Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI NGUYỄN MINH HỒNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HỐ THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033642001000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI NGUYỄN MINH HOÀNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng - 2021 LOI CAM DOAN Toi xin cam doan day la c6ng trlnh nghien CU'.U cua rieng t6i Cac s6 li�u, k@t qua neu lui;i,n van la trung thl)'c va chua tll'ng dU'Qc c6ng b6 b§,t kl c6ng trlnh nao khac Tac gia Mai Nguy€n Minh Hoang TRANG THONG TIN LUAN VA.N TRAC SI Tend� tai: PHUdNG PH.AP CHINH HO.A THUA CHO BAI TO.AN xAc D�NH H]t DAN DI]tN TRONG CHlJP CAT LdP DI]tN TRd KR.ANG Nganh: Toan Giai tich HQ va ten h9c vien: Mai Nguyen Minh Hoang Nguai hudng dan khoa h9c: TS Ph9-m Quy Muoi Co scJ dao tc,1,0: Truong D9-i h9c Su ph9-m - D9-i h9c Da Niing so Tom d.t: Xet bai toan xac djnh M s6 dan di�n a phucmg trlnh elliptic: - div(aV¢) =0 (1) D, tu du: li�u bj nhieu cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet Bai toan (1) da dtrQc chi' la bai toan di:\t khong chi'nh Do tinh di:i,t khong chi'nh va du: li�u nhieu thu duqc nen bai toan tlm nghi�m s6 cho M s6 dan di�n a tu du: li�u nhieu la bai toan khong 611 djnh va la bai toan riit kh6 Nghi�m s6 cho bai toan da cang thu h(1t sv quan tam cua nhi§u nha, khoa h9c va da c6 mot vai gia.i thu�t s6 duqc d§ xuiit Trong h§.u h§t cac trtrang hQp, nguai ta dua v§ bai toan t6i uu dl,1a tren pl1ltong phap blnh phtwng be nhAt va, sau d6 gia.i bai toan b5.ng phUCfng phap Newton Tuy nhien, ch§.t lUQng cua anh phl).c hbi (nghi�m phl).c h6i) thu dttQc van kem va rAt khiem t6n so sanh v6i cac phtwng phap khac Bai toan (1) phat sinh tu nhi§u bai toan tht_rc t§ Ching hc_111 nhu xac djnh vj tri khong d6ng nhAt ben cac d6i tuQng c6 dan 11§11 da bi§t, tu'c la chung c6 khai triJn thua mot CCf SC! nao d6 cua khong gian Vf dl)., phat hi�n ca,c v§t nut hoi;ic bQt mot s6 v�t li�u xay dl,1ng va phan bi�t mo ung thu cung thuoc loc_1i bai toan Vl tM, lu�n van nay, chung toi mu6n nghien cu:u Bai toan (1) v6i gia thi§t la M s8 dan di�n a* dn du0c pht_1c h6i c6 tfnh th1ra H011 nu:a, thvc t�, ch(mg ta chi' c:6 mot s6 luang hu:u hc_111 cho t�p du: li�u cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet Chinh vl v�y, chung ta nen sfr dl).ng phu0ng phap ch111h h6a thua cho bai toan truang hQp Lu�n van da trlnh bay cac kifo thu:c CCf SC! lien quan; nghien cu:u bai toan thu�n chl).p ciit 16p di�n trcJ khang; nghien cu:u ba.i toan ngtrQc, phu0ng phap chinh h6a thua va sfr dl).ng Matlab dJ gia.i ca.c vi dl) s6 Tu kh6a: H� s6 dan di�n, chl).p dt 16p di�n trcJ khang, plnwng phap chinh h6a thtra Xac nh�n cua giao vien huong dan TS Ph,:lm Quy Muoi Nguoi thvc hi�n d� tai lVIai Nguyen Minh Hoang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 10 1.1.3 Không gian Hilbert 10 Toán tử số khái niệm liên quan 11 1.2.1 Toán tử liên tục 11 1.2.2 Hàm nửa liên tục, hàm nửa liên tục yếu, hàm coercive 12 1.2.3 Hội tụ yếu 12 1.2.4 Tốn tử tuyến tính bị chặn 13 1.2.5 Toán tử liên tục Lipschitz 13 1.2.6 Toán tử kép 13 1.3 Tập lồi hàm lồi 14 1.4 Toán tử khả vi Fréchet, vi phân 15 1.4.1 Toán tử khả vi Fréchet 15 1.4.2 Dưới vi phân 15 1.5 Không gian Sobolev 16 1.6 Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz, định lí nhúng Sobolev, định lí nhúng Kondrashov 18 1.7 Bất đẳng thức Poincaré 21 Chương BÀI TOÁN THUẬN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG 22 2.1 Phát biểu toán 22 2.2 Công thức nghiệm yếu 23 2.3 Tính khả vi Toán tử 24 Chương BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 30 3.1 Phát biểu toán ngược 30 3.2 Phương pháp chỉnh hóa thưa 31 3.3 Tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa thưa 40 3.4 Nghiệm số 45 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn, TS Phạm Quý Mười, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Giải tích - K39 Đà Nẵng dày công giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trình học tập thực luận văn Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ vật chất tinh thần gia đình, cảm ơn người bạn đồng hành tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn BẢNG KÍ HIỆU R : Tập số thực Rn : Khơng gian Euclid n - chiều ∇ : Toán tử gradient k · kV : Chuẩn không gian V inf f : Cận ánh xạ f sup f : Cận ánh xạ f f : Giá trị nhỏ ánh xạ f max f : Giá trị lớn ánh xạ f div F : divergence hàm vectơ F ∂u ∂xi : Đạo hàm riêng hàm u theo biến xi hx, yi : Tích vơ hướng x y hkn : Hầu khắp nơi suppu : Giá hàm u MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét toán xác định hệ số dẫn điện σ phương trình elliptic: − div(σ∇φ) = Ω, (1) từ liệu bị nhiễu toán tử Neumann-to-Dirichlet Bài toán (1) Calderon xem xét lần vào năm 1980 tính giải cho nghiệm toán Sylvester Uhlman chứng minh không gian rộng với số chiều từ ba trở lên vào năm 1987 Sau đó, có số kết mở rộng khác tính nht nghim Păavăarinta v cỏc c chng minh với biên thuộc C 1,1 hàm σ ∈ C 1,1 (Ω) cộng chứng minh tính nghiệm với hệ số dẫn điện Lipschitz Trong không gian hai chiều, tính nghiệm chứng minh Nachman với σ ∈ W 2,p (Ω), p > sau mở rộng Brown Uhlmann với σ ∈ W 1,p (Ω), p > Bài toán (1) toán đặt khơng chỉnh Do tính đặt khơng chỉnh liệu nhiễu thu được, nên tốn tìm nghiệm số cho hệ số dẫn điện σ từ liệu nhiễu tốn khơng ổn định tốn khó Nghiệm số cho tốn ngày thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học có vài giải thuật số đề xuất Trong hầu hết trường hợp, người ta đưa tốn tối ưu dựa phương pháp bình phương bé sau giải tốn phương pháp Newton Tuy nhiên, chất lượng ảnh phục hồi (nghiệm phục hồi) thu khiêm tốn so sánh với phương pháp khác ∇ FN (σ)j δ − FD (σ)g δ dx Ω
Tập liệu nhiễu có phần tử j δ , g δ liệu xác (j, g) giả sử thỏa mãn δ j − j −1 + g δ − g ≤ δ H (Γ) H (Γ) (3.7) 32 Lưu ý chứng minh trường hợp N = N bất kì, tức kết cho Bài toán (3.1) Các kết trường hợp khác tương tự cho N = Trước tiên tơi giới thiệu số tính chất Φ khái niệm nghiệm xấp xỉ Φ Bổ đề 3.2.1 Hàm Φ định nghĩa (3.3) thỏa mãn tính chất (i) Φ khơng âm, lồi nửa liên tục yếu (ii) Tồn số dương C cho với u ∈ H01 (Ω), Φ(u) ≥ Ckuk Điều Φ coercive yếu, tức Φ(u) → ∞ kuk → ∞ (iii) Nếu {un }n∈N ⊂ H01 (Ω) hội tụ yếu tới u ∈ H01 (Ω) Φ (un ) hội tụ đến Φ(u), Φ (un − u) hội tụ đến Chứng minh Φ không âm, lồi nửa liên tục yếu tổng hàm khơng âm, lồi liên tục yếu Do (i) Bây ta chứng minh (ii) (iii) Giả sử Φ (un ) → Φ(u) thỏa mãn lim sup Φ (un − u) n = lim sup [2 (Φ (un ) + Φ(u)) − (Φ (un ) + Φ(u)) + Φ (un − u)] n X = 4Φ(u) − lim inf wi [2 |hφi , un i|q + |hφi , ui|q − |hφi , un − ui|q ] n i∈N Sử dụng Bổ đề Fatou ta có X − lim inf wi [2 |hφi , un i|q + |hφi , ui|q − |hφi , un − ui|q ] n i∈N ≤− X i∈N lim inf wi [2 |hφi , un i|q + |hφi , ui|q − |hφi , un − ui|q ] n 33 Vì (un )n∈N hội tụ yếu nên hφi , un i → hφi , ui với i ∈ N Do suy P − i∈N lim inf n wi [2 |hφi , un i|q + |hφi , ui|q − |hφi , un − ui|q ] P = −4 i∈N wi |hφi , ui|q Kết hợp bất đẳng thức đẳng thức ta có n lim sup Φ (u − u) ≤ 4Φ(u) − n X wi |hφi , ui|q = i∈N Vậy Φ (un − u) → Bổ đề 3.2.2 Cho Φ : H01 (Ω0 ) → R ∪ {∞} xác định (3.3) Khi đó, tập hợp Et := {ϑ :=σ − σ : σ ∈ Aad Φ(ϑ) ≤ t} compact L2 (Ω) với t ∈ R  Chứng minh Giả sử ϑn := σ n − σ ⊂ Et với t ∈ R+ Từ tính coercive Φ, {ϑn } bị chặn H01 (Ω0 ) nên tồn dãy {ϑn }, hội tụ yếu đến ϑ := σ − σ H01 (Ω0 ) Theo định lí nhúng Kondrashov phát biểu Chương 1, hội tụ mạnh Lq (Ω) với q < trường hợp d = 2, Vì thế, hội tụ mạnh L2 (Ω) σ ∈ Aad tính đóng Aad L2 (Ω) Vì Φ nửa liên tục yếu H01 (Ω), Φ(ϑ) ≤ limn inf Φ (ϑn ) ≤ t Suy ϑ ∈ Et Vì thế, Et tập compact L2 (Ω) ˜ −1/2 (Γ) g = N tD (σ ∗ ) j , tập Bổ đề 3.2.3 Với j ∈ H ΠAad := {σ ∈ Aad : FN (σ)j = FD (σ)g} , khác rỗng, bị chặn đóng khơng gian L2 (Ω) Vì thế, tốn
Φ σ − σ , σ∈ΠAad có nghiệm xấp xỉ Φ 34 Chứng minh Dễ dàng thấy ΠAad khác rỗng bị chặn Bây ta chứng minh tập đóng Giả sử dãy {σ n } ⊂ ΠAad hội tụ đến σ L2 (Ω) Từ công thức nghiệm yếu FN (σ n ) j , ta có Z Z Z n n jvds = σ ∇FN (σ ) j.∇vdx = σ n ∇φn · ∇vdx, Γ Ω Ω ˜ (Ω) với v ∈ H Suy ra, φn = FN (σ n ) j = FD (σ n ) g Từ nhận xét 2.3.2, ta có dãy {φn } bị chặn nên tồn dãy con, kí hiệu {φn } (để đơn giản kí hiệu) hội tụ yếu đến φ H (Ω) Vì σ n → σ với chuẩn L2 (Ω) φn hội tụ yếu đến φ H (Ω), ta có Z n Z n σ ∇φ · ∇vdx − σ∇φ · ∇vdx Z Z Ω = (σ n − σ) ∇φn · ∇vdx + σ∇ (φn − φ) · ∇vdx → 0, Ω Ω Ω ˜ (Ω) n → ∞ với v ∈ H R R ˜ (Ω) Suy φ = FN (σ)j Do Ω σ∇φ·∇vdx = Γ jvds với v ∈ H Tương tự, ta có φ = FD (σ)g Do đó, σ ∈ ΠAad nên ΠAad đóng L2 (Ω) Cuối cùng, ta chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Φ toán chụp cắt lớp điện trở kháng Giả sử không tồn nghiệm xấp xỉ Φ 
ΠAad Khi đó, tồn dãy σ k ⊂ ΠAad cho Φ σ k − σ → c c < Φ σ − σ0
với σ ∈ ΠAad (3.8)
 Vì Φ σ k − σ → c k → ∞ nên σ k − σ bị chặn H01 (Ω0 )   Vì vậy, theo Bổ đề 3.2.1, tồn dãy σ k − σ , kí hiệu σ k − σ , hội tụ yếu đến σ − σ H01 (Ω0 ) σ ∈ ΠAad 35 Từ tính chất nửa liên tục yếu Φ H01 (Ω0 ), ta có

Φ σ − σ ≤ lim inf Φ σ k − σ = c k→∞ Mâu thuẫn với (3.8) Sau đây, ta tính đặt chỉnh tốn (3.5) bao gồm tồn tại, tính ổn định hội tụ Định lý 3.2.4 [7] (Sự tồn tại)
˜ −1/2 (Γ) × H ˜ 1/2 (Γ), tốn (3.5) có Với j δ , g δ ∈ H nghiệm 
Chứng minh Giả sử {σ n } dãy xấp xỉ Tức Φ σ n − σ liên tục  bị chặn Sử dụng Bổ đề 3.2.1 suy tồn t ∈ R+ cho σ n − σ ⊂ Et p σ n − σ H (Ω0 ) ≤ Ct  Vì Et compact L2 (Ω) σ n − σ bị chặn H01 (Ω0 ), tồn dãy {σ n }, kí hiệu {σ n }, σ ∗ ∈ Aad cho σ n − σ hội tụ yếu đến σ − σ H01 (Ω0 ) σ n → σ L2 (Ω) Vì Fδ liên tục với chuẩn L2 (Ω) Φ nửa liên tục yếu H01 (Ω0 ) nên ta có Fδ (σ) ≤ lim inf Fδ (σ n ) + αΦ σ n − σ n


= inf Fδ (σ) + αΦ σ − σ σ∈Aad Vậy σ nghiệm (3.5) Định lý 3.2.5 [9] (Tính ổn định)
Cho số chỉnh hóa α > 0, xét dãy (j n , g n ) hội tụ đến j δ , g δ ˜ −1/2 (Γ) × H ˜ 1/2 (Γ) đặt H Z
σ n ∈ argminσ∈Aad σ |∇ (FN (σ)j n − FD (σ)g n )|2 dx + αΦ σ − σ Ω 36 p Khi đó, tồn dãy {σ nk } dãy {σ n } nghiệm xấp xỉ σα,δ (3.5) cho nk p σ − σα,δ → k → ∞  nhất, σ n − σ hội tụ đến H01 (Ω0 ) p Ngoài ra, nghiệm xấp xỉ σα,δ apα,δ − σ không gian Hilbert H01 (Ω0 ) Chứng minh Đặt Fn (σ) = R Ω σ |∇ (FN (σ)j n − FD (σ)g n )|2 dx Theo định nghĩa σ n , ta có

Fn (σ n ) + αΦ σ n − σ ≤ Fn (σ) + αΦ σ − σ −1  kFN (σ)j n k2H (Ω) kFD (σ)g n k2H (Ω)  + αΦ σ − σ  
−1 2 n n ≤λ CN kj kH˜ −1/2 (Γ) + CD kg kH˜ 1/2 (Γ) + αΦ σ − σ

≤ λ−1 C1 max CN2 , CD + αΦ σ − σ , ≤λ +
(3.9) với σ ∈ Aad , số CN , CD cho nhận xét 2.3.2 C1 độc lập với n cho k(j n , g n )k2H˜ −1/2 (Γ)×H˜ 1/2 (Γ) ≤ C1 với n 
Do Φ σ n − σ bị chặn tồn t ∈ R+ thỏa mãn tính  chất: ϑn := σ n − σ ⊂ Et kϑn kpH (Ω0 ) ≤ Ct với n Vì Et compact L (Ω) {ϑn } bị chặn H01 (Ω0 ), tồn p ∈ L2 (Ω) cho dãy {σ n } kí hiệu {σ nk } phần tử σα,δ p p ϑnk hội tụ yếu đến σα,δ − σ H01 (Ω0 ) {σ nk } hội tụ mạnh đến σα,δ L2 (Ω) p Vì Aad đóng L2 (Ω) nên σα,δ ∈ Aad Mặt khác, Fδ liên tục L2 (Ω) Φ nửa liên tục yếu H01 (Ω0 ) nên ta có Fδ  p σα,δ  = lim Fδ (σ nk ) , k (3.10) 37 Φ  p σα,δ −σ 
≤ lim inf Φ σ nk − σ k (3.11) Mặt khác, Fδ (σ) − Fnk (σ) = Z 

 σ∇ FN (σ) j δ − j nk − FD (σ) g δ − g nk · ∇θdx, Ω (3.12)

với θ = FN (σ) j δ + j nk − FD (σ) g δ + g nk
˜ −1/2 (Γ) × H ˜ 1/2 (Γ), vế phải (3.12) Vì (j nk , g nk ) → j δ , g δ H hội tụ đến A k → ∞ Do đó, Fδ (σ) = lim Fnk (σ), lim inf Fδ (σ nk ) = lim inf Fnk (σ nk ) k k k (3.13) Từ (3.9), (3.10), (3.11) (3.13) ta có     p p Fδ σα,δ + αΦ σα,δ − σ (3.10),(3.11) = lim inf Fδ (σ nk ) + α lim inf Φ σ nk − σ k
k (3.13) ≤ lim inf Fnk (σ nk ) + α lim inf Φ σ nk − σ k k

≤ lim inf Fnk (σ nk ) + αΦ σ nk − σ k

≤ lim sup Fnk (σ nk ) + αΦ σ nk − σ
k (3.9) ≤ lim sup Fnk (σ) + αΦ σ − σ

k (3.13)
= Fδ (σ) + αΦ σ − σ , (3.14) với σ ∈ Aad p Đến ta có σα,δ nghiệm xấp xỉ (3.5) Từ (3.14), ta đặt p σ = σα,δ kết hợp với (3.13), ta có nk lim Fδ (σ ) + αΦ σ k nk −σ

= Fδ  p σα,δ    p + αΦ σα,δ − σ 38   p Kết hợp (3.10) (3.11), suy ra: Φ σ − σ → Φ σα,δ − σ Cuối 
p cùng, σ nk − σ hội tụ yếu đến σα,δ −σ H01 (Ω0 ) Φ σ nk − σ →     p p nk Φ σα,δ − σ k → ∞, suy Φ σ − σα,δ → k → Do đó, nk p σ − σα,δ → theo Bổ đề 3.2.1 nk
H0 (Ω ) Định lý 3.2.6 [9] (Sự hội tụ) Cho dãy dương {δn } → 0, đặt αn := α (δn ) thỏa mãn δn2 αn → →0 αn n → ∞ ˜ −1/2 (Γ) × H ˜ 1/2 (Γ) thỏa mãn Lấy dãy {(j n , g n )} H kj n − jk2H˜ −1/2 (Γ) + kg n − gk2H˜ 1/2 (Γ) ≤ δn2 , σ n ∈ argminσ∈Aad R
n n σ |∇ (F (σ)j − F (σ)g )| dx + α Φ σ − σ N D n Ω Khi đó, tồn dãy {σ nk } {σ n } nghiệm xấp xỉ Φ σ +  toán chụp cắt lớp điện trở kháng cho σ nk − σ hội tụ đến σ + − σ H01 (Ω0 ) Hơn nữa, σ + dãy hội tụ Chứng minh Gọi σ ¯ ∈ Aad nghiệm FN (¯ σ )j = FD (¯ σ )g Theo định nghĩa σ n ta có Fn (σ n ) + αn Φ σ n − σ

≤ Fn (¯ σ ) + αn Φ σ ¯ − σ0 Z
≤ λ−1 |∇ (FN (¯ σ )j n − FD (¯ σ )g n )|2 + αn Φ σ ¯ − σ0  Ω 2 −1 n n ≤λ kFN (¯ σ ) (j − j)kH (Ω) + kFD (¯ σ ) (g − g)kH (Ω)
+ αn Φ σ ¯ − σ0

≤ λ−1 max CN2 , CD δn + αn Φ σ ¯ − σ0 (3.15) 39 Khi δ → δ /α →

Fn (σ n ) → 0, lim sup Φ σ n − σ ≤ Φ σ ¯ − σ0 n (3.16) R Vì Fn (σ n ) → 0, F (σ n ) := Ω σ n |∇ (FN (σ n ) j − FD (σ n ) g)|2 dx → 
(theo (3.12)) Theo (3.16), Φ σ n − σ bị chặn tồn t ∈ R+ cho {ϑn = σ n − σ ⊂ Et kϑn kpH (Ω0 ) ≤ Ct với n Vì Et tập compact L (Ω) {ϑ } bị chặn H01 (Ω0 ) nên tồn dãy n {σ nk } {σ n } σ + ∈ Aad cho σ nk − σ hội tụ yếu đến σ + − σ H01 (Ω0 ) σ nk → σ + L2 (Ω) Vì FN FD liên tục L2 (Ω), nên ta có

FN (σ nk ) j → FN σ + j FD (σ nk ) g → FD σ + g (3.17) Theo nhận xét 2.3.2 ta có Z nk F (σ ) = σ nk |∇ (FN (σ nk ) j − FD (σ nk ) g)|2 dx Ω ≥ λ k∇ (FN (σ nk ) j − FD (σ nk ) g)k2L2 (Ω) ≥ λC˜ kFN (σ nk ) j − FD (σ nk ) gk2H˜ (Ω) ≥ (3.18) Từ (3.17), (3.18) F (σ nk ) → k → ∞, ta có: FN (σ + ) j = FD (σ + ) g, tức σ + ∈ ΠAad Mặt khác, Φ nửa liên tục yếu H01 (Ω0 ) (3.16) nên

Φ σ + − σ ≤ lim inf Φ σ nk − σ k

≤ lim sup Φ σ nk − σ ≤ Φ σ ¯ − σ0 k (3.19) Do đó, σ + nghiệm xấp xỉ Φ toán chụp cắt lớp điện trở kháng

Cuối cùng, chọn σ ¯ = σ + (3.19), ta có: Φ σ nk − σ → Φ σ + − σ  k → ∞ Vì σ nk − σ hội tụ yếu đến σ + − σ H01 (Ω0 ) 40

Φ σ nk − σ → Φ σ + − σ k → ∞, suy Φ (σ nk − σ + ) → kσ nk − σ + kH01 (Ω0 ) → k → theo bổ đề 3.2.1  Nếu nghiệm xấp xỉ σ + nhất, dãy σ n − σ đến σ + − σ tồn dãy hội tụ 3.3 Tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa thưa Với σ ∈ Aad q ∈  i 2Q Q−2 , ∞ , toán tử ˜ (Ω) FD0 (σ)g(·) : Lq (Ω0 ) → H01 (Ω), FN0 (σ)j(·) : Lq (Ω0 ) → H tuyến tính liên tục định nghĩa sau ∗ ˜ −1 (Ω) → Lq1 (Ω0 ) (FD0 (σ)g)∗ (·) : H −1 (Ω) → Lq1 (Ω0 ) (FN0 (σ)j) (·) : H toán tử kép FN0 (σ)j(·) FD0 (σ)g(·) ∗ 
∗ −1 ˜ ˜ Đặt H (Ω) := H (Ω) , H −1 (Ω) := H01 (Ω) q1 thỏa 1q + q11 = ˜ (Ω), nên H ˜ −1 (Ω) ⊂ H −1 (Ω) Khi đó, Vì H01 (Ω) ⊂ H ∗ (FN (σ)j) w1∗ , ϑ (Lq1 (Ω0 ),Lq (Ω0 )) = hw1∗ , FN0 (σ)j(ϑ)i(H˜ −1 (Ω),H˜ (Ω)) ∗ (FD (σ)g) w2∗ , ϑ (Lq1 (Ω0 ),Lq (Ω0 )) = hw2∗ , FD0 (σ)g(ϑ)i(H −1 (Ω),H01 (Ω)) , (3.20) ˜ −1 (Ω) w2∗ ∈ H −1 (Ω) với w1∗ ∈ H Để có tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa thưa ta sử dụng khoảng cách Bregman định nghĩa sau Cho X không gian Banach có tính kép X ∗ R : X → (−∞, +∞] lồi chặt với dom(R) := {x ∈ X : R(x) < +∞} = ∅ Dưới vi phân R x ∈ dom (R) định nghĩa sau n o ∗ ∗ ∗ ∂R(x) := x ∈ X : R(y) ≥ R(x) + hx , y − xi(X ∗ ,X) với y ∈ X 41 Với x∗ ∈ ∂R(x), hàm có dạng DxR∗ (y, x) := R(y) − R(x) − hx∗ , y − xi(X ∗ ,X) , gọi khoảng cách Bregman phần tử y, x ∈ X R x∗ Để đơn giản cách trình bày ta kí hiệu Dx∗ (y, x) thay DxR∗ (y, x) Vì ∂R(x) rỗng nhận nhiều giá trị nên khoảng cách Bregman không xác định nhiều giá trị Tuy nhiên, với hàm khả vi liên tục, tồn phần tử vi phân Do đó, khoảng cách Bregman Trong trường hợp này, khoảng cách khác y R(·) xấp xỉ chuỗi Taylor bậc thành R(·) x Hơn thế, R(y) lồi chặt, Dx∗ (y, x) lồi chặt y với giá trị x Do Dx∗ (y, x) = y = x Dx∗ (y, x) khoảng cách theo nghĩa thơng thường Bởi thơng thường D(y, x) 6= D(x, y) bất đẳng thức tam giác khơng xảy Tuy nhiên độ đo, tức Dx∗ (y, x) ≥ Dx∗ (y, x) = y = x Tốc độ hội tụ suy nhờ định lý sau i  2Q Định lý 3.3.1 Cho q ∈ Q−2 , ∞ , σ + nghiệm xấp xỉ Φ toán chụp cắt lớp điện trở kháng apα,δ nghiệm (3.5) liệu nhiễu
j δ , g δ (j, g) thỏa mãn (3.7) ˜ −1 (Ω) cho Giả sử tồn hàm w∗ ∈ H


∗
ξ := FN0 σ + j − FD0 σ + g w∗ ∈ ∂Φ σ + − σ , (3.21)
FN0 σ + j(ϑ) ∈ H01 (Ω), ∀ϑ ∈ L∞ (Ω0 ) (3.22) Khi đó, Fδ  p σα,δ  =O δ
Dξ  p σα,δ , σ+  = O(δ), 42 δ → α ∼ δ p Chứng minh Theo định nghĩa σα,δ , ta có Fδ  p σα,δ  + αΦ  p σα,δ −σ 

≤ Fδ σ + + αΦ σ + − σ (3.23) Khi đó, ta có     p p + Fδ σα,δ + αDξ σα,δ , σ   p = Fδ σα,δ     E
D p p + + + α Φ σα,δ − σ − Φ σ − σ − ξ, σα,δ − σ (Lq1 (Ω0 ),Lq (Ω0 )) D E
p ≤ Fδ σ + − α ξ, σα,δ − σ+ q q (L (Ω ),L (Ω )) D E
p −1 2 + ≤ λ max CN , CD δ − α ξ, σα,δ − σ (3.24) q q (L (Ω ),L (Ω )) Đặt Ψ := FN0 (σ + ) j(·) − FD0 (σ + ) g(·) Theo (3.20) (3.21), ta có D p ξ, σα,δ − E σ+  q 0 L q1 (Ω ),L (Ω )) D  E p ∗ + = w , Ψ σα,δ − σ (H˜ −1 (Ω),H˜ (Ω)) D  E (3.22) p ∗ + = w , Ψ σα,δ − σ −1 (H (Ω),H0 (Ω)) (3.25) Theo định lí biểu diễn Riesz, tồn phần tử w ∈ H01 (Ω) cho D  E p + w , Ψ σα,δ − σ D ∗ (H −1 (Ω),H01 (Ω)) = w, Ψ  Vì σ + ≥ λ > 0, tích vơ hướng [φ, v]H01 (Ω) := p σα,δ R −σ Ωσ + + E H01 (Ω) (3.26) ∇φ · ∇vdx, với φ, v ∈ H01 (Ω) tương đương với hφ, viH01 (Ω) H01 (Ω) Vì thế, tồn p phần tử w ˆ ∈ H01 (Ω) độc lập với σα,δ thỏa mãn Z D  E   p p + + + w, Ψ σα,δ − σ = σ ∇wˆ · ∇Ψ σα,δ − σ dx H0 (Ω) Ω 43 Do đó, D E p +  ξ, σα,δ − σ Z q 0 L q1 (Ω ),L (Ω )) = + σ ∇wˆ · ∇Ψ Ω  p σα,δ −σ +  dx (3.27) Từ (2.8), ta có R ∇FN0 +  + p σα,δ +  ∇wˆ · (σ ) j − σ dx  R  p = − Ω σα,δ − σ + ∇FN (σ + ) j · ∇wdx ˆ R R p = − Ω σ + ∇FN (σ + ) j · ∇wdx ˆ + Ω σα,δ ∇FN (σ + ) j · ∇wdx ˆ   R p R p p = − Ω σα,δ ∇FN σα,δ j · ∇wdx ˆ + Ω σα,δ ∇FN (σ + ) j · ∇wdx ˆ Ωσ Z = Ω p ∇ σα,δ  FN σ +
   p ˆ j − FN σα,δ j · ∇wdx Tương tự, w ˆ ∈ H01 (Ω), ta có Z 
 p + + + σ ∇wˆ · ∇FD σ g σα,δ − σ dx Ω Z    
p p + ˆ = σα,δ ∇ FD σ g − FD σα,δ g · ∇wdx (3.28) (3.29) Ω Kết hợp (3.27), (3.28) (3.29), ta có E D p + Σ := h , σα,δ − σ (Lq1 (Ω0 ),Lq (Ω0 )) Z       p p p = σα,δ ∇ FD σα,δ g − FN σα,δ j · ∇wdx ˆ Ω Z       p p p ˆ = σα,δ ∇ FD σα,δ g − FD σα,δ g δ · ∇wdx ΩZ       p p p δ − σα,δ ∇ FN σα,δ j − FD σα,δ g δ · ∇wdx ˆ Ω Z       p p p δ ˆ + σα,δ ∇ FN σα,δ j − FN σα,δ j · ∇wdx Ω = Σ1 + Σ2 + Σ3 (3.30) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwart, Nhận xét 2.3.2 Bổ đề 2.3.3, 44 với q ∈  2Q Q−2 , ∞ i ta có       p p |Σ1 | ≤ ∇ FD σα,δ g − FD σα,δ g δ L2 (Ω) p ˆ σα,δ ∇w L2 (Ω) CD k∇wk ˆ L2 (Ω) g − g δ H˜ 1/2 (Γ) (3.31) λ Tương tự, ta có Z