KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - TƠ TỐN
NGUYÊN ĐÚC PHƯƠNG
XÁC SUÁT THÓNG KÊ
4 “-<
(LUU HANH NO}
TRUONG DAI HỌC CÔNG NGHIỆP
Trang 2
NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG
Giáo trình
XÁC SUẤT THỐNG KE
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM
Trang 3
Được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể tổ
Toán, cuốn sách “Xác suất thông bê” trõ thành giáo trình chính thức từ
năm hoc 2017 - 2018
Giáo trình được biên soạn sát chương trình của sinh viên bậc đại học
khối kỹ thuật và khối kinh tế với thời lượng 30 tiết Kiến thức được trình bày một cách chỉ tiết, logie, đễ hiểu Do đây là môn học mang tính ứng
dụng cao, nên các nội dung trình bày trong sách nhằm mục đích làm rõ những bản chất môn học cũng như khả năng ứng dụng của nó Các
định lý, tính chất và cơng thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản,
dễ hiểu, có nhiều ví dụ minh họa Hầu hết các kết quả đều được chứng minh, riêng những chứng minh đòi hỏi hàm lượng cao về tốn tác giả khơng trình bày trong tài liệu này, mà chỉ cung cấp tài liệu tham khảo
để bạn đọc có thể tìm hiểu thêm
Ngoài ra, sau mỗi chương đều có bài tập áp dụng phong phú (hơn 150
bài tập tự luận và hơn 150 câu hỏi trắc nghiệm) để sinh viên tự giải nhằm
củng cố lý thuyết và rèn luyện khả năng thực hành Tất cả các bài tập
đều có đáp số hoặc gợi ý Giáo trình này có 9 chương:
Chương 1 Xác suất của biến cố
Chương2 Biến ngẫu nhiên Chương 3 Vector ngẫu nhiên
Chương 4 Một số phân phối xác suất thông dung
Chương 5 Luật số lồn - Định lý giới hạn trung tam
Chương 6 Mẫu ngẫu nhiên Chương 7 Uớc lượng tham số
Chương 8 Kiểm định giả thuyết
Chương 9 Hồi quy tương quan
"Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong tổ Toán
của Khoa Khoa học Cơ bản — Trường Đại học Công nghiệp TP Hỏ Chí Minh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả cũng xin cảm ơn quý
thầy cô tham gia phản biện giáo trình: Đoàn Vương Nguyên, Lê Văn Lai,
Huỳnh Văn Hiếu, Tôn Thất Quang Nguyên, Huỳnh Hữu Dinh
Trang 4lời nói đầu Trang ii “Trong quá trình biên soạn tác giả không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp và của sinh viên với lòng biết ơn Sự góp ý của các bạn sẽ giúp các bản thảo sau sẽ hồn chỉnh hơn Mọi góp ý xin gửi thư về địa chỉ nguyenduephuong®iuh.edu.vn
TP HCM, Thang 7 nam 2017
Trang 5Mục lục
Mục lục lii
Bảng ký hiệu vii
1 Xác suất của biến cố 1
1.1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cỗ 1
1.1.1 Phép thử và biến cố 1
1.1.2 Quan hệ giữa các biến cố 3 1.1.3 Phép toán trên các biến cố 4
1⁄2 3%XãosuftccbaHiến cỗ: ¿ý : 2000202522004 bệ cv 5 1.9.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất 5
12.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê 6
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hìnhhọc 7
1.2.4 Dinh nghĩa xác suất theo tiên đề 8
1.3 Xác suất có điều kiện và sự độc lập 8
1.8:1, Xác suất có điều Kiện ¿ 06000416 vá2 34 3à si 2 8 1.:9:2" Sy de lap 314 5 x wines apo wag ea Aly @ 11 1.4 Các cơng thức tính xác guất co 18 1.41 Công thức nhânxácsuất 18
1.42 Công thức cộng xác suất 2Í, J- P34 1/43 Công thức xác suất dầy dủ 18
1⁄44 Công thức xác suất Bayes 19
1.6 Bai tấp tựluậnchưởng1 : : : : : ¿cố cc (2c 21 1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1l 29
2 Biến ngẫu nhiên 33 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 33 2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 34
` 9.21 Bảng phân phối xácsuất 34
Trang 6Mục lục Trang iv
2.2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 37
2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 38
28:1 Kpowongincs ic ica i dae 38 Phương sai 42
MA) càng ga b6 à¡ 44 TruHữỆV| ‹ s1 ác c cá, 46 Hàm đặc trưng 47
2.4 Bài tập tự luận chương2 48
2.5 Bài tập trắc nghiệm chương2_ 52
3 Vector ngẫu nhiên 57 3.1 Khái niệm veetor ngẫu nhiên 57
3.2 Vector ngau nhién rdirac ee 58 3.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời 58
3.2.2 Phân phối thành phần của X 59 3.2.3 Phân phối xác suất có điều ki 59 3.3 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên 60
3.4 Veetor ngẫu nhiên liên tục 61 3.4.1 Mật độ đồng thời 61 3.4.2 Phân phối thành phần 63 3.4.3 Phân phối có điều kiện 64 3.5 Hiệp phương sai và hệ số tương quan 66
3.5.1 Hiệp phương sai 66 3.5.2 Hệ số tương quan 68
3.6 Bài Lập tự luận chương 3 69
3.7 Bài tập trắc nghiệm chương 3 Z1 4 Một số phân phối xác suất thông dụng 75 4 Phán phối Bernoulll: « acéye oevinanes wil sila’) KP 44 % 4.2 Phan phéi nhithtie
4.3 Phân phối siêu bội
4.4 Phân phối Poisson
4.5 Phân phối chuẩn
4.6 Phân phối Gamma
4.7 Phân phối Chỉ bình phương 4.8 Phân phối Student 4.9 Phẩn phối Fisher
4.10 Bài tập tự luận chương 4
Trang 7Trang v Mục lục
5 Luật số lớn - Định lý giới hạn trung tam 109
‘5.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối
5.2 Luật số lớn
5.3 Dịnh lý giới hạn trung tâm
5.4 Xấp xi cho phân phối nhị thức
5.5 Định lýxấp xiPoisson
5.6 Xấp xi cho phân phối siêu bội 5.7 Xap xi cho phan phéi Student 5.8 Bài tập tự luận chương5
5.9 Bài tập trắc nghiệm chương 5
6 Mẫu ngẫu nhiên 129 6.1 Tổng thể, mẫu ngẫu nhiên 129 6.2 Thống kê mô tả 131 6.2.1 Bảng tóm tắt số liệu 182 2 Dé thi mo ta div liệu 133 3_ Thống kê tóm tắt 6.3 Phan phối mẫu
6.3.1 Phân phối xác suất của trung bình mẫu 137
6.3.2 Phân phối xác suất của tỷ lệ mẫu 187
6.3.3 Phân phối xác suất của phương sai mẫu 187
7 Ước lượng tham số aL GIỚI thiểu ƯỐG|DOBÐ;caayor v6 nón (s6 hơ Tu 6 7.2 Các tiêu chuẩn ước lượng 7.3 Ước lượng hợp lý 7.4 Khoảng tin cậy 7.4.1 Khoảng tin cậy cho trung bình _ 7.42 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ
7.4.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 7.5 Bài tập tự luận chương 7
7.6 Bài tập trắc nghiệm chương 7
8_ Kiểm định giả thuyết 81 Giới thiệu chung
8.11 Giả thuyết và đối thuyết
8.1.2 Miền tốihạn
8.1.3 Hailoaisailam
8.1.4 Hàm lựelướợng
82 Sosánh trungbình
Trang 8Mục lục Trang vì
8:4 So sánh phươngbai'.:.á ie 22200, Ld5l(1, vo (, sss1ÐÁI 172
8ð Sogánh hai trung bình ‹ sẻ v «2/26/2142 174
8.6 So sánh hai tỷ lệ 178
8.7 So sánh hai phươngsai 181
8/8 Bài tập tự luận chưng 5 !«.» : ea ca nie ee eksjoal E 183
8.9 Bài tập trắc nghiệm chương8 187
9 Hồi quy tương quan
9.1 Ước lượng tham số hồi quy
9.2 Các giả định trong mơ hình hồi quy hai biến
9.3 Hệ số xác định R2, hệ số tương quan
9.4 Kiểm định sự phù hợp -Ftest 9.5 Bài tập tự luận chương 9
A_ Kết quả ước lượng 202
B Các bảng giá trị xác suất 203
B.1 Bang gid tri f(z) B.2 Bang gid tri ®(x)
B.3 Bảng giá trị a2
B.4 Bảng giá trị xế”
B.5 Bảng giá trị Fÿ!””?
