Cách Giải phương trình vô tỉ

Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình vô tỉ được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với học sinh trường THCS Yên Lạc. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ

Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 3-6

Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 6-7

Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 7-9

Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

20-23

Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 24 Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 25-

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú vị của đại số, đã lôi cuốn

nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý

tưởng phong phú và tối ưu Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng

phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê

toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy

Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù

hợp Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt

và sáng tạo Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có

mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS

Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo

chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng

như ôn thi học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với hoc

sinh trường THCS Yên Lạc

Trong SKKN này đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải

phương trình vô tỉ:

Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA

Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:

Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học

sinh tự luyện

Tôi hy vọng SKKN này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và

giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học qua các phương trình vô

tỷ

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai

sót Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các

thầy cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn!

Mọi đóng góp xin gửi về : duc.hanh.yendong@gmail.com

Tôi xin cảm ơn!

PHẦN II- NỘI DUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

* PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA

x x

x x

x x

HD:Đk: 0x 3 khi đó pt đã cho tương đương:

HD:Đk: x  3 phương trình tương đương :

– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm

– Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000)

– Nếu  3  m  0 hoặc m  3: phương trình vô nghiệm

HD: Điều kiện: x ≥ 0

– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x  1)  0  có hai nghiệm:

a) Giải phương trình khi m=3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a/ x 7 x 3  9  0 d/ 1 1 9 1 3 1 17

– Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

– Nếu x  2 : (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)

Với y = 3  x + 1 = 9  x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8

Bài 3:Giải phương trình: x  2 2x 5  x 2  3 2x 5  7 2

Pt  x  1 2 x   1 1 x  1 2 x   1 1 2

 x   1 1 x  1 1  2

Nếu x 2 pt  x   1 1 x   1 1 2  x 2 (Loại)

Nếu x 2 pt  x    1 1 1 x  1 2  0x 0 (Luôn đúng với x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S xR| 1  x 2

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt

 

t f x và chú ý điều kiện của tnếu phương trình ban đầu trở thành

phương trình chứa một biến tquan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo tthì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ”

Bài 1 Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2

HD:Điều kiện: x 1

Nhận xét x x2 1 x x2 1 1

Đặt t x x21 thì phương trình cĩ dạng: t 1 2 t 1

t

Thay vào tìm được x 1

Bài 2 Giải phương trình: 2x26x 1 4x5

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 và x 2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:x 2 x 1 3 1

y y

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được

một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: 2 2

0

u  uv v  (1) bằng cách

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

 Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1 Giải phương trình: 3 3 3 3

Bài 2 Giải phương trình: 4

2

4

11

22

vào tìm nghiệm của phương trình

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

HD:Điều kiện: x 1

Đặt a x1,b 5 x1(a0,b 5) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

8 4  4 





Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 7 Giải phương trình:

2 2

x x

x x

3

2

1 1

v x

u x

Do dó ta có hệ

2 2

3 3

194 8

3

2

) ( 0 18

194 8

y

a y

97 1

; 2

3 2

97

1

2 1

2 2 2 1

1 1

y v

y u y v

y u

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

3

3 2

97 1

97 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

2

3 2

97 1

Bài 8 Giải phương trình: 4 18  5x  4 64  5x  4

HD:Với điều kiện

18 5

64 5 18 0

x x

x u

5 64

5 18

82 ) ( 2 4

2 2 4

4

v v

uv v

u

v u

4 0

0 87 32

4

0 ,

0

82 2

2

4

2

2 2

2

P

P P

1

v

u v

(2) Với S = 4, P = 29  không tồn tại u và v

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  

việc giải hệ này thì đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y f x  sao cho (2) luôn đúng , y x2 1 , khi đó ta có phương trình :

Việc chọn  ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng

Trừ hai vế của phương trình ta được (xy x)(  y)0

Cách 2: Đặt 2x   1 t a2x 1 t2 2ata2

Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2

kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:

2 2

Giải hệ này ta sẽ tìm được x

Bài 2 Giải phương trình: 2x26x 1 4x5

Với x y 1 0 y 1 x 2x 1 4x5 (vô nghiệm)

28

x x

PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình AB

Ta có : 1x 1x2 Dấu bằng khi và chỉ khi x 0 và

21

51

Bài 3 Giải phương trình: x3`3x28x40 8 4 4 x40

Theo giả thiết dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6

Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1

x 4x 1

x 4x 1 0 (x 2) 3

Vậy :x 2  3

HD: Cách 1 điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1   5x 1   vế trái luôn âm

Vế phải: 3x  2≥ 1  vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Ta có: Vế trái ≥ 4  9    2 3 5 Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra  x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

3  x  2  x 

HD: ĐK: x < 2 Bằng cách thử, ta thấy x = 3

2 là nghiệm của phương trình

Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất Thật vậy:Với x < 3

Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )k

Bước 2: Xét hàm số y f x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với xx0  f x( ) f x( )0 k do đó x0 là nghiệm

 Với xx0  f x( ) f x( 0)k do đó phương trình vô nghiệm

 Với xx0  f x( ) f x( )0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( 0)g x( )0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( ) f v( )

