Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẤN THỊ DIỆU LINH NGHIÊN CỨU VỀ MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người h
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẤN THỊ DIỆU LINH NGHIÊN CỨU VỀ MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung
DA NANG - Năm 2019
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác
Tác giả
Trang 4hương pháp Toán sơ cấp khóa K35 Họ và tên học viên: Trần Thị Diệu Linh Người hướng dẫn khoa học: T8 Lê Hải Trung
Cơ sở đào tạo: Trường Dại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng
Ngành:
Tôm
1 Ng ết quả chính cña luận văn:
- Luận văn hệ thống lại các kiến thúc vỀ ma trận, định thức, phương tình tuyển tính, ph vị phân hàm, nhi biển, các điều kiện cẳn và dã để hàm số đại cực tị và khái niệm về kiểm định giá thuyết
= vn ri yaniv i ty [nh rọng quy hoạch bực nghiện, phon php bi phương nhỏ nhất để vớ lượng tham shi qui cho minh oyền tính cắp nột và mô hình tyn tính Tổng quá tính cht của việc ớc lượng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất và trnh bly việc iễm địh các giã huyết về tham s hồi ui của mô hình,
- Bên cạnh đỏ luận văn côn nêu m được mô hình uyền ỉnh trong kinh , sinh học và nổ rộng tìm iu ịnh bảy mô hình phỉ nyn Cbb-Douglssvà ayn tink ba md hin pi tuyén Cobb-Douglas
= Luận văn cho một tổng quan các khá niệm và nh chất cơ bản trong quy hoạch tuyển ính và gi tích oán học, từ đồ ứng dựng để khảo sát mô hình tuyển ính trong quy hoạch thực nghiệm,
2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn;
~ ĐỀ tài của luận văn có cơ sở Khoa họ và thực tiễn, các kết quả của luận vân vỀ mô hình _ tuyển lính và một số ng đụng đã gớp phần làm rõ bơn vai rò và ý nghĩa của ý huyết quy hoạch tuyển tính trong toán họ hiện đại
- Luận văn góp phần khẳng định tằm quan trọng của mô hình tuyển tính trong các lĩnh vực của đời sống nhấtà rong kinh tế,
~ Luận văn giáp cho người học xây dụng và xá định được mô hình, từ đó có thể óc lượng được các ii tị chưa thể đo được trên thực tễ
suận văn có gi trị về mặt ý thuyết Có thễ sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên "ngành Toán và các đi tượng quan tâm đến mô hình tuyển tính
3, Hướng nghiên íu tiếp theo cúa đồ tài
~ Nghiên củu về mô hình tuyến tính trong các lĩnh vực tryể thông, bo chí, d lh
~ Nghiên cứu về mô hình phí tuyển phúc tạ
“Từ khóa: Mô hinh tuyển tính, guy hoạch thực nghiện, phương pháp bình phương nhỏ nhắ, kiểm định giã thuyết, mô hình phi tuyến, hồi quï tuyển tính
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài Te
Trang 5INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: Research on linear models and applications
‘Major: Primary math methods
Full name of Master student: Train Thi Diệu Linh
Supervisors: TS Lê Hải Trung
‘Training institution: Pedagogy University- Da Nang University Summary
1 Main results ofthe thesis:
~The thesis systemizes knowledge about matrices, determinants, near equations, mlti-variable
function tfereals, necessary an suliient conditions forte futon to reach the value a the concep of hypothesis testing,
The thesis presents the concept of linewr mod! in experimental planning, the least squares method to estimate regression parameters fr fs-lvel nar moves and general linear models, the nature of estimate by te fas square method and present the test f hypotheses about the repression parameters ofthe model
Besides the thesis also rsed the inear model in economics, biology and expanded to explore and
present the Cobb-Douglts nonlinear models and iearize the Cobb-Douglas nonlinear model, ~The dissertation gives an overview ot baie concepts and properties i linear planing and
mathematical analysis, rom which applications to survey ineer models in experimental planing 2, Scientific and practical significance of th thesis
= The thesis tpi has sient and practical basis the resus ofthe dissertation on linear mode! and some applications have contribute to clarify the role and meaning of near planing theory in Modern mah
The thesis entsibues to affirming the importance of Finer model in the els of Te espealy in
Trang 6~The thesis helps learners to build and lent) models, from which valies can not be measured in practice
"Te thesis has theoretical value The thesis ean be used asa reference for students of Mathematics and subjects interested in linear models,
3 Forther research directions of the topic:
= Research on finear models inthe fells of medi, journalism, tourism - Research on complex nonfinear models
Key words: Linear model, experimental planning, least square method, hypothesis testing, nonlinear ‘model, near regression
‘Supervior’s confirmation Student
Holl -— Tiến The Diets Lind,
Trang 7LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá
trình làm luận văn
Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên
cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự chỉ dạy nhiệt tình của quý thầy cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại Học Đà Nẵng, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Phương pháp Toán sơ cấp khóa K3ð đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập tại lớp
Do điều kiện thời gian cũng như kinh nghiệm còn hạn chế nên luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo,
đóng góp ý kiến của các thầy cô để em có thể bồ sung và hoàn thiện luận văn một cách tốt hơn
Tác giả
Trang 8MỞ ĐẦU 22220222 nhe 1 CHƯƠNG 1 KIỄN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Ma trận và định thức 4 1.1.1 Ma trận 4 1.1.2 Định thức Oo 1.2 Hệ phương trình tuyến tính 7 1.3 Phép vi phân hàm nhiều biến 7 1.4 Các điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị 9
