Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường số thực
R Một chuẩn trờn X là ỏnh xạ k ã k : X → R thỏa món cỏc tớnh chất sau (i) kxk ≥ 0 ∀x ∈ X;
(iv) kx+yk ≤ kxk+kyk ∀x, y ∈ X.
Bất đẳng thức (iv) được gọi là bất đẳng thức tam giác.
Một khụng gian tuyến tớnh trờn trường số thực R với chuẩn k ã k được gọi là không gian định chuẩn trên trường R.
Không gian Banach
Trong không gian định chuẩn X, một dãy {u_k} hội tụ đến u nếu lim k→∞ ||u_k - u|| = 0, ký hiệu là u_k → u khi k → ∞ Dãy {u_k} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại N > 0 sao cho ||u_k - u_l|| < ε, với mọi k, l ≥ N Không gian Banach là không gian định chuẩn mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Cho X là không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Không gian Hilbert
Cho H là không gian tuyến tính trên trường số thực R. Định nghĩa 1.1.5 (Tích vô hướng)
Tích vô hướng là ánh xạ h., i : H ×H → R
(x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn các tính chất sau
(i) hx, xi ≥ 0,∀x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0;
(ii) hx, yi = hy, xi,∀x, y ∈ H;
(iii) hαx, yi = αhx, yi,∀x, y ∈ H và ∀α ∈ R;
(iv) hx+y, zi = hx, zi+ hy, zi,∀x, y, z ∈ H.
Kí hiệu Nếu h., i là một tích vô hướng, thì nó sinh ra một chuẩn cảm sinh xác định bởi kxk:= hx, xi 1/2 (x ∈ H). Định nghĩa 1.1.6 (Không gian tiền Hilbert)
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert Mỗi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn cảm sinh được xác định bởi công thức kxk = hx, xi^1/2, trong đó x thuộc H.
Một không gian tiền Hilbert H được gọi là không gian Hilbert nếu nó là một không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Không gian Hilbert bao gồm các ví dụ như không gian R^n, nơi áp dụng tích vô hướng chính tắc Một ví dụ khác là không gian l^2, với các phần tử x = (x_k) và y = (y_k), trong đó tích vô hướng được định nghĩa bởi hx, yi.
X k=1 xkyk, thì h., i là tích vô hướng, l 2 ,h., i là không gian Hilbert. c) Không gian L 2 (U) là một không gian Hilbert với hf, gi :Z
U f gdx. Định lý 1.1.9 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz)
Cho H là một không gian tiền Hilbert Khi đó,
Toán tử và một số khái niệm liên quan
Toán tử liên tục
Toán tử f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x₀ ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi x ∈ X thỏa mãn điều kiện kx − x₀k < δ thì cũng có kf(x) − f(x₀)k < ε.
Sự liên tục của toán tử f tại điểm x0 có thể được định nghĩa theo cách khác: toán tử f được coi là liên tục tại x0 nếu với mọi dãy (xn) mà xn tiến tới x0, thì f(xn) cũng tiến tới f(x0) Hơn nữa, toán tử f được gọi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 thuộc X.
Hàm nửa liên tục, hàm nửa liên tục yếu, hàm coercive 12
Hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x0) - ε cho mọi x ∈ X với điều kiện kx - x0k < δ Nếu -f là nửa liên tục dưới tại x0, thì hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x0 Ngoài ra, hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 nếu giới hạn khi x tiến tới x0 của inf f(x) lớn hơn hoặc bằng f(x0).
Hàm f được xem là nửa liên tục dưới yếu nếu nó thỏa mãn tính chất này tại mọi điểm x thuộc tập X Định nghĩa 1.2.7 cho biết hàm f: X → R được gọi là coercive nếu đối với mọi dãy (x_n) nằm trong X, giá trị f(x_n) tiến tới +∞ khi chuẩn của x_n tiến tới +∞.
Hội tụ yếu
Định nghĩa 1.2.8 Cho X là không gian Hilbert Dãy {x n } trên X được gọi là hội tụ yếu đến x 0 ∈ X, kí hiệu x n → x 0 , nếu hx n , yi → hx 0 , yi, ∀y ∈ X.
Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.2.9 Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường
R Toán tử tuyến tính f : X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại số M sao cho kf(x)k ≤ Mkxk với mọi x ∈ X. Định lý 1.2.10 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và f : X → Y là toán tử tuyến tính Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
Toán tử liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.2.11 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn Toán tử f : X → Y được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số dương
L sao cho kf(x)−f(y)k Y ≤ Lkx−yk X ,với mọi x, y ∈ X.
Toán tử kép
Định nghĩa 1.2.12 Cho A : X 7→ Y bị chặn và lấy ϕ ∈ Y ∗ Khi đó f(x) =ϕ(Ax) với mọi x ∈ X là hàm tuyến tính trên X Hơn nữa, ta có
Suy ra f ∈ X ∗ Do đó tồn tại ánh xạ ϕ 7→ f := A ∗ ϕ Điều này chứng tỏ rằng A ∗ : Y ∗ 7→ X ∗ tuyến tính Đến đây suy ra được x ∈ X và ϕ ∈ Y ∗ nên ta có ϕ(Ax) ≡ (A ∗ ϕ) (x).
Rõ ràng A ∗ là toán tử bị chặn Đồng thời, ta có kAk = sup kxk=1 kA(x)k Y = sup kxk=1 sup kϕk=1
Do đó ta có kAk= kA ∗ k.
Toán tử A ∗ được gọi là toán tử kép của A Kí hiệu A ∗ : Y ∗ 7→X ∗
Tập lồi và hàm lồi
Cho không gian Hilbert H và L ⊂ H. Định nghĩa 1.3.1 Tập L được gọi là tập lồi nếu
Trong toán học, với mọi a, b thuộc tập lồi L và λ trong khoảng [0,1], ta có λa + (1−λ)b cũng thuộc L Một hàm f xác định trên tập lồi L được gọi là hàm lồi nếu thỏa mãn điều kiện f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) cho mọi x, y thuộc L và 0 ≤ λ ≤ 1 Ngoài ra, hàm f được xem là lồi chặt nếu điều kiện f(λx + (1−λ)y) < λf(x) + (1−λ)f(y) được thỏa mãn cho mọi x, y thuộc L, với x khác y và 0 < λ < 1.
Toán tử khả vi Fréchet, dưới vi phân
Toán tử khả vi Fréchet
Trong không gian Banach V và W, cho tập con mở U ⊂ V, một toán tử f: U → W được xem là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ U nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn A: V → W, thỏa mãn điều kiện lim h→0 kf(x + h) − f(x) − A(x)hk khk = 0.
Dưới vi phân
Hàm f: R^n → R được coi là hàm lồi nếu tồn tại một vectơ g ∈ R^n được gọi là dưới gradient của f tại điểm x ∈ R^n, thỏa mãn điều kiện f(x+δ) ≥ f(x) + δ^T g với mọi δ ∈ R^n Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f tại x, ký hiệu là ∂f(x).
∅, x ≤ 0; n− 2 √ 1 x o, x > 0. Định nghĩa 1.4.5 Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu tập
1.5 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.5.1 (Không gian L p (Ω))
L p (Ω) = {u : Ω → R | u là đo được Lebesgue, kuk L p (Ω) < +∞ Trong đó chuẩn được xác định bởi kuk L p (Ω) Z
Trong không gian L p (Ω), hai hàm số được coi là bằng nhau nếu chúng tương đương hầu hết mọi nơi Không gian này là một không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm số và phép nhân một số thực với hàm số Hơn nữa, L p (Ω) là một không gian Banach với chuẩn được xác định như đã nêu Đặc biệt, khi p = 2, L 2 (Ω) trở thành một không gian Hilbert Định nghĩa 1.5.2 đề cập đến khái niệm đạo hàm suy rộng.
Kí hiệu C 0 ∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω.
Giả sử u(x) ∈ L p (Ω) Hàm số w(x) ∈ L p (Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến x j của hàm u(x), kí hiệu là
= D j u = w(x), nếu với mọi v(x) ∈ C 0 ∞ (Ω) ta có
Giả sử α = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ N n là đa chỉ số với α j ∈ N Ta kí hiệu
|α| = α 1 +α 2 + .+α n và D α = D α 1 1 D α 2 2 D α n n Khi đó, ta định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng cấp cao như sau
Giả sửu(x) ∈ L p (Ω) Hàm sốw α (x) ∈ L p (Ω)được gọi là đạo hàm riêng suy rộng cấp α của u, kí hiệu là D α u = w α , nếu với mọi v(x) ∈ C 0 ∞ (Ω) ta có
∂xj dx. Định nghĩa 1.5.3 (Không gian W m,p (Ω) và H m (Ω))
(i) Không gian W m,p (Ω) là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈ L p (Ω) sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α,|α| ≤ m, thuộc L p (Ω) và được trang bị chuẩn kuk W m,p (Ω)
(ii) Khi p = 2, ta có W m,p (Ω) = W m,2 (Ω) và được kí hiệu là H m (Ω). Tức là
Khi đó, H m (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng hu, vi m = X
Do đó, ta suy ra kuk 2 m = hu, ui m = X
(iv) Trong luận văn này, tôi chủ yếu làm việc trên không gian H 1 (Ω) được định nghĩa như sau
H 1 (Ω) = u ∈ L 2 (Ω) : D i u ∈ L 2 (Ω), i = 1, , N , với chuẩn được cho bởi kuk H 1 (Ω) Z
Cùng với tích vô hướng hu, vi H 1 (Ω) Z
Như vậy, H 1 (Ω) là một không gian Hilbert.
1.6 Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz, định lí nhúng Sobolev, định lí nhúng Kondrashov Định lý 1.6.1 [5] (Định lí Lax-Milgram)
Giả sử X là một không gian Hilbert thực, a(u, v) là phiếm hàm song tuyến tính trên X Giả thiết a(u, v) thỏa mãn các điều kiện
(i) Tồn tại c > 0 sao cho |a(u, v)| ≤c||u|| ã kvk với mọi u, v ∈ X.
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho a(u, u) ≥γkuk 2 với mọi u ∈ X.
Khi đó, với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X đều tồn tại duy nhất f ∈ X sao cho
Hơn nữa, tồn tại hằng số c a , không phụ thuộc vào F sao cho
Chứng minh Lấy u ∈ X cố định Khi đó, u(v) = a(u, v) là phiếm hàm tuyến tính trên X Theo (i), ta có
Đối với mọi v ∈ X, ta có |a(u, v)| ≤ ckuk ã kvk, điều này chứng tỏ rằng u(v) là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X Theo định lý Riesz-Frechét, tồn tại một phần tử Au ∈ X sao cho u(v) = (Au, v) với mọi v ∈ X.
Như vậy a(u, v) = (Au, v),∀v ∈ X, và ta có một toán tử
Ta thấy A là toán tử tuyến tính Thật vậy, với mọi λ1, λ2 ∈ R, u1, u2 ∈ X và với mỗi v ∈ X, ta có
= λ 1 (Au 1 , v) +λ 2 (Au 2 , v) = (λ 1 Au 1 + λ 2 Au 2 , v). Đẳng thức đúng với mỗi v ∈ X nên suy ra A tuyến tính Theo giả thiết (ii), ta có kAuk 2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ckuk ã kAuk,∀u ∈ X.
Suy ra: kAuk ≤ ckuk,∀u ∈ X Bất đẳng thức này chứng tỏ A : X → X là toán tử liên tục Hơn nữa, với u 1 , u 2 ∈ X mà
Au 1 6= Au 2 ⇒ u 1 6= u 2 (1.1) Mặt khác, với mọi u ∈ X ta có kuk 2 ≤ 1 γa(u, u) = 1 γ(Au, u) ≤ c γkAuk ã kuk ⇒ kuk ≤ c γkAuk, ∀u ∈ X.
Do đó, với u1, u2 ∈ X mà u 1 6= u 2 ⇒ Au 1 6= Au 2 (1.3)
Từ (1.1) và (1.3) suy ra A: X → X là ánh xạ 1−1.
Tập A(X) được định nghĩa là A(X) = {Au ∈ X : u ∈ X} Để chứng minh A(X) là tập đóng trong X, giả sử {Au j} là dãy hội tụ đến v ∈ X Vì {Au j} là dãy Cauchy trong X, nên ta có giới hạn lim k→+∞ ||Au j − Au k|| = 0.
Từ (1.2), ta có ku j −u k k ≤ c γ ã kAu j −Au k k, chứng minh rằng {u j } là dãy Cauchy trong không gian X Do đó, tồn tại phần tử u ∈ X sao cho lim j→+∞ u j = u trong X Vì A là ánh xạ liên tục, nên Au = v ∈ A(X), điều này cho thấy A(X) là tập đóng trong X.
Ta chứng minh A(X) = X Giả sử A(X) ⊂ X, A(X) đóng Ta lấy u ∈ X mà u /∈ A(X), trực giao với A(X), tức là
Vì kuk 2 ≤ γ 1 a(u, u) = 0 nên u = 0, tức là A(X) = X Vậy A : X → X là song ánh.
Giả sử F(u) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Theo định lý Riesz-Frechét tồn tại duy nhất g ∈ X sao cho
Khi đó, tồn tại f ∈ X sao cho Af = g Do đó F(u) = (g, u) = (Af, u) a(f, u), ∀u ∈ X. Định lý 1.6.2 [5] (Định lí biểu diễn Riesz)
Không gian Hilbert H trên R có tính chất đặc biệt, trong đó mọi toán tử tuyến tính liên tục f ∗ ∈ H ∗ đều tương ứng với một phần tử duy nhất u ∈ V, sao cho f ∗ (H) = hu, vi với mọi v ∈ H Đồng thời, điều này cũng đảm bảo rằng kf ∗ k H ∗ = kuk H Định lý 1.6.3, được biết đến là định lý nhúng Sobolev, khẳng định tính chất quan trọng này trong lý thuyết không gian Hilbert.
Cho Ω ⊂ R N là miền bị chặn với biên Lipschitz Lấy 1< p < ∞ và m là các số nguyên không âm Khi đó ta có
(iii) Khi mp > N : W m,p (Ω),→C( ¯Ω). Định lý 1.6.4 [5] (Định lí nhúng Kondrashov)
Trong một đa tạp compact với biên C 1 , nếu k > ` vàk−n/p > `−n/q thì theo định lí nhúng Sobolev ta có: W k,p (M) ⊂ W `,q (M) liên tục một cách compact.
1.7 Bất đẳng thức Poincaré Định lý 1.7.1 [5] Cho Ω ⊂ R N là một miền bị chặn Lipschitz, và lấy Γ 1 ⊂ Γ là một tập đo được sao cho: |Γ 1 | > 0 Khi đó, tồn tại hằng số c(Γ 1 ) > 0, không phụ thuộc vào y ∈ H 1 (Ω), sao cho kyk 2 H 1 (Ω) ≤ c(Γ 1 )
Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Poincaré, chúng ta có thể chứng minh rằng không gian H 0 1 (Ω) = {y ∈ H 1 (Ω)|y = 0 trên Γ} với chuẩn ||y|| 2 = R Ω |∇y| 2 dx là một không gian Hilbert Trong không gian này, chuẩn ||y|| tương đương với chuẩn k.y.k H 1 (Ω).
Tương tự như vậy, không gian H˜ 1 (Ω) = {y ∈ H 1 (Ω)|R Γ yds = 0} với chuẩn ||y|| 2 = R Ω |∇y| 2 dx là một không gian Hilbert và trong không gian này chuẩn || ã || tương đương với chuẩn k ã k H 1 (Ω)
CHƯƠNG2 BÀI TOÁN THUẬN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG
Chương này giới thiệu bài toán thuận trong chụp cắt lớp điện trở kháng, bao gồm phát biểu bài toán, công thức nghiệm yếu, sự tồn tại duy nhất của nghiệm, tính đặt chỉnh và tính khả vi của các toán tử liên quan Nội dung được tham khảo từ các tài liệu [5], [10], [12], [13], [14] Trước khi đi vào phát biểu bài toán, chương sẽ trình bày một số ký hiệu và toán tử cần thiết.
Cho Ω ⊂ R d (d = 2,3) là một miền mở bị chặn với biên Lipschitz Γ,H˜ 1 (Ω) là một không gian con của H 1 (Ω) thỏa mãn
Không gian H˜ 1/2 (Γ) và H˜ −1/2 (Γ) = H˜ 1/2 (Γ) ∗ được định nghĩa tương tự Những không gian này được trang bị chuẩn thông thường. Đặt A là tập con của L ∞ (Ω) được định nghĩa bởi
A = σ ∈ L ∞ (Ω) : λ ≤ σ ≤ λ −1 hkn và supp σ−σ 0 ⊂ Ω 0 , với λ ∈ (0,1) và Ω 0 là tập compact trong Ω.
Bài toán thuận trong chụp cắt lớp điện trở kháng là bài toán tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng elliptic như sau
2.2 Công thức nghiệm yếu Để tìm được công thức nghiệm yếu của (2.1), ta nhân 2 vế của phương trình (1) với hàm thử v ∈ C 0 ∞ (Ω), sau đó lấy tích phân 2 vế ta được
Sau đó sử dụng công thức tích phân từng phần ta được
Ω σ∇φ∇vdx = 0. Đến đây kết hợp với (2.1) ta có
Phương trình này tương đương với
Công thức nghiệm yếu của bài toán biên Neumann đối với phương trình (2.1) được định nghĩa như sau: Hàm φ ∈ H˜ 1 (Ω) được xem là nghiệm yếu khi nó thỏa mãn đồng nhất thức tích phân.
Ω σ∇φ∇vdx Z Γ jvds, trong đó v ∈ H˜ 1 (Ω) tùy ý.
Hàm φ ∈ H˜ 1 (Ω) được xem là nghiệm yếu của bài toán Dirichlet cho phương trình (2.2) nếu nó thỏa mãn đồng nhất thức tích phân.
Ω σ∇φ∇vdx = 0, đối với mọi hàm v ∈ H˜ 0 1 (Ω) và thỏa mãn điều kiện φ| Γ = g.
Dùng định lí Lax-Milgram ta chứng minh được bài toán (2.1) và (2.2) có nghiệm yếu duy nhất.
2.3 Tính khả vi của Toán tử Định lý 2.3.1 [12] (Định lí Meyers)
Cho Ω là một miền có biên Lipschitz trong R d (d ≥2).
Giả sử rằng σ ∈ L ∞ (Ω) thỏa mãn λ < σ < λ −1 với λ ∈ (0,1).
Lấy z ∈ (L r (Ω)) d và y ∈ L r (Ω), gọi φ ∈ H 1 (Ω) là nghiệm yếu của bài toán: −div(σ∇φ) =−div(z) +y trong Ω.
Khi đó, tồn tại hằng số Q ∈ (2,+∞) chỉ phụ thuộc vào λ và d, Q →2 khi λ → 0 và Q → ∞ khi λ → 1, sao cho với 2 < r < Q, φ ∈ W loc 1,r (Ω),
Ω 0 ⊂⊂ Ω và k∇φk L r (Ω 0 ) ≤ C 0 kφk H 1 (Ω) + kzk L r (Ω) +kyk L r (Ω) , với hằng số C 0 phụ thuộc vào λ, d, r,Ω 0 và Ω.
Nhận xét 2.3.2 (1) Theo định lí Lax-Milgram, với mỗi σ ∈ A, tồn tại hằng số C N và C D (chỉ phụ thuộc vào λ và Ω) sao cho kF N (σ)jk H 1 (Ω) ≤ C N kjk H −1/2 (Γ),kF D (σ)gk H 1 (Ω) ≤ C D kgk H 1/2 (Γ)
(2) Trong không gianH˜ 1 (Ω), chuẩn củaH 1 (Ω)và nửa chuẩn củaH 1 (Ω) là tương đương, nghĩa là với mỗi u ∈ H˜ 1 (Ω), tồn tại hằng số C˜ sao cho k∇uk L 2 (Ω) ≥ C˜kuk H 1 (Ω)
Với mỗi σ ∈ A, vì bài toán (2.1) có nghiệm yếu duy nhất φ ∈ H˜ 1 (Ω) nờn ta cú thể định nghĩa toỏn tử Neumann F N (ã)j như sau
Với mỗi σ ∈ A, vì bài toán (2.2) có nghiệm yếu duy nhất φ ∈ H˜ 1 (Ω) nên ta cú thể định nghĩa toỏn tử Dirichlet F D (ã)g như sau
Và toán tử Neumann-to-Dirichlet N tD(σ) được định nghĩa như sau
Bõy giờ ta xem xột một số tớnh chất của F N (ã)j, F D (ã)g và F δ (ã) trong
A được trang bị chuẩn L q (Ω) Tớnh liờn tục của F N (ã)j và F D (ã)g được chứng minh trong bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.3 Cho q ∈ Q−2 2Q ,∞i, j ∈ H˜ −1/2 (Γ) và g ∈ H˜ 1/2 (Γ) Với mỗi σ, σ+ ϑ ∈ A, ta có kF N (σ +ϑ)j −F N (σ)jk H 1 (Ω) ≤ C 1 kϑk L q (Ω 0 ) kjkH ˜ −1/2 (Ω), và kF D (σ +ϑ)g−FD(σ)gk H 1 (Ω) ≤ C2kϑk L q (Ω 0 ) kgk H ˜ 1/2 (Ω), với hằng số dương C 1 và C 2 phụ thuộc vào λ, d, q,Ω 0 và Ω.
Để chứng minh rằng F N (ã)j và F D (ã)g tương tự nhau, ta chỉ cần tập trung vào trường hợp F N (ã)j Cụ thể, ta cần chứng minh bất đẳng thức kF N (σ + ϑ)j - F N (σ)jk H 1 (Ω) ≤ C 1 kϑk L q (Ω 0 ) kjkH ˜ -1/2 (Ω) Để thực hiện điều này, các bổ đề (2.3.4), (2.3.5) và định lý (2.3.6) sẽ được áp dụng.
Bổ đề 2.3.4.[10] Vớiσ ∈ A,F(σ)j thỏa mãn:kF(σ)jk H 1 (Ω) ≤Ckjk
Bổ đề 2.3.5 khẳng định rằng trong không gian H˜ 1 (Ω), chuẩn của H 1 (Ω) tương đương với nửa chuẩn của H 1 (Ω) Cụ thể, tồn tại hai hằng số c 0 và c 1 sao cho với mọi v ∈ H˜˜ 1 (Ω), ta có c 0 kvk H 1 (Ω) ≤ k∇vk L 2 (Ω) ≤ c 1 kvk H 1 (Ω) Định lý 2.3.6 nêu rõ rằng nếu Ω là miền bị chặn Lipschitz trong R d (với d ≥ 2) và σ ∈ L ∞ (Ω) thỏa mãn điều kiện λ < σ < λ −1 với λ ∈ (0,1), thì với f ∈ (L q (Ω)) d và h ∈ L q (Ω), tồn tại u ∈ H 1 (Ω) là nghiệm yếu của phương trình.
Tồn tại một hằng số Q ∈ (2,∞) chỉ phụ thuộc vào λ và d, với Q tiến gần đến 2 khi λ tiến gần 0 và Q tiến đến vô cùng khi λ tiến gần 1 Đối với 2 < q < Q, ta có u thuộc W loc 1,q (Ω), và với Ω 1 ⊂⊂ Ω, điều kiện kuk W 1,q (Ω 1 ) ≤ C kuk H 1 (Ω) + kfk L q (Ω) + khk L q (Ω) được thỏa mãn, trong đó C phụ thuộc vào λ, d, q, Ω 1 và Ω.
Bây giờ ta trở lại chứng minh (2.3) Với σ, σ + ϑ ∈ A, từ công thức nghiệm yếu của F N (σ) and F N (σ+ϑ) ta có
Ω ϑ∇F N (σ+ϑ)ã∇v dx, ∀v ∈ H˜ 1 (Ω). Đặt v = F N (σ)−F N (σ +ϑ) ∈ H˜ 1 (Ω) và ϑ thuộc Ω 0 nên
Giả sử p ∈ Q(λ)−2 2Q(λ) ,∞i suy ra q < Q(λ) Theo định lí 2.3.6, tồn tại C sao cho k∇F N (σ +ϑ)k L q (Ω 0 ) ≤ CkF N (σ +ϑ)k H 1 (Ω) ≤ Ckjk
Kết hợp với Bổ đề 2.3.5 suy rakF N (σ)−F N (σ+ϑ)k H 1 (Ω) ≤ Ckϑk L p (Ω 0 )
Nhận xột 2.3.7 Theo Bổ đề 2.3.3, F D (ã)y liờn tục Lipschitz trờn A với chuẩn L q (Ω) , q ∈ Q−2 2Q ,∞i.
|Ω| −1/q 1 kϑk L q 1 (Ω) ≤ |Ω| −1/q 2 kϑk L q 2 (Ω), và kϑk q L 2 q 2 (Ω) ≤ 2λ −1 q 2 −q 1 kϑk q L 1 q 1 (Ω)ã Điều này chứng tỏ rằng sự hội tụ của ϑ đến 0 đối với chuẩn L q 1 (Ω) và
L q 2 (Ω)là tương đương Vỡ thế, toỏn tử F N (ã)j vàF D (ã)g cũng liờn tục trờn
A với chuẩn L q (Ω), q ≥ 1 Tớnh khả vi của toỏn tử F N (ã)j và F D (ã)g đó được chứng minh ở bổ đề trên Đến đây, suy ra chúng cũng khả vi Fréchet.
Bổ đề 2.3.8 khẳng định rằng với σ thuộc A, các hàm F N (ã)j và F D (ã)g có tính khả vi liên tục Fréchet tại σ với chuẩn L q (Ω 0 ), trong đó q thuộc Q−2 2Q ,∞i Đặc biệt, nếu ϑ là một nhiễu loạn từ σ vào L ∞ (Ω 0 ) và sự mở rộng bên ngoài Ω 0 bằng 0, thì các tính chất này vẫn được duy trì.
(1) F N 0 (σ)j(ϑ) =φ 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
−div (σ∇φ 0 ) = div (ϑ∇F N (σ)j), (2.4) với điều kiện biên Neumann thuần nhất.
(2) F D 0 (σ)g(ϑ) =φ là nghiệm duy nhất của phương trình
−div(σ∇φ) = div (ϑ∇F D (σ)g), (2.5) với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.
Hơn nữa, các tính chất sau được bảo toàn kF N 0 (σ)j[ϑ]k L(L q (Ω 0 ),H 1 (Ω)) ≤C 3 kjkH ˜ −1/2 (Γ)kϑk L q (Ω 0 ) , (2.6) kF D 0 (σ)g[ϑ]k L(L q (Ω 0 ),H 1 (Ω)) ≤ C 4 kgkH ˜ 1/2 (Γ)kϑk L q (Ω 0 ) (2.7)