Bước 2: Xét hàm số y f x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Với x1  x2  f x 1  f x 2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình

SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích xx0  A x 0 ta có thể giải phương trình A x   0 hoặc chứng minh A x   0 vô nghiệm , chú ý điều

kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x   0 vô

nghiệm

x x  x x  x (1)

Nếu x 1 ta chia cả hai vế cho x ta được: x 2 x 1 2 x

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x

Nếu x-2 Đặt t = -x  t 2Thay vào phương trình ta được

2 2

Chia cả hai vế cho tta được t 2 t 1 2 t

Bình phương hai vế tìm được t

Sau đó tìm ra x

Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn trong C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn

Bài 2 Giải phương trình sau :

Bài 3 Giải phương trình sau: 2 2

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 5:Giải phương trình sau:

Giải hệ trên ta tìm được x  2

Bài 6:Giải phương trình:

2 2

 

HD:ĐK:

9 2 0

x x

1

2

Bài 5: Ký hiệu [x] là phần nguyên của x

1 2  x 1 855

     

Bài 6:Cho phương trình:x2 6 x 6 x 2 x2 6 x  6 2 x

Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15

Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Bài 12: Cho phương trình: 1x 8x 1x8xm

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho phương trình:

a/ Vế trái có 100 dấu căn

b/ Vế trái có n dấu căn

Bài 17:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

x x x  x x  x

(Vế trái có 100 dấu căn)

ab ab  

Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: x2  4 x y2  4  y 4 Tính x + y

Bài 20:Giải phương trình:3 2x  1 3x  1

Bài 21:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

Bài 25:Giải phương trình:

2 2

PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1)-Kết luận đối với học sinh

Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi dạy xong chuyên đề trắc nhiệm ở một số học sinh tôi thu được kết quả dưới đây

- Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ -Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với môn toán đặc biệt là khi giải

vô tỉ như sau

- Phương pháp giải phương trình vô tỉ không khó đối với học sinh khá giỏi, mà điều cần lưu ý đối với giáo viên dạy toán là

+ Cần phân dạng các phương trình vô tỉ, và phương pháp giải cụ thể từng dạng với các ví dụ cụ thể

+ Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế dễ hiểu và gợi mở, giúp kích thích óc sáng tạo của học sinh nhưng không quá cao siêu trừu tượng

+ Hướng dẫn các em trước khi giải phương trình cần phân loại dạng toán, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán tìm hiểu cách giải, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh ngắn gọn nhất

+ Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp các em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ nhất là ĐKXĐ

+ Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng bài tập về nhà có nội dụng tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải quyết các phương trình vô tỉ ấy

- Nếu có được những việc làm trên tôi tin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ không còn lúng túng khi giải phương trình đặc biệt là pt vô tỉ

3) Điều kiện áp dụng

Như tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong các trường THCS hoặc sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, là cơ sở vững chắc cho các em học tốt hơn trong

chương trình cấp 3 đối với bô môn toán đặc biệt là khi học về phương trình

vô tỉ

Các phương pháp giải phương trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng đã được sử dụng rộng rãi xong phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy toán 9 nâng cao chất lượng dạy và học của mình

4) Kết luận

Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, sưu tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi thấy rằng sáng kiến kinh nghiệm đã góp phần giúp học sinh giải phương trình vô tỉ ở bậc THCS đã phần nào giúp các em hứng thú học tập hơn, không còn sợ khi gặp dạng toán này

Trong SKKN này tôi đã cố gắng sắp xếp các phương pháp giải phương trình vô tỉ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh vận dụng một cách linh hoạt từng phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất định Qua đó học sinh có thể đào sâu kiến thức, tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, bên cạch đó các ví dụ giúp học sinh có thể rèn kĩ năng giải toán đối với các dạng toán khác nhau…, Tuy nhiên không phải đối với tất

cả các đối tượng học sinh chúng ta đều truyền tải những nội dụng trên mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiến thức phù hơp với trình độ và quỹ thời gian của học sinh

Toán giải phương trình được nhắc đến nhiều trong các loại sách đọc thêm hoặc trong các tài liệu tham khảo do đó giáo viên toán thường vất vả trong việc sưu tầm tuyển chọn mới gây được sự hứng thú học tập, lòng say mê học toán của học sinh

Với mong muốn có được tài liệu giúp học sinh dễ dàng hơn trong học toán giải phương trình vô tỉ tôi đã viết SKKN này

Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết khó tránh được những sai sót trong cách trình bày cũng như hệ thống các bài tâp đưa ra còn hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học tôi rất mong các

thầy cô và bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Người viết sáng kiến kinh nghiệm

(Ký, ghi rõ họ tên)

Tạ Văn Đức

Tài liệu tham khảo:

- Nâng cao và phát triển toán 9 - Tập 1 - Vũ Hữu Bình

- Tài liệu chuyên toán lớp 9 tập 1 – Vũ Hữu Bình

- Các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh thành trong cả nước

- Báo toán học tuổi trẻ

-Bào toán tuổi thơ 2

- Các trang báo mạng về toán