1.5 Khái niệm về kiểm định giả thuyết 11
1.5.1 Giả thuyết thống kê và kiểm định giả thuyết thống kê 12 1.5.2 Nguyên lý xác suất nhỏ và nguyên lí xác suất lớn 13
1.5.3 Kiểm định một phía và kiểm định hai phía 14
1.5.4 Quy tắc kiểm định 14
1.5.5 Sai lầm loại I và sai lầm loại IÏ 16
CHƯƠNG 2 MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG17 2.1 Mô hình tuyến tính trong lý thuyết quy hoạch thực nghiệm 17 2.1.1 Những khái niệm cơ bản trong quy hoạch thực nghiệm 17 2.1.2 Tối ưu hóa 18
2.1.3 Mô hình tuyến tính 20
Trang 9tính cấp một_ -.- c2 2S na 22 2.1.6 Phương pháp bình phương cực tiểu cho mô hình tuyến tính tổng quất ccccẶ cà 29 2.1.7 Tính chất của việc ước lượng bằng phương pháp bình phương cực tiỂu .c.c.cQs 33 2.1.8 Kiểm định các giả thuyết về tham số hồi quy 33 2.2 Mô hình tuyến tính trong kinh tế và một số lĩnh vực 40 2.2.1 Mô hình sản xuất dạng tuyến tính trong kinh tế 40 2.2.2 Mô hình tuyến tính trong sinh học Al
2.3 TUYEN TINH HOA MO HINH PHI TUYEN 43
2.3.1 Mô hình phi tuyến Cobb-Douglas 44 2.3.2 Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến Cobb-Douglas 46
KẾT LUẬN 2222222 n nhào 48
Trang 101 Lý do chọn đề tài
Toán học được ứng dụng rất nhiều trong thực tế chứ không phải bộ môn quá trừu tượng và chỉ có lý thuyết Các nước trên thế giới rất coi trọng Toán học bởi đây là bộ môn được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực công nghệ cao, nó không chỉ góp phần vào phân tích và khám phá những bí mật của các quá trình xã hội, Toán học còn là bộ phận cầu thành không thể thiếu của những sản phẩm phục vụ đời sống hằng ngày Bộ mơn Tốn được đào tạo tốt chính là một nền tảng tạo nên sự phát triển của nền giáo
dục nói riêng và sự phát triển về khoa học - kĩ thuật của Việt Nam nói
chung
Tuy nhiên, tư duy học Toán như vậy còn khá xa lạ với việc học Toán ở Việt Nam và hiện tại toán ứng dụng của chúng ta đang kém hơn so với
các nước, chất lượng nghiên cứu Toán đại trà ở các trường ĐH ở Việt Nam còn yếu Theo ý kiến của nhiều nhà khoa học, những thành tựu của việc áp dụng toán học vào khoa học xã hội còn rất hạn chế, và rất khiêm tốn
so với những thành tựu của nó trong lĩnh vực khoa học tự nhiên Ví như
trong kinh tế học, nơi toán học được áp dụng sớm nhất và đạt nhiều thành tựu nhất, nhưng trên thực tế vẫn chưa thể phán ánh hết được những hiện tượng quan trọng nhất của kinh tế Mà nếu muốn áp dụng toán học thì
nhà toán học phải xây dựng được mơ hình tốn học - tập hợp các quan hệ toán học phản ánh những khía cạnh định lượng của các quá trình xã hội
Đây được coi là khâu khó nhất; thứ đến mới là công việc giải mô hình, tức là giải các vấn đề toán học trên đó
Trang 112
không phải nhà toán học nào cũng sẵn sàng hoặc không phải lúc nào cũng có điều kiện
Mơ hình tốn học cụ thể hơn là mô hình tuyến tính là mảnh đất đầy hứa hẹn, chính vì thế việc làm cấp thiết hiện nay là tập trung nghiên cứu và xây dựng mô hình tuyến tính trong các ngành khoa học hay trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống kinh tế - xã hội Chính vì điều này, đồng thời dưới sự gợi ý và hướng dẫn của thầy giáo, TS Lê Hải Trung nên tôi quyết định chọn đề tài “Nghiên cứu về mô hình tuyến tính và ứng dụng” để làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình
3 Đối tượng nghiên cứu Mô hình tuyến tính và ứng dụng 4 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu mô hình tuyến tính biến thực ö Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn sử dụng các kiến thức thuộc các chuyên ngành: Giải
tích hàm nhiều biến, Đại số tuyến tính, Lý thuyết Quy hoạch thực nghiệm, Kiểm định giả thuyết
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn có giá trị về mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán và các đối tượng quan tâm đến mô hình tuyến tính
7 Tổng quan và cấu trúc luận văn Luận văn có câu trúc như sau:
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, phép tính vi phân của hàm nhiều biến, kiểm định giả thuyết và các điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực
Trang 12Chuong 2: M6 hinh tuyén tinh va ting dung
Chương 2 tập trung trình bày lý thuyết mô hình tuyến tính trong lý thuyết quy hoạch thực nghiệm và các ứng dụng của nó Bên cạnh đó còn đưa ra mô hình phi tuyến và tuyến tính hóa mô hình phi tuyến
Trang 13CHƯƠNG KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận và định thức 1.1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1.1 Một bảng gồm mm x n số được viết thành mm dòng n cột như sau [1 G12 Ain a a GG A — 21 22 2n, (1.1) Qm1 m2 - Amn được gọi là một ma trận cỡ ?n x n Mỗi sé a,;; được gọi là một phần tử của ma trận, nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ 7 (1 < ¿ <m,1 < 7 < n)
Ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: A, B,
Có thể viết ma trận (1.1) một cách đơn giản bởi
A = (4ij)mxn
Nếu ma trận chỉ có một dòng (một cột) thì ta gọi nó là ma trận dòng (ma trận cột)
Nếu mm = ø thì (1.1) được gọi là ma trận vuông cấp n va viet A = (ai;)n
Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi ma trận (1.2) là ma trận chuyển vị của ma trận (1.1) và ký hiệu là A7 [11 G21 Ami a a GG At — 12 22 2n, (1.2) Qin Q9n eee mạn
Trang 14Định nghĩa 1.1.3 Nếu ma trận vuông 4 cấp n có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 (ø¿; = 0, V¿ # 7) thì lúc đó A đươc gọi là ma
trận chéo
Định nghĩa 1.1.4 Ma trận chéo có œ¿ = 1,4 = 1,m được gọi là ma trận
đơn vị cấp n Ký hiệu là ï„ hay „ (có khi viết tắt là ï hoặc #)