C Hướng dẫn, đáp án 220
Trang 9Bảng ký hiệu P(4) P(X =x) IP (A|B) FF F(x) F(x) E(X) Var(X) Med(X) Say) ZGi:y/) F(x; y) Sx (x) Fx (x) #x(x|Y = y) fx(x|Y = y) Cou(X;Y) p(X;Y) 80) Bứu p) Tập số thực Chỉnh hợp chập k của ø 'Tổ hợp chập k của ð Hàm e* ! Kết quả của phép thử Không gian mẫu
Biến cố
Số phần tử của biến cố 4 biến ngẫu nhiên
Biến cố bù của 4 Xác suất xảy ra A4 Xác suất X =x
Xác suất có điều kiện
Sigma đại số
Hàm mật độ xác suất Hàm phân phối xác suất
Kỳ vọng của X
Phương sai của X Trung vị
Hàm mật độ đồng thời P(X =x(:Y = yj)
Hàm phân phối đồng thời
Hàm mật độ thành phần của X Hàm phân phối thành phần của X Hàm mật độ của X điều kiện Y = y Hàm phân phối của X diều kiện Y = y
Hiệp phương sai
Hệ số tương quan
Phân phối Berboulli
Trang 10Bảng ký hiệu H(N:NA:n) P(A) N (4,07) N (0; 1) Gamma(ư; 8) Trang viii
Phân phối siêu bội
Phân phối Poisson Phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn tắc
Phân phối Gamma
Phân phối chỉ bình phương
Phân phối student Phân phối Fisher
Gia tri ham Laplace
Ham Gamma
Hội tụ theo phân phối Hội tụ hầu chắc chắn Hội tụ theo xác suất Xap xi phan phéi
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh
Trang 11Chương 1
Xác suât của biên cô
Mục lục chương 1 1/1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Biến cỗ và quan hệ giữa các biến cố 4qabeusya si4[s ¿¿ 3:
Xác suất của biến cố Meee a 5
Xác suất có điều kiện và sự độc lập 8
Các công thức tính xác suấ 18
Bài tập tự luận chương 1 i QL
Bai tap trac nghiém chuong 1 + 29
1.1.1 Phép thử và biến cố
Phép thử
Trong tốn học có những khái niệm khơng có định nghĩa mà chỉ có thể mơ tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác Chẳng hạn,
trong hình học có khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những
khái niệm khơng có định nghĩa
"Trong xác suất, khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử là việc thực hiện một thí nghiệm hoặc quan sát
một hiện tượng nào đó Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không
Trang 121,1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố Trang 2
Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi
là không gian mẫu, ký hiệu ©
Ví dụ 1.1 Thực hiện phép thử tung ngẫu nhiên một con xúc xắc Ta
quan sát số chấm trên mặt xuắt hiện của xúc xắc, kết quả có thể xảy ra
la: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Không gian mẫu là @ = {1,2,3,4,5,6} va ta ky hiéu
|@| = 6 là số phần tử của @ oO
Biến cố
Tap 4 C @ được gọi là biến cố, và ta thường dùng chữ cái in hoa A, 8,C, để ký hiệu biến cơ
Ví dụ 1.2 Thực hiện phép thử tung một đồng xu Không gian mẫu của
phép thủ này là @ = {S, W}, trong đó N la ky hiéu đồng xu ngửa và §$
là ký hiệu đồng xu sắp Tập A = {S} C @ dược gọi là biến cố “đồng xu
sâp” 1
Ví dụ 1.8 Thực hiện phép thử tung lần lượt 1 đồng xu 8 lần, ta có khơng gian mẫu 9 gồm có:
@ø¡ = SS§; - 6x N; @3=SNS; 4= SNN;
@s5=NSS; we=NSN; œø;=NNS; œạ =NNN
Nếu ta đặt 4 là biến cố “có hai đồng xu ngửa” thì A = {@a, (6, Ø7} a
Bién cé xay ra
Khi ta thue hién phép thit va duge két qua w:
e Néu két qua w © A ta nói biến cố 4 xảy ra
© Ngược lại, nếu œ £ 4 ta nói biến cố 4 khơng xảy ra
Ví dụ 1.4 Một sinh viên thi kết thúc môn xác suất thống kê Nếu sinh viên được từ 5 điểm trở lên thì sinh viên này thi đạt Ta đặt 4 là biến cố
“Sinh viên này thi đạt”, nghĩa là A = {5, , 10}
« Nếu sinh viên này được kết quả ø@ = 6 € 4 lúc này ta nói biến cố 4 xây ra (sinh viên này thi đạt)
« Ngược lại, nếu sinh viên này được kết quả œ = 2 ¢ A thi ta nói biến
Trang 13Trang 3 Chương 1 Xác suất của biến cô
Biến cố chắc chắn
Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu @
Biến cố không thể
Là biến cỗ không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu Ø
11⁄2 Quan hệ giữa các biến cố
Cho 4, Ø là hai biến cố trong cùng phép thử với không gian mẫu @
Quan hệ kéo theo
Biến cố A được gọi là kéo theo biến cỗ # nếu 4 xảy ra thì # xảy ra, ký
hiệu A C Ư
Ví dụ 1.5 Theo dõi 3 bệnh nhân phỏng đang được diều trị Goi: Ai : “Có ¡ bệnh nhân tử vong”, í = 0, 1,2,3,
B: “Có nhiều hơn một bệnh nhân tử vong”
Ta có l¿C B, 4aC B,AiøØ 0B n
Quan hệ tương đương
Hai biến cỗ A và # được gọi là tương đương nếu 4© # và # € 4, ký hiệu A=8
Quan hệ xung khắc
Hai biến cỗ 4 và # được gọi là xung khắc nếu chúng |o
không cùng xảy ra trong một phép thử, nghĩa là 41
B=0 Cz5
Vi dụ 1.6 Tung một đồng xu cân đối Gọi:
4i : “Đồng xu sắp”, 4i = {S}, Ava 8 xung khắc
Az : “Dong xu ngita”, Az = {N}
Vi A, 9 Az = Ø nên Ay va Az 1a xung khae nhau, oO
Biến cố bù
Biến cố không xảy ra biến'cố 4 được gọi là biến cố | @
bù của biến cỗ 4, ký hiệu 4Ã = {w: w ¢ A} A a
Ví dụ 1.7 Tung một xúc xắc Gọi biến cố
Trang 141,1 Biến cỗ và quan hệ giữa các biến cố Trang 4
A: s6 chim xuat hiện nhỏ hơn 5”,
Biến cố 4 = {0,1,2,3,4} va bién c6 bù của 4 là A = {5, 6} dutge goi 1a bién
có “số chấm xuất hiện lớn hơn 5” oO
1.1.38 Phép toán trên các biến cố
Cho A, Ø là hai biến cố trong cùng phép thử với không gian mẫu @
Tích hai biến cố
Bién c6 C = AB = AN B xay ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A va B cing xay ra Ta viét:
wea
wEC=ANBS wes
Ví du 1.8 Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một phát Gọi các biến cố:
Ai : “Người thứ nhất bắn trúng mục tiêu”,
4a : “Người thứ hai bắn trúng mục tiêu”,
€ = 4i4a là biến cô cả hai người bắn trúng mục tiêu, Qo
'Tổng hai biến cố
Bién c6 C = AU B = A + B xay ra khi va chi khi
biến cố 4 hoặc # xảy ra Ta viết:
wea
weB
5ec=auae[
Ví dụ 1.9 Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một mục tiêu Gọi 44¡ 4; lần lượt là biến cỗ viên thứ 1, 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu Biến cố
C=A,+A2
được gọi là biến cố wên đạn thit 1 hoae “™) vién dan thit 2 tring mue
tiêu n
Trang 15Trang 5 Chương 1 Xác suất của biến có
về iad
Hiệu hai biến cố
Biến cỗ € = A4\ # xảy ra khi và chỉ khi biến cỗ 4
xảy ra và # không xảy ra Ta viết: << >
wea
œ€C=A\Be sựP A B
1.2 Xac suat cua bién cé
1.2.1 Dinh nghia cổ điển của xác suất
Định nghĩa 1.1 Xét một phép thử dồng khả năng, có khơng gian mẫu
AC G là một biến cỗ Xác suất xảy ra biển có A là
Pye - số trường hợp thuận lợi dối uói A (11
KT số trường hợp có thể )
uói |A| là số phần tử của biến cỗ A
Vi dụ 1.10 Tung một con xúc xắc cân đối Tính xác suất:
a Xuất hiện mặt 6 chấm
b Xuất hiện mặt bội của 3
Giải Gọi các biên cố;
A: “Xuất hiện mặt 6 cham”,
B: “Xuất hiện mặt bội của 3”
Phép thử tung 1 con xúc xắc cân đối có khơng gian mẫu @ = {1,2, 3, 4, 5, 6}
va |Q| = 6
a Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm:
A| 1 A=t16, vay P(A) = Tot = 5
b Xác suất xuất hiện mặt bội của 3:
Trang 161.2 Xác suất của biến cố Trang 6
Ví dụ 1.11 Trong một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó, tính xác suất lấy được:
a 2 quả cầu trắng
b 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen
Giải Gọi các biến cố: Ỷ
A: “Lây được 2 quả cầu trắng”,
