phỏng do nóng chiếm 80%, trong khi phỏng do hóa chất chiếm 20% Trong số bệnh nhân bị phỏng do nóng, có 30% gặp biến chứng, còn đối với phỏng do hóa chất, tỷ lệ biến chứng là 50% Do đó, xác suất mà bác sĩ gặp bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng khi mở hồ sơ là một yếu tố quan trọng trong việc đánh giá tình trạng sức khỏe của bệnh nhân.
Trong một cuộc điều tra về một vùng dân cư, tỷ lệ người không bị viêm gan và nghiện rượu là 12%, trong khi tỷ lệ người không nghiện rượu và không bị viêm gan chiếm 50% Bên cạnh đó, có 10% người không nghiện rượu nhưng lại mắc viêm gan.
Tỷ lệ những người viêm gan biết rằng những người này bị nghiện rượu là: A 70% B 30% C 48% D 50%
Khái niệm biến ngẫu nhiên 33 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 2.5 (Ham mat độ) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Nếu hàm phan phéi F(x) của nó có thể biểu diễn dưới dạng
F(x) = if x Zữ)dt, (2.4) uúi mọi x € IR thì ƒ(x) được gọi là hàm mật độ xác suất
Tính chất 9.6 Hàm mật độ có các tính chất: i [(x) = 0 vdi moi x € R ii, [ P(x)dx +00 co = 1 iii, Pa