Định nghĩa 1.1.5 Ma trận vuông 4 (cấp n) được gọi là khả đảo (hay có ma trận nghịch đảo) nếu tồn tại ma trận vuông B (cap n) sao cho:
AB =BA=E,, véi E,, 1l& ma tran don vi cap n
Định nghĩa 1.1.6 Cho hai ma trận cting c6 m x n:
A = (aij) mxn), B = (bij) (xn):
tổng của hai ma trận A, B la ma tran C = (cij)(mxn) cling cd m x n sao cho đ¡ = đ¿¿ + b¿;, V%, 7 : ¿ = 1,1mn; j = 1,1
Dinh nghia 1.1.7 Cho A = (aij) (mxn) va w € R Phép nhân số œ với ma
tran A la mot ma tran C= (Cú) (mxn) VỚI C¿j — œ7; Ý1, J t= 1,m;7 = 1,n Dinh nghia 1.1.8 Cho hai ma tran A = (4ij)(mxp) B= (bij) (pxn); trong d6 sé cot cla m tran A bang sé hang cua ma tran B Tich ctia hai ma tran A, B la một ma trận Œ = (G¡j)(mxø) có rn hàng n cột mà phần tử đ¿; được tính bởi công thức sau: P Cig = > ainda s:- k=1 1.1.2 Định thức
Định nghĩa 1.1.9 Xét một hoán vị ổ cho bởi (ơ, đạ, , œ„) của các số (1,2, ,m) Một cặp chỉ số (2,7) được gọi là nghịch thé néu i < 7 và
a; > a; Ta ky hiéu () là số các nghịch thế của ô
Trang 15G11 G12 - Alin ` A £ z on Qe u u a a eee a là một số thực, được kí hiệu bởi |A| hoặc đet (A) hoặc | "?! “3 Qn Qn] n2 eee Onn và được xác định như sau: detA = » (` )atsq)đaã@)-.-đas(n) d€Sy trong đó: N(6) la số các nghịch thế của hốn vị ơ
%„ là tập hợp các hoán vị của n phan tit 1,2, n
Tinh chat 1.1.11 Néu detA = 0, thi ma trận A không khả nghịch Nếu detA # 0, thi ma tran A kha nghich
Tinh chat 1.1.12 det(A’) = det(A)
Tính chất 1.1.13 Nếu ma trận vuông 4 có một hàng (cột) gồm toàn các phần tử 0 thì định thức của nó bằng 0
Tính chất 1.1.14 Nếu ta nhân một hàng của ma trận vuông 4 với số
thực œ thì định thức của ma trận Ả đươc nhân với ơ
Tính chất 1.1.15 Nếu ta đổi chỗ hai hàng nào đó của ma trận vuông A
cho nhau thì ta được ma trận vuông Ö có det(B) = —det(A) (tức là đổi
chỗ hai hàng của một định thức cho nhau thì định thức đổi dấu)
Tính chất 1.1.16 Nếu một ma trận có hai hàng giống nhau hoặc có các thành phần cùng cột tương ứng tỷ lệ thì định thức bằng 0
Trang 161.2 Hé phuong trinh tuyén tinh
Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tuyến tính là một phương trình đại số có dạng
ƒ(0; #a, , Z„) — 011 + đaZa + + 0„#ạ + b = Ö e a;,1 = 1,n la hệ số bậc một
® b là một hằng số (hay hệ số bậc 0)
Phương trình này có vô số nghiệm và chỉ giải được khi có một giới hạn
của các nghiệm hoặc có số phương trình bằng số ẩn
Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số
Định nghĩa 1.2.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát gồm n phương trình tuyến tính với k biến số có dạng sau:
đ11#1 T đ1a#a + + 0y2g — = ỦỊ, đ21#1 + đaa#a + + gay2g = bo, đn121 + đnaZa2 + + dnpg#pg— = On
1.3 Phép vi phân hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.3.1 Cho 2 C R” Anh xa
f:D— ICR
© = (£1, 29, Ln) > f(x) = f(x1, Lo, 0n) € I
được gọi là hàm số n biến thuc trén D
Trang 17dụƒ(h,k,) = ST(M)h+ S (M)k+ Š (M)I mm Ox “` = (shew )ar ) (h, k, l) + án) (h, k, l) + (3 (M Jáz) (h, k,l), tu do: đụƒ = 2L (M)dờ + ST (M)đụ + SE (yae
Định nghĩa 1.3.3 Nếu U là tập hợp mở trong R?, f : —> R là một hàm số có các đạo hàm riéng lién tuc trén U, M = (2, 2, , tp) € U thi vi phân của hàm số f tại điểm M có dạng
duf = ou )đz1 + “yan: + + “Mya
Trong đó dz}, dx, ., dv, la nhitng dang tuyén tinh trén R° x4c dinh:
Trang 181.4 Các điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử W là một tập hợp con mở của không gian R? và hàm số ƒ : W —> I C l là một hàm số xác định trên W/ Khi đó :
a) ƒ đạt cực đại tại điểm Mẹ = (x0, yo) € W nếu tồn tại một lân cận
V của điểm Mạ sao cho V C W và
ƒ(,1) € ƒ(đo 9o) với mọi (z, ) € V
b) f dat cuc tiéu tai diém Mo = (0, yo) € W nếu tồn tại một lân cận V của điểm Mạ sao cho W C W và
ƒ(,) > ƒ(zo, 9ạ) với mọi (z,) € V
Các điểm mà tại đó hàm số đạt cực đại và cực tiểu được gọi chung là cuc tri
Định lí 1.4.2 (Diéu kién can) Gid st ham sé f : W — R dat cuc trị
tai diém Mo (Mo = (20, yo) € W) Néu ham số có các đạo hàm riêng tại điểm Mẹ thì O Ø SE (0o,10) = 0 va 5 (tos) = 0 Chứng minh Hiển nhiên hàm số một biến số z — ƒ(z,o) đạt cực trị tại điểm zo O O
Do đó TL a5, Yo) = 0 Tương tự Fp (to Yo) = 0
Dinh nghia (1.4.1) va dinh ly (1.4.2) đễ dàng được mở rộng cho một hàm số p biến số với p là một số nguyên dương bất kì
Nếu các đạo hàm riêng của hàm số ƒ đều bằng không tại điểm Ä⁄ạ = (x0, yo) thi Mo dude gọi là một điểm dừng của hàm số ƒ
Từ định lí (1.4.2) suy ra rằng nếu hàm số ƒ có đạo hàm riêng tại điểm
Trang 1910 Ví dụ sau cho thấy đó không phải là điều kiện đủ: cho ham sé f(z, y) = ry đa có 20, 0) =0 và a Tuy nhiên hàm số không đạt cực trị tại điểm nay vi f(z, y) > 0 vdi z,y (0,0) = 0; (0,0) là điểm dừng của hàm số
cùng dấu và ƒ(z, ) < 0 với x, y trái dấu
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian IR?, hàm số ƒ : U ->
có các đạo hàm riêng cấp hai trên U, (z,) € U Biểu thức:
A(s,u) = 2.29) + 55(eu) - (saw)
Được gọi là biệt thức của hàm số ƒ tại điểm (z, 0)
Định lí 1.4.3 (Điều kiện đủ) Giả sử hàm số f :U > R có các đạo hàm riêng cấp một uà cấp hai liên tục trên tập hợp mở U C TỶ uà Mo(zo, yo) € U là một điểm dừng của ƒ Khi đó:
19 Nếu A(zo, yo) > 0 thi ham số có cực trị tại điểm (#o, tạ) Ngoài ra: 2
a) Néu <= (os) < 0 thì ƒ c6 cuc dai tai diém (xo, yo)
83
b) Nếu Fa ST (ro, yo) > 0 thi ƒ có cực tiểu tại điểm (#q, 9):
29, Nếu A(zo, 0ọ) < 0 thi ham số ƒ không có cực trị tai diém (x0, yo) 3° Nếu A(zo, 9o) = 0 thà chưa thể nói gà uề sự tồn tại cực trị của hàm
số tại điểm (Zq, 1o)
Chứng minh Ta viết công thức Taylor ! trong trudng hdp n = 2:
f (to +h, yo +k) = f(x, yo) + bf2(%o, 9o) + kƒ,(2o, Yo)
Trang 20ƒ(u+h,yp+k)— f(t, yo) = 5(h? fle + 2k fe, +R fy) (to, 40) +0(R? +H?)
(1.4.2)
Nếu số hạng thứ nhất trong tổng ở về phải của (1.4.2) khác không thi dấu của nó cũng là dấu của về trái của (1.4.2) với h, &k đủ nhỏ
1° Nếu A(Zo,o) > 0 thì ƒ,z và ƒ › ắt phải đồng thời khác không và
cùng dấu Khi đó ta viết (1.4.2) dưới dạng: f(xo + h, yo + &) — ƒ(Œo, to) = 57.n)
+ o(h? + k?)
Biểu thức trong dấu ngoặc [ ] dương với (hŸ + k”) > 0 Từ đó:
a) Néu fi» < 0 thi f(zo +h, yo +k) — f (x0, yo) < 0 vdi h, k di nhé, do
đó hàm số có cực đại tại điểm (Zo, 0o)
b) Nếu ƒ,z > 0 thì ƒ(o + h, o + k) — ƒ(%o, yo) > 0 với h, k đủ nhỏ, do
đó hàm số có cực tiểu tại điểm (Zọ, 9o)
20 Giả sử A(zo, o) < 0 Đặt k = hứ, khi đó (1.4.2): trở thành:
ƒ(zo+h, yotk)—f (£0, yo) = Sh? (Flat 2tfoy HE fa) (co, yo) +o(h*+(ht)*) Dat F(t) = 2ƒ 2(đo; 9ù) + 2Eƒ2y(#o, o) + f„2(#0, 9ò)
Biệt số của tam thức bậc hai F(t) la
/ " HÀ HÀ
A= (Foy (20 Yo))* — J„>(o; 0) ƒ„»(#0; 90) = —Ao, 9o) > 0,
do đó hàm số £ —> Ƒ'(£) lấy cả giá trị dương và âm Giả sử F'(t,) > 0 va
F4) <0 Khi đó:
ƒ(œo + h, tao + bh) — ƒ(eo,a) = sh? F(t) + o(h)? > 0,
véi h £0 du nho va
F(a + hy yo + ht>) — f (20, yo) = sh F(t) + o(h)? <0,
với h # 0 đủ nhỏ Vậy ƒ không có cực trị tại điểm (Zo, #0)
[(h.ƒ„» + k fay)” + k*A](z0, yo)
1.5 Khai niém vé kiém dinh gia thuyét
Trong thống kê, một lớp các bài toán ước lượng tham số thường xuất
Trang 2112
thu được để đưa ra một đánh giá (chấp nhận hay không chấp nhận) cho một khẳng định về phân phối của tổng thể nghiên cứu Đó chính là lớp bài toán kiểm định giả thuyết thống kê và sẽ được áp dụng sau khi tìm được các tham số hồi quy của mô hình
1.5.1 Giả thuyết thống kê và kiểm định giả thuyết thống kê Người ta tiến hành khảo sát và thu thập đữ liệu nhằm tìm ra các thông tin hữu ích về tổng thể để giải đáp cho vấn đề đang nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu có thể liên quan đến quy luật phân phối các giá trị trong tổng thể, ước lượng các tham số chưa biết, nhận xét về các tính chất hay mối quan hệ giữa các đối tượng liên quan đến mô hình
Giả thuyết thống kê là các khắng định về phân phối tổng thể nghiên cứu Cụ thể, đó là các khắng định về giá trị chưa biết của tham số đối với phân phối đã biết, các khẳng định về phânn phối chưa biết hay về mỗi quan hệ giữa các biễn ngẫu nhiên
Ví dụ 1.5.1 Ta xem xét một vài ví dụ sau:
1) Gọi ø là tuổi thọ trung bình của người Việt Nam Giả thuyết thống
kê có thể là: = 60 (tuổi) hoặc > 60, hoặc # 60,
2) Gọi X là biến ngẫu nhiên đo trọng lượng sản phẩm của một nhà máy và ơ? là phương sai của X Giả thuyết thống kê có thể là o? = 1, hoặc ơ? Z 1,
3) Gọi p là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy A Giản thuyết thống kê có thể là p < 0, 1 hoặc p = 0, I hoặc p Z 0, 1,
4) Gọi X(m) là chiều cao và Y(m) là chiều dài sải tay của một người thanh niên Giả thuyết thống kê có thể là X va Y doc lập nhau hoặc
giữa hai đại lượng này coa quan hệ phụ thuộc tuyến tính với nhau,
Bài toán kiểm định giả thuyết là một cặp giả thuyết thống kê mâu
thuẫn nhau được đưa ra xem xét dé chọn một giả thuyết đúng Chẳng hạn,
Trang 22tuổi thọ trung bình: = 60 và # 60 Một trong hai giả thuyết đó được giả định ban đầu là giả thuyết đúng, gọi là giả thuyết gốc và được kí hiệu là Hạ Giả thuyết còn lại gọi là đối thuyết, được kí hiệu là Ay
Ví dụ 1.5.2 Kiểm định gia thuyét Hp : 0 > 9 c6 thé 0 = 4% khi d6 Hy: 0 < %b
Kiểm định giả thuyết là phương pháp sử dụng mẫu dữ liệu được chọn ngẫu nhiên để đưa ra quyết định bác bỏ Hạ hay chấp nhận Hp Néu từ mẫu dữ liệu có đủ cơ sở chứng tổ ñíọ sai thì bác bỏ Họ va chấp nhận HH; là giả thuyết đúng Ngược lại, nếu từ mẫu dữ liệu chưa đủ cơ sở để cho rằng Họ sai thì phải chấp nhận ?ọ là giả thuyết đúng Việc công nhận đúng ở đây cần hiểu là từ mẫu dữ liệu thu thập được chưa thể cho rằng Hạ sai, cần phải nghiên cứu tiếp
1.5.2 Nguyên lý xác suất nhỏ và nguyên lí xác suất lớn
Một biến cố không thể xảy ra có xác suất bằng 0 nhưng một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra khi ta thực hiện một số lượng lớn phép thử Qua thực tế ngừoi ta nhận thấy rằng một biến cỗ có xác suất bé sẽ hầu như không xảy ra khi ta thực hiện một hoặc hai lần phép thử Vì vậy các nhà thống kê thừa nhận một nguyên lí sau đây và gọi là "nguyên lí xác suất nhỏ": Một biến cố có xác suất rất nhỏ gần bằng 0 thì biến cố đó hầu như không xảy ra khi thực hiện phép thử một lần Chẳng hạn khi mua một vé xổ số thì xác suất trúng giải đặc biệt rất nhỏ nên có thể xem biến cố trúng giải đặc biệt sẽ không xảy ra khi mua một vé xổ số Xác suất rơi của một chiếc may bay rất nhỏ, vì vậy chúng ta chấp nhận việc máy bay rơi không xảy ra trong một lần bay nên ta có thể chọn phương tiện này để di chuyển
Trong thống kê, một kết quả được gọi là có ý nghĩa thống kê nếu nó ít có khả năng xảy ra khi so sánh với một ngưỡng xác suất cho trước Nếu kết quả như vậy xảy ra thì nó sẽ vi phạm nguyên lí xác suất nhỏ, và do đó ta có bằng chứng có ý nghĩa để đưa ra các quyết định
Trang 2314
suất gần bằng 1 thì biến cố đó hầu như sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử Ví dụ 1.5.3 Ta xem xét ví dụ sau:
Một hộp đựng 9.999 viên bi xanh và một viên bi đỏ, các viên bi giống
nhau về kích thước và khối lượng Lấy ngẫu nhiên một viên bi Kí hiệu: A là biến cố lấy được viên bi xanh, B là biến cố lấy được viên bi đỏ
Khi đó ta có P(4) = 0,999 và P() = 0, 001 Theo nguyên lí xác suất
lớn và nguyên lí xác suất nhỏ thì khi ta lẫy ngẫu nhiên 1 viên bi (thực hiện 1 lần) thì hầu như rằng ta sẽ lấy được viên bi xanh còn biến cố lấy được viên bi đỏ hầu như rằng sẽ không xảy ra
1.5.3 Kiểm định một phía và kiểm định hai phía
Định nghĩa 1.5.4 Khi giả thuyết ngược lại H¡ có tính chất một phía thì
việc kiểm định được gọi là kiểm định một phía:
Họ: 0 < 0u hay Hạ : 0 > Ôg
Hị:0 >0 Hị:0 <0
Định nghĩa 1.5.5 Khi giả thuyết ngược lại 1 có tính chất hai phía thì
việc kiếm định được gọi là kiểm định hai phía
Ho :0= 4% AH, : 04 Oo
1.5.4 Quy tac kiém dinh
Phương pháp kiểm định giả thuyết là phương pháp ra quyết định dựa vào nguyên lí xác suất nhỏ Cụ thể, ta sẽ tìm một biến cố A sao cho nếu
Họ đúng thì P(A| Hạ) = œ % 0, tức là A hầu như sẽ không xảy ra khi thực
hiện phép thử trong điều kiện Hạ đúng Nếu kết quả phép thử chỉ ra rằng biến cố A xảy ra thì bác bổ iạ, còn nếu A không xảy ra thì chấp nhận Hạ Số thực œ được gọi là mức ý nghĩa của kiểm định
Ví dụ 1.5.6 Ta xem xét ví dụ sau:
Trang 24hiệu là ) đã được cải thiện (cao hơn), lúc đó ta lập bài toán kiểm định giả thuyết:
(mm: H=1,55 (m)
Ay: p>1,55 (m)
O bai todn kiém dinh gid thuyét trén, Hp duac gid dinh ban dau 1a gid thuyết đúng Để bác bỏ Họ ta tiến hành chọn một mẫu ngẫu nhiên kích thước n về chiều cao của nam thanh niên từ 22 tuổi là #1, #a, #ạ, ,#„ và tính trung bình mẫu Z Giá trị # càng lớn hơn so với 1,55 (m) thì càng có
cơ sở bác bỏ Ha
Ví dụ 1.5.7 Ta xem xét ví dụ sau:
Tỉ lẹ phế phẩm của một dây chuyền sản xuất là 15% Sau khi tiến hành cải tiến kĩ thuật hi vọng rằng tỉ lệ phế phẩm sẽ thấp hơn 15% Lúc đó ta lập bài toán kiểm định giả thuyết:
Hạ: p—0.15 Hi: p<0,15
trong đó ? là tỉ lệ phế phẩm sau cải tiến kĩ thuật
Giả thuyết Họ được giả định ban đầu là giả thuyết đúng Để bác bỏ Hp ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên ø sản phẩm, gọi số phế phẩm trong r, sản phẩm được chọn là k Khi đó ô = k/m càng nhỏ hơn so với 0,15 thì càng có sơ sở bác bỏ Họ
Với thống kê kiểm định T' = 7X), Xa, , X„) đã được xây dựng, biến cố A nêu trên có thể tìm ở dạng 4 = œ : T'€ W„ với W¿„ là một miền nào
đó trên trục số thực, tức là P(7' € W„| Hạ) = ơ Lúc đó, miền W„ được
gọi là miền bác bổ với mức ý nghĩa a
Theo phương pháp truyền thống, khi cho trước mức ý nghĩa œ ta có thể sử dụng các bước gợi ý sau đây để tiến hành giải bài toán kiểm định:
e Xác định giả thuyết Hạ, Hị và phát biểu bài toán
e Chọn thống kê kiểm định T và tính giá trị của nó trên mẫu dữ liệu
Trang 2516
e Xác định miền bác bỏ W⁄„ với mức ý nghĩa œ cho trước
e Kết luận: Nêu 7¿ € W⁄„ thì bác bỏ giả thuyết Họ Ngược lại, ta chứ có cổ sở bác bỏ lạ nên tạm thời chấp nhận giả thuyết này
1.5.5 Sai lầm loại I và sai lầm loại II
Khi tiến hành kiểm định giả thuyết thống kê ta phải đưa ra quyết định
hoặc là bác bỏ Hạ hoặc là chấp nhận Ủạ Có một trong bốn trường hợp sau xay Ta:
- Bác bỏ Hạ và trên thực tế Hp cing là giả thuyết sai Khi đó quyết định bác bố Họ là quyết định đúng
- Bác bỏ Họ nhưng trong thực tế là Họ là giả thuyết đúng Khi đó quyết định bác bỏ lạ là quyết định sai, sai lầm này gọi là sai lầm loại I Xác suất mắc sai lầm loại I cũng đúng là mức ý nghĩa của kiểm định và thường được ký hiệu là œ :
a = P(H,|Hp)
- Chấp nhận Hạ và trên thực tế Hạ cũng là giả thuyết đúng Khi đó quyết định chấp nhận ọ là quyết định đúng