B: “Lây được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”,
Khi lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng có 10 quả cầu sẽ có Cÿ = 28 số trường hợp có thể
a Số trường hợp thuận lợi đối với 4 là C‡ = 3, vậy
= #0.5357 n
1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê
Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa xác suất theo thống kê) 7e hiện một
phép thử n lần, giả sử biến cỗ A xuất hiện m lần Khi đó m được gọi là tằn số xuất hiện biến cổ A uà tỷ số = được gọi là tần suất xuất hiện biến cô A trong n phép thử Khi đó
P(A) = lim ^”, noo (1.2)
Nhận xét Ihi thực hiện lặp lại nhiều lần một phép thử ngẫu nhiên, tần suất xảy ra biến cố 4 tuy lên xuống bắp bênh, nhưng có xu hướng không
thay đổi mấy xung quanh một hằng số nhất định, và giá trị hằng số này
được gọi là xác suất
Trang 17Trang 7 Chương 1 Xác suất của biến cô
Người làm |[ Số lẫn [ Số lẫn được [ Tân suất
thí nghiệm || tung mặt sắp SA)
Buyffon 4.040 2.048 0,B069
Pearson 12.000 6.019 0,B016
Pearson 24.000 12.012 0,5005
Bảng 1.1: Tính ổn định tần suất
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hình học
Định nghĩa 1.3 (Định nghĩa xác suất theo hình học) Xét một phép thử
đẳng khả năng, khơng gian mẫu có hạn phần tử uà được biểu diễn bỏi miền hình học Q có độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) hữu hạn khác không Biến có A C Q được biểu diễn bơi miễn hình học A Khi đó xác suất của
biến có A được xác định bởi
Độ đo của miễn A ETTORE 1.3
Độ đo của miễn Q se)
P(A) =
Ví dụ 1.13 (Bài toán tàu cập bến [2]) Hai tàu thủy cập vào một bến cảng
một cách độc lập nhau trong vòng một ngày đêm Biết rằng thời gian đỗ lại cảng để bốc hàng của tàu thứ nhất là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ
Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến
Giải Gọi x, y (giờ) là thời điểm tàu thứ nhất, thứ hai cập bến và biến
cố A : “Một trong hai tàu phải chờ để cập bến” Miền © giới hạn bởi
0<x<24, 24
0<y<24 18 -|
Nếu tàu 1 cập bến trước thì điểu kiện tàu 2 124 phải chờ là y — x < 4 Nếu tàu 2 cập bến trước
thì điều kiện tàu 1 phải chờ là x— y < 6 Vậy 4 © 4
xảy ra khi và chỉ khi —4 < x — y < 6 được thể
hiện miền gạch chéo Suy ra O' 6 12 18 24
‘ 242 (= 18?
sả 2 Tế x š esi Erg sta
P(A) = Diện tích miền gach chéo _ 2 2 ~ 0,3715 n
Trang 181,3 Xác suất có điều kiện và sự độc lập Trang 8 1.2.4 Dinh nghĩa xác suất theo tiên đề
Xét không gian mẫu &, o- đại số Z là tập hợp các tập con của @ thỏa các điều kiện sau:
i O.QEF,
ii, néu A, BE Fthide F,A+BeEF,
" eo
iii néu Aj € F, i = 1,2,, thi 0° Ai EF i=
Định nghĩa 1.4 (Dịnh nghĩa theo tiên đề) 7w gọi xức suất là một hàm số I xác định trên ơ-đại số Ƒ có giá trị trong |0, 1] oà thỏa mãn 3 tiên đề
sau,
i IP(Q) = 1,
ii, P(A) 20, AEF,
iii, néu Aj € F, (i = 1,2, ,), A NAY =O, A Jf) thì
P [= 4) = = IP (Aj) i=1
Tính chất 1.5 Xác suất của biến cỗ có các tinh chat co ban sau:
i O< P(A) < 1 0ới mọi biển cỗ A
P (0) = 0, P(Q) =1
iti, Néw AC B thi (A) <P (B)
iv, P(A) +P (A) = 1
1.8 XAc sudt có điều kiện và sự độc lập
1.8.1 Xác suất có điều kiện
Trang 19Trang 9 Chương 1 Xác suất của biến cố
Định nghĩa 1.6 (Xác suất có điều kiện) Cho A, 8 là hai biến cố trong
cùng phép thử, IP (A|B) được gọi là xác suất xảy ra biến cô A vdi diễu biện
biến có B đã xảy ra
Ví dụ 1.14 Một hộp có ð viên bỉ trắng và 8 viên bi đen Lấy lần lượt ra
hai viên bi, mỗi lần lầy một viên bi (ấy khơng hồn lại) Tìm xác suất dể
lần lây thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lây được viên bi trang
Gidi Gọi các biến cố:
3 : “Lan thit hai lay duge vién bi trang”,
: “Lan thứ nhất lấy được viên bi trang”
Bài ch yéu cau tim IP (A|B) O day do B da xy ra (lan thit nhat da lay
được viên bi trắng) nên trong hộp còn 4 viên bi trắng và 3 vién bi den
J 5 bi trắng B xây ra „J 4 bi trang
{ 3bi đen - salyrmiuáng | 3biđen
Suy ra
eet" 4
P(A|B) = + = - ~ 0,5714 (AJB) ct 7 57 n
Ví dụ 1.15 Từ một bộ bài tây ð2 lá (4 chất: cơ, rô, chuồn, bích) rút ngẫu nhiên ra 9 lá Tính xác suất:
a Rút được hai lá bài cơ
b Rút được 3 lá bài cơ biết rằng 2 lá bài này màu đỏ
Giải Gọi các biên cỗ:
4A: “Rút được hai lá bai co”,
B : “Rut duge hai 14 bai mau dé”
hx CG:
a Xác suất rút được 9 lá bài cơ: IP (A) = 0, 0588
Bale
b Ta can tinh IP(A[B), do B da xay ra 18 lá bài cơ
Trang 201.3 Xác suất có điều kiện và sự độc lập Trang 10
Ví dụ 1.16 Giả sử trong nhóm 100 người có: 20 người hút thuốc; 30
người nữ, trong đó có 5 người hút thuốc Chọn ra ngẫu nhiên 1 người trong nhóm này, tính xác suất:
a Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ
b Người này là nữ biết rằng người này
hút thuốc
Giải Gọi các biến cố:
A: “Chon dude người hút thuốc”,
8: “Chọn được người nữ”
a Xác suất người này hút thuốc biết rằng người này là nữ: Số nữ hútthuốc |AB| 5
> = = el
lu Số nữ |B] 30'
b Xác suất người này là nữ biết rằng người này hút thuốc:
Số nữ hút thuốc |AB| 5
P(B|A) = >= = rE Oo
la) Số người hút thuốc |A| 20
Định lý 1.7 (Công thức xác suất có điều kiện) Cho A, B la hai bién cb trong cùng phép thử uà IP(B) > 0 Khi đó
IP (AB) PCB)” (1.4)
P(A|B) =
Tính chất 1.8 Xác suất có điều biện có các tính chat:
¿0< P(A|B) < 1 uới mọi biến cố A ii Néu A C A’ thi P(A|B) < P(A'|B)
iii, P (A|B) = 1—P (A[B)
Ví dụ 1.17 Một công ty cần tuyển 4 nhân viên Có 10 người nộp đơn dự
tuyển, trong đó có 4 nữ (khả năng trúng tuyển của các ứng cử viên là như
nhau) Tính xác suất:
a Cä 4 nữ trúng tuyển
b Có ít nhất một nữ trúng tuyển
Trang 21Trang 11 Chương 1 Xác suất của biến cố Giải Gọi các biến cố:
A: “Cả 4 nữ trúng tuyển”, B: “Có ít nhất một nữ trúng tuyển” ä a Xác suất cả 4 nữ trúng tuyển: P (4) = ch + 0,0048 + 10 b Xác suất có ít nhất một nữ trúng tuyển: 0c4 P(B) =1—P(B) = 1 — S366 = 0, 9286, -Ci0
œ Xác suất cả 4 nữ trúng tuyển, biết có ít nhất một nữ trúng tuyển:
P(A5) _ P(A4) _ P0) “ PẲ) * 0.0052 o
IP (A|B) =
1.3.2 Su déc lap
Định nghĩa 1.9 (Hai biến cố độc lập) Hai bién cé A, B trong cùng phép
thứ được gọi là độc lập khi va chỉ khi
P(A|B) = P(AIB) (1.5)
Nhận xét Diều kiện P (A|8) = IP (A|8) nghĩa là biến cỗ ở có xảy ra hay khơng cũng không làm thay đổi “khả năng” xảy ra biến cố 4
Ví dụ 1.18 Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi
Mỗi lần lấy 1 bi (lấy khơng hồn lại) Đặt các biến cố:
A: “Lan 1 ly duge bi den”, B: “Lần 2 lấy được bi trắng”
Ö lần thứ nhất, ta lấy ra một bí sẽ có 2 trường hợp:
© Lấy được bi đen (4 xảy ra):
4bitrắng aa Axảyra Í4bi trắng
6 bi den 5 bi den
nén P (BA) = 4/9
e Lấy được bi trắng (Ã xảy ra):
4bitrắng © Axiyra §3 bi trang foe
6 bi den 6 bi den
Trang 221.3 Xác suất có điều kiện và sự độc lập Trang 12
Vay |? (B|A) = IP (BIA), hay bién c6 A va # khơng độc lập o
Ví dụ 1.19 Thực hiện phép thử tung một đồng xu và một xúc xắc Gọi
các biến cố:
4A: “Đồng xu sắp”,
# : “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc sắc lớn hơn 4”
Hỗi hai biến cố 44 và # có độc lập?
