Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1 (Chuẩn và không gian định chuẩn)
Cho X là một không gian vectơ trên trường K (K = R hoặc K = C) Ánh xạ k ã k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Đầu tiên, kxk ≥ 0 và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0 Thứ hai, kλxk = |λ|kxk với mọi λ ∈ K Cuối cùng, kx + yk ≤ kxk + kyk cho mọi x, y ∈ X.
Không gian vectơ X với chuẩn k được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu là X,k Định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm d(x, y) = kx - yk tạo ra một metric trên X, được gọi là metric sinh bởi chuẩn.
Trong định nghĩa trên, điều kiện thứ ba được gọi là bất đẳng thức tam giác, với một bất đẳng thức tam giác thứ hai là kx−yk ≥ kxk − kyk cho mọi x, y thuộc X Đồng thời, khái niệm về dãy hội tụ cũng được đề cập trong định nghĩa 1.1.3.
Trong không gian định chuẩn Cho X, một dãy (x n ) ⊂ X được xem là hội tụ nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho giới hạn lim n→∞ kx n − x0k = 0 Khi đó, x0 được gọi là giới hạn của dãy (x n ) và được ký hiệu là lim n→∞ x n = x0 Định nghĩa 1.1.4 đề cập đến dãy Cauchy.
Cho X là một không gian định chuẩn Dãy (x n ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim n,m→∞kx n − x m k = 0, tức là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 = n 0 (ε) ∈ N sao cho kx n −x m k < ε với mọi n, m ≥ n 0 (ε).
Nhận xét 1.1.5 Mọi dãy hội tụ trong một không gian định chuẩn đều là dãy Cauchy. Định nghĩa 1.1.6 (Không gian Banach)
Một không gian định chuẩn X được gọi là một không gian Banach nếu
X cùng với metric sinh bởi chuẩn là không gian đầy đủ, hay nói cách khác mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.2.1 (Tích vô hướng và không gian tiền Hilbert)
Không gian vectơ X trên trường K (K = R hoặc K = C) có ánh xạ hã,ãi : X ìX → K được gọi là tớch vụ hướng trờn X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Đầu tiên, hx, xi phải lớn hơn hoặc bằng 0 và bằng 0 chỉ khi x = 0 Thứ hai, hx, yi phải bằng hy, xi Thứ ba, hλx, yi phải bằng λhx, yi Cuối cùng, hx+y, zi phải bằng hx, zi cộng với hy, zi.
Khi đú, khụng gian vectơ X cựng với tớch vụ hướng hã,ãi trờn X được gọi là một khụng gian tiền Hilbert, kớ hiệu là X,hã,ãi
Các tính chất quan trọng từ định nghĩa bao gồm: (a) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi cho mọi x, y, z ∈ X và (b) hx, λyi = λhx, yi cho mọi x, y ∈ X, với mọi λ ∈ K Định lý 1.2.1 trình bày về chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Trong không gian tiền Hilbert X, một ánh xạ k : X → R được định nghĩa bởi công thức kxk = phx, xi là một chuẩn trên X Đối với mọi x, y ∈ X, ta có các tính chất sau: a Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: hx, yi ≤ kxk.kyk b Công thức nhị thức: kx±yk 2 = kxk 2 + kyky 2 ± 2 Rehx, yi c Đẳng thức: kx+yk 2 + kx−yk 2 = 2 kxk 2 + kyky 2 Đây là các định nghĩa cơ bản trong không gian Hilbert.
Nếu không gian tiền Hilbert X là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng, thì X được gọi là không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.4 đề cập đến dãy hội tụ yếu trong không gian này.
Trong không gian Hilbert X, một dãy (xn) ⊂ X được coi là hội tụ yếu về x0 ∈ X nếu với mọi y ∈ X, giá trị của hx n, yi tiến tới hx 0, yi Ký hiệu cho hội tụ này là xn * x0 Định nghĩa 1.2.5 liên quan đến khái niệm phần bù trực giao trong không gian Hilbert.
Cho X là một không gian tiền Hilbert trên K (K = R hoặc K = C). a Hai phần tử x và y được gọi là trực giao nếu hx, yi = 0. b Cho M là một tập con của X Tập hợp:
M ⊥ := x ∈ X : hx, yi = 0 với mọi y ∈ M được gọi là phần bù trực giao của M.
M ⊥ luôn là một không gian con đóng và M ⊂ (M ⊥ ) ⊥ Hơn nữa nếu
A ⊂B thì B ⊥ ⊂A ⊥ Định lý 1.2.2 (Toán tử chiếu)
Cho X là một không gian Hilbert và V là một không gian con đóng của
Trong không gian X, mỗi phần tử x có thể được phân tích duy nhất thành hai thành phần v và w, với v thuộc V và w thuộc V ⊥ Toán tử P : X → V, được gọi là toán tử chiếu trực giao lên V, có hai tính chất quan trọng: thứ nhất, P v = v cho mọi v thuộc V, tức là P là toán tử idempotent (P² = P); thứ hai, khoảng cách từ x đến P x không vượt quá khoảng cách từ x đến bất kỳ v 0 nào trong V, biểu thị bằng bất đẳng thức kx−P xk ≤ kx−v 0 k.
