Cơ học lượng tử nâng cao

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU Học phần học lượng tử nâng cao môn học bắt buộc học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Tốn, nhằm bổ sung nâng cao số kiến thức học lượng tử phương pháp tính gần học lượng tử, lý thuyết tán xạ lượng tử, học lượng tử tương đối tính, Các kiến thức sở để học viên tiếp thu kiến thức Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Với mục tiêu trên, nội dung môn học xây dựng chương Chương I khái quát lại sở học lượng tử (cơ sở toán học, tiên đề học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg, phương trình Schrõdinger, biến đổi theo thời gian giá trị trung bình đại lượng vật lý, ) Chương II trình bày phương pháp gần để giải phương trình Schrõdinger thường sử dụng học lượng tử Chương III trình bày lý thuyết tán xạ lượng tử Chương IV trình bày khái quát học lượng tử tương đối tính, bao gồm số phương trình (Phương trình Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli, ), số khái niệm (Mật độ xác suất tương đối tính mật độ dịng xác suất tương đối tính, spin mơmen từ hạt vi mơ, ) Ngoài ra, học viên cao học Vật lý Lý thuyết -Vật lý Tốn cịn có 15 tiết để khảo sát sâu cấu trúc trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử xạ, hiệu ứng Zeemann dị thường, trạng thái lượng âm, tính bất biến phương trình Dirac Để giúp học viên nắm kiến thức môn học, số thời gian dành cho học viên rèn luyện kỹ vận dụng giải tập, xêmine chiếm 1/4 thời lượng môn học http://www.ebook.edu.vn Mục lục Cơ sở học lượng tử 1.1 Cơ sở toán học học lượng tử 1.1.1 Toán tử: 1.1.2 Các phép tính tốn tử 1.1.3 Hàm riêng, trị riêng phương trình trị riêng tốn tử 1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (tốn tử hermitic) 1.1.5 Các tính chất tốn tử hermitic 1.2 Các tiên đề học lượng tử 1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái thông tin 1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực 1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo đại lượng động lực 1.2.4 Giá trị trung bình biến số động lực 1.2.5 Tính hệ số phân tích ci 1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý 1.3.1 Sự đo xác đồng thời hai đại lượng vật lý 1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng thời Nguyên lý bất định Heisenberg 1.4 Phương trình Schrõdinger 1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian 1.4.2 Mật độ dòng xác suất Sự bảo toàn số hạt 1.4.3 Phương trình Schrõdinger khơng phụ thuộc thời gian Trạng thái dừng 1.5 Sự biến đổi theo thời gian đại lượng động lực 1.5.1 Đạo hàm toán tử động lực theo thời gian 4 6 9 10 11 11 12 12 13 15 15 16 17 19 19 Một số phương pháp gần học lượng tử 22 2.1 Nhiễu loạn dừng trường hợp không suy biến 23 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trường hợp có suy biến 26 http://www.ebook.edu.vn Ch.1: Cơ sở học lượng tử Cơ học lượng tử nâng cao 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn có hai mức gần 2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến: Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Sự chuyển dời lượng tử hệ vi mô sang trạng thái ảnh hưởng nhiễu loạn Nguyên tử Hêli Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok 2.7.1 Nguyên lý biến phân 2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok Lý thuyết tán xạ lượng tử 3.1 Biên độ tán xạ tiết diện tán xạ 3.1.1 Tiết diện tán xạ 3.1.2 Biên độ tán xạ 3.1.3 Tán xạ đàn hồi hạt khơng có spin 3.2 Tán xạ đàn hồi phép gần Born 3.3 Phương pháp sóng riêng phần Cơ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 học lượng tử tương đối tính Phương trình Klein-Gordon (K-G) Phương trình Dirac Mật độ xác suất mật độ dòng xác suất lý thuyết Dirac Nghiệm phương trình Dirac hạt chuyển động tự Spin hạt mô tả phương trình Dirac Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli Mômen từ hạt http://www.ebook.edu.vn 26 31 35 39 42 44 48 48 52 57 57 57 59 60 65 68 74 75 76 81 83 85 87 Chương Cơ sở học lượng tử 1.1 1.1.1 Cơ sở toán học học lượng tử Toán tử: a) Định nghĩa: Toán tử phép toán tác dụng vào hàm biến đổi thành hàm khác Ta gọi Aˆ toán tử ˆ Aψ(x) = φ(x) (1.1) Ví dụ: Các tốn tử : + Phép nhân với x2 ˆ Aψ(x) = x2 ψ(x), trường hợp Aˆ phụ thuộc biến số x + Phép lấy đạo hàm với biến số x: dψ(x) ˆ Aψ(x) = dx + Phép nhân với số phức C: ˆ Aψ(x) = Cψ(x), đây, Aˆ không phụ thuộc vào biến x phép lấy đạo hàm theo x Đặc biệt nếu: ˆ C =0 : Aψ(x) = 0, Aˆ tốn tử khơng, ˆ C =1 : Aψ(x) = ψ(x), Aˆ toán tử đơn vị + Phép lấy liên hiệp phức: ˆ Aψ(x) = ψ ∗ (x) http://www.ebook.edu.vn Ch.1: Cơ sở học lượng tử Cơ học lượng tử nâng cao b) Toán tử tuyến tính: Tốn tử Aˆ gọi tốn tử tuyến tính thoả mãn tính chất sau: ˆ + c2 Aψ ˆ ˆ ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Aψ A(c (1.2) Trong hệ thức trên, ψ1 ψ2 hai hàm bất kỳ, c1 c2 hai số Ví dụ: Aˆ = (d/dx) tốn tử tuyến tính dψ1 dψ2 d (c1ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 + c2 dx dx dx Cịn tốn tử lấy liên hiệp phức khơng phải tốn tử tuyến tính ˆ ψ1 + c2 ψ2 ) = (c1ψ1 + c2 ψ2 )∗ = c∗ ψ ∗ + c∗ ψ ∗ = c∗ Aψ ˆ + c∗ Aψ ˆ A(c 1 2 ˆ + c2 Aψ ˆ 6= c1 Aψ 1.1.2 Các phép tính tốn tử ˆ B, ˆ C ˆ ta định nghĩa phép tính tốn tử sau: Cho ba toán tử A, ˆ B, ˆ ký hiệu a) Tổng hai toán tử: Sˆ gọi tổng hai toán tử A, ˆ Sˆ ≡ Aˆ + B ˆ ˆ ˆ ∀ψ(x), Sψ(x) = Aψ(x) + Bψ(x) (1.3) ˆ gọi hiệu hai toán tử A, ˆ B, ˆ ký hiệu b) Hiệu hai toán tử: D ˆ ≡ Aˆ − B ˆ D ˆ ˆ ˆ ∀ψ(x), Dψ(x) = Aψ(x) − Bψ(x) (1.4) ˆ tích hai tốn tử Aˆ B ˆ c) Tích hai tốn tử: Pˆ ≡ AˆB   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P ψ(x) = (AB)ψ(x) = A Bψ(x) (1.5) ˆ 6= B ˆ A ˆ Tích hai tốn tử nói chung khơng giao hốn, nghĩa AˆB Chẳng hạn, cho d ˆ =x Aˆ = , B dx ta có dψ(x) d ˆ (xψ(x)) = ψ(x) + x , AˆBψ(x) = dx dx dψ(x) dψ(x) ˆ ˆ Aψ(x) ˆ 6= AˆBψ(x) = ψ(x) + x , B =x dx dx http://www.ebook.edu.vn Ch.1: Cơ sở học lượng tử Cơ học lượng tử nâng cao ˆ Aˆ 6= AˆB, ˆ nên A, ˆ Bˆ khơng giao hốn rõ ràng B ˆ = x Nếu Aˆ = x2 , B ˆ Aψ(x) ˆ ˆ AˆBψ(x) = x3 ψ(x) = B ˆ Bˆ giao hoán hai toán tử A, d) Giao hoán tử hai toán tử ˆ −B ˆ A ˆ Nếu Aˆ B ˆ giao hốn AˆB ˆ B] ˆ = chúng không, nghĩa [A, ˆ B] ˆ = AˆB ˆ−B ˆ Aˆ 6= hay [A, ˆ B] ˆ 6= [A, 1.1.3 ˆ định nghĩa [A, ˆ B] ˆ ≡ Aˆ B ˆ = B ˆ A, ˆ giao hốn tử AˆB Nếu hai tốn tử khơng giao hốn Hàm riêng, trị riêng phương trình trị riêng tốn tử ˆ cho Aˆ tác dụng lên hàm ψ(x) đó, ta có Xét tốn tử A, thể thu hàm nhân với số: ˆ Aψ(x) = aψ(x) (1.6) (1.6) phương trình, dạng ψ(x) thu từ việc giải phương trình ˆ Và việc giải Ta bảo ψ(x) hàm riêng với trị riêng a toán tử A phương trình (1.6) cho ta biết hàm riêng trị riêng toán tử ˆ Nếu có s hàm riêng có trị riêng a, ta bảo tốn tử Aˆ có trị A riêng suy biến bậc s Các trị riêng biến thiên gián đoạn liên tục Trong học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn điều kiện chuẩn sau: - Hàm ψ(x) phải tồn tại, xác định toàn miền biến thiên biến độc lập - Trong miền tồn tại, hàm ψ(x) đạo hàm bậc dψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ số điểm đặc biệt) - Hàm ψ(x) phải xác định đơn trị 1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (tốn tử hermitic) Tốn tử tuyến tính Aˆ+ gọi tốn tử liên hợp tuyến tính với tốn tử tuyến tính Aˆ nếu: ∀ψ1 (x), ψ2 (x), Z ˆ (x)dx ψ1∗ (x)Aψ V = Z  ∗ Aˆ+ ψ1 (x) V http://www.ebook.edu.vn ψ2(x)dx (1.7) Ch.1: Cơ sở học lượng tử Cơ học lượng tử nâng cao Nếu Aˆ+ = Aˆ ta bảo Aˆ tốn tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán tử hermitic, nghĩa là: Z  Z ∗ ∗ ˆ ˆ Aψ1 (x) ψ2 (x)dx ψ1 (x)Aψ2(x)dx = (1.8) V V Nếu ta đưa ký hiệu tích vơ hướng hai hàm sóng Z hψ1 (x)|ψ2(x)i = ψ1∗ (x)ψ2(x)dx, (1.9) V theo (1.8) viết lại sau: ˆ (x)i = hAψ ˆ (x)|ψ2(x)i hψ1 (x)|Aψ Ví dụ 1: Aˆ = (d/dx) có phải tốn tử hermitic khơng? Muốn biết, ta tính Z +∞ Z +∞ dϕ ∗ ˆ ψ Aϕdx = ψ ∗ dx dx −∞ −∞ Đặt u = ψ ∗ , dv = (dϕ/dx).dx, Z Z +∞ ˆ ψ ∗ Aϕdx = ψ ∗ ϕ|x=+∞ x=−∞ − −∞ +∞ −∞ dψ ∗ dx, ϕ dx hàm ψ(x), ϕ(x) → x → ±∞ nên ψ ∗ ϕ|x=+∞ x=−∞ = 0, Z +∞ Z +∞  ∗ Z +∞  ∗ Z +∞ ∗ dψ dψ ∗ ˆ ˆ Aψ dx 6= ψ Aϕdx = − ϕ ϕ dx = ϕdx dx dx −∞ −∞ −∞ −∞ Vậy Aˆ = (d/dx) khơng phải tốn tử hermitic Ví dụ 2: Aˆ = i(d/dx) có phải tốn tử hermitic khơng? Ta có:  ∗ Z +∞ Z +∞  Z +∞  Z +∞ ∗ ∗ dψ dψ dψ ˆ dx = dx = ψ ∗ Aϕdx ϕ ϕ −i ϕ i dx, = −i dx dx dx −∞ −∞ −∞ −∞ Z +∞  ∗ Z +∞ ˆ ˆ Aψ ψ ∗ Aϕdx ϕdx = −∞ −∞ Vậy Aˆ = i(d/dx) toán tử hermitic http://www.ebook.edu.vn Ch.1: Cơ sở học lượng tử Cơ học lượng tử nâng cao 1.1.5 Các tính chất toán tử hermitic a) Trị riêng toán tử hermitic số thực Giả thiết tốn tử hermitic Aˆ có trị riêng gián đoạn với phương trình trị riêng ˆ n = anψn Aψ ˆ n i = hAψ ˆ n |ψni Aˆ hermitic, nghĩa là: Ta có: hψn |Aψ an hψn |ψn i = a∗hψn |ψni =⇒ (an − a∗n)hψn |ψn i = Vì hψn |ψn i 6= nên an = a∗n : an số thực b) Hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt trực giao với Thực vậy, theo định nghĩa tốn tử hermitic thì: ˆ i = hAψ ˆ |ψ2 i =⇒ a2hψ1 |ψ2 i = a1hψ1 |ψ2 i, =⇒ (a2 − a1)hψ1 |ψ2 i = 0, hψ1 |Aψ a2 6= a1 nên (a2 − a1) 6= Vậy: hψ1 |ψ2 i = : ψ1 , ψ2 trực giao với Tóm lại, hàm riêng toán tử hermitic Aˆ chuẩn hố ta có: Phổ trị riêng gián đoạn : Phổ trị riêng liên tục : hψm |ψn i = δmn , (1.10) hψa0 |ψai = δ(a0 − a) (1.11) Trong đó, δmn , δ(a0 − a) hàm Dirac c) Các hàm riêng toán tử hermitic lập thành hệ hàm sở trực giao đủ khơng gian Hilbert hàm sóng, nghĩa với hàm sóng ψ(x) khơng gian Hilbert, ta có: X cn ψn (x) (1.12) Đối với phổ trị riêng gián đoạn : ψ(x) = n Đối với phổ trị riêng liên tục : ψ(x) = Z a http://www.ebook.edu.vn ca ψa (x)da (1.13) Ch.1: Cơ sở học lượng tử Cơ học lượng tử nâng cao 1.2 Các tiên đề học lượng tử Trong học lượng tử, hạt khơng hình dung chất điểm chuyển động theo quỹ đạo xác định mà hình dung bó sóng định xứ miền khơng gian thời điểm bó sóng thay đổi theo thời gian Tại thời điểm ta nói xác suất để tìm thấy hạt phần tử thể tích khơng gian, hay nói khác xác xuất để toạ độ hạt có giá trị nằm khoảng Nói chung biến số động lực khác vậy, ta nói xác suất để biến số động lực có giá trị nằm khoảng khơng thể nói giá trị xác định biến số động lực thời điểm học cổ điển Vì có khác biệt nói nên học lượng tử biến số động lực mô tả số học cổ điển Chúng ta phải tìm cách mơ tả khác thể đặc tính quy luật lượng tử Những nghiên cứu tốn tử cho thấy dùng cơng cụ tốn học để mơ tả biến số động lực học lượng tử Chúng ta thừa nhận số giả thiết nội dung cách mô tả tiên đề Những tiên đề khơng có mâu thuẩn cho kết phù hợp với thực nghiệm 1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái thông tin " Trạng thái vật lý hệ lượng tử tương ứng với hàm sóng chuẩn hố." Ta ký hiệu ψ(x, t) hàm sóng hệ lượng tử thời điểm t vị trí toạ độ x ( hay ứng với biến động lực x) Hàm sóng chuẩn hố Z ψ(x, t)∗ ψ(x, t)dx = (1.14) hψ(x, t)|ψ(x, t)i = V Như vậy, ψ(x, t) cψ(x, t) chung trạng thái c∗ c = |c|2 = 1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực " Tương ứng với đại lượng động lực A học lượng tử ˆ toán tử hermitic A." http://www.ebook.edu.vn V21 V22 − E (1) Khai triển định thức thu phương trình bậc hai theo E (1) Giải phương trình, ta hai nghiệm   q (1) V11 + V22 ± (V11 + V22 ) − (V11V22 − V12 V21 ) E1,2 =   q (1) V11 + V22 ± (V11 − V22 )2 + 4|V12 |2 (2.51) E1,2 = ˆ =H ˆ , có mức lượng Tóm lại, hệ không nhiễu loạn H (0) (0) (0) ˆ =H ˆ + Vˆ , mức En cho hai hàm sóng ψ ψ Khi hệ có nhiễu loạn H n1 n2 lượng hệ tách thành hai mức ( (0) (1) E1n = En + E1 E2n Xét trường hợp đặc biệt V11 = V22 , (1) (0) (1) = En + E2 E1 = V11 + |V12|; (2.52) V12 = V21 , (1) E2 = V11 − |V12| http://www.ebook.edu.vn (2.53) Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 33 Cơ học lượng tử nâng cao (1) (1) Ứng với hai giá trị E1 E2 có hai cặp giá trị cho C1 C2 (1) a)Với E1 = V11 + V12 , hệ phương trình (2.50) trở thành ( −V12 C1 + V12 C2 = V12C1 − V12 C2 = Kết hợp với điều kiện chuẩn hố hàm sóng, ta suy C1 = C2 = √ , (1) hàm sóng ứng với mức lượng E1   (0) (0) ψn1 = √ ψn1 + ψn2 (1) b)Với E2 = V11 − V12 , hệ phương trình (2.50) trở thành ( V12 C1 + V12 C2 = V12 C1 + V12 C2 = Trong trường hợp ta tìm C1 = −C2 = √ , (1) hàm sóng tương ứng với mức lượng E2   (0) (0) ψn2 = √ ψn1 − ψn2 Mức lượng khơng cịn suy biến Như nhiễu loạn làm suy biến Bây ta xét lý thuyết nhiễu loạn có suy biến bội n ≥ Cụ thể đặt vấn đề sau: Cần tìm nghiệm phương trình ˆ = Eψ Hψ (2.54) ˆ =H ˆ + Vˆ ; H ˆ ψ (0) = E (0) ψ (0) , H p p http://www.ebook.edu.vn p = 1, 2, , n (2.55) Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 34 Cơ học lượng tử nâng cao (0) Một mức E (0) ứng với n hàm ψp Giới hạn tìm hiệu lượng phép gần cấp hàm sóng phép gần cấp không, nghĩa ) (0) (1) E = E +E , P (2.56) (0) ψ = p Cp ψp Thay (2.56) vào (2.54) vận dụng (2.55), (2.56), ta viết :  X  X (0) (0) (1) ˆ ˆ H0 + V Cp ψp = E + E Cp ψp(0) , hay p p X Cp Vˆ ψp(0) = E (1) p X Cp ψp(0) , (2.57) p (0)∗ nhân hai vế (2.57) với ψm , lấy tích phân tồn miền giá trị biến x, ta n   X (1) Cp Vmp − E δmp = 0, (2.58) p=1 cho m = 1, 2, , n, ta thu hệ n phương trình dạng (2.58) với n ẩn số C1 , C2 , , Cn Muốn cho nghiệm khơng tầm thường định thức lập hệ số ẩn phải khơng V11 − E (1) V V V 12 13 1n (1)