Giải Ta có các biến cố;
A =(SI, S2, S3, S4, S5, S6},
A ={N1,N2,N3,N4,N5, NO},
B ={S5, S6, N5, N6}
"Theo cơng thức xác suất có điều kiện ta có
IP (AB) B\A) = = 1/3, P(BIA) = Say = va ~ _ P(AB) P (BIA) = (214) P(A) =—— = 1/3 /
Suy ra I? (B|A) = P (B]A), vay hai biến cỗ 41 và # độc lập Oo Tinh chat 1.10 Hai bién cd A va B doc lap khi va chi khi có một trong các điều sau:
i P(A|B) = P(A) ii P(AB) = P(A) P(B)
Tính chất 1.11 Nếu hai biến cố A va B độc lập thì các cặp biến có A va
B; Ava B; A va B cũng độc lập
Dinh nghia 1.12 (1 bién c6 déc lap) Cade bién cd Ay, A2, , An được gọi
tà độc lập khi dù chỉ khi
P(Aj, Aig +s Aig) = P(Ai IP (Ai) «1 PAR)
Trang 23Trang 13 Chương 1 Xác suất của biến cô
1⁄4 Các công thức tính xác suất
1.41 Cơng thức nhân xác suất
Định lý 1.13 (Công thức nhân) Cho bai biến cố A, B trong cùng một
phép thử uà IP(AB) > 0 Khi đó
IP (AB) = P(A) P (BIA) = PCB) P (AB) (1.6)
Chứng mình Sừ dụng công thức xác suất có điều kiện (1.4)
Chú ý Theo tính chất 1.10, nếu hai biến cố A va B doc lap thì
P (AB) = P(A)P(B)
Ví dụ 1.20 Một người có 4 con gà mái, 6 con gà trồng nhốt trong một
lông Hai người, đến mua (người thứ nhất mua xong rồi đến lượt người
thứ hai mua, mỗi người mua 3 con) và người bán bắt ngẫu nhiên từ lơng Tính xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người thứ hai
mua hai gà trồng
Giải Gọi các biến cố:
A: “Người thứ nhất mua một gà trồng và một gà mái”,
PB: “Người thứ hai mua hai con gà trồng”
ƒ 4 con gà mái ——————— A xây ra ƒ 3 con gà mái Ta
{ 6 con ga tréng “Ga bin mat gà trồng và một gà mái | 5 con gà trồng
Xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người thứ hai mua hai gà trống là
P(A8) = P(1)P(B|4) = 2 0, 1905 oOo
rary
Dinh ly 1.14 (Cong thite nhan cia n bién cd) Cho Aj,.-.,/ Ay lan bién cb
trong cùng phép thit va P(A, Az An—1) > 0 Khi đó
P(Ai42 4u) =P(Ai)P (42|4i) 1P (43442)
P(An|A1 Az An-1)- (1.7)
Trang 24
1.4 Các công thức tính xác suất Trang 14
1.4.2 Công thức cộng xác suất
Định lý 1.15 (Cộng hai biến cố) Cho hai biến cỗ A, B trong cùng một phép thử, ta có P(A + B) = P(A) + P(B) — P(418) (1.8) Chứng mình Vì A+B=A\B+B\A+AB, A\ B+ AB, ` B= B\A+AB,
va các biến cỗ 4 \ #, Ø \ A và 4 xung khắc với nhau từng đôi nên
P(A + 8) = P(A\ 8) + P(B\ A) + P(AB), P(A) = P(A \ B) + P(AB),
P(B) = P(B\ A) + P(AB)
Suy ra P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB) oO
Chứ ý Nếu hai biến cố A và 8 xung khắc (AB = 9) thi P(A + B) = P(A) + P(B)
Ví dụ 1.21 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có: 40 sinh viên giỏi
toán, 50 sinh viên giỏi văn, 20 sinh viên giỏi cả toán lẫn văn Sinh viên
nào giỏi ít nhất một trong 2 môn này sẽ được thưởng Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên trong lớp, tính xác suất để sinh viên đó được thưởng
Giải Gọi các biến cố:
7 : “Sinh viên được chọn giỏi toán”, V : “Sinh viên được chọn giỏi văn”
Biến cố A = T + V chính là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một
trong hai mơn tốn và văn
P(A) =P(T+V)=P(T)+P(V)—P(TV)
40 50 20 7
= 100 ” 100 — 100 —-— = ~ 10° Oo
Định lý 1.16 (Cộng 3 biến cố) Cho ba biến cỗ A, B uà C trong cùng phép
thử:
P(A+ 8 +€) =P(4) +P(8) +P(C)
— (AB) —P (AC) —P(BC) (1.9)
+P(ABC)
Trang 25Trang 15 Chương 1 Xác suất của biến cố
Chứng mình Vì tổng các biên cỗ có tính kết hợp cho nên
P(A+ B+C) =P((A + B)+C)
=P(A + B)+P(C)—P((A + B)C)
(A) + P(B) —P (AB) + P(C)—P(AC + BC)
=P (A) + P(B) + P(C) — (AB) —P (AC) —P(BC)
+ P(ABC) a
Chú ý Khi ba biến cỗ 4, 8 và C xung khắc nhau từng đôi thi
P(A+B+C)=P(A)+P(B) + P(C) (1.10)
Định lý 1.17 (Công thức cộng tổng quát) Cho các biến cố A¡, A2 An
trong cùng phép thử:
n
P(Ai+-'+Aa) = Ð)P()—S)P(4/A4j)+ > PAA; Ak)
T i<j i<j<k
eee (H1)"") (AL AD An)- (1.11) Chi y Néu Aj, A2, , Ay lan bién cé xung khic từng đôi thi
P(A, + +++ + An) = P (Aq) +++: +P (An) (1.12)
Ví dụ 1.22 Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thì 2 mơn Một sinh
viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhắt là 0,8; nếu đạt mơn thứ
nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt mơn thứ nhất
thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3 Tính xác suất sinh viên A:
Đạt môn thứ hai
Dat i mén, ¿ = 0,1,2
Đạt ít nhất một mơn
Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt một môn
e Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt ít nhất một môn
Boers
Giải Gọi các biến cố:
Ai : “Sinh viên A thi đạt môn ¿”, ¡ Bị : “Sinh viên A thi đạt ¡ môn”, ¡
Trang 261.4 Các công thức tính xác suất "Trang 16
a Xác suất sinh viên A đạt môn thứ hai:
P(42) = P(Ãi4z+ Ai A2) =P (Ay A2) + P (Ai A2) = (Ay) P(AalA1) + P (An) P (Aad A)
= 0,2-0,3+0,8+0,6 = 0,54
b Xac suat sinh vién A dat i mén, i = 0, 1,2:
(Bo) = (A\Az) = P(A,) P (Aa|A1) = 0,2+0,7 = 0,14 (B)) = P(AyAz + Ay A) = P (Ay Aa) +P (412)
= (Ay) P (Aa|A1) +P (Ax) P (A/a)
= 0,2-0,3+0,8-0,4 = 0,38
IP (Bo) = P(A, A2) = (Ay) P(AQ|A1) = 0,8-0,6 = 0,48,
e Xác suất sinh viên A đạt ít nhất một môn:
P(C) =1—P(Ẽ) = 1—P(B6) =1—0,14 = 0,86
d Xác suất sinh viên A đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt một,
môn:
P(A2B1) _ B(A1A2)
: hy bs
P(42|8) = “PẲm > PUD
P(A;) PD iP (A2|A1) _ 0,2-0,3 = TA « 0.1579
© Xác suất sinh viên A đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt ít nhất một mơn:
P(4¿C) _ P(4;) _ 0.54