Tính chất thứ hai suy ra rằng P x ∈ V là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ X trong không gian con đóng V. Định nghĩa 1.2.6 (Không gian tách được)
Một không gian định chuẩn X được gọi là tách được nếu tồn tại một tập con trù mật đếm được M, cùng với một song ánh j: N → M sao cho cl(M) = X Định nghĩa 1.2.7 chỉ ra rằng, với X là một không gian Hilbert trên trường K, và bất kỳ tập A ⊂ X, tập spanA được xác định bởi các tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong A, tức là các biểu thức dạng (Σ từ k=1 đến n) α_k x_k, với α ∈ K và x_k ∈ A, n ∈ N.
) được gọi là không gian con của X sinh bởi A. Định nghĩa 1.2.8 (Hệ trực chuẩn)
Trong không gian Hilbert tách được X trên trường K (K = R hoặc K = C), một tập đếm được A = {x_k : k = 1, 2, 3, } được gọi là hệ trực chuẩn nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: đầu tiên, tích vô hướng giữa các phần tử khác nhau trong tập A là bằng không, tức là ⟨x_k, x_j⟩ = 0 với mọi k ≠ j; thứ hai, chuẩn của mỗi phần tử trong tập A đều bằng một, tức là ||x_k|| = 1 cho mọi k ∈ N.
Hệ đầy đủ hoặc hệ trực chuẩn tối đại A là một hệ trực chuẩn không có hệ trực chuẩn B nào khác thỏa mãn A ⊂ B Định lý 1.2.3 chỉ ra rằng trong không gian Hilbert tách được X trên trường K (K = R hoặc K = C) với A = {x_k : k = 1,2,3, }, mọi tập con hữu hạn của A đều độc lập tuyến tính Nếu A là tập hữu hạn, tức A = {x_k : k = 1,2,3, , n}, thì với mỗi x ∈ X, tồn tại duy nhất các hệ số α_k ∈ K (k = 1,2,3, , n) sao cho x = ∑(α_k * x_k).
≤ kx−ak với mọi a ∈ spanA.
Các hệ số αk được xác định bởi αk = hx, x k i với mọi k = 1, , n. c Với mỗi x ∈ X, ta có bất đẳng thức Bessel:
X k=1 hx, x k ix k hội tụ trong X. d A đầy đủ nếu và chỉ nếu spanA trù mật trong X. e A đầy đủ nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X, ta có phương trình Parseval:
X k=1 hx, x k i 2 = kxk 2 f A đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi x ∈ X đều có khai triển Fourier (suy rộng): x ∞
X k=1 hx, x k ix k , trong đó sự hội tụ được hiểu theo chuẩn của X Trong trường hợp này, phương trình Parseval đúng với dạng tổng quát sau: hx, yi ∞
Các không gian Sobolev
Giả sử E là một tập con không rỗng, bị chặn và đo được Lebesgue trong không gian R^n với 1 ≤ p < ∞ Không gian L^p(E) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm đo được Lebesgue f: E → R, thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Nhận xét 1.3.2 L p (E) là một không gian Banach với chuẩn f
Khi p= 2, L 2 (E) là một không gian Hilbert với tích vô hướng hf, gi Z
E f(x)g(x)dx. Đặc biệt, khi p = +∞, L ∞ (E) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được Lebesgue, "bị chặn chính" với chuẩn kfk L ∞ (E) := ess sup x∈E f(x) = inf
Cho Ω là một tập mở, liên thông trong R n và k ∈ N, không gian C k (Ω) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm liên tục f : Ω → R có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp k trên Ω.
Không gian vectơ C k (Ω) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm v ∈ C k (Ω) mà trong đó, v và các đạo hàm riêng đến cấp k của nó có khả năng mở rộng liên tục lên miền Ω.
C k Ω là không gian Banach với các chuẩn kfk C ( Ω ) = max x∈Ω f(x) và kfk C k( Ω ) X
|α|≤k kD α yk C ( Ω ) với k ≥ 1. Định nghĩa 1.3.4 (Giá)
Cho hàm v : Ω →R, ta định nghĩa giá của v là tập suppv := x ∈ Ω : v(x) 6= 0 Định nghĩa 1.3.5 (Không gian C 0 k )
Cho Ω là một tập mở, liên thông trong R n và k ∈ N ∪ {∞} Không gian C 0 k (Ω) được định nghĩa là tập hợp các hàm v thuộc C k (Ω) có hỗ trợ suppv nằm trong Ω, với suppv là một tập con compact trong không gian này.