- Chap nhan Hp trong khi thực tế là Họ là giả thuyết sai Khi đó quyết định chấp nhận ñọ là quyết định sai, sai lầm này gọi là sai lầm loại II Xác xuất mắc sai lầm loại II thường được ký hiệu là đ
8 = P(m|H))
Như vậy, khi quyết định bác bỏ ạ thì có thể mắc sai lầm loại I, còn khi quyết định chấp nhận ifọ thì có thể phạm phải sai lầm loại II Bảng dưới đây tổng hợp lại các trường hợp phân tích ở trên
Thực tế Họ đúng Ho sai
Trang 26CHƯƠNG 2
MƠ HÌNH TUN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Mơ hình tuyến tính trong lý thuyết quy hoạch thực nghiệm 2.1.1 Những khái niệm cơ bàn trong quy hoạch thực nghiệm
QQuy hoạch thực nghiệm là cơ sở phương pháp luận của nghiên cứu thực
nghiệm hiện đại Đó là phương pháp nghiên cứu mới, trong đó cơng cụ tốn học giữ vai trò tích cực Cơ sở toán học nền tảng của lý thuyết quy
hoạch thực nghiệm là toán học xác xuất thông kê vơi hai lĩnh vực quan
trọng là phân tích phương sai và phân tích hồi quy
Định nghĩa 2.1.1 Quy hoạch thực nghiệm là tập hợp các tác động nhằm đưa ra chiến thuật làm thực nghiệm từ giai đoạn đầu đến giai đoạn kết thúc của quy trình nghiên cứu đối tượng (từ nhận thông tin mô phỏng đến việc tạo ra mô hình toán, xác định các điều kiện tối ưu), trong điều kiện đã hoặc chưa hiểu biết đầy đủ về cơ chế của đối tượng
Định nghĩa 2.1.2 Đối tượng của quy hoạch thực nghiệm trong ngành công nghệ là một quá trình hoặc hiện tượng nào đó có những tính chất, đặc điểm chưa biết cần nghiên cứu Người nghiên cứu có thể chưa hiểu biết đầy đủ về đối tượng, nhưng đã có một số thông tin tiền nghiệm dù chỉ là sự liệt kê sơ lược những thông tin biến đổi, ảnh hưởng đến tính chất đối tượng
Các phương pháp quy hoạch thực nghiệm:
- Thực nghiệm sàng lọc
- Thực nghiệm mô phỏng
- Thực nghiệm cực trị: là thực nghiệm được phat triển từ thực nghiệm
Trang 2718 Nói cách khác là xác định bộ kết hợp giá trị các yếu tố mà tại đó hàm rnục tiêu đạt cực trị 2.1.2 Tối ưu hóa a Khai niém On
La quá trình tìm kiếm điều kiện tốt nhất (điều kiện tối ưu) của hàm s
được nghiên cứu
Là quá trình xác định cực trị của hàm hay tìm điều kiện tối ưu tương
ứng để thực hiện 1 quá trình cho trước
Để đánh giá điểm tối ưu cần chọn chuẩn tối ưu (là các tiêu chuẩn công
nghệ)
b Cách biểu diễn bài toán téi uu
Giả sử một hệ thống công nghệ được biểu diễn dưới dạng sau:
Y= F(x, LQ, «55 Lk)
#1, a2, ,y, là k thành phần của vector thông số đầu vào Hàm mục tiêu: Ï = Ï(Z1, a, , #g)
Bài toán được biểu diễn 7?! = op£l(z\, #, , se) = I(x’, 23", , xe) hoặc Ï”P? = max Ï(#, #a, ,z„): đối với bài toán max
I° — min Ï(#, #a, ,„): đối với bài toán min J°#: hiệu quả tối ưu
T1 197 tp: nghiệm tối ưu hay phương ấn tối ưu
c Thành phân cơ bản của bài tốn tơi uu Hàm mục tiêu
- Là hàm phụ thuộc
- Được lập ra trên cơ sở tiêu chuẩn tối ưu đã được lựa chọn Do đó hàm mục tiêu là hàm thể hiện kết quả mà người thực hiện phải đạt được, là
Trang 28nó cho phép đánh giá chất lượng của một nghiên cứu Quan hệ giữa các đại lượng
Các biểu thức tốn học mơ tả các mối quan hệ giữa tiêu chuẩn tối ưu
hóa (hàm mục tiêu) và các thông số ảnh hưởng (thông số cần tối ưu) đến
giá trị tiêu chuẩn tối ưu này
Các quan hệ này thường đươc biểu diễn bằng phương trình cơ bản hoặc mô hình thống kê thực nghiệm (phương trình hồi quy)
Quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng với nhau được biểu diễn bằng đẳng thức hoặc bất đẳng thức
Các điều kiện ràng buộc
Để bài toán công nghệ có ý nghĩa thực t, các biểu thức mô tả điều kiện ràng buộc bao gồm:
- Điều kiện biên - Điều kiện ban đầu
Các bước giải bài toán tối ưu
1) Đặt vấn đề công nghệ: xem xét công nghệ cần được giải quyết là công nghệ gì và chọn ra những yếu tố ảnh hưởng chính
Chỉ ra được hàm mục tiêu Y: Y —> max hoặc Y —> min
2) Xây dựng mối quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng và hàm mục tiêu theo quy luật biết trước hoặc mô hình thống kê thực nghiệm
3) Tìm thuật giải: là phương pháp để tìm nghiệm tối ưu của các bài tốn cơng nghệ trên cơ sở các mô tả toán học tương thích đã được thiết
lập Đa sô dẫn đên tìm cực trị của hàm mục tiêu
4) Phân tích và đánh giá kết quả thu được
- Nếu phù hợp —> kiểm chứng bằng thực nghiệm
- Nếu không phù hợp —> xem lại từng bước hoặc làm lại từ việc đặt
Trang 2920
2.1.3 Mô hình tuyến tính
Giả sử X\, , Xz là k biến độc lập dùng để dự báo và Y là biến phụ thuộc cần dự báo Ví dụ, ta giả sử Y là giá nhà ở Khi đó Y phụ thuộc vào các yếu tố sau:
e X; là diện tích sử dụng (rn?)