P(42|€)= ~p(Œ) = PE) ~ 0,86 = 0, 6279 n Ví dụ 1.23 Một người có 3 con gà mái đẻ trứng độc lập, xác suất đẻ trứng
trong ngày của con gà I, II, TII lần lượt là 0,4; 0,7; 0,8 Tính xác suất: a Có ¡ con gà đẻ trứng trong ngày, ¡ = 0 l,2, 3
b Có ít nhất 1 con gà đẻ trứng trong ngày e Có nhiều nhất 2 con gà đẻ trứng trong ngày
d Con ga thit I dé tring trong ngày biết rằng trong ngày đó có 1 con
Trang 27Trang 17 Chương 1 Xác suất của biến cố
e Con ga thit I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có ít nhất
1 con đẻ trứng
£ Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có nhiều nhất 2 con đẻ trứng
Giải Gọi các biễn cố:
4¡ : “Con gà thứ ¡ đẻ trứng trong ngày”, ¿ = 1, 2,3,
%Gó ¡ con gà đẻ trứng trong ngày”, ¡ = 0,1,2,3,
t nhất một con gà đẻ trứng trong ngày”,
D : “Có nhiều nhất 2 con gà đề trứng trong ngày”
a Xác suất có ¡ con gà đẻ trứng trong ngày, ¿ = 0,1, 2,3:
IP(Bo) = P(A,A2A3) = P (A1) P (Aa) P (4a)
0,6-0,3-0,2 = 0,036
P() = P(AIÃ24a3+ Ati4243 + Ai4:24a)
= IP.(AiÃz43) +PP(Ãi4zÃa) + P (Ay A243) = 0,252
P(B2) = P(A,A2A3 + At A2A3 + A1 A243)
= IP (A, A2A3) + P(A, A243) + P (A1 A243) = 0, 488
P(B3) = P(A, A2A3) = P(A1) P(A2) P (Aa) = 0,224
b Xác suất trong ngày có ít nhất 1 con gà đẻ trứng:
P(C) =1—P(C) =1— (Bo) = 1 — 0,036 = 0, 964 œ Xác suất trong ngày có nhiều nhất 2 con gà đẻ trứng:
P(D) =
—P (5) = 1-2 (83) = 0,776
đ Xác suất con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có
1 con đẻ trứng:
P(AiB) - P(Ai4a¿Ã:
P(A) = Em) PD = 0,0952
e Xác suất con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có ít nhất 1 con đẻ trứng:
P(€) _ (An)
Trang 281.4 Các công thức tính xác suất Trang 18
f Xác suất con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày dó có nhiều nhất 2 con đẻ trứng:
P(AiÐ) _ P(4i4z4Ãa + 4i424a3 + 4i4a243)
P(D) _ P(D)
0, 176
= 0.776 = 0, 2268 a
IP (A\|D) =
1.43 Công thức xác suất đầy đủ
Định nghĩa 1.18 (hệ day đủ) Cớc biến có A\ An trong cùng phép thử được gọi là hệ day đủ nếu thỏa mãn hai điều hiện:
i, Xung khắc từng đôi một nghĩa là AiA¿ = 0,Vi # j,
ti, Ay ees + An = QQ
Ví dụ 1.24 Một ví dụ đơn giản về hệ đầy đủ là hệ gồm hai biến cố 4 và
A bởi vì 4 + 4 = 9 và 4A = Ø n
Vi dụ 1.25 Từ một lọ có 4 bi trắng và 6 bi đen lấy ra một lần 2 bi Gọi các biến cố:
Áo : “Lấy được 0 bị đen”,
A, : “Lay được 1 bi đen”,
4a : “Lấy được 3 bi den”
Khi đó 4o, 4, 42 là đầy đủ a
Định lý 1.19 (Công thức xác suất đây đủ) Xét phép thử có A\, A2 An
là hé day di vdi P (Aj) > 0, uà B là biến có trong cùng phép thử:
IP (B) =P (Ai) P(B|A1) + PP (42) P (B42) + + (1.13)
P (An) P(BIAn)
Chứng mình Đồi vì Ai A2 An la hé day đủ nên
Q= Ay + Ages + Ane
Do BC 8, ta cd
B= BQ = A,B + 42 + - + AnB
Vì A¿801A/8 = Ø vôi mọi ¡ # j cho nên
PB) = P(A, B) + P(A2B) + +++ + P(AnB)
“Pheo công thức nhân xác guất (1.6) ta được
Trang 29Trang 19 Chương 1 Xác suất của biến cố Ví dụ 1.26 Một lô sản phẩm do hai máy sản xuất ra Tỷ lệ sản phẩm do máy T, II sản xuất tương ứng là 65% và 35% Tỷ lể phế phẩm của máy
Ilà 0,02 và của máy II là 0,03 Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác
suất để sản phẩm chọn được là sản phẩm tốt
Giải Gọi các biến cố:
4¡ : “Sản phẩm chọn được do máy ¿ sản xuất”, ¡ = 1,2, B8 : “Sản phẩm chọn được là sản phẩm tốt” | Chọn sản phẩm I P(1)=0.65———— T.(B|A\) = 0,98 Chọn sản phẩm II P (Az) = 0,35 ————>_ P(B|Az) = 0,97 4¡ và 4; là hệ đầy đủ, theo công thức xác suất đầy đủ ta có
P(8) = P(4Ai)P(B|Au) + P(42) P (842)
= 0,650, 98 + 0,35 - 0, 97 = 0, 9765 Oo
1.4.4 Công thức xác suất Bayes
Định lý 1.20 (Công thức xác suất Bayes) Xét phép thử có A\ A+ An là hệ đây đủ vdi IP (A¡) > 0, uà B là biến cỗ trong cùng phép thử (I'(B) > 0)
P(AB) _ _ P(4)P(8|A/) w (1.14) BY j=l SS P(4y) PCBIAS) P (|8) =
Chứng mình Ap dụng cơng thức xác suất có điều kiện (1.4) và công thức xác xuất diy
đủ (1.13) La được điều cần chứng minh o
Vi du 1.27 Một lớp có số học sinh nam bằng 2⁄3 lần số học sinh nữ Tỷ
lệ học sinh nam giỏi toán là 40% và tỷ lệ học sinh nữ giỏi toán là 30%
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp này, tính xác suất:
a Học sinh này giỏi toán
b Học sinh này là nam, biết rằng học sinh này giỏi toán
Giải Gọi các biến cố:
Ai : “Chọn được học sinh nam”, 4¿ : “Chọn được học sinh nữ”,
Trang 301.4 Các cơng thức tính xác suất Trang 20
P(A)= lã chọn đượ 4! 5MT`L ¬, mẹDI219<=(0/4 nam sinh
ký 4a xây ra
P(412)=z—————m(#|4;)=0.3 Gì) Š đã chọn dược nữ sinh (42)
a 4i, 442 là hệ đây đủ, theo công thức xác suất dầy đủ ta có IP(8) = P(AI)P(Đ|4i) + P(42)1P(8|A2)
2 a
= = 0+ 0.3 r+ = = 0,34 34
b 41¡, 4; là hệ đầy đủ, theo công thức Bayes ta có
P(Œ1)P(2|4i)_ 2 0,4
CS m (By CN 0, 4706 Oo
Ví dụ 1.28 Có hai chuồng gà: chuồng I có 10 ga tréng va 8 ga mai; chuồng II có 12 trống và 10 mái Có hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II Sau đó có hai con gà chạy ra từ chuồng II Tính xác suất:
IP(Ai|8)=
a Hai con gà chạy từ chuồng I sang chuỗng II là 2 con trống và hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trống
b Hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống
e Biết rằng hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống, tính xác
suất hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống
Giải Gọi các biễn cố: y
A; : “Hai con ga từ T —> II có ¿ con gà trỗng”, ¡ = 0,1,2,
8: “Hai con chạy ra từ chuồng II là 2 con gà trống”
Ccủc Ao xã c?