Ω. Định nghĩa 1.3.6 (Không gian L 1 loc )
L 1 loc (Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hàm khả tích địa phương trong Ω, tức là
Định nghĩa 1.3.7 (Đa chỉ số)
Cho v = v(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ C k (Ω)vàα = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ N n Ta định nghĩa
Ta nói α là một đa chỉ số và |α| = α 1 +α 2 + +α n là độ dài của α Đặc biệt, ta quy ước D (0) v := v. Định nghĩa 1.3.8 (Đạo hàm riêng yếu)
Cho y ∈ L 1 loc (Ω) và α = (α 1 , α 2 , , α n ) là một đa chỉ số Nếu tồn tại hàm w ∈ L 1 loc (Ω) sao cho với mọi v ∈ C 0 ∞ (Ω), ta đều có
Ω w(x)v(x)dx thì w được gọi là đạo hàm riêng yếu của y ứng với α. Định nghĩa 1.3.9 (Không gian W k,p )
Cho 1≤ p < ∞vàk ∈ N.W k,p (Ω)được định nghĩa là không gian vectơ bao gồm tất cả các hàmf ∈ L p (Ω)có các đạo hàm riêng yếuD α f ∈ L p (Ω) với mọi đa chỉ số α mà |α| ≤k.
Các không gian W k,p (Ω) còn được gọi là các không gian Sobolev.
Nhận xét 1.3.10 W k,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn f
. Đặc biệt, với p = ∞, ta có chuẩn f
L ∞ (Ω). Định nghĩa 1.3.11 (Không gian H 1 và H 0 1 )
Với p= 2, đặt H k (Ω) := W k,2 (Ω) Khi đó H k (Ω)là không gian Hilbert với tích vô hướng hu, vi H k (Ω) = X
H 1 (Ω) f : Ω →R f ∈ L 2 (Ω) và D i f ∈ L 2 (Ω), i = 1, n là không gian Hilbert với tích vô hướng u, v H 1 (Ω) Z
2 = D 1 f 2 + + D n f 2 Cuối cùng, ta định nghĩa
Định lý 1.3.1 (Định lý vết)
Cho Ω là một miền Lipschitz bị chặn trong R n , Γ là biên của Ω và
1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục τ từ W 1,p (Ω) vào L p (Γ)sao cho với mọi y ∈ W 1,p (Ω)∩C Ω , ta luôn có (τ y)(x) =y(x) với mọi x ∈ Γ.
Toán tử liên tục và khả vi Fréchet
Định nghĩa 1.4.1 (Toán tử liên tục)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Một toán tử f đi từ X vào
Y được gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho với mọi x ∈ X mà kx−x 0 k < δ ta đều có f(x)−f(x 0 ) < ε.
Toán tử f được coi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu mọi dãy (xn) thuộc X mà x n tiến tới x 0 thì giá trị f(x n) cũng tiến tới f(x 0) Hơn nữa, toán tử f được xem là liên tục trên toàn bộ không gian X nếu nó liên tục tại mọi điểm x 0 thuộc X Ngoài ra, khái niệm toán tử tuyến tính cũng cần được đề cập.
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn trên trường K Một toán tử f từ X vào Y được gọi là tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ K, ta có f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn: Một toán tử tuyến tính f từ X vào Y được xem là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho f(x) ≤ Mkxk với mọi x ∈ X.
Số nhỏ nhất trong các hằng số này được gọi là chuẩn của toán tử f, với f := sup x6=0 f(x) / kxk Định lý 1.4.1 chỉ ra rằng, với f là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y, ta có f = sup x6=0 f(x) / kxk = sup kxk≤1 f(x) = sup kxk=1 f(x) Định lý 1.4.2 khẳng định rằng, nếu f là một toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, thì các mệnh đề a f liên tục trên X, b f liên tục tại x0 ∈ X, c f liên tục tại 0, và d f bị chặn là tương đương Cuối cùng, định nghĩa 1.4.6 đề cập đến không gian liên hợp.
Không gian X được định nghĩa là một không gian định chuẩn, trong khi không gian liên hợp của X, ký hiệu là X*, bao gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Đặc biệt, X* là một không gian Banach với chuẩn được tính theo công thức kfk = sup x∈X, kxk=1 f(x) Định nghĩa 1.4.7 đề cập đến toán tử tuyến tính liên hợp.
Trong không gian Hilbert X và Y, nếu f : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn, thì tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn duy nhất f ∗ : Y → X sao cho f(x), y = x, f ∗ (y) với mọi x ∈ X và y ∈ Y.
Toán tử f ∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tửf Với X = Y, toán tử f được gọi là tự liên hợp nếu f ∗ = f. Định lý 1.4.3 (Định lý biểu diễn Riesz)
Trong không gian Hilbert V trên R, với mỗi toán tử tuyến tính liên tục f ∗ thuộc V ∗, tồn tại duy nhất phần tử u trong V sao cho f ∗ (v) = hu, vi cho mọi v trong V và kf ∗ k V ∗ = kuk V Định nghĩa toán tử compact được nêu trong định nghĩa 1.4.8.
Trong không gian định chuẩn X và Y, một toán tử tuyến tính từ X vào Y được gọi là compact nếu nó chuyển đổi mọi tập con bị chặn của X thành một tập compact tương đối trong Y Định nghĩa này nhấn mạnh tầm quan trọng của tính chất compact trong phân tích toán học.
Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu x→xlim0 inff(x) ≥f(x 0 ).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.4.10 (Hàm nửa liên tục dưới yếu)
Cho X là một không gian Hilbert Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 ∈ X nếu lim inff(xn) ≥ f(x0), với mọi dãy (xn) hội tụ yếu về x0.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếuf nửa liên tục dưới yếu tại mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.4.11 (Hàm liên tục Lipschitz)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và f : X → Y Ta lấy một tập mở A ⊂ X Khi đó, f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập con mở
A nếu tồn tại một hằng số L > 0 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho với mọi x, y ∈ A ta đều có f(x)−f(y) ≤ Lkx−yk.
Nếu A = X thì ta nói f liên tục Lipschitz trên X. Định nghĩa 1.4.12 (Hàm coercive)
Cho X là một không gian định chuẩn Một hàm f từ X vào R được gọi là coercive nếu f(x) → +∞ khi kxk → +∞. Định nghĩa 1.4.13 (Khả vi Fréchet)
Cho V, W là hai không gian định chuẩn và U là một tập con mở của
Hàm f từ U vào W được coi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ U nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn A từ V vào W, thỏa mãn điều kiện lim khk→0 f(x+h)−f(x)−Ah khk = 0.
Dưới vi phân của hàm lồi
Cho X là một không gian định chuẩn, M là một tập con khác rỗng của
X và một phiếm hàm f nhận giá trị thực mở rộng trên M: f : M →R := [−∞; +∞].
Các tập hợp domf được định nghĩa như sau: n x ∈ M f(x) < +∞o là miền hữu hiệu và epif := n(x, γ) ∈ M ×R f(x) ≤ γo là đồ thị của hàm f Thêm vào đó, với mỗi α ∈ R, ta xác định tập mức dưới của hàm f.
Hàm f được coi là chính thường nếu domf khác 0 Hàm f lớn hơn âm vô cùng được xem là hàm lồi trên M khi tập hợp epif là tập lồi, và hàm f được gọi là hàm lõm trên M nếu −f là hàm lồi.
Nhận xét 1.5.2 Cho hàm f : X → (−∞; +∞] Khi đó, f là lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ X, với mọi λ ∈ (0; 1), ta đều có: f λx+ (1−λ)y ≤ λf(x) + (1−λ)f(y). Định nghĩa 1.5.3 (Dưới vi phân hàm lồi)
Giả sử f là một hàm lồi, chính thường trên không gian Hilbert X và x0 ∈ domf Một phiếm hàm x ∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient của f tại x0 nếu với mọi x ∈ X: f(x) ≥f(x 0 ) +hx−x 0 , x ∗ i.
Về mặt hình học, điều đó có nghĩa rằng hàm affine ϕ(x) := f(x 0 ) +hx−x 0 , x ∗ i, x ∈ X có đồ thị là một siêu phẳng tựa của epif tại điểm x 0 , f(x 0 )
Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x 0 được gọi là dưới vi phân của f tại điểm đó và được kí hiệu là ∂f(x0) Như vậy
Nếu ∂f(x 0 ) là tập khác rỗng thì ta nói f khả dưới vi phân tại x 0 Để thuận tiện ta cũng quy ước ∂f(x 0 ) =∅ nếu x 0 ∈/ domf Dễ thấy
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 25
Phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán 25
Bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán là bài toán tìm nghiệm φ của phương trình
∂Ω = 0, trong đó σ ∈ A với tập A được định nghĩa tại (3) và y ∈ L 2 (Ω) là các hàm số cho trước.
Công thức nghiệm yếu
Trước khi định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1), ta nhắc lại công thức tích phân từng phần. Định lý 2.2.1 (Công thức tích phân từng phần)
Cho U ⊂ R n là một tập mở bị chặn với ∂U là C 1 và cho u, v ∈ C 1 U Khi đó, với mỗi i ∈ {1,2, , n} ta có
U vux i dx,trong đó −→ν = −→ν (x) = (ν 1 , ν 2 , , ν n ) là pháp vectơ đơn vị hướng ra bên ngoài tại x trên biên ∂U của U (x ∈ ∂U).
Trở lại phương trình (2.1), bây giờ nhân hai vế của phương trình này với v ∈ C 0 ∞ (Ω), ta được
Ω yvdx. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được
Vì v triệt tiêu trên ∂Ω nên −
Phương trình này đúng với mọi v ∈ C 0 ∞ (Ω), và do H 0 1 (Ω) là bao đóng của C 0 ∞ (Ω) trong H 1 (Ω), ta có thể định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1) như sau: Định nghĩa 2.2.1 (Nghiệm yếu).
Hàm φ ∈ H 0 1 (Ω) được gọi là một nghiệm yếu của (2.1) nếu với mọi v ∈ H 0 1 (Ω) ta đều có
Tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Bây giờ, ta đặt V := H 0 1 (Ω) và định nghĩa dạng song tuyến tính a : V ×V →R xác định bởi a[φ, v] :Z
Bên cạnh đó, từ định lý biểu diễn Riesz, ta định nghĩa hàm tuyến tính f ∗ : V → R xác định bởi f ∗ (v) := hy, vi L 2 (Ω) Z
Dễ dàng nhận thấy rằng f ∗ thuộc V ∗ với điều kiện f ∗ (v) không vượt quá kyk L 2 (Ω) kvk L 2 (Ω) Phương trình (2.2) có thể được viết lại dưới dạng a[φ, v] = f ∗ (v) cho mọi v thuộc V Để khảo sát tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu, chúng ta cần áp dụng các bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề Lax - Milgram)
Cho V là một không gian Hilbert trên R và a : V ×V → R là một dạng song tuyến tính Giả sử tồn tại các hằng số dương α 0 và β 0 sao cho với mọi φ, v ∈ V, ta đều có:
Khi đó, với mọi f ∗ ∈ V ∗ , phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất φ ∈ V. Hơn nữa, tồn tại hằng số C > 0không phụ thuộc f ∗ sao cho kφk ≤ Ckf ∗ k.
Bổ đề 2.3.2 (Bất đẳng thức Friedrichs)
Cho Ω là một miền Lipschitz bị chặn Khi đó, tồn tại một hằng số
C > 0 chỉ phụ thuộc vào Ω sao cho với mọi φ ∈ H 0 1 (Ω):
|∇φ| 2 dx. Định lý 2.3.3 (Tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu)
Nếu Ω là miền Lipschitz bị chặn, thì với mọi σ ∈ A và mọi y ∈ L 2 (Ω), phương trình (2.1) có một nghiệm yếu duy nhất φ ∈ H 0 1 (Ω) Hơn nữa, tồn tại một hằng số C > 0 không phụ thuộc vào y, đảm bảo rằng kφk H 1 (Ω) ≤ 1.
Mặt khác, với φ ∈ H 0 1 (Ω), từ bất đẳng thức Friedrichs, ta có a[φ, φ] Z
Áp dụng Bổ đề Lax - Milgram, chúng ta kết luận rằng phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất φ thuộc H 0 1 (Ω), đồng thời đây cũng là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (2.1) Hơn nữa, giá trị kf ∗ k V ∗ được xác định là sup v∈H 0 1 (Ω), kvk=1 f ∗ (v).
≤ kyk L 2 (Ω) , và từ Bổ đề Lax - Milgram, tồn tại hằng số C > 0 sao cho kφk H 1 (Ω) ≤ 1
Do đó theo tính chất bắc cầu ta được kφk H 1 (Ω) ≤ 1
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 38
Phát biểu bài toán xác định hệ số khuếch tán
Giả sử rằng tồn tại một hàm σ ∗ ∈ A nào đó để φ ∗ = F D (σ ∗ )y và chúng ta chỉ có dữ liệu nhiễu φ δ ∈ H 0 1 (Ω) của φ ∗ sao cho φ ∗ −φ δ
Bài toán xác định hệ số khuếch tán liên quan đến việc khôi phục hệ số σ ∗ từ dữ liệu nhiễu φ δ, với điều kiện H 1 (Ω) ≤ δ và δ > 0 Do tính chất không chỉnh của bài toán và giả thiết σ ∗ −σ 0 có tính thưa, phương pháp chỉnh hóa thưa kết hợp với phiếm hàm năng lượng được áp dụng để giải bài toán cực tiểu: minσ∈A F φ δ (σ) +αΦ σ−σ 0 Mặc dù dữ liệu nhiễu thường chỉ tồn tại trong L 2 (Ω), giả thiết φ δ ∈ H 0 1 (Ω) không phải là quá cứng nhắc, vì có thể chuyển đổi dữ liệu nhiễu từ L 2 (Ω) sang H 0 1 (Ω) thông qua các phương pháp trơn hóa dữ liệu.
Phương pháp chỉnh hóa thưa
Bài viết này phân tích tính đặt chỉnh của bài toán (2), bao gồm sự tồn tại, tính ổn định và sự hội tụ Trước khi chứng minh các kết quả chính, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của hàm Φ được định nghĩa tại (5) và khái niệm về Φ−nghiệm cực tiểu hóa.
Bổ đề 3.2.1 Hàm Φ định nghĩa tại (5) có các tính chất sau: a Φ không âm, lồi, nửa liên tục dưới yếu. b Tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi σ ∈ L 2 (Ω), Φ(σ) ≥ ω min C p 2 kσk p
Khi đó, ta nói hàm Φ coercive yếu, tức là Φ(σ) → ∞ khi kσk → ∞. c Nếu {σ n } n∈ N ⊂ L 2 (Ω) hội tụ yếu về σ ∈ L 2 (Ω) và Φ(σ n ) hội tụ về Φ(σ) thì Φ(σ n −σ) hội tụ về 0.
Hàm Φ là một hàm không âm, lồi và nửa liên tục dưới yếu, vì nó được tạo thành từ tổng của các hàm không âm, lồi và nửa liên tục dưới yếu Các chứng minh cho các tính chất khác của hàm này có thể được tham khảo tại [5].
Bổ đề 3.2.2 khẳng định rằng tập Π(φ ∗ ) := {σ ∈ A : F D (σ)y = φ ∗} là khác rỗng, lồi, bị chặn và đóng theo chuẩn của L 2 (Ω) Điều này dẫn đến sự tồn tại của một nghiệm σ + cho bài toán σ∈Π(φmin ∗ )Φ σ −σ 0, được gọi là Φ−nghiệm cực tiểu hóa của bài toán xác định hệ số khuếch tán Đáng chú ý, Φ−nghiệm cực tiểu hóa này là duy nhất khi p > 1.
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Dễ thấy Π(φ ∗ ) là khác rỗng, lồi, bị chặn Phần chứng minh tính đóng của Π(φ ∗ ) theo chuẩn của
L 2 (Ω) có thể tìm được tại [6].
Để chứng minh sự tồn tại ít nhất một Φ-nghiệm cực tiểu hóa, ta giả sử ngược lại rằng không có bất kỳ Φ-nghiệm cực tiểu hóa nào trong Π(φ ∗ ) Điều này dẫn đến việc tồn tại một dãy {σ k } ⊂ Π(φ ∗ ) sao cho Φ(σ k −σ 0 ) tiến tới c, với c nhỏ hơn Φ(σ−σ 0 ) cho mọi σ thuộc Π(φ ∗ ).
Vì tập Π(φ ∗) có tính compact yếu, nên tồn tại một dãy con của dãy {σ k} hội tụ yếu về σe ∈ Π(φ ∗) Từ tính chất nửa liên tục dưới yếu của hàm Φ, ta có Φ(σe−σ 0) ≤ lim k→∞inf Φ(σ k −σ 0) = c, điều này dẫn đến mâu thuẫn với (3.1).
Với p >1,Φ(ã) là lồi chặt nờn Φ−nghiệm cực tiểu húa là duy nhất. Định lý 3.2.3 (Sự tồn tại)
Bài toán (2) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh này dựa trên bài báo [4], cho thấy hàm F φ δ (ã) là lồi và liên tục theo chuẩn L 2 (Ω), do đó nó nửa liên tục dưới yếu Theo Bổ đề 3.2.1, hàm Φ(ã) cũng lồi và nửa liên tục dưới yếu theo chuẩn L 2 (Ω) Do đó, hàm mục tiêu trong bài toán (2) là lồi và nửa liên tục dưới yếu trong tập A Hơn nữa, vì A là tập không rỗng, lồi, bị chặn và đóng theo chuẩn L 2 (Ω), nên A là compact yếu Do đó, bài toán (2) đảm bảo có ít nhất một nghiệm Định lý 3.2.4 khẳng định tính ổn định của bài toán.
Với một tham số chỉnh hóa cố định α > 0, đặt dãy {φ n } hội tụ về φ δ trong H 0 1 (Ω) và σ n ∈ argmin σ∈A
Khi đó, tồn tại một dãy con {σ n k } của {σ n } và một điểm cực tiểu σ α,δ p của bài toán (2) sao cho σ n k −σ p α,δ
Ngoài ra, nếu điểm cực tiểu σ α,δ p là duy nhất thì dãy {σ n } hội tụ về σ α,δ p theo chuẩn của L 2 (Ω).
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Từ định nghĩa σ n , ta được
Với mọi σ ∈ A, có một hằng số C độc lập với n sao cho kφ n k 2 H 1 (Ω) ≤ C với mọi n Điều này dẫn đến việc n Φ σ n −σ 0 o bị chặn Theo Bổ đề 3.2.1, hàm Φ là coercive yếu trong L 2 (Ω), do đó dãy {σ n } cũng bị chặn trong L 2 (Ω).
Tồn tại một dãy con {σ n k } của {σ n } và một phần tử σ p α,δ ∈ L 2 (Ω) sao cho {σ n k } hội tụ yếu về σ α,δ p trong L 2 (Ω) Do A là một tập lồi, đóng trong L 2 (Ω), nên σ α,δ p thuộc A Hơn nữa, vì F φ δ (ã) và Φ(ã) là các hàm nửa liên tục dưới yếu, chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
F φ δ σ α,δ p ≤ lim k infF φ δ (σ n k ) (3.3) và Φ σ α,δ p −σ 0 ≤ lim k inf Φ σ n k −σ 0 (3.4) Hơn nữa, ta có
Vì φ n k → φ δ trong H 1 (Ω) nên biểu thức trong dấu ngoặc tròn ở vế phải của (3.5) hội tụ về 0 khi k → ∞ Do đó limk infF φ δ (σ n k ) = lim k infF φ nk(σ n k ),lim k supF φ δ (σ n k ) = lim k supF φ nk(σ n k ).
= F φ δ (σ) +αΦ σ −σ 0 (3.7) với mọi σ ∈ A Vậy σ α,δ p là một điểm cực tiểu của bài toán (2).
Từ (3.7), đặt σ = σ α,δ p , ta được lim k
Kết hợp với (3.3) và (3.4), ta đượcΦ σ n k −σ 0 → Φ σ α,δ p −σ 0 Cuối cùng, vì {σ n k } hội tụ yếu về σ α,δ p và Φ σ n k −σ 0 →Φ σ α,δ p −σ 0 khi k → ∞, ta kết luận rằng Φ σ n k −σ α,δ p →0khik →0, và do đó σ n k −σ α,δ p
L 2 (Ω) →0 khi k → ∞ (theo Bổ đề 3.2.1). Định lý 3.2.5 (Sự hội tụ)
Giả sử rằng phương trình toán tử F D (σ)y = φ ∗ có một nghiệm trong A và α :R >0 → R >0 thỏa mãn α(δ) →0 và δ 2 α(δ) → 0 khi δ →0. Đặt δ n →0 và φ n −φ ∗
H 1 (Ω) ≤ δ n Hơn nữa, đặt α n = α(δ n ) và σ n ∈ argmin σ∈A
Khi đó, tồn tại một Φ−nghiệm cực tiểu hóa σ + của FD(σ)y = φ ∗ và một dãy con của {σ n } hội tụ về σ + trong A theo chuẩn của L 2 (Ω).
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Đặt σe ∈ A là một nghiệm của F D (σ)y = φ ∗ Từ định nghĩa của σ n , ta được
≤ 1 λδ n 2 +αnΦ σe−σ 0 Đặc biệt, khi δ → 0 và α ∼ δ 2 thì
F φ n (σ n ) → 0 và lim n sup Φ σ n −σ 0 ≤Φ σe−σ 0 chứng tỏ n Φ σ n −σ 0 bị chặn Vì Φ(ã) là coercive yếu, nên dãy {σ n } cũng bị chặn Do đó, tồn tại một dãy con {σ n k } của {σ n } và σ + ∈ A sao cho σ n k hội tụ yếu về σ + Từ đây, ta rút ra được kết quả từ (3.8).
Vỡ F φ ∗ (ã) nửa liờn tục dưới yếu nờn
H 1 (Ω) = 0 Vậy σ + là một nghiệm của phương trỡnh F D (σ)y = φ ∗ Hơn nữa, vỡ Φ(ã) nửa liờn tục dưới yếu trong L 2 (Ω) nên từ (3.8) ta được Φ σ + −σ 0 ≤ lim k inf Φ σ n k −σ 0 ≤ lim k sup Φ σ n k −σ 0 ≤ Φ σe−σ 0
Điều này chứng tỏ rằng σ + là một nghiệm cực tiểu hóa của Φ Khi chọn eσ = σ + trong (3.9), ta nhận thấy rằng Φ σ n k −σ 0 tiến gần đến Φ σ + −σ 0 khi k tiến tới vô cùng Hơn nữa, σ n k −σ 0 hội tụ yếu về σ + −σ 0 trong không gian L 2 (Ω), dẫn đến Φ σ n k −σ 0 tiến đến Φ σ + −σ 0 khi k tăng lên Do đó, ta có Φ(σ n k −σ + ) tiến đến 0 khi k tiến đến 0, và từ đó suy ra σ n k −σ + cũng tiến gần đến 0.
Như đã nói, với σ ∈ A, toán tử
Q−2,∞ là tuyến tính liên tục.
Toán tử liên hợp của F D 0 (σ)y biểu thị bởi
(3.10) Định nghĩa 3.2.1 (Khoảng cách Bregman)
Cho X là một không gian Banach cùng với không gian liên hợp X ∗ và
R : X →(−∞; +∞] là một hàm lồi chính thường với dom(R) := x ∈ X : R(x) < +∞ 6= ∅. Dưới vi phân của R tại x ∈ dom(R) xác định bởi
∂R(x) := nx ∗ ∈ X ∗ : R(y) ≥ R(x) +hx ∗ , y−xi (X ∗ ,X) với mọi y ∈ Xo. Khi đó, với một phần tử cố định x ∗ ∈ ∂R(x),
D x R ∗(y, x) := R(y)−R(x)− hx ∗ , y−xi (X ∗ ,X) được gọi là khoảng cách Bregman của hai phần tử y, x ∈ X theo R và x ∗ Định lý 3.2.6 Cho q ∈
H 1 (Ω) ≤ δ và σ p α,δ là một nghiệm của bài toán (2) Hơn nữa, giả sử tồn tại một hàm w ∗ ∈ H −1 (Ω) sao cho ξ := F D 0 (σ + )y ∗ (w ∗ ) ∈ ∂Φ σ + −σ 0 (3.11)
H 1 (Ω) = O(δ) khi δ → 0 và α ∼ δ Đặc biệt, với p∈ (1; 2], ta được σ α,δ p −σ +
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Từ định nghĩa của σ α,δ p , ta được
Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn tại w ∈ H 0 1 (Ω) sao cho w ∗ , F D 0 (σ + )y σ α,δ p −σ +
Vì σ + ≥λ > 0 nên tích vô hướng
Ω σ + ∇φ.∇vdx, với mọi φ, v ∈ H 0 1 (Ω) tương đương với hφ, vi H 1
0 (Ω) trong H 0 1 (Ω) Vì vậy tồn tại wb ∈ H 0 1 (Ω) độc lập với σ α,δ p để w, F D 0 (σ + )y σ α,δ p −σ +
Từ công thức nghiệm yếu của F D (σ + )y và F D 0 (σ + )y σ α,δ p −σ + tại (2.2) và (2.4), ta được αΛ = α
Ω σ p α,δ ∇w.∇b φ δ −φ ∗ dx. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta được α|Λ| ≤ α
Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ αa 2
2α và kết hợp với (3.12), ta được
1 2 Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng
Từ Định lý 2.4.2 và (3.16), ta có
CF φ δ σ α,δ p = O(δ 2 ) khi δ →0 và α ∼δ. Đặc biệt, với p ∈ (1; 2], tồn tại một hằng số C p > 0 sao cho
Vì vậy, ta kết luận được σ α,δ p −σ +
Xét bài toán −div(σ∇u) = f và u = 0 trên biên Ω Giả sử cho trước σ = 1 +x 2 + y 2 và u = 1−x 2 −y 2 , ta tính được f = 8x 2 + 8y 2 + 4.
Sử dụng giải thuật Gradient, ta được chương trình Matlab sau:
%This program solve the genaral problem(BVP): -div(\sigma grad(u))=f with c
%3 Define the function c,f depend on the mesh.
%4 Compute The Stiff Matrix, Mass Matrix, Source Matrix
%5 Define the operator FD to the solution, Dirichlet trace and
%1 define Decomposed Geometry Matrix(the unit circle).
%number of nodes and triangles np=size(p,2);ne=size(e,2);
%background of sigma sigma1=’exp(x-x)’;
%parameter function that need recovering sigmat = ’1+x.^2+y.^2’; sigval=value(sigmat);
K1 = stiffmat(sigma1);% the stiffness matrix with c=\sigma=1
Kt = stiffmat(sigmat);% the stiffness matrix with c=\sigma is physical conductivity.
%Function in the right handside f=’8*x.^2+8*y.^2+4’; f=value(f);
MM1=massmat(); %the mass matrix with a=1
%tranfer function f into the source matrix
%data of inverse problem, noise added! randn(’state’,0); vector=randn(size(f));
%vector=vector/max(max(abs(vector))); vector=vector*(sqrt(f’*MM1*f)/sqrt(vector’*MM1*vector)); f1 = f + 3e-1*vector;
[ux,uy] = pdegrad(p,t,u); error=(u-u_true)’*(K1+MM1)*(u-u_true)
% regularization parameter setting eta = 5e-5; w = eta*ones(np,1); q=0.5; s1^-2;s2^2; epsilon-17; beta-2; maxiter ;
%Initial sigma = ones(np,1); % background parameter dsig1 = zeros(np,1); % initial guess of inhomogeneities dsig2=dsig1; sn=1;
%save objective function, parameter s^n, time after each iteration obj1=[]; sn1=[]; time1=[]; r_norm1=[]; solution1=[sigma];
MSE=(sigval-sigma)’*MM1*(sigval-sigma);
%objective function at the first step
KKi = stiffmat(sigma+dsig1); ud1 = FD(KKi,F); objfcn1=(ud1-u)’*KKi*(ud1-u); objfcnt1 = objfcn1 + w’*MM1*abs(dsig1);
% gradient of data-fitting function at sigma^n
[udx,udy] = pdegrad(p,t,ud1); gradfcn1 = -udx.*udx-udy.*udy+ux.*ux+uy.*uy; gradfcn1=pdeprtni(p,t,gradfcn1); tic for i = 1:maxiter tg=toc;
%save obj and time obj1=[obj1 objfcnt1]; time1=[time1 tg]; ok=1; while ok
%Step 1: Compute u^{n+1} stemp = dsig1 - sn*gradfcn1; dsig2 = sign(stemp).*max(abs(stemp)-sn*w,0); dsig2=max(dsig2,0);
%Step 2: Check condition of If-clause
KKi = stiffmat(sigma+dsig2); ud2 = FD(KKi,F); objfcn2=(ud2-u)’*KKi*(ud2-u); objfcnt2 = objfcn2 + w’*MM1*abs(dsig2);
DL=objfcn1+gradfcn1’*MM1*(dsig2-dsig1)+(dsig2-dsig1)’*MM1*(dsig2-dsig1)/(2*sn);
DL = DL + w’*MM1*abs(dsig2); if (objfcnt2>DL) & (sn>=s1) & (sn