e X; là vị trí vùng (thành phố)
e X2 là giá của năm trước e X, la chất lượng xây dựng
Sự phụ thuộc giữa biến Y theo các biến X\, , Xz nói chung là rất phức tạp Tuy nhiên có một số trường hợp sự phụ thuộc đó tương đối đơn giản Mô hình hồi quy tuyến tính khẳng định rằng Y phụ thuộc tuyến tính vào
các X¿ (nghĩa là Y là một biểu thức bậc nhất của (X, , Xz) và sai số
ngẫu nhiên £ Như vậy:
Y =fØo+Ø¡X¡+ + Ø6yXy +£, (2.1.1)
trong đó: đ;,¿ = 1,k là các hệ số chưa biết gọi là hệ số hồi quy, /ụ gọi là hệ số chặn, /, , đụ là các hệ số góc (độ dốc)
Bây giờ ta tiến hành ø% quan sát độc lập đồng thời về (k + 1) biến
X1, , Xz, Y Gia stt cdc số liệu quan sát tuân theo mô hình sau: Yi = Pot Øizil + + #1 + £I
Yo = Bot Pixel + + Øy+ak + £a (2.1.2)
Yn = Bo + Øizn] + + Pronk + En;
trong đó các sai số: £1,£a, ,e„ thõa mãn 3 điều kiện sau:
a, #(e;) = 0 (việc đo đạc không chịu sai lệch hệ thống)
b, D(;) = ø? (phương sai không đổi)
Trang 30Yi l z1i Cig] [A €] 92 1 2i Z2y| |Úa €2 | =| | TÐỊ |; Yn l „x1 Lnkl LP En hoặc đơn giản hơn: Y=X8+e (2.1.3) trong đó: 1 U11 - TT 1E Ì Z2 2z as LAK X= „ | được gọi là ma trận thiết kê cấp n x (k + 1) Ì đại Lnk của các biến độc lập
Y = [y1, ,Yn]’ gdm n vector quan sat; Ø = |i, , 2¿|Ý gồm k vector các hệ số hồi quy; e = [£l, ,en|Ý gồm n vetor sai số ngẫu nhiên Và:
¿.E(e) = 0
ii.cou(e) = E(ee?) = 07 In
2.1.4 Phuong pháp bình phương cực tiểu
Một bài toán trước tiên đặt ra là hãy dựa vào ma trận X và vector Y
của các giá trị quan sát, hãy ước lượng vector tham số đ Ỏ đây chúng ta sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu (nhỏ nhất)
Phương pháp bình phương cực tiểu (nhỏ nhất) là kỹ thuật ước lượng thông kê được sử dụng phổ biến nhất trong các mô hình hồi quy tuyến tính Mục đích của phương pháp là từ các mẫu rời rạc quan sát được trên thực nghiệm xác định một hàm biểu diễn gần đúng sự phân phối của các
mẫu đó, từ đó có thể ước lượng được các giá trị chưa thể đo được trên
thực tế
Nếu ta sử dụng vector b = (bạ, , b„) là giá trị thử của Ø thì giữa các quan sát 1; và bạ + bq#/i + + Đg#¿; (7 = 1,m) sẽ có một độ lệch:
ý — (bạ + bìz71 + + Ðyjp),
nói chung độ lệch này sẽ khác 0
Trang 3122 của vector b sao cho: n S(b) = do (yj — (bo + bray + + bpatjn))? j=l = (Y — Xb)" (Y — Xb) —> min Điều này giải thích tại sao tên của phương pháp là bình phương cưc tiểu
Đại lượng B làm cực tiểu hóa phiém ham Š() được gọi là ước lượng bình phương cực tiểu của đ, còn: ế; = — (Bo + Bx; + + Ổ;k), Vj = l,n gọi là phần dư của phép hồi quy Trong trường hợp này, vì biểu thức thức theo X\, , Xz là tuyến tính nên phương trình:
Ý =fn+¡X:+ + ñyXp, (2.1.4)
được gọi là phương trình hồi quy tuyến tính mẫu
2.1.5 Phương pháp bình phương cực tiểu cho mô hình tuyến tính cấp một
a Nội dung phương pháp
Trang 32Mong muốn của chúng ta là phải xác định /, đổ sao cho đường hồi quy
mẫu (2.1.5) biểu diễn tốt nhất đường hồi quy
Với các giá trị X;,?¿ — l,m đã xác định được thì hàm hồi quy mẫu (2.1.5) sẽ trở thành:
Ÿ =fù+X¡,¡ = 1,n
Phần dư thứ ¿ của biến Y là ẩ; = Ÿ¿ — fụ — X;,¡ = T.1m
Đặt hàm f(o, 61) = )} 2 = ÿ)[W¿ — (ổu + ÔX;)J2, thì bài bài toán ở
1=1 1=1
đây là phải xác định đọ, Øi sao cho:
Trang 3324 =i (2.1.8) , 1 Nhân hai vê của các phương trình trong (2.1.7) với 7 được: A ^ | ? 1 fo + i 3 Xi ==, pnt ot (2.1.9)
Øu— 3) X¡ + B= YY XP He DY XY, Từ j—1 Từ ;—1 i=1
Thay các công thức cho ở (2.1.8) vào (2.1.9), ta nhận được hệ phương trình: (2.1.10) Bo+AX=Y AX + BX? = XY Hệ (2.1.10) là hệ hai phương trình hai ẩn /ụ và / Giải hệ (2.1.10) ta được các đẳng thức sau: 1 xX =) 2 D= le Xa] =X? (4) _|Y 3| vx:z _xxy Ply Ry xa] ATT AAS 1 ¥|_=w<+s A) (2.1.11)