P (Ao) = 1 -* aan P(BIAG) = ate
Cis : II có 19 trỗng + 12 mái cá Cio Ay xa Cc; P(A)) = oe LE PBA) = Cis 2 THỊ có 18 tréng + 11 mái cu CC Az xii e P (Ag) = TH 84 2 2" , p(pjaz) = <4
CẾn - IIcó 14 trống + 10 mái Cấy
a Xác suất hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con trống và
hai con gà chạy ra từ chuồng II cũng là hai con trồng:
IP (A2B) = P.(4z)PF(#|42)
_ CũC§ Cia 0,097
Trang 31Trang 21 Chương 1 Xác suất của biến cố b Xác suất hai con gà chạy ra từ chuồng II là hai con trống:
P(B) = (Ao) P (BlAo) +P (A1) P(BIA1)
-FP (42) P (B|A2) ~ 0, 2885
e Biết rằng hai con gà chạy ra từ chuồng II la hai con trồng, xác suất hai con gà chạy từ chuồng T sang chuồng TT là 2 con gà trồng:
IP (Ag) IP(8|4a)
= 0, 3362
P(B) 0, 336: n
P(A2|B) =
1.5 Bài tập tự luận chương 1
Bài tập 1.1 Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi; 20
học sinh khá và 12 học sinh trung bình Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có:
a Một học sinh trung bình, một học sinh khá và một học sinh giỏi b Có ít nhất một học sinh giỏi
Bài tập 1.2 Một nhóm có 30 nhà đầu tư các loại, trong đó có: 13 nhà đầu
tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán và 10 nhà đầu tư cả vàng lẫn chứng
khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên 1 nhà đậu tư trong nhóm Tính xác suất để người đó gặp được nhà đầu tư vàng hay chứng khoán
Bài tập 1.3 Từ một hộp chứa 3 bỉ đỏ và 7 bi xanh người ta bốc ngẫu
nhiên ra 2 bi Gọi 4: “bốc dược bi đỏ”; #:; “bốc được bi xanh” Hãy tính P(A|B) va P(BIA)
Bài tập 1.4 Một người có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị hỏng Người
đó thử ngẫu nhiên lần lượt từng bóng đèn (khơng hồn lại) cho đến khi
chọn được 1 bóng tốt Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2
Bài tập 1.5 Một sinh viên học hệ niên chế được thí lại 1 lần nếu lần thi
thứ nhất bị rót (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên này thì đỗ lan 1 và lần 2 tương ứng là 60%, 80% Tính xác suắt sinh viên này thi đỗ,
Bài tập 1.6 Có hai người 4 và Ö# cùng đặt lệnh (độc lập) để mua 6 ph
của một công ty với xác suất mua được tương ứng là 0,8 và 0,7 Biế răng
có người mua được, tính suất để người 4 mua được cổ phiếu này
Bài tập 1.7 Ông 4 bắn lần lượt 2 viên đạn vào 1 mục tiêu và mục tiêu sẽ
Trang 321.5 Bài tập tự luận chương 1 Trang 22
mục tiêu là 0,8 Nếu viên thứ nhất trúng mục tiêu thì xác suất viên thứ
hai trúng là 0,7 Nếu viên thứ nhất không trúng thì xác suất viên thứ
hai trúng mục tiêu là 0,3 Biết rằng ông 4 bắn trúng, tính xác suất để
mục tiêu bị phá hủy
Bài tập 1.8 Trong địp tết, ông 4 đem bán 1 cây mai lón và 1 cây mai nhỏ Xác suất bán được cây mai lớn là 0,9 Nếu bán được cây mai lớn thì xác suất bán được cây mai nhỏ là 0,7 Nếu cây mai lớn khơng bán được thì xác suất bán được cây mai nhỏ là 0,9 Biết rằng ông 4A bán được ít nhất 1 cây mai, tính xác suất để ơng 4 bán được cả hai cây mai
Bài tập 1.9 Hai người 4 và Ø cùng chơi trò chơi như sau: Cả hai luân
phiên lấy mỗi lần 1 viên bi từ một hộp dung 2 bi trắng va 4 bi den (lay khong hoàn lại) Người nào lấy ‹ được bi trắng trước thì thắng cuộc Giả sử
A lây trước, tính xác suất 4 thắng cuộc
Bài tập 1.10 Một hộp gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh Hai người lần lượt lấy ra từng viên theo phương thức khơng hồn lại, người nào lấy
được viên bi xanh trước thì thắng cuộc Tìm xác suất để người thứ hai (người chơi ở lượt thứ hai) thắng cuộc
Bài tập 1.11 Có hai hộp đựng bút chì: hộp I có 10 bút màu đỏ và 1õ bút
màu xanh; hộp có II 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút, tính xác suất sao cho trong hai bút lấy ra có:
a Ít nhất một bút màu đỏ
b Chỉ có một bút màu đỏ e Hai bút có màu giống nhau
Bai tap 1.12 ([2]) Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 7 giờ đến 8 giờ Mỗi người đến điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lập với nhau, chờ trong 30 phút hoặc đến 8 giờ thì khơng đợi nữa Tìm xác suất để hai người gặp nhau
Bai tap 1.13 Có ] hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp, xác suất để hai xe chỡ hàng về đến xí nghiệp đúng giờ lần lượt là 0, 7 và 0, 6 Tìm xác suất sao cho:
a Chỉ có một xe chở hàng về tới xí nghiệp đúng giờ: b Xí nghiệp nhận được hàng đúng giờ
Trang 33Trang 23 Chương 1 Xác suất của biến cỗ
a Tính xác suất hoàn thành kế hoạch của xí nghiệp thứ nhất
is, Biết všHb ¿õ.löột,sĩ nghien Hoan thàx kể Hoacb„ Vai xáe suất xã
nghiệp thứ nhất hoàn thành kế hoạch
Bài tập 1.15 Trong một thành phố, tỷ lệ người có xe máy là 80%, tỷ lệ
người có ơ tơ là 30% Bất kỳ người nào cũng có xe máy, ơ tơ hoặc cả hai a Tính tỷ lệ người có cả xe máy và ô tô
b Trong số những người có ô tô, tính tỷ lệ người có xe máy
e Trong số những người có xe máy, tính tỷ lệ người có ơ tơ
Bài tập 1.16 Một hộp đựng 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3
quả sau khi chơi xong người ta trả 2 quả vào hộp 'Tìm xác suất để sau ba
lần lấy bóng ra chơi tất cả các quả bóng đều được sử dụng
Bài tập 1.17 Một công ty quảng cáo sản phẩm thông qua hai phương
tiện: báo chí và Tivi Được biết có: 30% biết thơng tin về sản phẩm qua báo chí; 50% biết qua Tivi; 20% biết qua báo chí và Tivi Chọn ngẫu
nhiên một khách hàng Tính xác suất khách hàng này biết thông tin về
sản phẩm:
a Thơng qua ít nhất một phương tiện trên b Không phải hai phương tiện trên
Bài tập 1.18 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn cùng kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỷ lệ bóng hỏng là 1%; 30 bóng màu vàng với tỷ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ cửa hàng này Tính xác suất để người này:
a Mua được bóng đèn tốt
b Mua được bóng đèn màu vàng, biết rằng người này chọn mua được bóng đèn tốt
Bài tập 1.19 Có hai chuồng thỏ: chuồng thỏ I có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ đen; chuôồng II có 5 thỏ trắng và 3 thỏ đen Quan sát thấy có 1 con thỏ chạy từ chuồng T sang chuồng II, sau đó có 1 con thỏ chạy ra từ chuồng II Tính xác suất để:
a Con thỏ chạy ra từ chuồng II là thỏ trắng
b Con thỏ chạy từ chuồng I sang II là con thỏ đen, biết rằng con thỏ
Trang 341.5 Bài tập tự luận chương 1 Trang 24
Bài tập 1.20 Có một kho bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau
(34 lon/thùng) gồm 2 loại: loại I để lẫn mỗi thùng 5 lon quá hạn sử dụng; loại II để lẫn mỗi thùng 3 lon quá hạn sử dụng Biết rằng số thùng bia
loại I bằng 1,5 lần số thùng bia loại II Chọn ngẫu nhiên 1 thùng trong
kho và từ thùng đó lấy ra 10 lon Tính xác suất chọn phải 9 lon bia qua hạn sử dụng
Bài tập 1.21 Có 20 thùng hàng giống nhau gồm 3 loại: 8 thùng loại I; 7 thùng loại IT; õ thùng loại II Mỗi thùng hàng có 10 sản phẩm và số sản phẩm tốt tương ứng cho mỗi loại lần lượt là 8, 7 và 5 Chọn ngẫu nhiên 1
thùng hàng và từ thùng đó lấy ra 3 sản phẩm
a Tính xác suất có 9 sản phẩm lấy ra là tốt
b Tính xác suất có 2 sản phẩm lấy ra là tốt và của thùng hàng loại II
e Giả sử có 2 sản phẩm lấy ra là tốt, tinh xác suất 2 sản phẩm này là
của thùng hàng loại II
Bài tập 1.22 Nhà máy X có 3 phân xưỡng A, 2, € tương ứng sản xuất
ra'20%;'930% Và B0% tổng gân bhẩrn của nhà máy, Giá sử tỷ lệ sản ghẩmm
hỏng do các phân xưởng 4, #, C tương ứng sản xuất ra là 1%, 2%, 3%, Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy X sản xuất ra
a Tính xác suất (tỷ lệ) sản phẩm này là hỏng
b Tính xác suất sản phẩm này hồng và do phân xưởng 4 sản xuất ra e Biết rằng sản phẩm được chọn là hỏng, tính xác suất sản phẩm này
là do phân xưởng 4 sản xuất ra
Bài tập 1.28 Tỷ là tơ tái ưtâ cón và xe rấy đi qua đường X có tram
bơm dẫu là ð : 3 : 13 Xác suất để ôtô tải, ôtô con và xe máy đi qua đường này vào bơm dầu lần lượt là 0,1; 0,3 và 0,15 Biết rằng có 1 xe đi qua
đường X vào bơm dầu, tính xác suất để đó là ơtơ con
Bài tập 1.24 Một địa phương có 45% đàn ơng và 55% đàn bà, trong đó
3% tỷ lệ đàn ông và 2% tỷ lệ đàn bà bị loạn sắc Chọn ngẫu nhiên một người trong địa phương đi khám mắt
a Tính xác suất để người này bị loạn sắc
b Nếu người này bị loạn sắc, tính xác suất để người này là dàn ông
Trang 35
Trang 25 Chương 1 Xác suất của biến cố
a Tính xác sudt dy được lọ thuốc 4 hết hạn sử đụng:
b Tính xác suất lọ thuốc lấy ra từ thùng đã hết hạn sử dụng
e Giả sử lầy được lọ thuốc còn hạn sữ dụng, tính xác suất lọ này là lọ
thuốc loại B
Bài tập 1.26 Nhà máy có hai phân xưởng, sản lượng của phân xưởng I gấp 3 lần sản lượng của phân xưởng II Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng 1,11 lần lượt là 7% và 12% Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, tính xác suất:
a Chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất
b Chọn được phế phẩm
e Sản phẩm này đo phân xưởng I sản xuất, biết sản phẩm này là sản phẩm tốt
Bài tập 1.27 Một người buôn bán bất động sản đang cố gắng bán một mảnh đất lớn, Ông ta tin rằng nếu nền kinh tế tiếp tục phát triển, khả năng mảnh đất được mua là 80%; ngược lại nếu nền kinh tế ngừng phát triển, ơng ta chỉ có thể bán được mảnh đất đó với xác suất 40% Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế, xác suất nền kinh tế tiếp tục tăng trưởng
là 65% Tính xác suất để bán được mảnh dat ,
Bài tập 1.28 Có ba lơ hàng mỗi lơ có 20 sản phẩm, số sản phẩm loại A
có trong 16 I, IT, TIT lan lượt là: 19; 14; 16 Bên mua chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng 3 sản phẩm, nếu lô nào cả 3 sản phẩm đều loại A thì bên
mua nhận mua lô hàng đó Tính xác suất:
a Lô thứ ¡ được mua, ¿¡ = 1,2,3
b Có ¿ lô được mua, ¿ = 0,1,2,3
e Có nhiều nhất hai lơ được mua d Có ít nhất một lơ được mua
e Lô II được mua, biết rằng có ít nhất một lô được mua £ Lô I và II được mua, biết rằng có ít nhất một lô được mua
g Lô II được mua, biết rằng có một lơ được mua
Bài tập 1.29 Có 3 hộp thuốc: hộp I có 7 ống thuốc tốt 3 ống thuốc xấu;
hộp II có 4 ống tốt và 1 ống thuốe xấu; hộp III có 3 ống thuốc tốt Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó rút ngẫu nhiên ra 2 ống thuốc Tính
Trang 361.5 Bai tap tự luận chương 1 Trang 26
a Lấy được một ống thuốc tốt và một ông thuốc xấu
b Hộp II dược chọn, biết rằng lấy được một ống thuốc tốt và một ống thuốc xấu
Bài tập 1.30 Có 6 hộp: trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp đựng 3 chỉ tiết xấu và 5 chỉ tiết tốt; 4 hộp loại II, mỗi hợp dung 4 chi tiết xấu và 6 chỉ
tiết tốt Lầy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lẫy ra hai chỉ tiết máy, tính xác suat: 4
a Lấy được hai hai chỉ tiết tốt
b Lấy hai chỉ tiết máy lấy từ hộp loại I, biết rằng hai chỉ tiết máy này là tốt
Bài tập 1.31 Bảng tin điện báo gồm tín hiệu chấm () và tín hiệu gạch
(-) Qua thống kê cho biết 1/5 tín hiệu chấm khi truyền di bị bóp méo
thành tín hiệu gạch, 1/3 tín hiệu gạch khi truyền đi bị bóp méo thành tín
hiêu chấm Biết rằng số tín hiệu gạch bằng 3⁄4 số tín hiệu chấm Tính
xác suất:
a Tín hiệu truyền đi nhận được đúng
b Tín hiệu truyền đi là tín hiệu gạch, biết rằng tín hiệu truyền đi và
nhận đúng
e Tín hiệu truyền đi nhận được tín hiệu gạch
d Tín hiệu truyền đi và nhận được đúng, biết rằng nhận được tính
hiệu gạch
Bài tập 1.32 Tỷ lệ người bị bệnh A trong dân số là 15% Có một xét
nghiệm bệnh này, qua đó ai mắc bệnh sẽ cho kết quả dương tính, ngược
lại âm tính Biết tỷ lệ phản ứng dương tính nhằm là 5% (tức trong số
những người khơng bị bệnh có 5% số người thử ra phản ứng dương tính)
và tỷ lệ phản ứng âm tính nhằm là 8% (tức trong số những người bị bệnh
có 8% số người thử ra phản ứng âm tính) Một người xét nghiệm bệnh
này, tỉnh xác suất:
Kết quả xét nghiệm đúng
Người này bị bệnh A, biết rằng kết quả xét nghiệm đúng Người này có kết quả dương tính
d Người này bị bệnh A, biết rằng kết quả xét nghiệm đương tính soe
Trang 37Trang 27 Chương 1 Xác suất của biến cô
bắt kỳ nhóm máu nào; người đó có nhóm máu còn lại là A, B hoặc O thì chỉ có thể nhận máu của người có cùng nhóm máu với mình hoăc nhóm máu O Cho biết tỷ lệ người có nhóm mau A, B, AB và O tương ứng là
37,5%; 20, 9%; 7, 9% và 33,7% Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu
và một người cho máu Tính xác suất để sự truyền máu thự hiện được
Bài tập 1.34 Dân cư trong thành phố X có nhóm máu phân bồ theo tỷ
lệ như sau: Nhóm máu Oo A B AB Tỷ lệ 25% | 40% | 25% | 10%
Dân cư thành phố Y có nhóm máu phân bồ theo tỷ lệ sau:
[Nhóm máu | Õ A B | AB Tỷ lệ 45% | 40% | 10% | 5%
Biết rằng một người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bắt kỳ nhóm
mau nao, nếu một người có máu thuộc các nhóm con lai (A hay B hay O)
thì chỉ có thể nhận máu của người cùng nhóm máu với mình hay người
có nhóm máu O Giả sử có một người cần nhận máu là người thành phố
X, và một người cho máu là người thành phố Y Tinh xác suất:
a Có thể truyền máu được nếu người nhận có nhóm máu B
b Có thể truyền máu được nếu chưa biết nhóm máu của người nhận
Bài tập 1.35 Một cặp sinh đôi được gọi là thực sự nếu do cùng một trứng sinh ra và trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính Nếu cặp đó
do hai trứng sinh Ya thì xác suất để cặp đó cùng giới tính là 0,2 xác suất để cặp sinh đôi cùng trứng sinh ra (trên tổng số trẻ sinh đôi) là p Tính
xác suất để một cặp sinh đôi thực sự, biết rằng cặp này có cùng giới tính
Bài tập 1.36 Một nhà máy sản xuất một chỉ tiết của máy vi tính có tỷ lệ
sản phẩm đạt tiêu chuẩn chất lượng là 85% Trước khi xuất xưởng người
ta dùng một thiết bị kiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt yêu cầu chất
lượng hay không Thiết bị này có khả năng phát hiện đúng sản phẩm
đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0,9 và phát hiện đúng sản phẩm không
đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 95 Tính xác suất để một sản phẩm dược chọn ngẫu nhiên sau khi kiểm tra:
a Được kết luận là đạt tiêu chuẩn
b Dược kết luận là đạt tiêu chuẩn thì lại không dạt tiêu chuẩn
Trang 381.5 Bài tập tự luận chương 1 Trang 28
Bài tập 1.37 Một người bắn 3 phát dạn vào một mục tiêu một cách độc
lập Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi phát lằn lượt là 0,55; 0,6; 0,7 Xác
suất mục tiêu bị hạ khi bí trúng 1, 9, 3 phát đạn lần lượt là 0,2; 0,4; 0,8
Tính xác suất:
a Có ¡ phát trúng mục tiêu, ¿ = 0,1,2,3
b Có nhiều nhất 2 phát trúng mục tiêu e Tính xác suất mục tiêu bị hạ
d Phát thứ T trúng mục tiêu; biết rằng có 2 phát trúng mục tiêu
e Phat thứ nhất trúng mục tiêu, biết rằng mục tiêu bị ha
f Mục tiêu bị hạ, biết rằng có nhiều nhất 3 phát trúng mục tiêu
Bai tap 1.38 ([6]) Trên bàn có 5 dồng xu (3 sắp, 2 ngửa) Tung tiếp lên bàn 9 đồng xu, sau đó khoanh ngẫu nhiên lấy 4 dồng xu
- Tính xác suất 4 đồng xu khoanh có đúng 3 dồng xu sắp
_ Giả sử khoanh lấy 4 đồng xu thì được 3 đồng xu xắp Tính xác suất
9 đồng xu tung trước đó là 2 đồng xu ngửa
Bài tập 1.39 Có 3 bình dựng bỉ: bình I có 4 bi trắng và 6 bi den; bình TI có 7 bỉ trắng va 3 bi den; binh III cé 6 bi tring va 8 bi den Tix binh I va
bình II, mỗi bình lấy 1 bi và bỏ sang bình III Tiếp theo, từ bình II lấy
ra tiếp 3 bi Tính xác suất:
a Hai bi lay ra tit binh I và II có ¿ bi trắng, ¿ = 0,1,2 b Ba bi lay ra từ bình IH có hai bi trắng
œ Giả sử ba bi lấy từ bình III có hai bi trắng, tính xác suất hai bi lấy
từ bình I và II là bai bi đen
Bài tập 1.40 Hai kẻ trộm đeo mặt nạ, bị cảnh sát đuổi bắt, bèn vứt mặt
nạ đi và trà trộn vào đám đông Cảnh sát bắt giữ tồn bộ đám đơng, tổng
cộng 60 người, và dùng máy phát hiện nói đối để điều tra xem ai trong
đám đông là kẻ trộm Biết rằng đối với kẻ trộm, xác suất bị máy nghỉ có
tội là 85%, nhưng dối với người vô tội, thì xác suất để bị máy nghỉ nhằm thành có tội là J7% Chọn ngẫu nhiên một người trong đám đông này để
điều tra Biết rằng máy nghỉ người này có tội, tính xác suất người này là
Trang 39Trang 29 Chương 1 Xác suất của biến cố
1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1
Câu 1.1 Cho lP (4) = 0,2 và IP(8) = 0,4 Giả sử A và # độc lập, chọn
phát biểu đúng:
A P(A|B) = P(A) =0,2
B P (A|B) = P(A) /IP(B) = 1/2 C P(A|B) = P(A) P(B) = 0,08 D P(A|B) = P(B) = 0,4
Câu 1.2 Hai người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, mỗi
người bắn một viên đạn Khả năng bắn trúng của người I; II là 0,8; 0,9
Biết mục tiêu bị trúng đạn, xác suất người II bắn trúng là:
A 0,98 B 0,72 C, 0,9184, D 0,8163
Câu 1.3 3 sinh viên cùng làm bài thi một cách độc lập Xác suất làm
được bài của sinh viên A; B và Ở lần lượt là 0,8; 0,7 và 0,6 Xác suất để
có 1 sinh viên làm dược bài là:
A, 0,452 B 0,188 C 0,976 D 0,664,
Câu 1.4 3 sinh viên cùng làm bài thi một cách độc lập Xác suất làm
được bài của sinh viên A; B và € lần lượt là 0,8; 0,7 và 0,6 Biết có 2 sinh
viên làm được bài, xác suất sinh viên € làm được bài là:
A 0,6148 B 0,396 C 0,5044, D, 0,1915
Cau 1.5 Cho P(A + B) = 0,7 va P(A + 8) = 0,9, Xác định P (A):
A 0,2 B 0,3 C 0,4 D 0,6
Câu 1.6 Cho (4) = 0,1 và P(48) = 0,3 Xác định P(B|A):
A 0,25 ~ B 0,03 C 0,40 D 0,10,
Câu 1.7 Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn Một sinh viên
A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8 Nếu đạt mơn thứ
nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3 Xác suất để sinh viên A đạt môn thứ
hai là:
A 0,72 B 0,48 C 0,86 D 0,54
Cau 1.8 Một công ty quảng cáo sản phẩm thông qua hai phương tiện
báo chí và Tivi Được biết có: 30% biết thơng tin về sản phẩm qua báo
chí; 50% biết thơng tin về sản phẩm qua Tivi; 35% biết thông tin về sản
phẩm qua báo chí và Tivi Chọn ngẫu nhiên một khách hàng Biết rằng khách hàng này biết thông tin về sản phẩm thông qua chỉ một phương tiện trên, xác suất người này biết thông tin về sản phẩm qua tivi là:
Trang 401,6 Bài tập trắc nghiệm chương 1 Trang 30 Câu 1.9 Hai xạ thủ cùng bắn vào một tắm bia, mỗi người bắn một phát Xác suất xạ thủ I, II bắn trúng là 70%; 80% Đặt các biến cố: A: “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng” B: “Xa thủ I bắn trúng” Xác suất P(B/A) là: A P(B/A) = 7/19 B, P(B/A) = 1/2 C, P(B/A) = 1/2 D P(B/A) = 1/2
Câu 1.10 Một nghiên cứu ghỉ nhận 937 người chết trong năm 1999 có:
+ 210 người chết do bệnh tim
+ 312 người có bố hoặc mẹ cố bệnh tim Trong 312 người này có 102
người chết đo bệnh tim
Xác suất chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 937 người chết này thì người này chết không phải do bệnh tim, biết rằng người này có bố hoặc
mẹ có bệnh tim là:
A 0,3269 B 0,6731 C 0,1732 D 0,5142
Cau 1.11 Hai xi nghiép hoạt động độc lập nhau, xác suất chỉ có một xí nghiệp hồn thành kế hoạch là 0,46 Xác suất hoàn thành kế hoạch của
xÍ nghiệp thứ hai là 0,6 Biết rằng có một xí nghiệp hồn thành kế hoạch, xác suất xí nghiệp thứ nhất hoàn thành kế hoạch là:
A 0,6087 B 0,7955 C 0,88 D 0,42
Câu 1.12 Một người có 3 con gà mái, xác suất đẻ trứng trong ngày của
con gà I; IT va III lan lượt là 0,55; 0,6 và 0,7 Xác suất có 2 con ga dé trứng
trong ngày là:
A 0,054 B 0,273 C 0,442 D 0,231
Câu 1.13 Một hộp bóng bàn có 20 bóng mới và 8 bóng cũ Lần thứ I lây ra 2 bóng để sử dụng sau đó cho vào lại hộp, lần thứ II lấy ra 3 bóng Biết rằng 3 bóng lấy lần II là 3 bóng mới, xác suất trong 2 bóng lấy lần dầu có 1 bóng mới là:
A 0,2762 B 0,4533 C 0,0397 D 0,0934
Câu 1.14 Có hai chuồng gà: Chuồng I có 10 gà trồng và 8 gà mái; Chuông II có 19 trống và 10 mái Có hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II
Sau đó có hai con gà chạy ra từ chuồng II Xác suất hai con gà chạy ra từ chuông II là hai con trống là:
A 0,2886 B 0,3361 € 0,1518 D 0,5114
Câu 1.15 Một lô hàng do ba nhà máy I, II, TII sản xuất Tỷ lệ sản phẩm
do nhà may I, II, TII sản xuất tương ứng là 30%; 20%; 50% và tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 1%; 2%; 3% Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, xác suất để sản phẩm này không phải phế phẩm là: