Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN LÊ DUY KHANG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033642791000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN LÊ DUY KHANG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA THƯA CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng - 2021 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert hệ trực chuẩn 1.3 Các không gian Sobolev 13 1.4 Toán tử liên tục khả vi Fréchet 16 1.5 Dưới vi phân hàm lồi 19 1.6 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa 21 Chương BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 25 2.1 Phát biểu toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán 25 2.2 Cơng thức nghiệm yếu 2.3 Tính tồn nghiệm yếu 26 2.4 Tính khả vi tốn tử FD (·)y Fφδ (·) 29 25 Chương BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 38 3.1 Phát biểu toán xác định hệ số khuếch tán 38 3.2 Phương pháp chỉnh hóa thưa 39 3.2.1 Tính đặt chỉnh 39 3.2.2 3.3 Tốc độ hội tụ 45 Nghiệm số 49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn xác định hệ số khuếch tán" khơng có trùng lặp với đề tài luận văn khác Tôi xin khẳng định luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi hướng dẫn TS Phạm Quý Mười Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu có nguồn gốc rõ ràng Tác giả Nguyễn Lê Duy Khang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình nghiên cứu, nhà khoa học nhiều phải giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn kết Những toán gọi đặt không chỉnh (ill-posed problem) Trong thực tế, sai số đầu vào khơng thể tránh khỏi, việc chỉnh hóa tốn, làm cho nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm sai số liệu nhỏ, công việc quan trọng Bài toán xác định hệ số khuếch tán toán xác định hệ số σ phương trình: − div(σ∇φ) = y Ω, φ = ∂Ω (1) từ liệu nhiễu φδ ∈ H01 (Ω) φ cho φ∗ − φδ H (Ω) ≤ δ (δ > 0) Bài toán thu hút ý nhiều nhà nghiên cứu, tốn đặt khơng chỉnh Một vài phương pháp chỉnh hóa đưa ra, phổ biến chỉnh hóa Tikhonov chỉnh hóa biến phân tồn phần Tuy nhiên, nhiều tình người ta biết hệ số σ ∗ cần tìm có biểu diễn thưa, tức tồn hữu hạn tọa độ khác không σ ∗ − σ sở trực chuẩn (hoặc khung) L2 (Ω) Điều gợi ý sử dụng phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn này, qua dẫn đến tốn cực tiểu có dạng:
Fφδ (σ) + αΦ σ − σ , σ∈A (2) α tham số chỉnh hóa, tập A định nghĩa n o
∞ −1 0 A = σ ∈ L (Ω) : λ ≤ σ ≤ λ h.k.n Ω supp σ − σ ⊂ Ω (3) với λ ∈ (0; 1) cho trước, σ giá trị σ Ω0 tập mở compact với biên trơn Ω, Z
 kf kL∞ (E) := ess sup f (x) = inf sup f (x) x∈E |F |=0 x∈E\F Định nghĩa 1.3.3 (Không gian C k ) Cho Ω tập mở, liên thông Rn k ∈ N, C k (Ω) định nghĩa không gian vectơ bao gồm tất hàm liên tục f : Ω → R có đạo hàm riêng liên tục đến cấp k Ω 14
C k Ω định nghĩa không gian vectơ bao gồm tất hàm v ∈ C k (Ω) thỏa mãn v đạo hàm riêng đến cấp k mở rộng liên tục lên miền Ω
C k Ω không gian Banach với chuẩn X kf kC (Ω) = max f (x) kf kC k (Ω) = kDα ykC (Ω) với k ≥ x∈Ω |α|≤k Định nghĩa 1.3.4 (Giá) Cho hàm v : Ω → R, ta định nghĩa giá v tập  supp v := x ∈ Ω : v(x) 6= Định nghĩa 1.3.5 (Không gian C0k ) Cho Ω tập mở, liên thông Rn k ∈ N ∪ {∞} C0k (Ω) định nghĩa không gian vectơ C k (Ω) bao gồm hàm v ∈ C k (Ω) thỏa mãn supp v ⊂⊂ Ω, tức supp v tập compact Ω Định nghĩa 1.3.6 (Không gian L1loc ) L1loc (Ω) định nghĩa tập tất hàm khả tích địa phương Ω, tức L1loc (Ω) :=   Z f : Ω → R