Chi y: Ta c6 thé xAc dinh dude 8) bing c&ch thay 6; cho 6 (2.1.11) vào phương trình đầu của hệ (2.1.10), dude:
Trang 34Vậy ta có công thức xác định Bo va Bi dang khac 1a: Bo =Y — BX , XY-XY (2.1.12) X?— (X)" Để tiện tính toán sau này, ta ký hiệu: S% =X? — (X)";Sxy = XY -XY S% chính là phương sai mẫu của X, SŠxy là hiệp phương sai của X và Y Khi đó ta có: By = Y — BX, B= sự Ví dụ 2.1.3 Ta xét ví dụ sau:
Trang 3526 X? = (5 x 10° + 27 x 20° + 63 x 30° + 67 x 40° + 29 x 50° + 9 x 607) = 1400, 5 snạ (ð X 10 x 1ð +7 x 15 x 20+ 20 x 20 x 25 +23 x 30 x 25 + 30 x 30 x 3ð + 10 x 30 x 45 + 47 x 40 x 35 + 11 x 40 x 45 +9 x 40 x 55+ 2 x 50 x 35 + 20 x 50 x 4ð + 7 x 50 x 55 +6 x 60 x 4ð + 3 x 60 x 55) = 1371, 75 X.Y = 35,75 x 35, 90 = 1283, 43 (X)? = (35, 75)? = 1278, 06 S% = X? — (X)? = 1400, 5 — 1278, 06 = 122, 44 Sxy = XY — XY = 1871, 75 — 1283, 43 = 88, 32 ~ Sxy -*-= 88,32 = 0,72 % 3 12244 ` 8B, =Y — BoX = 35,90 — 0,72 x 35,75 = 10, 16 Y Vậy hàm hồi quy mẫu tìm được là: Y = 10,16+4+ 0, 72X Vi du 2.1.4 Ta xét vi du sau:
Để nghiên cứu quan hệ giữa kinh phí cho phòng chống bệnh sốt rét ở
Trang 36Trong đó đi, ổ; là tham số cần ước lượng Ta có: X=„n6x 100 + 11 x 200 + 18 x 300 + 12 x 400 + 9 x 500) = 318,00 Ÿ = g0(7 x 33 18x 9,5 + 18 x3 + 12 x 8,5 + x 4) = 9,04 X? = sp(5 x 100? + 11 x 200 + 13 x 300? + 12 x 400? + 9 x 5007) = 116600, 00 Y= 2 (2x 100 x 3,5+ 3x 100 x 4+3 x 200 x 3+6x 200 x 3,5+4 x 300 x 2,5 + 6 x 300 x 3+ 3 x 300 x 3,5 + 1 x 400 x 2-+ 6 x 400 x 2,5 + 4x 400 x 3+1 x 400 x 3,5 +6 x 500 x 2+3 x 500 x 2,ð) = 876, 00 X.Y =318,00 x 2,94 = 934, 92 (X)? = (318, 00)? = 101124, 00 93 = X2 — (X)? = 116600, 00 — 101124, 00 = 15476, 00 Sxy = XY — X.Y = 876,00 — 934,92 = —58, 92 » Sxy - *XY _ 58,92 = —0, 0087 p> S2 15476,00 | by =Y — BX = 2,94 +0,0037 x 318,00 = 4, 12 Vậy hàm hồi quy mẫu tìm được là: Y = 4,12 — 0.0037X
b Các tính chất của hàm hồi quy mẫu
Trang 38Ta có Y= Bo + BX; = Y + ñ(X;— X) nén: yy Ye; = SV + By (X;, — X)Je; i=1 n = Y oe; + (4 SX; — B ``X)s m i=l i=l —Y » Ey + (AX — nix) Ej i=l = yy €;=0 (theo tính chất 3) nm v) Tính chat 5 5* Xje; = 0 ¿=1 Chứng minh: n Ta có » Ÿ;e; = 0 điều này tương đương với Dy + By (X; — X)le; = 0 i=1 4=1 3 hay nói cách khác Y SS €¿ + Ổi ( Ss X jE; — xX » =2) = 0) ¿=l 1=1 i=1 A „ nr n Vi 6, ~ 0 va theo tinh chat 3 ta c6 Se; = 0 nén suy ra 5° Xje; = 0 i=l i=l 2.1.6 Phương pháp bình phương cực tiểu cho mô hình tuyến tính tổng quát
a Nội dung phương pháp
Quay lại phương trình hồi quy tuyến tính mẫu (2.1.4) Vi phiém ham S(ð) là hàm bậc hai theo ö nên dễ thấy Ø có thể tìm được từ hệ phương
Trang 40Vi rank(X) =k+1<nnén X?X là ma trận cấp (k + 1) x (k + 1) có ma trận nghịch đảo (XfX)r1
Từ (2.1.13), ta có nghiệm:
b=ô=(XTX) !XY
Phương pháp xác định hàm hồi quy mẫu (2.1.5) như đã trình bày ở trên gọi là phương pháp bình phương cực tiểu (OLS)
Ví dụ 2.1.5 Ta xét ví dụ sau:
Để nghiên cứu quan hệ giữa doanh thu Y với chi phí cho tiếp thị quảng cáo Ä¿, chi phí quản lý Xạ Người điều tra ngẫu nhiên 12 công ty kinh doanh ở Hà Nội, thu được số liệu sau: Công ty | 1 2 3 4 3D 6 7 8 9 10 | 11 | 12 Y; 127 | 149 | 106 | 163 | 102 | 108 | 161 | 128 | 139 | 144 | 159 | 138 X29; 18 | 25 | 19 | 24 | 15 | 26 | 25 | 16 | 17 | 23 | 22 | 15 X 3; 10 | I1 6 16 | 7 17 | 14 | 12 | 12) 12 | 14) 15
Giả sử quan hệ giữa Y và Xa, Xz theo quy luật ŸY = 6+ 6a2Xa+6aXs+e Hãy lập hàm hồi quy mẫu biểu thị mối quan hệ trên Giải: Theo đầu bài, hàm hồi quy lý thuyết có dạng: Y =f¡ + BoXo + Ø3Xs + Hàm hồi quy mẫu phải có dạng: Y = By + BX + ñàÄX; hay Ÿ = X.Ô
Ta có thể xác định tham số ñi, Bo, By theo cách đã trình bày ở trên Ỏ đây ta xây dựng hàm hồi quy mẫu theo ngôn ngữ ma trận Từ bảng số
liệu đã có, ta tính được: