Cơ học lượng tử nâng cao

Cơ sở toán học của cơ học lượng tử

Toán tử

a) Định nghĩa: Toán tử là một phép toán tác dụng vào một hàm này thì biến đổi thành một hàm khác.

Ta gọi Aˆ là một toán tử nếu

Ví dụ: Các toán tử :

Aψ(x) =ˆ x 2 ψ(x), trong trường hợp này Aˆ phụ thuộc biến số x.

+ Phép lấy đạo hàm với biến số x:

+ Phép nhân với một số phức C:

Aψ(x) =ˆ Cψ(x), ở đây, Aˆ không phụ thuộc vào biến x và phép lấy đạo hàm theo x Đặc biệt nếu:

C = 1 : ˆAψ(x) =ψ(x),Aˆ là toán tử đơn vị.

+ Phép lấy liên hiệp phức:

Trong cơ học lượng tử nâng cao, chương 1 trình bày cơ sở của lý thuyết này, trong đó toán tử tuyến tính Aˆ được định nghĩa là toán tử thỏa mãn tính chất cụ thể.

Trong hệ thức trên, ψ 1 và ψ 2 là hai hàm bất kỳ, c 1 và c 2 là hai hằng số bất kỳ.

Ví dụ: Aˆ = (d/dx) là toán tử tuyến tính vì d dx(c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 ) = c 1 dψ 1 dx +c 2 dψ 2 dx

Còn toán tử lấy liên hiệp phức không phải là toán tử tuyến tính vì

Các phép tính trên toán tử

Cho ba toán tử A,ˆ B,ˆ C.ˆ ta định nghĩa các phép tính toán tử sau: a) Tổng hai toán tử: Sˆ được gọi là tổng của hai toán tử A,ˆ Bˆ, ký hiệu là

Sˆ ≡ Aˆ+ ˆB nếu ∀ψ(x),Sψ(x) = ˆˆ Aψ(x) + ˆBψ(x) (1.3) b) Hiệu hai toán tử: Dˆ được gọi là hiệu hai toán tử A,ˆ B, ký hiệuˆ

Dˆ ≡Aˆ−Bˆ nếu ∀ψ(x),Dψ(x) = ˆˆ Aψ(x)−Bψ(x).ˆ (1.4) c) Tích hai toán tử: Pˆ ≡AˆBˆ là tích của hai toán tử Aˆ và Bˆ nếu

Tích của hai toán tử nói chung là không giao hoán, nghĩa là AˆBˆ 6= ˆBA.ˆ Chẳng hạn, cho

BˆAψ(x) =ˆ xdψ(x) dx 6= ˆABψ(x) =ˆ ψ(x) +xdψ(x) dx ,

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 6 rõ ràng BˆAˆ 6= ˆAB, nênˆ A,ˆ Bˆ không giao hoán nhau.

AˆBψ(x) =ˆ x 3 ψ(x) = ˆBAψ(x)ˆ hai toán tử A,ˆ Bˆ giao hoán nhau. d) Giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ được định nghĩa là [ ˆA,B]ˆ ≡

AˆBˆ −BÂ.ˆ Nếu Aˆ và Bˆ giao hoán thì AˆBˆ = ˆBA, do đó giao hoán tử củaˆ chúng bằng không, nghĩa là [ Â,B] = 0 Nếu hai toán tử không giao hoán thìˆ[ Â,B] = ˆˆ ABˆ −BÂˆ 6= 0 hay [ Â,B]ˆ 6= 0.

Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử

Xét một toán tử A, khi choˆ Aˆ tác dụng lên một hàm ψ(x) nào đó, ta có thể thu được chính hàm đó nhân với một hằng số:

(1.6) là một phương trình, dạng của ψ(x) có thể thu được từ việc giải phương trình trên.

Hàm riêng ψ(x) của toán tử A tương ứng với trị riêng a, và việc giải phương trình (1.6) sẽ giúp xác định các hàm riêng cùng với trị riêng của toán tử này.

A Nếu cóˆ s hàm riêng có cùng một trị riêng a, thì ta bảo toán tử Aˆ có trị riêng suy biến bậc s Các trị riêng có thể biến thiên gián đoạn hoặc liên tục.

Trong cơ học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn các điều kiện chuẩn sau:

- Hàm ψ(x) phải tồn tại, xác định trên toàn miền biến thiên của các biến độc lập.

- Trong miền tồn tại, hàmψ(x)và đạo hàm bậc nhất của nódψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ một số điểm đặc biệt).

- Hàm ψ(x) phải xác định đơn trị

Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic)

Toán tử tuyến tính Aˆ + được gọi là toán tử liên hợp tuyến tính với toán tử tuyến tính Aˆ nếu:

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 7

Nếu Aˆ + = ˆA thì ta bảo Aˆ là toán tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán tử hermitic, nghĩa là:

∗ ψ 2(x)dx (1.8) Nếu ta đưa ra ký hiệu mới về tích vô hướng hai hàm sóng hψ 1(x)|ψ 2(x)i Z

V ψ ∗ 1 (x)ψ 2(x)dx, (1.9) theo đó (1.8) được viết lại như sau: hψ 1 (x)|Aψˆ 2 (x)i =hAψˆ 1 (x)|ψ 2 (x)i.

Ví dụ 1: Aˆ = (d/dx) có phải là toán tử hermitic không?

−∞ ψ ∗ dϕ dxdx. Đặt u = ψ ∗ , dv = (dϕ/dx).dx, thì

−∞ ϕdψ ∗ dx dx, vì các hàm ψ(x), ϕ(x) → 0 khi x → ±∞ nên ψ ∗ ϕ| x=+∞ x=−∞ = 0,

Vậy Aˆ = (d/dx) không phải là toán tử hermitic.

Ví dụ 2: Aˆ = i(d/dx) có phải là toán tử hermitic không?

Vậy Aˆ =i(d/dx) là toán tử hermitic.

Các tính chất của toán tử hermitic

a) Trị riêng của toán tử hermitic là số thực.

Giả thiết toán tử hermitic Aˆ có trị riêng gián đoạn với phương trình trị riêng

Vì hψ n|ψ ni 6= 0 nên a n =a ∗ n : a n là số thực. b) Hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt thì trực giao với nhau.

Tóm lại, nếu các hàm riêng của toán tử hermitic Aˆ được chuẩn hoá thì ta có:

Phổ trị riêng gián đoạn : hψ m |ψ ni = δ mn , (1.10) Phổ trị riêng liên tục : hψ a 0 |ψ a i =δ(a 0 −a) (1.11)

Các hàm Dirac δ mn và δ(a 0 −a) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết sóng Các hàm riêng của toán tử Hermitic tạo thành một hệ hàm cơ sở trực giao và đầy đủ trong không gian Hilbert của các hàm sóng Điều này có nghĩa là cho bất kỳ hàm sóng nào ψ(x) trong không gian Hilbert, ta có thể biểu diễn nó như sau: với phổ trị riêng gián đoạn, ψ(x) = X n c n ψ n(x) và với phổ trị riêng liên tục, ψ(x) = ∫ a c a ψ a (x)da.

Các tiên đề của cơ học lượng tử

Tiên đề 1: Trạng thái và thông tin

" Trạng thái vật lý của một hệ lượng tử thì tương ứng với một hàm sóng chuẩn hoá."

Ta ký hiệu ψ(x, t) là hàm sóng của hệ lượng tử ở thời điểm t và tại vị trí toạ độ x ( hay ứng với biến động lực x).

Hàm sóng được chuẩn hoá khi hψ(x, t)|ψ(x, t)i Z

Như vậy, ψ(x, t) và cψ(x, t) cùng chung một trạng thái nếuc ∗ c= |c| 2 1.

Tiên đề 2: Các đại lượng động lực

" Tương ứng với một đại lượng động lực A trong cơ học lượng tử là một toán tử hermitic A."ˆ

Giá trị bằng số của biến động lực là thực, do đó trị riêng của toán tử tương ứng phải cũng là thực, dẫn đến việc toán tử này phải là hermitic Toán tử hermitic Aˆ có một hệ đủ các vectơ riêng trực giao chuẩn hoá {ψ i (x, t)} tương ứng với phổ các trị riêng thực {a i }, i = 1,2, , n Từ đó, trạng thái bất kỳ của hệ lượng tử có thể được khai triển theo các hàm riêng như sau: ψ(x, t) = Σn i=1 c i ψ i (x, t).

Tiên đề 3: Phép đo các đại lượng động lực

Nếu hệ lượng tử ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng ψ(x) thì xác suất để khi đo biến động lực A thu được giá trị a i sẽ là |c i| 2 =p i Rõ ràng

|c i | 2 = 1 (1.16) được suy từ tính chất trực giao, chuẩn hoá của các hàm riêng.

Như vậy phép đo làm nhiễu loạn trạng thái Nếu ψ(x) = ψ i(x), ta có

Chú ý rằng theo tiên đề 3 thì

(i) Không thể tiên đoán chính xác kết quả phép đo một đại lượng động lực của hệ vi mô có trạng thái ψ(x) hoàn toàn xác định.

Khi thực hiện hai phép đo riêng biệt nhưng tương tự trên cùng một hệ, nếu trạng thái ban đầu trước mỗi lần đo là ψ(x) hoàn toàn giống nhau, thì kết quả của hai phép đo này không nhất thiết phải giống nhau.

Ta chấp nhận “tính không tiên đoán được” và tính “không đồng nhất” của quá trình đo như là một thuộc tính vốn có của tự nhiên.

Trong trường hợp phổ trị riêng liên tục thì ψ(x) Z a c(a)ψ a(x)da (1.17) và xác suất dW(a) để đại lượng A có giá trị trong khoảng từ a đến a+da là dW(a) =|c(a)| 2 da (1.18)

Giá trị trung bình của biến số động lực

Xét biến số động lực A có toán tử hermitic tương ứng A, trị trung bìnhˆ

A của nó ở trạng thái ψ(x) ứng với trường hợp phổ trị riêng gián đoạn {a i }

Trường hợp phổ trị riêng liên tục, ta có

Tính hệ số phân tích c i

Theo tiên đề 3, để tính xác suất đo A nhận giá trị a i, cần xác định hệ số phân tích c i Điều này được thực hiện bằng cách nhân hàm riêng ψ i (x) với hàm sóng ψ(x) và sau đó tích phân theo biến số x.

V ψ i ∗ (x)c k ψ k (x)dx =X k c k δ ik = c i , (1.20) giá trị này của c i hoàn toàn xác định với sai kém hằng số nhân.

Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý

Sự đo chính xác đồng thời hai đại lượng vật lý

Xét hai biến số động lực L và M được biểu diễn bởi hai toán tử Lˆ và

Hệ được biểu diễn bởi hàm sóng ψ, mà trong bài viết này, chúng ta coi như là hàm theo biến số x Để xác định hai biến động lực có thể đo được chính xác đồng thời, theo tiên đề 3, biến động lực L cần có giá trị xác định, tức là ψ = ψ L,k phải là hàm riêng của Lˆ tương ứng với trị riêng L k.

Ta đo đồng thời đại lượng M và L, khi hệ ở trạng thái ψ = ψ L,k Để M có giá trị xác định M k, ψ cần phải là hàm riêng của Mˆ, tức là ψ = ψ M,k.

Hai toán tử Lˆ và Mˆ cần phải có chung hàm riêng ψ = ψ L,k = ψ M,k để có thể đo chính xác đồng thời hai đại lượng động lực L và M Điều này dẫn đến một định lý quan trọng trong cơ học lượng tử.

“Điều kiện ắt có và đủ để hai đại lượng động lực đo được đồng thời là toán tử tương ứng của chúng giao hoán với nhau.”

Chúng ta sẽ chứng minh định lý này sau đây. a) Điều kiện ắt có: Nếu L,ˆ Mˆ có chung hàm riêng ψ k thì hai toán tử

L,ˆ Mˆ giao hoán được với nhau.

Rõ ràng Lˆ và Mˆ giao hoán với nhau. a) Điều kiện đủ: Nếu hai toán tử giao hoán thì chúng có chung hàm riêng.

Gọi ϕ là hàm riêng của L, nghĩa làˆ

Vì Mˆ và Lˆ giao hoán nên

Hàm riêng ψ ≡ M ϕˆ là một hàm riêng của toán tử Lˆ với trị riêng L, cho thấy rằng ψ và ϕ đều là hàm riêng của Lˆ với cùng trị riêng Khi không có suy biến, hai hàm này trùng nhau, nhưng do hàm riêng của các toán tử hermitic có thể khác nhau chỉ bởi một hằng số nhân, ta có ψ = hằng số.ϕ Điều này dẫn đến Mϕˆ = hằng số.ϕ = M.ϕ, cho thấy rằng ϕ cũng là hàm riêng của toán tử Mˆ.

Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng thời Nguyên lý bất định Heisenberg

Nguyên lý bất định Heisenberg.

Trong trường hợp hai toán tử L và M không giao hoán, việc đo đồng thời hai đại lượng động lực này sẽ không đạt được độ chính xác cao Điều này đặt ra câu hỏi về mức độ chính xác khi thực hiện phép đo đồng thời hai biến động lực L và M.

Do Lˆ và Mˆ là những toán tử hermitic không giao hoán được với nhau nên h

=iP ,ˆ (1.21) trong đó Pˆ là một toán tử hermitic, Pˆ 6= 0.

Gọi L và M là trị trung bình của L và M ở trạng thái ψ(x) Xét độ lệch

Những đại lượng này theo thứ tự được biểu diễn bởi các toán tử hermitic

Ta có giao hoán tử hd∆L,∆Md i hLˆ −L,Mˆ −M i hL,ˆ Mˆ i

| αd∆L−i∆Md ϕ| 2 dx≥ 0 (1.25) trong đó α là một thông số thực, tích phân lấy trong toàn bộ miền biến thiên

V ϕ ∗ (αd∆L−i∆M)d + (αd∆L−i∆M)ϕdxd vì tính chất hermitic, d∆L =d∆L + , ∆Md =∆Md + , do đó (α∆Ld−i∆Md) + αd∆L+i∆Md, nên

V ϕ ∗ α 2 ∆Ld 2 −iα h∆L,d ∆Md i +∆Md 2 ϕdx theo (1.24), thì

V ϕ ∗ α 2 ∆Ld 2 +αPˆ +∆Md 2 ϕdx, suy ra

Muốn cho I(α) ≥ 0 thì tam thức bậc hai theo α trên phải có biệt thức

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 15 trình bày công thức cho độ bất định khi đo đồng thời hai biến động lực Công thức này là một phần quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử.

L và M, nó được gọi là hệ thức bất định Heisenberg Đặt

∆M 2 , (1.27) hệ thức bất định có thể viết dưới dạng khác

Ví dụ: Nếu chọn Lˆ = ˆx= x : toán tử toạ độ,

∂x : toán tử xung lượng theo phương x. thì

[ˆx,pˆ x ] = i~, suy ra hệ thức bất định Heisenberg cho toạ độ và xung lượng

Theo nguyên lý bất định Heisenberg, không thể đồng thời đo chính xác tọa độ và xung lượng của một hạt vi mô, điều này cho thấy bản chất lưỡng tính sóng hạt của chúng Hạt vi mô không có quỹ đạo xác định, và sự không chính xác trong đo lường không phải do giới hạn trong khả năng của chúng ta hay độ chính xác của thiết bị, mà là một thực tế khách quan của tự nhiên Hệ thức bất định chính là biểu thức toán học phản ánh lưỡng tính sóng hạt này.

Phương trình Schrõdinger

Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian

Trong cơ học lượng tử, lưỡng tính sóng-hạt của các đối tượng vi mô khiến trạng thái của hạt được mô tả bằng hàm sóng ψ(~r, t) Do đó, cần một phương trình để diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử được bắt đầu với phương trình Schrödinger, được Schrödinger giới thiệu vào năm 1926 Phương trình này, được gọi là phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian, có dạng i~∂ψ(~r, t).

∂t = ˆHψ(~r, t), (1.30) trong đó Hˆ là Hamiltonian của hệ

Phương trình vi phân hạng hai theo không gian và hạng nhất theo thời gian được biểu diễn bằng công thức 2m∇ 2 + U(~r, t) Để tìm nghiệm cho phương trình này, cần xác định hàm sóng tại thời điểm t0 (điều kiện đầu) cùng với hai điều kiện biên liên quan đến tọa độ: ψ(x0, t0) = ψ0 và dψ(x,t)/dx tại x=x0 = ψ0'.

Mật độ dòng xác suất Sự bảo toàn số hạt

Để đơn giản, ta sẽ viết tắt ψ , ψ ∗ theo thứ tự thay cho ψ(~r, t), ψ ∗ (~r, t).

Từ phương trình (1.30), ta suy ra phương trình liên hiệp phức của nó

Nhân ψ ∗ cho hai vế của (1.30) về phía trái và nhân ψ cho hai vế của (1.32) cũng về phía trái rồi trừ cho nhau vế theo vế, ta được i~ ψ ∗ ∂ψ

∇(ψ ∗ ∇ψ −ψ∇ψ ∗ ) = ∇ψ ∗ ∇ψ+ψ ∗ ∇ 2 ψ− ∇ψ∇ψ ∗ −ψ∇ 2 ψ ∗ , nên ta có thể viết lại (1.34) như sau

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 17 là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở toạ độ ~r tại thời điểm t Và

Vectơ mật độ dòng xác suất được biểu diễn bằng công thức 2m (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗ ∇ψ) (1.37) Độ lớn của vectơ j(~r, t) phản ánh dòng hạt trung bình qua một đơn vị diện tích vuông góc với phương chuyển động trong một khoảng thời gian nhất định.

Theo đó phương trình (1.35) có dạng của phương trình liên tục mô tả định luật bảo toàn số hạt vi mô:

Phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian Trạng thái dừng

Trong nghiên cứu về hạt vi mô, chúng ta xem xét chuyển động của hạt trong trường thế Uˆ(~r) không thay đổi theo thời gian, dẫn đến năng lượng của hạt cũng không thay đổi Gọi E là năng lượng của hạt, và ký hiệu ψ E (~r) là hàm sóng tương ứng với trạng thái năng lượng E Phương trình trị riêng của năng lượng có thể được viết như sau.

Hψˆ E (~r) = Eψ E (~r) (1.39) với Hˆ = (−~ 2 /2m)∇ 2 + ˆU(~r) nên ta có thể viết (1.39) dưới dạng khác:

Trong trường hợp này, hàm sóng ψ E(~r, t) có thể được phân tách thành ψ E(~r) và f(t) Do đó, phương trình Schrödinger (1.30) có thể được viết lại với điều kiện rằng Hˆ không phụ thuộc vào thời gian t, dẫn đến biểu thức ψ E (~r)i~∂f.

Như vậy, ta có hai phương trình độc lập i~∂f

Phương trình (1.41) cho ta nghiệm f(t) =Ce − ~ i Et (1.43)

Phương trình (1.42) cung cấp hàm riêng và trị riêng cho toán tử năng lượng Nếu năng lượng của hệ có giá trị gián đoạn E_n với n = 0, 1, 2, , chúng ta có thể viết lại phương trình (1.42) theo cách khác.

Hψˆ n(~r) = E n ψ n(~r) (1.44) trong đó ψ n (~r) là viết tắt của ψ E n (~r) Như vậy, nghiệm riêng đầy đủ của hạt vi mô ứng với trạng thái dừng có năng lượng hoàn toàn xác định E n là ψ n (~r, t) = ψ n (~r)e − ~ i E n t (1.45)

Nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger ở trạng thái dừng trong trường hợp phổ gián đoạn ψ(~r, t) = X n c n e − ~ i E n t ψ n (~r) =X n

(1.46) Trường hợp phổ trị riêng liên tục, hàm sóng có dạng ψ(~r, t) Z c E e − ~ i Et ψ E(~r)dE Z

(1.47) Các hệ số c n , c E có thể được xác định từ điều kiện đầu.

Hệ lượng tử ở trạng thái dừng có các đặc điểm quan trọng: Hàm sóng phụ thuộc thời gian của trạng thái dừng được xác định duy nhất bởi giá trị năng lượng Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất trong trạng thái dừng không thay đổi theo thời gian Ngoài ra, trị trung bình của một đại lượng động lực với toán tử tương ứng không phụ thuộc vào thời gian cũng giữ nguyên giá trị theo thời gian Cuối cùng, xác suất đo giá trị của đại lượng động lực trong trạng thái dừng cũng không bị ảnh hưởng bởi thời gian.

Nghiệm của phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian có các tính chất cơ bản sau: a) Hàm ψ(~r, t) phải đơn trị.

Trong cơ học lượng tử, hàm sóng ψ(~r, t) cần phải liên tục, ngay cả khi thế năng U(~r) có sự gián đoạn Tại những điểm gián đoạn, hàm sóng và đạo hàm của nó vẫn duy trì tính liên tục Tuy nhiên, ở những vùng mà thế năng U tiến đến vô cùng, hàm sóng và đạo hàm của nó sẽ trở nên gián đoạn Nếu thế năng U không đạt đến vô cùng, hàm sóng ψ(~r) phải luôn hữu hạn trong toàn bộ không gian, điều này cũng đúng trong trường hợp U tiến đến vô cùng tại một điểm nhất định nhưng không quá nhanh, cụ thể là U ∼ 1/r^s với s ≤ 2.

Sự biến đổi theo thời gian của các đại lượng động lực

Đạo hàm của toán tử động lực theo thời gian

Ta có trị trung bình của một đại lượng động lực L ở trạng thái ψ(x)

Toán tử Lˆ trong phương trình LZ ψ ∗ (x) ˆLψ(x)dx (1.48) phụ thuộc vào tất cả các biến số khả dĩ và hàm sóng ψ(x) đã được chuẩn hoá Ngoài ra, do Lˆ có thể thay đổi theo thời gian, nên L cũng có thể phụ thuộc vào yếu tố thời gian.

Ta tính đạo hàm của trị trung bình L theo thời gian dL dt Z ψ ∗ (x)∂Lˆ

∂t dx (1.49) Lưu ý rằng, theo phương trình Schrõdinger (1.30), ta có

Hψˆ ∗ (x), (1.50) do đó phương trình (1.49) có thể viết lại dL dt Z ψ ∗ (x)∂Lˆ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 20 dL dt Z ψ ∗ (x)

Ta định nghĩa đạo hàm toán tử Lˆ theo thời gian dL/dtˆ là toán tử được xác định sao cho dL dt dL dt

! ψ(x)dx (1.52) Đối chiếu (1.52) với (1.51), ta thu được công thức của đạo hàm toán tử theo thời gian, được gọi là phương trình Heisenberg: dLˆ dt = ∂Lˆ

Trong cơ học cổ điển, tích phân chuyển động là đại lượng không thay đổi trong quá trình chuyển động Tương tự, trong cơ học lượng tử, tích phân chuyển động cũng tồn tại, với điều kiện (dL/dt) = 0, cho thấy đại lượng ˆL không thay đổi theo thời gian Dựa vào phương trình Heisenberg (1.53), nếu L là tích phân chuyển động thì

Trường hợp đặc biệt đáng chú ý: khi Lˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian, ta có (∂L/∂t) = 0, phương trình (1.54) trở thànhˆ hH,ˆ Lˆi

Khi toán tử Lˆ không phụ thuộc rõ rệt vào thời gian và giao hoán với toán tử năng lượng Hˆ, đại lượng động lực L tương ứng sẽ trở thành tích phân chuyển động.

Theo (1.52), nếu L là tích phân chuyển động thì (dL/dt) = 0 hay

L =const.: trị trung bình của tích phân chuyển động không phụ thuộc thời gian.

Xác suất p(L n , t) để tích phân chuyển động L có giá trị bằng L n không phụ thuộc vào thời gian Điều này xảy ra vì L và H giao hoán với nhau, dẫn đến sự tồn tại của hàm riêng chung ψ n (x).

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 21 ψ(x, t) =X n

Theo tiên đề 3 của cơ học lượng tử p(L n , t) = |C n (t)| 2 =|C n (0)| 2 =const. Đây là điều phải chứng minh.

Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

Bài toán trong cơ học lượng tử là giải phương trình Schrõdinger

Phương trình Schrödinger thời gian phụ thuộc, được biểu diễn dưới dạng − ~ 2 2m∇ 2 +U(~r, t) ψ =Eψ, chỉ có thể tìm nghiệm chính xác trong một số trường hợp đơn giản Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc vào hình thức của thế năng và số chiều không gian trong bài toán Nhiều bài toán trong cơ học lượng tử dẫn đến các phương trình phức tạp mà không thể giải chính xác Do đó, cần áp dụng các phương pháp gần đúng để tìm nghiệm, nghĩa là xác định các hàm riêng và trị riêng gần đúng Gần đây, sự phát triển của máy tính điện tử đã làm cho các phương pháp giải gần đúng bằng số trở nên rất quan trọng trong nghiên cứu cơ học lượng tử.

Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp gần đúng phổ biến trong cơ học lượng tử, được gọi là lý thuyết nhiễu loạn Thuật ngữ “nhiễu loạn” được mượn từ thiên văn học, mô tả ảnh hưởng của một hành tinh lên quỹ đạo của hành tinh khác Nội dung chi tiết về phương pháp nhiễu loạn sẽ được trình bày trong các phần tiếp theo.

Giả sử Hamiltonian của hệ vi mô đang xét có dạng

Hˆ = ˆH 0 + ˆV, trong đó Vˆ là toán tử nhiễu loạn nhỏ so với toán tử không nhiễu loạn Hˆ 0 Điều kiện để Vˆ được coi là "nhỏ" so với Hˆ 0 sẽ được trình bày sau Để xác định, chúng ta sẽ xem xét trường hợp phổ gián đoạn và giả thiết bài toán tìm hàm riêng ψ n (0).

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 23 trị riêng E n (0) của toán tử không nhiễu loạn Hˆ 0 từ phương trình

Hˆ 0 ψ n (0) =E n (0) ψ (0) n (2.2) đã được giải chính xác Bây giờ cần phải tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Hψˆ Hˆ 0 + ˆV ψ =Eψ, (2.3) nghĩa là phải tìm các biểu thức gần đúng cho các hàm riêng ψ n và các trị riêng E n của toán tử Hˆ.

Nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến

Trong bài viết này, giả thiết rằng tất cả các trị riêng của toán tử Hˆ là không suy biến Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (2.3) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng trực giao chuẩn hoá của toán tử Hˆ 0, với ψ = X k.

Thay (2.4) vào (2.3), có xét đến (2.2), ta thu được

Nhân hai vế của đẳng thức với ψ (0)∗ m và thực hiện tích phân trên toàn miền của các biến độc lập, đồng thời xem xét tính trực giao chuẩn hoá của các hàm ψ k (0), ta sẽ thu được kết quả mong muốn.

Phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn được tính theo các hàm sóng của bài toán không nhiễu loạn được biểu diễn bởi công thức V ψ (0)∗ m (x) ˆV ψ (0) k (x)dx (2.6) Hệ phương trình (2.5) hoàn toàn tương đương với phương trình Schrödinger trong biểu diễn năng lượng (2.3) Giả thiết cho rằng toán tử Vˆ là nhỏ cho thấy rằng các mức năng lượng và hàm sóng trong bài toán nhiễu loạn sẽ gần với các giá trị trong trường hợp không nhiễu loạn.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2 trình bày một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử, đặc biệt là đối với bài toán không nhiễu loạn Chúng ta sẽ khám phá các phương pháp này dưới dạng chuỗi với tham số bé 1, nhằm tìm ra các trị tương ứng.

Chúng ta xác định mức năng lượng thứ n và hàm sóng tương ứng trong bài toán nhiễu loạn Khi xem xét gần đúng cấp không, tức là không có nhiễu loạn ( ˆV = 0), ta có Hˆ = ˆH 0 và = 0 Do đó, hàm sóng ψ n = ψ n (0), tức là ψ n = ψ n (0) = X k.

Thay (2.10) và (2.11) vào (2.5) với lưu ý E =E n , ta có δ mn +C m (1) + 2 C m (2) + E n (0) −E m (0) +E n (1) + 2 E n (2) +

Suy ra, ta có các phương trình δ mn E n (1) +C m (1)

Khi m = n, ta thu được E n (1) =v nn , (2.15)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 25

Khi m 6=n, ta thu được C m (1) = v mn

Phương trình (2.14) cho ta khi m =n

+X k6=n v nk C k (1) =X k6=n v nk C k (1) vì theo (2.15) v nn = E n (1)

Vận dụng (2.15) và (2.16), ta suy ra

Lưu ý (2.15) và (2.16), ta thu được

Bây giờ ta tìm giá trị của C n (1) và C n (2) Chúng có thể thu được từ điều kiện chuẩn hoá có xét đến (2.4)

Thay khai triển (2.7) và (2.8) vào (2.18), ta thu được

Cân bằng các đại lượng cùng cấp độ bé ở vế trái và vế phải sẽ rút ra được

Từ các hệ thức (2.19), suy ra các phần tử ảo của các hệ số khai triển

C n (1) , C n (2) là các đại lượng tuỳ ý Do đó, không hạn chế tính tổng quát, ta có thể chọn chúng là thực và có giá trị

Theo đó giá trị của C m (2) trở thành

Như vậy năng lượng của hệ nhiễu loạn được viết đến mức độ chính xác cấp hai là

Còn hàm sóng nếu viết đến mức độ chính xác cấp một sẽ là ψ n =ψ (0) n +X k6=n v kn

Biểu thức (2.24) cho thấy rằng số hạng hiệu chính cấp một thật sự bé nếu (|V kn|/|E n (0) −E k (0) |) 1, nghĩa là điều kiện về “toán tử Vˆ nhỏ” là

Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp có suy biến

Lý thuyết nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau

Từ các công thức (2.23) và (2.24), ta thấy rằng nếu trong số các trị riêng E n (0) của Hˆ 0 có hai mức năng lượng gần bằng nhau thì các hiệu chính

Trong cơ học lượng tử nâng cao, khi nghiên cứu các hàm sóng và mức năng lượng E n (0), việc sử dụng các công thức truyền thống có thể không khả thi nếu các trị riêng gần nhau ở mức n của Hˆ0 quá lớn Tuy nhiên, nếu số lượng các trị riêng gần nhau không nhiều, chúng ta có thể điều chỉnh phương pháp tính toán để loại bỏ ảnh hưởng của các số hiệu chính lớn Bài viết này sẽ tập trung vào trường hợp đơn giản với hai mức năng lượng gần nhau.

Giả sử Hˆ 0 có hai trị riêng E 1 (0) và E 2 (0) gần nhau, với các hàm riêng tương ứng là ψ 1 (0) và ψ 2 (0), trong khi các trị riêng khác ở xa Trong phép tính gần đúng cấp không, nghiệm được tìm dưới dạng ψ (0) = aψ (0) 1 + bψ (0) 2 Thay giá trị này vào phương trình để tiếp tục phân tích.

Hψˆ (0) = Eψ (0) , Hˆ = ˆH 0 + ˆV , chúng ta thu được aHψˆ 1 (0) +bHψˆ 2 (0) =E aψ 1 (0) +bψ 2 (0)

Nhân (2.27) với ψ (0)∗ 1 và lấy tích phân, ta được aH 11 +bH 12 =aE; H 11 Z

Tương tự với ψ 2 (0)∗ , ta được aH 21 +bH 22 =bE; H 21 Z

Hai phương trình (2.28) và (2.29) được biến đổi thành

H 21 a+ (H 22 −E)b = 0 (2.31) Để cho hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (a 6= 0, b 6= 0), thì định thức của nó phải bằng không, nghĩa là

Giải phương trình ta thu được các nghiệm

(2.33) trong đó ta lưu ý H 12 =H 21 ∗ do Hˆ là toán tử hermitic.

Ta xét hai biểu thức của (2.33) trong hai trường hợp giới hạn

1 Nếu H 11 −H 22 |H 12 |, thì theo (2.30) có nghĩa là

Điều kiện (2.25) đã được thoả mãn, cho phép áp dụng lý thuyết nhiễu loạn từ tiết trước Trong phép gần đúng, có thể bỏ qua một số yếu tố không cần thiết.

4|H 12| 2 trong số hạng dưới căn số bậc hai ở (2.33), thì ta sẽ có giá trị gần đúng cấp một trong phép nhiễu loạn thông thường:

Trong phép gần đúng chính xác hơn, nghĩa là √

2 Nếu H 11−H 22 |H 12|, trong trường hợp này, với độ chính xác đến các số hạng có độ bé cấp một

Chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa các giá trị năng lượng được xác định bởi các công thức (2.33) và hiệu H 11 −H 22 Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ thiết lập một phương trình phù hợp.

H 11 = H 0 +γx; H 22 =H 0 −γx (2.37) Trong đó γ là một hệ số không đổi, x là biến độc lập Theo đó:

Tiến hành những phép thay thế tương ứng trong (2.33), kết quả thu được như sau: (

Trong hình 2.1, các đồ thị của các hàm (2.38) và (2.37) được biểu diễn với đường liền nét và đường chấm chấm tương ứng với một giá trị cố định của |H 12 | Hiệu giữa các tung độ của hai loại đường này cho ta hiệu chính cấp hai của các giá trị năng lượng, và điều này luôn làm tăng khoảng cách giữa các mức Hiện tượng này thường được gọi là “sự đẩy của các mức”, thể hiện sự gia tăng khoảng cách giữa các mức gần nhau do ảnh hưởng của các số hạng bị bỏ qua trong Hamiltonian của bài toán đơn giản hóa Đặc biệt, trong hình 2.1, ngay cả khi hiệu H 11 −H 22 = 0, vẫn có sự khác biệt trong các mức năng lượng.

Bây giờ ta tìm hàm sóng ψ tương ứng với các năng lượng E 1 và E 2 Muốn vậy, cần xác định các hệ số a và b trong công thức (2.26) Từ (2.31), ta có a b = H 12

Thế các giá trị của E bằng E 1 và E 2 được xác định ở các biểu thức (2.33) a b

H 11 −H 22 i2), (2.39) các chỉ số 1 và 2 theo thứ tự ứng với dấu + và − đứng trước dấu căn Đặt tg2α = 2H 12

H 11 −H 22 , (2.40) công thức (2.39) có dạng mới a b

Hệ thức chuẩn hoá cho hàm sóng ở (2.26) yêu cầu a 2 +b 2 = 1, (2.42) hai phương trình (2.41) và (2.42) cho ta rút ra a 1 = cosα, b 1 = sinα; a 2 =−sinα, b 2 = cosα (2.43)

Thay các kết quả này vào công thức (2.26), ta thu được các hàm sóng chuẩn hoá tương ứng với các giá trị năng lượng E 1 và E 2 :

Theo (2.40) khi bất đẳng thức H 11 −H 22 |H 12 |, được nghiệm đúng thì tg2α ≈0, do đó ψ 1 = ψ 1 (0) , còn ψ 2 = ψ 2 (0) , nghĩa là các hàm mới trùng với các hàm ban đầu Khi bất đẳng thức H 11 −

H 22 |H 12 |, được thoả mãn thì tg2α ≈ ∞, nghĩa là α = π/4, công thức

Từ các giá trị năng lượng E 1, E 2, E 3 (0), E 4 (0), không có giá trị nào gần nhau, cho phép sử dụng chúng cùng với các hàm sóng tương ứng ψ 1, ψ 2, ψ (0) 3, ψ 4 (0), như các đại lượng gần đúng cấp không Điều này hữu ích khi tính toán các hàm sóng ψ theo công thức (2.24) trong phép tính gần đúng cấp một và các hiệu chính cho năng lượng trong phép gần đúng cấp hai theo công thức (2.23).

Phương pháp này áp dụng được khi E1 = E2, tức là trong trường hợp có mức suy biến bậc hai với hai hàm ψ11(0) và ψ12(0) Tất cả các công thức vẫn giữ nguyên tính chính xác, nếu coi ψ1(0) là ψ11(0) và ψ2(0) là ψ12(0).

Lý thuyết nhiễu loạn dừng khi có suy biến

Trong trường hợp suy biến bội hai, ta xem xét một mức năng lượng E n của hệ với hai hàm sóng ψ n1 và ψ n2 độc lập tuyến tính Hai hàm sóng này có thể được chọn sao cho chúng trực chuẩn Đối với giá trị n xác định, ta đưa ra giả thiết Z.

Gọi Hˆ là Hamiltonian của hệ,

Ta cần tìm trị riêng E và hàm riêng ψ của Hˆ, nghĩa là phải tìm nghiệm của phương trình

Do có suy biến bội hai nên phương trình (2.47) có thể viết

Ta tìm E và ψ với điều kiện trực chuẩn (2.45) Biểu diễn hàm ψ dưới dạng tổ hợp tuyến tính

Thay (2.49) vào (2.47) và vận dụng (2.46), (2.48), ta được

Nhân hai vế đẳng thức trên với ψ nα (0)∗ , với α = 1,2, rồi lấy tích phân trên toàn miền giá trị của x, ta được

Hệ phương trình (2.50) có nghiệm khác không khi định thức lập bởi các hệ số của các ẩn C 1 , C 2 bằng không, nghĩa là

Khai triển định thức sẽ thu được một phương trình bậc hai theo E (1)

Giải phương trình, ta được hai nghiệm

Tóm lại, đối với hệ không nhiễu loạn Hˆ = ˆH 0 , chỉ có một mức năng lượng

E n (0) cho hai hàm sóng ψ (0) n1 và ψ n2 (0) Khi hệ có nhiễu loạn Hˆ = ˆH 0 + ˆV, mức năng lượng của hệ tách thành hai mức

E 2n =E n (0) +E 2 (1) (2.52) Xét trường hợp đặc biệt khi V 11 =V 22 , V 12 = V 21, thì

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2 đề cập đến các phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử, trong đó hai giá trị E 1 (1) và E 2 (1) tương ứng với hai cặp giá trị cho C 1 và C 2 Khi E 1 (1) được xác định là V 11 + V 12, hệ phương trình (2.50) sẽ được điều chỉnh để phản ánh mối quan hệ này.

Kết hợp với điều kiện chuẩn hoá hàm sóng, ta suy ra

2, như vậy hàm sóng ứng với mức năng lượng E 1 (1) là ψ n1 = 1

b)Với E 2 (1) = V 11 −V 12, hệ phương trình (2.50) trở thành

Trong trường hợp này ta tìm được

2, hàm sóng tương ứng với mức năng lượng E 2 (1) là ψ n2 = 1

Mức năng lượng không còn suy biến nữa Như vậy nhiễu loạn đã làm mất suy biến.

Bây giờ ta xét lý thuyết nhiễu loạn khi có suy biến bội n ≥ 2 Cụ thể là đặt vấn đề như sau: Cần tìm nghiệm của phương trình

Mức năng lượng E(0) tương ứng với n hàm sóng ψp(0) Việc xác định các hiệu chính năng lượng trong phép gần đúng cấp một và các hàm sóng trong phép gần đúng cấp không là rất quan trọng.

Thay (2.56) vào (2.54) và vận dụng (2.55), (2.56), ta viết được :

C p ψ p (0) , (2.57) nhân hai vế của (2.57) với ψ m (0)∗ , rồi lấy tích phân trên toàn miền giá trị của biến x, ta được

= 0, (2.58) cho m = 1,2, , n, ta thu được hệ n phương trình dạng (2.58) với n ẩn số

C 1 , C 2 , , C n Muốn cho các nghiệm không tầm thường thì định thức lập bởi các hệ số của các ẩn đó phải bằng không

Khai triển định thức (2.59), ta có một phương trình bậc n của E (1) Phương trình trên gọi là phương trình thế kỷ (thuật ngữ mượn trong thiên văn học).

Nếu phương trình thế kỷ có n nghiệm thực và tất cả các nghiệm này đều khác nhau, thì mức năng lượng E(0) trong bài toán suy biến sẽ phân tách thành n mức năng lượng khác nhau, ký hiệu là E_p(0) với p = 1, 2, , n.

E p =E (0) +E p (1) , (2.60) mỗi mức E p ứng với một hàm sóng ψ p = X k

Trong trường hợp này suy biến bội n bị mất hoàn toàn.

Nếu một hoặc nhiều nghiệm của phương trình thế kỷ (2.59) là nghiệm bội s, thì suy biến bội n sẽ bị mất một phần Các hàm sóng ψ pk tương ứng với các nghiệm bội E pk, k = 1,2, ,s không được xác định đơn trị Tuy nhiên, có thể chọn chúng sao cho trực giao với nhau Các hàm sóng ứng với các nghiệm khác nhau của phương trình (2.59) cũng trực giao Nhiễu loạn dẫn đến việc mất suy biến, và thường khi có nhiễu loạn, các trị riêng của toán tử Hˆ0 sẽ không suy biến hoặc độ bội suy biến sẽ giảm Điều này liên quan đến tính đối xứng của Hamiltonian đối với các phép biến đổi tọa độ của hệ Thông thường, nhiễu loạn Vˆ không có cùng tính đối xứng với Hˆ0, dẫn đến Hamiltonian tổng hợp.

Hˆ = ˆH 0 + ˆV sẽ không có tính đối xứng như trước và mức năng lượng của nó sẽ không suy biến Như vậy, nhiễu loạn đã làm mất sự suy biến.

Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hydro

Khi nguyên tử chịu tác động của điện trường, các vạch quang phổ của nó sẽ bị tách ra, hiện tượng này được Stark phát hiện vào năm 1913 Hiệu ứng Stark chỉ có thể được lý giải qua cơ học lượng tử, đặc biệt là hiệu ứng Stark bậc nhất, liên quan đến nguyên tử đồng dạng Hydro Đối với các nguyên tử này, mức năng lượng không chỉ suy biến theo m mà còn theo `, và chính sự suy biến này gây ra hiệu ứng Stark bậc nhất Ngược lại, các nguyên tử không phải đồng dạng Hydro thường không có suy biến theo `, do đó không quan sát được hiệu ứng này Ở mức năng lượng thứ nhất (n = 1, ` = 0) không có sự suy biến, dẫn đến việc không xảy ra tách mức, vì vậy ta sẽ xem xét sự tách mức năng lượng thứ hai của nguyên tử Hydro (n = 2).

Trong các thí nghiệm, điện trường ngoài E có giá trị khoảng 10^4 - 10^6 V/cm, nhỏ hơn nhiều so với điện trường do hạt nhân gây ra là E nh ≈ 5.10^9 V/cm, với a là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất Do đó, lý thuyết nhiễu loạn có thể được áp dụng để nghiên cứu hiệu ứng Stark, trong đó toán tử nhiễu loạn được biểu diễn qua toán tử thế năng của điện tử trong điện trường ngoài.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 36 Ở trạng thái không nhiễu loạn, điện tử có mức năng lượng

4 , (2.63) trong đó R là hằng số Rydberg Mức năng lượng này (n= 2) tương ứng với n 2 = 4, hàm sóng ψ 1 (0) =ψ 200 = R 20 (r)Y 00 = 1

4πR 20 (r), (2.64) ψ 2 (0) =ψ 210 =R 21 (r)Y 10 r 3 4πR 21 (r) cosθ, (2.65) ψ 3 (0) =ψ 211 =R 21(r)Y 11 r 3 8πR 21(r) sinθe iϕ , (2.66) ψ (0) 4 = ψ 21−1 =R 21 (r)Y 1−1 r 3 8πR 21 (r) sinθe −iϕ (2.67) Thay các biến bằng toạ độ Descartes, các hàm sóng có dạng ψ 1 (0) =f 1 (r) = 1

Do rsinθexp(iϕ) =p x 2 +y 2 exp(iϕ) =x+iy; rsinθexp(−iϕ) = p x 2 +y 2 exp(−iϕ) = x−iy nên ψ 3 (0) =f 2 (r)x+iy

Hàm sóng tổng quát nhất ứng với mức năng lượng E 2 (0) là ψ X4 k=1

Để xác định các hệ số C k và hiệu chính bậc nhất E 2 (1) cho mức năng lượng E 2 của trạng thái nhiễu loạn, trong trường hợp độ bội suy biến là 4, ta áp dụng phương trình (2.58) để tìm ra hệ 4 phương trình cần thiết.

Chỉ các phần tử ma trận V 12 =V 21 là khác không vì chúng là các hàm chẵn của cả ba toạ độ x, y, z

Các phần tử ma trận V khác đều triệt tiêu do biểu thức dưới dấu tích phân của chúng là hàm lẻ đối với ba tọa độ x, y và z Do đó, chỉ còn lại phần tử V f 1 (r)f 2 (r)z 2 dV.

Thay vào (2.75) các hàm f 1 (r), f 2 (r) lấy từ (2.68) và (2.69) với lưu ý rằng

Ta tính tích phân (2.75) trong toạ độ cầu với dV =r 2 sinθdrdθdϕ,

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 38 Đưa vào biến mới ξ =r/a, ta thu được

2 ξ 4 dξ =−3eEa (2.77) Để cho các nghiệm C 1 , C 2 , C 3 , C 4 không tầm thường thì định thức

Khai triển định thức, ta thu được phương trình bậc bốn của E 2 (1)

Và tìm được 4 nghiệm của phương trình (2.79)

E 21 (1) =−3aeE; E 22 (1) = 3aeE; E 23 (1) =E 24 (1) = 0 (2.80) Mỗi nghiệm tương ứng với một bộ hoàn toàn xác định của các hệ số

Như vậy ứng với mức năng lượng

E 21 = E 2 (0) +E 21 (1) = E 2 (0) −3aeE (2.82) ta có hàm sóng trong phép gần đúng cấp không ψ 1 = C 11 ψ 1 (0) +C 21 ψ 2 (0) =C 11 (ψ 200 +ψ 210 ) (2.83) Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng cho

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 39 ta tìm được C 11 = 1/

2 (ψ 200 +ψ 210 ) (2.84) Tương tự mức năng lượng

E 22 =E 2 (0) +E 22 (1) = E 2 (0) + 3aeE (2.85) tương ứng với hàm sóng trong phép gần đúng cấp không ψ 2 = 1

Các mức năng lượng E 23 = E 24 = E 2 (0) tương ứng với trạng thái ψ 3 ψ 211 (m = 1), hay ψ 4 =ψ 21−1 (m =−1), hay tổ hợp tuyến tính của chúng vì C 13 =C 23 =C 14 =C 24 = 0 Còn C 33 , C 34 , C 43 và C 44 vẫn chưa xác định.

Sự suy biến bị khử một phần, dẫn đến việc mức năng lượng ban đầu E2(0) chỉ tách thành ba mức khác nhau, như được minh họa trong hình 2.2.

Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Xét một hệ thống có năng lượng phụ thuộc vào thời gian, ta định nghĩa toán tử nhiễu loạn là một hàm của thời gian Vˆ(t) Trong trường hợp này, Hamiltonian của hệ sẽ có dạng đặc biệt để phản ánh sự thay đổi năng lượng theo thời gian.

Hˆ = ˆH 0 + ˆV(t) (2.87) Trong trường hợp này, năng lượng của hệ không bảo toàn, do đó không có các trạng thái dừng.

Phương trình Schrõdinger của hệ có dạng i~∂ψ(x, t)

Chúng ta sẽ giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng số do Dirac đưa ra vào năm 1926 Đặt ψ (0) n (x, t) = ψ (0) n (x)e − ~ i E n (0) t là các hàm sóng ở trạng thái dừng của hệ không nhiễu loạn Những hàm sóng này thỏa mãn phương trình không nhiễu loạn i~∂ψ n (0) (x, t).

Giả sử có một nhiễu loạn nhỏ Vˆ(t) tác dụng lên hệ Hàm sóng cần tìm ψ(x, t) của hệ nhiễu loạn thoả mãn phương trình (2.88) Dạng tổng quát của hàm sóng ψ(x, t) = X k

Các hàm sóng ψ k (0) (x, t) tạo thành một hệ đủ các hàm riêng của toán tử Hermitic Hˆ0, cho phép thực hiện khai triển Các hệ số khai triển C k(t) chỉ phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào tọa độ.

Thay (2.91) vào (2.88) và chú ý đến (2.90), ta có i~X k ψ k (0) (x, t)dC k(t) dt =X k

Nhân bên trái hai vế với ψ (0)∗ m (x, t) rồi lấy tích phân theo toạ độ, ta được i~dC m(t) dt =X k

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2 trình bày một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử, trong đó V mk (t) được xác định là các phần tử nhiễu loạn, bao gồm cả thừa số thời gian.

Hệ phương trình (2.92) là hệ chính xác và tương đương với phương trình (2.88), vì các hệ số C k (t) hoàn toàn xác định hàm sóng ψ(x, t) Tuy nhiên, việc giải phương trình (2.92) không dễ dàng hơn so với phương trình xuất phát (2.88) Để đơn giản hóa phương trình (2.92), cần áp dụng tính chất nhiễu loạn Vˆ(t) là nhỏ Giả thiết ban đầu, khi t≤ 0, hệ ở trạng thái riêng ψ n (0).

Bắt đầu từ thời điểm t = 0, hệ thống chịu tác động của một nhiễu loạn nhỏ, dẫn đến hàm sóng ψ(0) n của trạng thái ban đầu chỉ phụ thuộc một cách hạn chế vào thời gian Do đó, các hệ số C k(t) tại thời điểm t > 0 được xác định theo một dạng cụ thể.

Hiệu chính C k (1) (t) có cấp độ nhỏ tương đương với phần tử nhiễu loạn V mk (t), trong khi C k (2) (t) là bậc hai đối với phần tử nhiễu loạn Bằng cách thay khai triển (2.95) vào (2.92), chúng ta có thể xác định các phương trình cùng bậc nhiễu loạn.

Bậc nhất của tích phân i~dC m (1) (t) dt được biểu diễn bằng công thức X k v mk (t)e iω mk t δ nk =v mn (t)e iω mn t, trong đó đã loại bỏ các số hạng có cấp độ bé cấp hai và cao hơn của nhiễu loạn Việc thực hiện tích phân này dẫn đến kết quả quan trọng được nêu trong (2.96).

- Bậc hai: i~dC m (2) (t) dt =X k v mk (t)e iω mk t C k (1) (2.98)

Giải phương trình này bằng cách thế kết quả ở (2.97) vào vế phải của phương trình (2.98), ta thu được C m (2) (t) Tiếp tục lặp lại cho phương trình nhiễu loạn bậc 3, bậc 4,

Khi nhiễu loạn Vˆ(t) đủ nhỏ thì ta có thể giới hạn ở phép tính gần đúng bậc nhất.

Sự chuyển dời lượng tử của hệ vi mô sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn

thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn

Một trong những vấn đề quan trọng của cơ học lượng tử là tính xác suất chuyển dời của hệ từ trạng thái lượng tử này sang trạng thái khác Giả sử hệ ở trạng thái năng lượng xác định E n (0) với hàm sóng ψ n (0) Khi t ≤ 0, hệ chịu tác động của nhiễu loạn Vˆ(t), dẫn đến tại thời điểm t > 0, hệ sẽ ở trạng thái mới được mô tả bởi hàm sóng ψ(x, t) = X k.

Tại thời điểm t > 0, hệ có thể ở bất kỳ trạng thái dừng nào trong số các trạng thái khả dĩ của nó Theo quy luật của cơ học lượng tử, xác suất tìm thấy hệ trong trạng thái lượng tử m được xác định bởi |C m | 2 Khi t = 0, hệ ở trạng thái dừng n, do đó |C m (t)| 2 xác định xác suất chuyển dời từ trạng thái n sang trạng thái m trong khoảng thời gian t, được ký hiệu là wmn(t) = |C m(t)| 2 ≡ |C mn(t)| 2, trong đó chỉ số thứ hai chỉ trạng thái ban đầu.

Nhiễu loạn là nguyên nhân chính dẫn đến sự chuyển đổi của hệ từ trạng thái lượng tử này sang trạng thái khác, một quá trình không có sự tương tự trong vật lý cổ điển Sự dời chuyển này xảy ra từ một trạng thái dừng với năng lượng xác định sang một trạng thái mới, nơi mà năng lượng không còn giá trị xác định Trạng thái cuối cùng của hệ được mô tả bởi hàm sóng ψ(x, t), thể hiện một trạng thái xác định theo định nghĩa của cơ học lượng tử.

Sự dời chuyển của hệ không diễn ra ngay lập tức mà trải qua một khoảng thời gian nhất định Từ công thức (2.97), có thể tính xác suất dời chuyển từ trạng thái dừng ψ n (0) (x) sang trạng thái dừng ψ m (0) (x) (với m khác n) trong khoảng thời gian từ 0 đến t, dưới tác động của nhiễu loạn gần đúng bậc nhất, được biểu diễn bằng wmn(t) = |C mn (1) (t)|² = 1.

Lưu ý rằng (2.99) chỉ áp dụng khi v mn (t) đủ nhỏ để hiệu chỉnh C mn (1) không đáng kể so với đơn vị Trong trường hợp đặc biệt, ta sẽ xem xét tình huống khi nhiễu loạn không phụ thuộc vào thời gian.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 43 gian, nghĩa là Vˆ(t) = ˆV(0), theo đó v mn (t) = v mn (0), nên

Nếu tìm xác suất chuyển từ trạng thái ban đầu n đến tất cả các trạng thái khác thì ta lấy tổng mọi giá trị của m wn(t) =X m wmn(t) =X m

(2.102) Nếu các trạng thái cuối có phổ liên tục thì dấu tổng thay bằng dấu tích phân theo biến vi phân ρ

E m (0) là hàm mật độ trạng thái trong khoảng năng lượng E m (0) →

E m (0) +dE m (0) Khi tính tích phân, ta xem |v mn (0)| 2 và ρ

E m (0) không đổi và dùng công thức

−∞ sin 2 (αx) x 2 dx =πα thì sẽ thu được xác suất chuyển dời từ trạng thái n đến tất cả các trạng thái khác w n (t) = 2πt

(2.104) b) Một trường hợp quan trọng khác là nhiễu loạn tuần hoàn đơn sắc:

Vˆ(t) = ˆV 0 exp(−iωt) (2.105) Xác suất chuyển dời lượng tử có dạng w mn (t) = |C mn (1) (t)| 2 = 4|v mn (0)| 2 sin 2 h t 2~

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 44 khi

Khi năng lượng kích thích ~ω bằng hiệu hai mức năng lượng E m (0) − E n (0), xác suất chuyển dời từ trạng thái n đến trạng thái m đạt giá trị cực đại Điều này thể hiện tính chất cộng hưởng của sự kích thích bằng bức xạ Để khảo sát hiện tượng này, ta sử dụng hàm f m (E m (0), t) = sin²[2~t(E m (0) − E n (0) − ~ω)].

Lưu ý rằng từ yêu cầu độ bất định năng lượng của trạng thái cuối

∆E m (0) phải nhỏ so với năng lượng ~ω của trường kích thích, ta rút ra bất đẳng thức t 1 ω,

(2.108) nghĩa là ∆E m (0) ~ω nếu thời gian tác động của nhiễu loạn lớn so với chu kỳ của nhiễu loạn.

Khi t → ∞ thì dựa vào công thức lim t→∞ sin 2 ξt πξ 2 t = δ(ξ) : hàm delta Dirac, với ξ = (E m (0) −E n (0) −~ω)/(2~) và lưu ý tính chất δ(ax) =δ(x)/a, ta suy ra w mn (t) = 2π

Trong một khoảng thời gian dài, chỉ có sự chuyển dời lượng tử xảy ra khi đối số của hàm delta Dirac bằng không, tức là năng lượng bức xạ kích thích ~ω phải đúng bằng hiệu của hai mức năng lượng.

Nguyên tử Hêli

Nguyên tử Hêli gồm hạt nhân dương mang điện tích +2e và hai điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân Chọn hệ quy chiếu có gốc toạ độ ở hạt

Trong chương 2 của Cơ học lượng tử nâng cao, chúng ta khám phá một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử, đặc biệt là trong hệ thống hai điện tử Đối với hệ này, hạt nhân Hêli được coi là đứng yên trong hệ quy chiếu, cho phép chúng ta viết Hamiltonian của hệ hai điện tử một cách chính xác.

Hamiltonian cho hệ thống hai điện tử trong nguyên tử Hêli được mô tả bởi phương trình \( e_2 r_{12} \psi = E \psi \), trong đó \( r_1 \) và \( r_2 \) là khoảng cách giữa hạt nhân Hêli và hai điện tử, còn \( r_{12} \) là khoảng cách giữa hai điện tử Các số hạng thứ ba và thứ tư mô tả thế năng tương tác giữa các điện tử với hạt nhân, trong khi số hạng cuối cùng thể hiện năng lượng tương tác Coulomb giữa hai điện tử Trong biểu thức Hamiltonian, một số hiệu ứng do mômen từ spin và quỹ đạo của điện tử đã bị bỏ qua Do đó, nghiệm của phương trình cần được tìm dưới dạng tích của các hàm tọa độ \( \phi(\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}) \) và hàm spin \( \chi(\sigma_1, \sigma_2) \), thể hiện qua \( \psi = \phi(\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}) \chi(\sigma_1, \sigma_2) \) Để xác định các hàm sóng và năng lượng của trạng thái cơ bản của Hêli, phương pháp nhiễu loạn được áp dụng, trong đó tương tác giữa hai điện tử \( e_2/r_{12} \) được coi là một nhiễu loạn.

Bằng phương pháp phân ly biến số với sự bỏ qua tương tác giữa hai điện tử như trên, ta viết lại Hamiltonian của hệ

Gọi ϕ 1 (~r 1 ), ϕ 2 (~r 2 ) theo thứ tự là hàm sóng của chỉ điện tử 1, 2 Ta viết được ϕ 1(~r 1) = ϕ(n, `, m, s z)1; ϕ 2(~r 2) = ϕ(n, `, m, s z)2 (2.114) và

Hˆ1 ϕ 1(~r 1) = E 1 ϕ 1(~r 1) ; Hˆ2 ϕ 2(~r 2) = E 2 ϕ 2(~r 2) (2.115) Hàm ψ và năng lượng E của hệ gồm cả hai hạt trong trường hạt nhân sẽ là ψ =ϕ 1 (~r 1 )ϕ 2 (~r 2 ) = ϕ(n, `, m, s z ) 1 ϕ(n, `, m, s z ) 2 ; E =E 1 +E 2

Ta có thể ký hiệu tập hợp các số lượng tử (n, `, m, s z ) i ≡ n i , do đó ϕ i(~r i) = ϕ n i(~r i), Tổng quát, trạng thái của cả hệ có toạ độ không gian là

~r 1 , ~r 2 , sẽ là chồng chất các trạng thái trên ψ(~r 1 , ~r 2) = X n 1 ,n 2

C(n 1 , n 2)ϕ n 1 (~r 1)ϕ n 2 (~r 2) (2.116) là dạng tổng quát của hàm sóng của hệ tại một toạ độ không gian xác định.

Bây giờ nếu coi tương tác Vˆ =e 2 /r 12 giữa hai điện tử với nhau là nhiễu loạn thì

Khi Vˆ = 0, năng lượng của hệ là E 0 và ψ 0 là hàm sóng tương ứng khi không có nhiễu loạn.

Trong phép gần đúng cấp một của nhiễu loạn, mức năng lượng ở trạng thái cơ bản được cho bởi công thức

E n , E m là các mức năng lượng của điện tử 1 và điện tử 2 lần lượt ở trạng thái ϕ n và ϕ m được xác định bởi ψ (0) =ψ (0) 1 = ϕ n (~r 1 )ϕ m (~r 2 ), (2.119)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 47 ψ (0) =ψ (0) 2 = ϕ n (~r 2 )ϕ m (~r 1 ) (2.120)

Như vậy theo nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất , ψ 1 (0) vàψ 2 (0) đều thoả mãn các phương trình

Hˆ0 ψ 1 (0) =E 0 ψ 1 (0) ; Hˆ0 ψ 2 (0) =E 0 ψ 2 (0) Đây là trường hợp suy biến cấp hai Khi có toán tử nhiễu loạn Vˆ 6= 0, ta có:

Ta sẽ tìm hàm sóng ψ trong phép gần đúng cấp không và mức năng lượng trong phép gần đúng cấp một Ta viết được ψ = X k

V ij = V ji Z Z ψ i (0)∗ V ψˆ (0) j dV i dV j Z Z ψ i (0)∗ e 2 r 12 ψ j (0) dV i dV j , theo đó:

V 11 =V 22; V 12 =V 21 =V 12 ∗ = V 21 ∗ (2.123) ta tìm E (1) bằng cách cho định thức sau bằng không

Vận dụng kết quả (2.123), ta suy ra hai nghiệm

Cuối cùng, suy ra năng lượng hệ

V 11 =V 22 ≡ K; V 12 =V 21 ≡ A, là các đại lượng thực (2.126)

1,2 =E 1,2 −E 0 =K ±A, (2.127) với E =E 0+E (1) , theo (2.50) ta có hệ phương trình

Suy ra hàm sóng đối xứng ψ s (~r 1 , ~r 2 ) = 1

Phương pháp này có độ chính xác thấp, chỉ khoảng 20% so với thực nghiệm Để nâng cao độ chính xác, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp trường tự hợp Hartree-Fock, một phương pháp có độ chính xác cao hơn.

Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

Nguyên lý biến phân

Phương trình Schrõdinger dưới dạng tổng quát H ψˆ = Eψ có thể thu được từ nguyên lý biến phân δ

Thực vậy, trị trung bình của năng lượng ở trạng thái dừng ψ là

Để tìm các hàm ψ sao cho đại lượng E đạt cực trị, ta cần chuẩn hóa hàm ψ với điều kiện R ψ ∗ ψdq = 1 E là một phiếm hàm phụ thuộc vào ψ, và việc tìm cực trị của phiếm hàm này là một bài toán biến phân có điều kiện Để giải quyết, ta áp dụng phương pháp thừa số bất định Lagrange, trong đó ta cần tìm cực trị của phiếm hàm f = f(x 1 , x 2 , , x n) với điều kiện ϕ i(x 1 , x 2 , , x n) = 0 Phương pháp Lagrange chuyển đổi bài toán cực trị có điều kiện thành bài toán cực trị không có điều kiện của hàm F = f + P i λ i ϕ i, với λ i là các thừa số bất định Lagrange Nhờ đó, các điểm mà F đạt cực trị cũng đồng thời là những điểm mà f đạt cực trị theo điều kiện đã cho.

Hàm F đạt cực trị khi biến phân của nó δF = 0.

Chuyển bài toán (2.132) về bài toán cực trị của F

Trong đó số hạng thứ nhất và thứ hai đóng vai trò của f và P i λ i ϕ i, còn E là thừa số bất định Lagrange Phép tính biến phân cho ta δF =δ

Lấy biến phân ψ và ψ ∗ độc lập với nhau, ta được

(2.137) với δψ lấy tuỳ ý là khác không, suy ra

(2.136) với δψ ∗ lấy tuỳ ý, nên suy ra

Tóm lại, bài toán biến phân (2.135) không có điều kiện tương ứng với bài toán biến phân có điều kiện δ

Giá trị cực tiểu của (2.140) với điều kiện (2.141) là giá trị đầu tiên của năng lượng, tức là mức năng lượng cơ bản E 0 Ta sẽ chứng minh phiếm hàm

I(ψ 0 ) Z ψ 0 ∗ Hψˆ 0 dq = E 0 là trị riêng cực tiểu của Hˆ Thực vậy, khai triển ψ theo hệ hàm riêng đủ và trực chuẩn {ψ n } của Hˆ: ψ X∞ n=0 a n ψ n và dùng điều kiện (2.141), ta thu được

Việc tính năng lượng E₀ trong trạng thái cơ bản liên quan đến việc tìm cực tiểu của phiếm hàm, với hàm sóng ψ 0 đại diện cho trạng thái cơ bản Dựa vào điều kiện cực tiểu, ta tiếp tục xem xét các đại lượng ψ₁, E₁, ψ₂, E₂, và các hàm sóng của các trạng thái dừng kích thích ψₙ không chỉ cần thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa mà còn phải đáp ứng điều kiện trực giao.

Các hàm ψ n này thực hiện các cực trị, chứ không phải cực tiểu Ta cụ thể hoá điều kiện (2.143):

Hàm ψ 1 buộc phải trực giao với ψ 0,

Hàm ψ 2 buộc phải trực giao với ψ 0 , ψ 1 ,

Hàm ψ 3 buộc phải trực giao với ψ 0 , ψ 1 , ψ 2 ,

Hàm ψ n buộc phải trực giao với ψ 0 , ψ 1 , , ψ n−1

Như vậy biết được các hàm ψ 0 , ψ 1 , , ψ n−1 ta tìm tiếp các trạng thái ψ tiếp theo sau và buộc chúng phải thoả mãn

Thực tế việc tính E 0 quy về việc tìm các hàm ψ, được gọi là các hàm thử.

Phương pháp biến phân có nhiều phương án cụ thể khác nhau, chủ yếu dựa vào cách chọn các hàm thử Thông thường, các hàm thử này được xác định dựa trên các thông số như α, β, và mục tiêu là tìm cực tiểu của phiếm hàm J(α, β, ).

J(α, β, ) Z ψ ∗ (q, α, β, ) ˆH ψ(q, α, β, )dq. Để tìm α, β, ta tính

∂β = = 0 và thu được α 0 , β 0 , Ta tìm được hàm thử E = J(α 0 , β 0 , ) rất gần E 0 và hàm sóngψ 0 (q, α 0 , β 0 , ) rất gần với ψ 0 Ta tiếp tục tìm E 1 , ψ 1 , E 2 , ψ 2 khi đã biết E 0 , ψ 0

|ψ 2 | 2 dq = 1, R ψ ∗ 2 ψ 1 dq =R ψ ∗ 2 ψ 0 dq = 0. Để cụ thể, ta xét thí dụ sau:

Dùng phương pháp biến phân để tìm trị riêng và hàm riêng của toán tử Hˆ của dao động điều hoà một chiều

2 x 2 , ta tìm hàm thử Trước hết có nhận xét là hàm thử phải thoả mãn các điều kiện chuẩn, trong đó có điều kiện ψ → 0 khi x → ±∞.

Hàm sóng của trạng thái cơ bản không có mút (xem phần dao động điều hoà) có dạng ψ(x, α) = Aexp

~ Trong trạng thái cơ bản E 0 = J(α 0 ) = (~ω)/2 và hàm sóng ψ 0 = ψ(x, α 0 ) mω π~

Tìm tiếp E 1 , ψ 1 Hàm ψ 1 phải trực giao với ψ 0 Chọn ψ 1(x, β) = Bxexp

, trong đó B 2 = (2/√ π)β 3/2 , do điều kiện chuẩn hoá R

J(β) Z ψ 1 ∗ Hψˆ 1 dx, với điều kiện cực tiểu

Cuối cùng ta thu được

Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

Phương pháp trường tự hợp Hartree là một kỹ thuật phổ biến để nghiên cứu hệ nhiều điện tử, trong đó các điện tử được coi là chuyển động độc lập trong trường hạt nhân theo phép gần đúng cấp không Bằng cách sử dụng các hàm sóng trong phương pháp này, ta có thể xác định mật độ điện tích và trường tĩnh điện trung bình do tất cả các điện tử tạo ra.

Trong phương pháp gần đúng tiếp theo, mỗi điện tử được xem như đang chuyển động trong trường hạt nhân và các trường do các điện tử khác tạo ra Nghiệm của phương trình Schrödinger trong trường hợp này cung cấp hàm sóng trong phép gần đúng cấp một.

Trong chương 2 của Cơ học lượng tử nâng cao, phương pháp biến phân được sử dụng để thu được phương trình Schrödinger trong trường tự hợp Cụ thể, nghiên cứu tập trung vào nguyên tử Hêli với giả thiết rằng mỗi điện tử đều ở trạng thái s mà không yêu cầu đối xứng hóa hệ hàm sóng Ở cấp độ gần đúng không, hai điện tử được mô tả bằng các hàm sóng thực ψ 1 (~r 1) và ψ 2 (~r 2), và hàm sóng tổng thể của nguyên tử được biểu diễn dưới dạng ψ = ψ 1(~r 1)ψ 2(~r 2).

Trong phép gần đúng (2.144), ta lấy biến phân các hàm ψ 1 và ψ 2 độc lập với nhau Phép tính cho

Do tính tuỳ ý của các biến phân, ta suy ra

Thay Hˆ từ (2.110), ta đi tới các phương trình sau, gọi là phương trình tự hợp Hartree h

(2.147) ở đây ta ký hiệu E 1 =E −H 22 , E 2 =E −H 11 và

− ~ 2 2m∇ 2 i − 2e 2 r i ψ i dV i , i = 1,2, trong đó E là năng lượng toàn phần của hệ hai điện tử trong trường hạt nhân, E 1 , E 2 là năng lượng của các điện tử riêng lẻ.

Các phương trình (2.147) chứng tỏ trong thế năng của mỗi điện tử có xuất hiện các số hạng bổ sung g 1(~r 1) Z ψ 2 2 e 2 r 12 dV 2 =e

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 54 g 2 (~r 2 ) Z ψ 2 1 e 2 r 12 dV 1 =e

Z ρ 1 (~r 1 ) r 12 dV 1 , (2.149) trong đó ρ i = e|ψ i| 2 , i = 1,2 là mật độ điện tích gây ra bởi một điện tử tại điểm có toạ độ ~r i

Năng lượng toàn phần của hệ bằng

Năng lượng tương tác tĩnh điện giữa các điện tử được biểu diễn bằng công thức Z ψ 1 2 ψ 2 2 r 12 dV 1 dV 2 và Z ρ 1 ρ 2 r 12 dV 1 dV 2 (2.151) Trong biểu thức của E 1 và E 2, năng lượng tương tác giữa các điện tử xuất hiện, dẫn đến việc năng lượng này được tính hai lần trong tổng E 1 + E 2 Do đó, năng lượng E của hệ cần được điều chỉnh thành E 1 + E 2 − G Đối với hệ gồm N điện tử, ta có thể áp dụng lập luận tương tự để thu được phương trình tự hợp Hartree cho điện tử thứ i trong trạng thái lượng tử n i.

# ψ n i =E n i ψ n i (2.152) a) Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fock xem xét sự đối xứng hoặc phản xứng của hàm sóng Đặc biệt, trong trường hợp đơn giản của hệ hai điện tử, các phép tính có thể được áp dụng dễ dàng cho hàm sóng đã được đối xứng hóa, được biểu diễn là ψ s (1,2) = 1.

2 [ψ 1 (1)ψ 2 (2)−ψ 2 (1)ψ 1 (2)] (2.154)Trong phép gần đúng cấp không, ở trạng thái cơ bản của nguyên tửHêli, hai điện tử ở trạng thái đồng dạng Hydro 1s Trạng thái này được ký

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2 trình bày một số phương pháp gần đúng, trong đó cấu hình điện tử được thể hiện qua các trạng thái điện tử và số lượng điện tử trong từng trạng thái Ví dụ, trạng thái kích thích thứ nhất của nguyên tử Hêli tương ứng với cấu hình (1s)¹(2s)¹ Các hàm sóng ψ s (1,2) và ψ a (1,2) thuộc về sơ đồ Young [2] và [1,1] Hàm sóng toàn phần, là tích của hàm tọa độ và hàm spin, phải phản xứng; do đó, hàm tọa độ đối xứng ψ s ứng với trạng thái có spin đối song (para trạng thái), trong khi hàm sóng tọa độ phản xứng ψ a ứng với trạng thái spin song song (ortho trạng thái).

Trong phép gần đúng cấp không, các trạng thái para và ortho với cấu hình (1s)¹(2s)¹ có năng lượng tương đương Tuy nhiên, khi xem xét tương tác giữa các điện tử, năng lượng của các trạng thái này sẽ khác nhau, với năng lượng của trạng thái para ψ para cao hơn năng lượng của trạng thái ortho ψ orth.

Khi xem xét các hàm sóng ψ para (1,2) và ψ orth (1,2), ta nhận thấy rằng khi hai điện tử có toạ độ trùng nhau, hàm ψ orth (1,2) bằng 0 trong khi hàm ψ para (1,2) đạt giá trị cực đại Điều này chỉ ra rằng trong trạng thái ψ orth(1,2), các điện tử thường ở xa nhau hơn so với trạng thái ψ para(1,2), dẫn đến năng lượng đẩy Coulomb trung bình của các điện tử trong trạng thái ψ orth(1,2) thấp hơn so với trạng thái ψ para(1,2) Sự khác biệt về năng lượng giữa các trạng thái para và ortho của cấu hình (1s)¹ (2s)¹ là kết quả của sự tương tác trong chuyển động của các điện tử, phát sinh từ các điều kiện về tính đối xứng của các hàm sóng đối với sự hoán vị các toạ độ không gian Nếu không xem xét tính đối xứng của các hàm sóng, sẽ không có sự khác biệt năng lượng như đã nêu.

Chọn hàm ψ a (có spin toàn phần S=1) làm hàm thử sao cho hàm này là gần đúng tốt nhất với hàm thực Dùng nguyên lý biến phân, ta xét min

Hˆ −E ψdV 1 dV 2 = 0,Thay ψ = ψ a và Hˆ bằng biểu thức trong (2.110) rồi lấy biến phân độc lập

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 56 δψ 1 , δψ 2 , ta thu được hai phương trình

Các phương trình Hartree-Fok (2.155) và (2.156) được xây dựng bằng phương pháp trường tự hợp, trong đó có sự bổ sung các tích phân trao đổi G ik so với phương trình Hartree (2.147) Phương pháp này được áp dụng phổ biến để tính toán hàm riêng và năng lượng của các nguyên tử phức tạp, cho kết quả tương thích cao với thực nghiệm Tuy nhiên, việc giải các phương trình Hartree-Fok yêu cầu sử dụng phương pháp tính số và máy tính.

Lý thuyết tán xạ lượng tử

Tán xạ là quá trình va chạm giữa các hạt, đóng vai trò quan trọng trong vật lý vi mô Khi hai hạt di chuyển từ xa lại gần nhau, sự tương tác trong quá trình này làm thay đổi trạng thái chuyển động của chúng Sau khi va chạm, các hạt sẽ tiếp tục di chuyển ra xa cho đến khi tương tác trở nên không đáng kể, và đây được gọi là trạng thái cuối cùng của quá trình tán xạ Nếu chỉ có sự thay đổi về xung lượng mà không có sự thay đổi nào về loại hạt hay trạng thái bên trong, tán xạ được xem là đàn hồi Ngược lại, nếu có sự thay đổi về loại hạt hoặc trạng thái bên trong, tán xạ được gọi là không đàn hồi.

Trong bài toán tán xạ dừng, người ta giả định có một dòng liên tục các hạt bay từ vô cực đến tâm tán xạ, sau đó chuyển thành dòng các hạt tán xạ bay ra mọi phía Để đảm bảo tính chính xác, mật độ của dòng hạt cần đủ nhỏ để bỏ qua tương tác giữa các hạt tới Nếu biết trường lực tán xạ, ta có thể tính toán dòng các hạt tán xạ ở khoảng cách vô cùng so với tâm tán xạ như một hàm của dòng các hạt tới.

Biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ

Tiết diện tán xạ

Sự tán xạ được đặc trưng bằng tiết diện tán xạ vi phân dσ(θ, ϕ) dσ(θ, ϕ) = dN tx(θ, ϕ) j t , (3.1)

Trong chương 3 của Cơ học lượng tử nâng cao, chúng ta nghiên cứu lý thuyết tán xạ lượng tử, trong đó dN tx (θ, ϕ) đại diện cho số hạt tán xạ trong một đơn vị thời gian trong góc khối dΩ(θ, ϕ) theo phương (θ, ϕ) Mật độ dòng các hạt tới được ký hiệu là j t, và chúng ta chọn trục z theo phương chuyển động của các hạt này, như minh họa trong hình 3.1.

Mật độ dòng các hạt tán xạ được ký hiệu là j tx (r, θ, ϕ) tại các khoảng cách lớn r so với tâm tán xạ có thể được biểu diễn bằng công thức dN tx(θ, ϕ) = j tx(r, θ, ϕ)dS, trong đó dS là diện tích vi cấp vuông góc với bán kính vectơ từ tâm tán xạ dưới các góc (θ, ϕ) Độ lớn của dS và phần tử góc khối dΩ liên hệ với nhau qua công thức dS = r² dΩ.

Do đó, tiết diện tán xạ vi phân được xác định bằng công thức dσ = j tx j t dS = j tx j t r 2 dΩ (3.3)

Trong cơ học lượng tử, j tx và j t theo thứ tự được gọi là mật độ dòng xác suất tán xạ và mật độ dòng xác suất tới.

Từ (3.3), ta thu được đại lượng σ = 1 j t

Tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần được định nghĩa bởi công thức S r j tx(r, θ, ϕ)dS r = Φ tx j t Trong đó, ds r = r 2 dΩ biểu thị độ lớn của phần tử diện tích vi cấp tại khoảng cách r so với tâm tán xạ.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3 khám phá lý thuyết tán xạ lượng tử, trong đó dòng hạt tán xạ qua một mặt kín bao quanh tâm tán xạ được mô tả bằng công thức Φ tx = H j tx dS r Mặt tích phân được giả định ở khoảng cách nhất định từ tâm tán xạ, cho phép coi các hạt tán xạ bay theo phương xuyên tâm tại mỗi điểm trên mặt này.

Tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần là tỷ lệ giữa xác suất tán xạ toàn phần của hạt trong một đơn vị thời gian và mật độ dòng xác suất của chùm hạt tới.

Khi tương tác giữa các hạt chỉ phụ thuộc vào khoảng cách, bài toán chuyển động của hai hạt có thể được phân tích thành hai bài toán chuyển động một hạt Bài toán đầu tiên xem xét chuyển động của một hạt với khối lượng rút gọn m ∗ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2) tại tâm quán tính, trong khi bài toán thứ hai nghiên cứu chuyển động tự do của tâm quán tính Nghiệm của bài toán đầu tiên cung cấp góc tán xạ θ trong hệ tâm quán tính Để chuyển đổi từ hệ tâm quán tính sang hệ phòng thí nghiệm, ta sử dụng các công thức tgθ 1 = m 2 sinθ / (m 1 + m 2 cosθ) và θ 2 = π − θ.

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tán xạ của các hạt va chạm trong hệ tâm quán tính Cụ thể, θ₁ là góc tán xạ của hạt thứ nhất và θ₂ là góc giật lùi của hạt thứ hai, cả hai được xác định trong hệ phòng thí nghiệm Góc lệch θ của hạt thứ nhất cũng sẽ được xem xét trong bối cảnh này.

Biên độ tán xạ

Chúng ta nghiên cứu bài toán tán xạ dừng của hạt tại tâm của trường lực, với tâm tán xạ cố định tại gốc tọa độ và trục z hướng theo phương của các dòng hạt tới Ở xa tâm lực, hạt tới chuyển động tự do, dẫn đến năng lượng của hạt luôn dương và có phổ liên tục do không bị lượng tử hóa, với hàm sóng của hạt có dạng sóng phẳng ψ t = e ikz.

Tương tác giữa hạt và tâm lực được mô tả qua hàm thế Uˆ(r), với giả định rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian hữu hạn khi r ≤ a, gọi là miền tác dụng lực Trong miền này, hạt sẽ bị tán xạ, dẫn đến sự thay đổi của hàm sóng của hạt.

Hạt tán xạ sau khi rời khỏi tâm lực sẽ chuyển động tự do, và dòng hạt tán xạ luôn có phương đi qua tâm tán xạ Do đó, chuyển động của hạt tán xạ cần được mô tả bằng một sóng cầu phân.

Trong chương 3 của Cơ học lượng tử nâng cao, lý thuyết tán xạ lượng tử được trình bày với công thức ψ tx = A(θ, ϕ)e i~ k~ r r (3.7) Trong đó, các tọa độ cầu r, θ, ϕ được sử dụng, và A(θ, ϕ) là biên độ tán xạ, thường phụ thuộc vào các góc θ và ϕ Đặc biệt, trong tán xạ đàn hồi, giá trị của k là không thay đổi trong các biểu thức (3.6) và (3.7).

Tán xạ đàn hồi của các hạt không có spin

Ở trong miền tác dụng của lực chuyển động (r ≤a), hạt tán xạ tuân theo phương trình

∇ 2 ψ(~r) + ˆU(~r)ψ(~r) =Eψ(~r), (3.8) trong đó m 0 là khối lượng của hạt tán xạ Chia hai vế (3.8) cho ~ 2 /(2m 0 ) và chuyển vế số hạng thứ nhất bên phải của phương trình, đặt k 2 = 2m 0 E

~ 2 , (3.9) ta suy ra dạng mới của (3.8)

Nghiệm của phương trình (3.10) tại các khoảng cách xa so với tâm tán xạ (r a ⇒Uˆ(~r) = 0), bằng tổng các hàm ψ t và ψ tx ψ =e ikz +A(θ, ϕ)e i~ k~ r r (3.11)

Trong biểu thức (3.11), số hạng đầu tiên bên phải diễn tả chuyển động của hạt tới trong toạ độ Descartes, trong khi số hạng thứ hai mô tả chuyển động của các hạt tán xạ trong hệ toạ độ cầu.

Mật độ dòng của các hạt tới j t = ~ 2m 0 i (ψ t ∗ ∇ψ t −ψ t∇ψ t ∗ ) (3.12)

Do chỉ phụ thuộc vào z nên nếu gọi ~e z là vectơ đơn vị theo phương z, thì

Trong chương 3 của Cơ học lượng tử nâng cao, lý thuyết tán xạ lượng tử được trình bày với vận tốc hạt tới ~v 0 Hàm sóng ψ t được chuẩn hoá để đảm bảo rằng mật độ dòng các hạt tới tương ứng với vận tốc của hạt tới ở vô cực.

Gradient trong hệ toạ độ cầu được xác định bằng công thức

Ta chỉ xét thành phần xuyên tâm~j r của dòng hạt tán xạ, nên

Thay ψ tx = A(θ, ϕ)e i~ k~ r /r, ta thu được

Thế kết quả tính được ở (3.13) và (3.16) vào (3.3), ta thu được biểu thức cho tiết diện tán xạ vi phân dσ(θ, ϕ) = |A(θ, ϕ)| 2 dS r 2 =|A(θ, ϕ)| 2 dΩ (3.17)

Việc xác định tiết diện tán xạ vi phân liên quan đến việc tìm biên độ tán xạ Để tính biên độ tán xạ, trước tiên cần tìm nghiệm của phương trình Schrödinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ Ở khoảng cách xa tâm, nghiệm sẽ có dạng (3.11), với hệ số của nhân tử exp(i~k~r).

/r cho ta biên độ tán xạ cần tìm.

Dựa vào phương pháp hàm Green, có thể viết nghiệm của phương trình (3.10) dưới dạng ψ = ψ 0+

~ 2 U(~r 0 )ψ(~r 0 )d 3 r 0 , (3.18) trong đó G(~r, ~r 0 ) là hàm Green mà ta sẽ xác định sau, còn ψ 0 là nghiệm của phương trình không có vế sau

∇ 2 +~k 2 ψ 0 = 0, nghiệm của phương trình này có dạng sóng phẳng exp(i~k~r) = exp(ikz) Đặt

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 62 Đặt ψ(~r) Z

Coi ~q là một vectơ nào đó với các thành phần q x , q y , q z còn d 3 q = dq x dq y dq z

Hệ hàm ϕ ~ q (~r) là một hệ hàm trực chuẩn, nghĩa là

Z ϕ ∗ ~ q 0 (~r)ϕ ~ q (~r)d 3 r = δ(~q 0 −~q) (3.22) Để tìm A ~ q , ta thay (3.21) vào vế trái của (3.19)

∇ 2 (A ~ q ϕ ~ q(~r)) +k 2 A ~ q ϕ ~ q(~r) d 3 q (3.23) Dùng (3.19) và chú ý rằng dòng tán xạ xuyên tâm nên

∂~r 2 e i~ q~ r =−q 2 e i~ q~ r , toán tử ∇ 2 = (∂ 2 )/(∂~r 2 ) không tác dụng lên A ~ q (θ, ϕ), ta viết lại (3.23)

Theo đó phương trình (3.19) trở thành

Nhân hai vế (3.25) với ψ ~ q ∗ 0(~r) = (2π) 1 3/2 exp(−i~q 0 ~r) rồi lấy tích phân theo d 3 r trên toàn vùng giá trị của ~r, ta được

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 63

F(~r)e −i~ q 0 ~ r d 3 r, chuyển ~q 0 thành ~q ta có biểu thức cho biên độ tán xạ

F(~r)e −i~ q~ r d 3 r (3.26) Thay kết quả tính được này vào (3.20) và lưu ý (3.21), ta có ψ(~r) Z Z 1

d 3 r 0 là biến tích phân, còn~r trong ψ(~r) là toạ độ của hàm ψ Từ (3.27), ta viết được ψ(~r) Z

Z e i~ q(~ r−~ r 0 ) k 2 −q 2 d 3 q, (3.29) thì (3.28) có thể viết lại thành ψ(~r) Z

Bây giờ ta xét ý nghĩa hàm Green.

Dạng của ψ(~r) tuỳ thuộc vào dạng của số hạng F(~r 0 ), còn hàm Green

G(~r, ~r 0 ) là một hàm có thể tính được Cụ thể nếu cho

Như vậy, hàm Green G(~r, ~r 0 ) là nghiệm của phương trình

∇ 2 +k 2 ψ(~r) = δ(~r −~r 0 ) Biểu thức của hàm Green theo (3.29) có dạng

Z e i~ q(~ r−~ r 0 ) k 2 −q 2 d 3 q, vectơ ~q thể hiện ở biến tích phân, ~r, ~r 0 là hai bán kính vectơ tuỳ ý Ta chọn thành phần ~q z trùng phương với ~r−~r 0 , còn d 3 q = q 2 dqsinθdθdϕ

~ q(~r −~r 0 ) = q|~r −~r 0 |cosθ =qχcosθ, trong đó ta đặt χ =|~r −~r 0 | Do đó

Z Z Z e iqχ cos θ k 2 −q 2 q 2 sinθdqdθdϕ =−e ikχ

4π|~r −~r 0 | (3.31) Vậy (3.30) bây giờ có thể viết ψ r(~r) =− 1

|~r−~r 0 |d 3 r 0 (3.32) Đây là nghiệm riêng của phương trình Schrõdinger có vế sau Nghiệm tổng quát của phương trình là tổng của hai nghiệm ψ(~r) =e ikz +ψ r (~r) =e ikz − 1

Xét trường hợp miền tác dụng của lực là một hệ có kích thước nhỏ

|~r 0 | |~r|, tại miền đó U(~r 0 ) 6= 0, ngoài miền đó U(~r 0 ) = 0 Từ hình vẽ 3.2, ta có |~r−~r 0 | =r −r 0 cosα vì r 0 cosα = ~r.~r 0 r nên |~r −~r 0 | ≈ r − ~r.~r 0 r

Khi xem xét |~r −~r 0 | ≈ r và định nghĩa ~n = ~r/r, ta có vectơ sóng ~k.(~r/r) = k~n = ~k r, đặc trưng cho phương truyền sóng của sóng cầu phân kỳ Tán xạ đàn hồi dẫn đến |~k n | = k Thay thế F(~r 0 ) (2m 0 U/~ 2 )ψ(~r 0 ) và các khai triển liên quan vào (3.33), ta thu được ψ(~r) = e ikz − e i~ k~ r.

Biên độ tán xạ A(θ, ϕ) có thể được xác định từ tiết diện tán xạ hiệu dụng, và ngược lại, nếu biết thế năng tương tác U(~r), ta có thể tính A(θ, ϕ) và tiết diện vi phân dσ Trong thực nghiệm, việc đo dσ cho phép tính toán biên độ tán xạ A(θ, ϕ), từ đó suy ra thế năng U(~r) Đây là phương pháp thực nghiệm hữu ích để khảo sát các thế năng tương tác U(~r) chưa được biết đến.

Tán xạ đàn hồi trong phép gần đúng Born

Mặc dù đã xác định được biểu thức tiệm cận của hàm sóng, nhưng vẫn chưa có được dạng cụ thể cho biên độ tán xạ Theo công thức (3.37), biên độ tán xạ được thể hiện thông qua hàm sóng ψ(~r) Việc giải chính xác phương trình Schrödinger và tìm A(θ, ϕ) là rất quan trọng trong hầu hết các bài toán.

Trong Cơ học lượng tử nâng cao, lý thuyết tán xạ lượng tử thường gặp khó khăn về mặt toán học, dẫn đến việc áp dụng các phương pháp gần đúng trong lý thuyết nhiễu loạn Một trong những phương pháp quan trọng nhất là phương pháp gần đúng Born, với giả thiết rằng thế năng tương tác U của hạt tán xạ với tâm trường lực là nhỏ Điều này cho phép coi thế năng tương tác U như một nhiễu loạn nhỏ, giúp duy trì chuyển động ban đầu của hạt ít thay đổi Nhờ đó, phương trình tích phân (3.35) có thể được giải quyết dễ dàng bằng phương pháp gần đúng liên tiếp.

Trong phép gần đúng cấp không, ta bỏ qua số hạng của hàm sóng có chứa thế năng, dẫn đến hàm sóng ψ 0 (~r) = e ikz = e i~ k 0 ~ r, với ~k 0 = k~n 0 = k~e z Ở cấp độ gần đúng một, hàm sóng ở vế phải của (3.35) được thay thế bằng hàm sóng ở cấp không ψ 0 (~r), tạo thành biểu thức ψ(~r) = e ikz − m 0 e i~ k~ r.

U(~r 0 )e i( ~ k 0 − ~ k)~ r 0 d 3 r 0 , (3.39) Trong phép gần đúng cấp một này, biên độ tán xạ bằng

U(~r 0 )e i~ ρ~ r 0 d 3 r 0 , (3.40) trong đó ta ký hiệu

Từ hình vẽ 3.3, môđun của vectơ va chạm ~ρ được xác định bằng hệ thức ρ =k|~n−~n 0 | = 2ksinθ

Vectơ P~ = ~~ρ được xác định là vectơ truyền xung lượng Khi thế năng không phụ thuộc vào các góc, tức là U = U(r), ta có thể thực hiện phép tích phân theo các góc trong công thức (3.40).

Trong phép gần đúng cấp một, biên độ tán xạ được xác định bởi thế năng luỹ thừa một Khi xem xét trường hợp có thế năng đối xứng cầu, biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc ϕ Bằng cách thay thế biểu thức (3.40) vào (3.17), ta thu được tiết diện tán xạ vi phân, được gọi là công thức Born: dσ = |A(θ, ϕ)|² dΩ = m²₀.

Công thức này được ứng dụng nhiều trong vật lý hạt nhân.

Trường hợp giá trị nhỏ của góc tán xạ thì dσ = 4m 2 0

2 dΩ (3.45) không phụ thuộc vào vận tốc hạt.

Tiếp tục các phép tính gần đúng, thay thế (3.39) vào (3.35) giúp xác định hàm sóng và biên độ tán xạ ở cấp độ gần đúng hai, thông qua tích phân của bình phương thế năng tương tác Tương tự, các hiệu chính có thể được tìm ra với các cấp tiếp theo.

Để ứng dụng công thức Born, cần xem xét điều kiện liên quan đến thế năng tương tác của hạt tán xạ với trường tán xạ Trong phép gần đúng Born, thế năng này được giả định là nhỏ và có thể coi như một nhiễu loạn Theo (3.10), thế năng Uˆ(~r) sẽ được xem là nhiễu loạn nếu một trong hai điều kiện sau được thực hiện.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 68 hay

|U| ~v a = ~ 2 m 0 a 2 ka (với ka 1), (3.47) trong đó a là bán kính tương tác của trường U, còn U có cấp độ lớn của trường trong miền tồn tại cơ bản của nó.

Biểu thức ~ 2 /(m 0 a 2 ) thể hiện mối quan hệ giữa cấp độ lớn và độ sâu cực tiểu của giếng thế bán kính a, nơi xuất hiện mức năng lượng Điều này chỉ ra rằng để ứng dụng phép gần đúng Born cho các hạt tán xạ chậm, năng lượng tương tác trung bình cần phải nhỏ hơn thế năng cực tiểu của hạt trong giếng thế, nơi hình thành trạng thái liên kết Khi điều kiện này được thỏa mãn, phép gần đúng Born có thể áp dụng cho tất cả các vận tốc.

Phương pháp sóng riêng phần

Ngoài lý thuyết gần đúng, lý thuyết tán xạ pha hay lý thuyết tán xạ các sóng riêng phần đã được phát triển, không đặt ra giả thiết nào cho thế năng tương tác U, cho phép ứng dụng với mọi giá trị năng lượng của các hạt tán xạ Sơ đồ lý thuyết tán xạ không khác biệt so với các mô hình trước đó Hàm sóng của hạt tán xạ ở xa tâm được biểu diễn là ψ(~r) = e ikz + A(θ)e i~ k~ r r, với trường tán xạ đối xứng xuyên tâm theo phương z, khiến biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc ϕ Mặc dù U(~r) = U(r), nghiệm ψ của phương trình Schrödinger khác với nghiệm trong trường xuyên tâm, vì chỉ xem xét chuyển động vô hạn và các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện biên, đảm bảo dáng điệu của nghiệm (với r → ∞) được xác định bởi công thức (3.48).

Ta đã biết trong trường đối xứng xuyên tâm, nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger có dạng ψ(r, θ, ϕ) = X

Trong chương 3 của Cơ học lượng tử nâng cao, lý thuyết tán xạ lượng tử được trình bày với các hệ số không đổi b `m xác định dựa trên các điều kiện biên và chuẩn hoá Hàm sóng không phụ thuộc vào góc ϕ, dẫn đến việc chỉ còn lại các số hạng với m = 0, tức là chỉ có các hàm cầu.

4π P `(cosθ), (3.50) trong đó P ` (x) là đa thức Legendre xác định bởi công thức

Do đó công thức (3.49) trở thành ψ(r, θ) = X

Mỗi số hạng trong tổng (3.52) được gọi là sóng riêng phần thứ ` Tất cả nghiệm của phương trình (3.10) có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất các hàm sóng của phổ liên tục, tương ứng với chuyển động trong trường đã cho của các hạt có năng lượng (~ 2 k 2 )/(2m 0) với các giá trị ` khác nhau của mômen quỹ đạo có hình chiếu m = 0.

Dạng tiệm cận của ψ(r, θ) khi r → ∞ là ψ(r → ∞, θ) ≈

`=0 b ` P `(cosθ)a ` sin (kr +δ ` −π`/2) r Đưa ký hiệu b ` a ` = C ` /k, công thức trên trở thành ψ(r → ∞, θ) ≈

Khai triển hàm exp(ikz) trong (3.48) theo các đa thức Legendre, ta có e ikz =e ikr cos θ X∞

`=0 f ` (r)P ` (cosθ) (3.54) Để tính được f ` (r), ta đổi biến số x = cosθ, (3.54) trở thành e ikz =e ikrx X∞

Nhân P ` 0 (x) với (3.55) rồi lấy tích phân theo x, ta có

P `(x)e ikrx dx (3.56) Phép tính vế phải của (3.56) với r lớn cho ta kết quả f ` (r) = 2`+ 1

2 e i`π/2 e i(kr−`π/2) −e −i(kr−`π/2) ikr , f ` (r) = i ` (2`+ 1)sin(kr−`π/2) kr (3.57)

Trong số hạng thứ hai vế phải của biểu thức hàm sóng (3.48), ta khai triển biên độ tán xạ A(θ) theo các đa thức Legendre Khai triển có dạng:

`=0 g ` P `(cosθ), (3.59) trong đó g ` là các hằng số Thay các biểu thức (3.58) và (3.59) vào (3.48), ta thu được công thức tiệm cận sau đây cho hàm ψ của hạt tán xạ ψ(r, θ) X∞

Biểu diễn hàm sin trở lại hàm e mũ và i ` = exp(i`π/2) rồi cân bằng hai biểu thức (3.60) và (3.53), ta tính được g ` = 2`+ 1

, (3.61) trong đó δ ` là góc pha ứng với sóng riêng phần thứ ` Cuối cùng, thay biểu thức (3.61) vào (3.59), ta được công thức cho biên độ tán xạ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 71 và suy ra tiết diện tán xạ vi phân dσ(θ) = 1

Tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần σ thu được bằng cách lấy tích phân (3.62) theo toàn bộ góc khối 4π Với dΩ = 2πsinθdθ = −2πd(cosθ), ta có σ Z 4π 0 dσ = 1

P ` (x)P ` 0 (x)dx Đối với các đa thức Legendre, ta có tính chất

Nên kết quả trên có thể viết lại σ = π k 2

Chuyển sang hàm sin, ta được công thức σ = 4π k 2

Ta gọi tiết diện tán xạ riêng phần σ ` = 4π k 2 (2`+ 1) sin 2 δ ` , (3.65) thì tiết diện tán xạ toàn phần là tổng của các tiết diện tán xạ riêng phần σ X∞

Giá trị cực đại của tiết diện tán xạ riêng phần của hạt có mômen `

Việc tính pha trong lý thuyết tán xạ là một thách thức lớn, đặc biệt khi số lượng hạng của chuỗi chính yếu giảm, dẫn đến sự hội tụ nhanh hơn Khi năng lượng của hạt tăng, mômen của các hạt tán xạ cũng tăng theo Điều này cho thấy rằng số lượng hạng chính yếu trong chuỗi sẽ ít hơn khi năng lượng của hạt tán xạ thấp Do đó, lý thuyết tán xạ sóng riêng phần trở nên cực kỳ quan trọng trong việc nghiên cứu các hạt tán xạ chậm.

Còn về hàm sóng, thay (3.61) vào (3.60), ta thu được biểu thức tiệm cận (r → ∞) cho hàm sóng ψ ψ(r, θ) X∞

Số hạng đầu tiên trong công thức (3.68) biểu thị sóng cầu hội tụ với biên độ (−1), trong khi số hạng thứ hai thể hiện sóng cầu phân kỳ với biên độ S = e 2iδ Cả hai biên độ đều có môđun bằng đơn vị, dẫn đến hàm ψ mô tả tán xạ đàn hồi có dạng sóng đứng được tạo ra từ sự chồng chất của các sóng cầu hội tụ và sóng cầu phân kỳ.

Theo công thức của hàm sóng như trên, ta thu được mật độ dòng xác suất tương ứng với sóng hội tụ bằng

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 73 trong đó ~e r là vec tơ đơn vị của bán kính vec tơ ~r.

Tương tự, ta thu được biểu thức cho mật độ dòng xác suất tương ứng với sóng phân kỳ bằng

Hai vectơ mật độ dòng ~j sđ và ~j pk chỉ khác nhau về hướng, dẫn đến dòng xác suất tương ứng với hàm sóng (3.68) qua bất kỳ mặt nào, bao gồm mặt cầu bán kính R, đều bằng không Điều này cho thấy trong tán xạ đàn hồi, số hạt bay ra từ tâm tán xạ bằng số hạt bay vào tâm đó.

Cơ học lượng tử tương đối tính

Các chương trước đã nghiên cứu tính chất của các hạt vi mô có khối lượng nghỉ khác không và chuyển động với vận tốc rất nhỏ so với ánh sáng Những hạt này tuân theo phương trình Schrödinger, phương trình cơ bản của cơ học lượng tử cổ điển Tuy nhiên, với sự phát triển của các máy gia tốc hiện đại, vận tốc của các hạt này có thể đạt gần vận tốc ánh sáng, khiến cho cơ học lượng tử cổ điển và phương trình Schrödinger không còn áp dụng được Hơn nữa, phương trình Schrödinger cũng không tính đến spin của các hạt, điều này là một thiếu sót quan trọng Trong cơ học lượng tử cổ điển, phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động tự do có khối lượng m0 được suy từ mối tương quan cổ điển.

Ta tìm được phương trình Schrõdinger i~∂ψ

Từ phương trình này, ta suy ra được phương trình liên tục cho vectơ mật độ dòng xác suất

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 75

Phương trình Klein-Gordon (K-G)

Theo thuyết tương đối của Einstein, các phương trình mô tả quy luật vật lý cần phải bất biến tương đối tính, nghĩa là phải giữ nguyên hình thức khi thực hiện phép quay trong không gian bốn chiều Minkowski hoặc biến đổi Lorentz Để đảm bảo tính bất biến, các phương trình phải được trình bày dưới dạng bốn chiều Tuy nhiên, các phương trình (4.3), (4.4) và (4.5) không đáp ứng yêu cầu này do sự không đồng nhất trong phép lấy đạo hàm theo bốn tọa độ x1 = x; x2 = y; x3 = z; x4 = ict Để xây dựng phương trình lượng tử tương đối tính cho hạt vi mô chuyển động tự do với vận tốc lớn, cần tìm biểu thức cổ điển của Hamiltonian (4.1) và chuyển đổi nó thành biểu thức tương đối tính tương ứng.

H 2 = c 2 p 2 +m 2 0 c 4 (4.6) Theo đó, phương trình lượng tử tương đối tính có thể được viết

Ta đưa vào toán tử d’Alembert

Theo đó, (4.8) có thể viết lại

Toán tử Klein-Gordon, ký hiệu là ∇²α - m²c²/ħ², được sử dụng trong phương trình Klein-Gordon (4.10) Phương trình này mang tính bất biến tương đối, do toán tử Klein-Gordon là một toán tử vô hướng bốn chiều.

Để tìm hiểu ý nghĩa vật lý của phương trình Klein-Gordon (4.10), chúng ta tiến hành nhân hai vế của phương trình (4.8) với ψ ∗ và nhân hai vế của phương trình liên hiệp phức của (4.8) với ψ, sau đó trừ kết quả thu được từ hai phép nhân này.

Nhân hai vế phương trình trên với ie~/(2m 0 ) và đưa vào mật độ điện tích w e = ie~

(4.12) và mật độ dòng điện

Trong trường hợp cổ điển, v c ⇒ E = m 0 c 2 1 +v 2 /(2c 2 ) + giúp cho ta rút ra được từ (4.12) biểu thức w e → w = e|ψ| 2 hoàn toàn phù hợp với phương trình cơ lượng tử cổ điển (4.5).

Tuy nhiên, từ mật độ điện tích w e có thể suy ra mật độ xác suất w m =w e /e w m = i~

Đại lượng (4.15) chứa ψ và (∂ψ)/(∂t) là những đại lượng độc lập, vì vậy nó có thể có giá trị dương hoặc âm Do đó, đại lượng này không thể được coi là mật độ hạt.

Phương trình Dirac

Phương trình K-G gặp khó khăn với mật độ xác suất âm, yêu cầu tránh đạo hàm theo thời gian trong biểu thức của w m Do đó, hàm sóng chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian, và theo thuyết tương đối, các đạo hàm theo không gian cũng phải là bậc nhất Hơn nữa, nguyên lý chồng chất trạng thái yêu cầu phương trình phải tuyến tính Vì vậy, phương trình sóng cần được xác định là một phương trình vi phân tuyến tính theo thời gian và các tọa độ không gian.

Trên cơ sở những nhận định như vậy, Dirac đã đưa ra phương trình sau đây để mô tả chuyển động của một hạt tự do i~∂ψ

∂z +β 0 0 ψ (4.16) Để thuận tiện, ta viết i~∂ψ

Trong Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4, các toán tử hình chiếu xung lượng pˆx, pˆy, pˆz được xác định trên các trục tọa độ, trong khi các toán tử βˆx, βˆy, βˆz không chứa tọa độ Tính chất của các toán tử βˆi (với i = x, y, z) sẽ được xác định sau.

Nếu Hˆ thực sự là Hamiltonian, thì theo lý thuyết tương đối, ta có

+m 2 0 c 4 (4.20) Bình phương (4.18) và đối chiếu với (4.20), ta có βˆ x 2 = ˆβ y 2 = ˆβ z 2 = c 2 ; βˆ 0 2 =m 2 0 c 4 ; βˆ i βˆ j + ˆβ j βˆ i = 0, i 6=j và βˆ i βˆ 0 + ˆβ 0 βˆ i = 0; i, j =x, y, z. Đặt β i = cαˆ i và βˆ 0 =m 0 c 2 β,ˆ (4.21) ta có ˆ α i βˆ+ ˆβαˆi = 0; αˆ 2 i = ˆβ 2 = 1, ˆ α i αˆj + ˆα j αˆi = 0 với i 6= j.

(4.22) Dựa vào (4.21) và (4.22), phương trình (4.17) có thể được viết lại i~∂ψ

∂t h c( ˆα x pˆ x + ˆα y pˆ y + ˆα z pˆ z ) +m 0 c 2 βˆ i ψ, (4.23) Đây là phương trình Dirac Nếu đặt

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các toán tử αˆ x, αˆ y, αˆ z và βˆ trong phương trình Schrödinger, cụ thể là phương trình ∂t = ˆHψ với Hamiltonian Hˆ = c~αˆ~pˆ + m0c²βˆ Mục tiêu là xác định dạng cụ thể của các toán tử này dưới hình thức tập hợp các hằng số.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 78 là phức, nghĩa là dưới dạng các ma trận vuông có dạng ˆ α x 

Để xác định số n, trước tiên cần đảm bảo rằng các ma trận αˆ và βˆ có cùng số chiều n Việc xác định n yêu cầu đối ứng các ma trận αˆ và βˆ với các định thức tương ứng của chúng.

Ta nhớ lại một tính chất của các định thức det( ˆα x β) =ˆ det( ˆα x ).det( ˆβ) (4.25)

Dựa vào các quy tắc giao hoán, ta có thể viết ˆ α x βˆ = −βˆαˆx = −Iˆβˆαˆx, trong đó Iˆ là ma trận đơn vị cấp n Áp dụng hệ thức, ta có det( ˆα x β) =ˆ det( ˆα x )det( ˆβ) =det( ˆβ)det( ˆα x ) = det(−Iˆ)det( ˆβ)det( ˆα x ) Vì các định thức là số phức nên chúng giao hoán, từ đó suy ra det(−Iˆ) = 1 ⇔(−1) n = 1 với n chẵn Đối với trường hợp n= 2, các ma trận cần tìm là hạng 2, và chúng ta đã gặp các ma trận hạng 2, cụ thể là các ma trận Pauli ˆ σ x.

Mặc dù các ma trận này không đáp ứng các điều kiện phản giao hoán (4.22), chúng không phải là các toán tử σˆi và βˆ mà chúng ta cần tìm Trong trường hợp n = 4, có thể xây dựng các ma trận thỏa mãn các tính chất yêu cầu tại (4.22), cụ thể là các ma trận do Dirac đề xuất.

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 79 ˆ α z 

Dùng các ma trận Pauli, ta có thể viết gọn hơn ˆ α x 0 σˆ x ˆ σ x 0

Các ma trận αˆ i và βˆ là các ma trận hermitic, có nghĩa là khi chuyển vị và lấy liên hiệp phức, chúng trở lại với dạng ban đầu Cụ thể, ta có các phương trình: ˆ α + x = ˆα x, αˆ + y = ˆα y, αˆ + z = ˆα z, và βˆ + = ˆβ Việc sử dụng các ma trận hạng 4 này cho phép phương trình Dirac mô tả các tính chất của các hạt có spin 1/2, và lý thuyết vẫn giữ nguyên tính hợp lệ với n > 4.

Bây giờ, với n= 4, và các ma trận Dirac hạng 4 đã chọn như trên, hàm sóng của hệ vi mô có thể được mô tả bởi một lưỡng spinơ Dirac ψ 

Theo đó, các phương trình (4.23) có thể được viết lại i~∂

Do đó, ta rút ra được i~ ∂ψ ∂t 1 = c(ˆp x −ipˆ y )ψ 4 + cpˆ z ψ 3 + m 0 c 2 ψ 1 i~ ∂ψ ∂t 2 = c(ˆp x +ipˆ y )ψ 3 − cpˆ z ψ 4 + m 0 c 2 ψ 2 i~ ∂ψ ∂t 3 = c(ˆp x −ipˆ y )ψ 2 + cpˆ z ψ 1 − m 0 c 2 ψ 3 i~ ∂ψ ∂t 4 = c(ˆp x +ipˆ y )ψ 1 − cpˆ z ψ 2 − m 0 c 2 ψ 4

Phương trình Dirac có thể dễ dàng mở rộng cho trường hợp hạt mang điện trong trường điện từ bằng cách thay thế toán tử ~pˆ bằng ~pˆ− (e/c)A~ˆ và bổ sung toán tử eϕ vào toán tử Hˆ Trong đó, A và ϕ lần lượt đại diện cho thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ Kết quả là phương trình Dirac cho hạt điện vi mô chuyển động trong trường điện từ được biểu diễn bởi i~∂ψ.

Muốn đưa phương trình Dirac về dạng đối xứng hơn, ta nhân bên trái (4.33) với toán tử βˆ i~βˆ∂ψ

+eϕβˆ+m 0 c 2 βˆ 2 i ψ, (4.34) và đưa vào các ma trận sau ˆ γ 1 =−iβˆαˆ x ; γˆ 2 =−iβˆαˆ y ; ˆγ 3 =−iβˆαˆ z ; γˆ 4 = ˆβ.

Các ma trận γˆi (i = 1,2,3,4) thoả mãn hệ thức giao hoán ˆ γ iˆγ k + ˆγ kˆγ i = 2δ ik (4.35)

Dựa vào các ma trận ˆγ i , ta có thể viết lại phương trình Dirac (4.23)

∂t = 0, (4.36) với lưu ý x 4 = ict, ta viết được phương trình Dirac dưới dạng bốn chiều của hạt chuyển động tự do ˆ γ à

~ ψ = 0, (4.37) trong đú số hạng đầu là phộp lấy tổng theo à= 1,2,3,4.

Còn trong trường hợp hạt chuyển động trong trường điện từ, ta đưa vào toỏn tử pˆ à = (~/i)(∂/∂x à ) và thế bốn chiều Aˆ à ( ˆA x ,Aˆ y ,Aˆ z , iϕ/c), ta cú thể viết lại (4.33) dưới dạng h ˆ γ à ˆ p à − e c

Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất trong lý thuyết Dirac 81

Lấy liên hợp hermitic phương trình Dirac (4.24) i~∂ψ

Vì các toán tử ~αˆ và βˆ là hermitic, nên ta có

Nhân bên trái phương trình (4.39) với ψ + và bên phải phương trình (4.41) với ψ, sau đó trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất, ta nhận được: i~ ψ + ∂ψ.

∂t ψ + ψ Suy ra phương trình (4.42) trở thành

(4.43) Đặt w =ψ + ψ và ~j =cψ + αψ.~ˆ (4.44) Phương trình (4.43) được viết lại dưới dạng

Mật độ xác suất tương đối tính được định nghĩa bởi công thức  = |ψ 1| 2 + |ψ 2| 2 + |ψ 3| 2 + |ψ 4| 2 ≥ 0, cho thấy đây là một đại lượng không âm Đồng thời, ~j được gọi là mật độ dòng xác suất tương đối tính cho hạt có hàm sóng ψ.

Trong lý thuyết Schrödinger, hàm sóng được hiểu là xác suất, và từ tính chất tuyến tính của phương trình Dirac, chúng ta có thể khẳng định rằng các nguyên tắc cơ bản của cơ học lượng tử vẫn giữ nguyên giá trị trong lý thuyết Dirac.

1 Đại lượng |C m(t)| 2 , trong đó C m(t) là hệ số khai triển của hàm sóng theo hệ hàm riêng {ψ m(~r, t)} của một toán tử hermitic nào đó ψ(~r, t) = X m

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 83 vẫn được hiểu là xác suất đo được một trị riêng nào đó.

2 Giá trị trung bình được xác định bằng

Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do 83

Xét phương trình Dirac của hạt vi mô chuyển động tự do i~∂ψ

Thay ψ = exp(−iEt/~)ψ 0 vào (4.47), ta thu được phương trình cho hàm sóng ψ 0 không phụ thuộc thời gian cα~ˆ~pˆ+m 0 c 2 βˆ ψ 0 =Eψ 0 (4.48)

Ta xét các trạng thái có xung lượng ~p xác định và tìm nghiệm của phương trình (4.48) dưới dạng sóng phẳng ψ 0 =uexp i~p~r

, (4.49) trong đó u là spinơ bốn thành phần u 

 (4.50) với u 1 , u 2 , u 3 , u 4 là các hằng số, còn các thành phần của ~p chỉ là các con số.

Thế ψ 0 ở (4.49) vào (4.48), ta thu được phương trình

Từ đó rút ra hệ các phương trình

Cơ học lượng tử tương đối tính trong chương 4 tập trung vào bốn ẩn không đổi u i (i = 1,2,3,4) Để đạt được nghiệm không tầm thường cho hệ, cần xem xét định thức m 0 c 2 − E 0 cp z c(p x − ip y).

0 m 0 c 2 −E c(p x+ip y) −cp z cp z c(p x−ip y) −m 0 c 2 −E 0 c(p x+ip y) −cp z 0 −m 0 c 2 −E

Từ đây suy ra các trị riêng suy biến hai lần của E

Vậy ứng với mỗi giá trị xung lượng xác định của ~p, có giá trị năng lượng suy biến hai lần E + và giá trị năng lượng suy biến hai lần E −.

Sự suy biến của các giá trị riêng của năng lượng E + và E − cho thấy năng lượng điện tử không phụ thuộc vào định hướng spin của nó Spin có thể được chiếu lên một trục nào đó và nhận hai giá trị ±~/2 Ý nghĩa của dấu năng lượng lại sâu sắc hơn, liên quan đến năng lượng của điện tử và positron - phản hạt của điện tử, với hàm sóng tương ứng với 4 spinơ trực chuẩn u (i) cho i = 1, 2, 3, 4.

Với năng lượng E + , hạt có hai hàm riêng tương ứng với hai spinơ u (1) s m 0 c 2 +E +

Với năng lượng E −, hạt có hai hàm riêng tương ứng với hai spinơ u (3) s m 0 c 2 +E −

Tại giới hạn cổ điển (|~p| mc), các thành phần thứ ba và thứ tư của u(1), u(2) cũng như các thành phần thứ nhất và thứ hai của u(3), u(4) đều có giá trị rất nhỏ, với cấp độ (|~p|/mc) 1.

Spin của hạt được mô tả bằng phương trình Dirac

Khái niệm spin đã được sử dụng rộng rãi trong vật lý, đặc biệt là để mô tả các sự kiện thực nghiệm Bài viết này chứng minh rằng sự tồn tại của spin có thể được suy ra trực tiếp từ phương trình Dirac Để làm điều này, chúng ta xem xét các định luật bảo toàn được rút ra từ phương trình Dirac Đối với các hạt chuyển động trong chân không, mômen của hạt được bảo toàn, do đó, toán tử mômen toàn phần của hạt giao hoán với Hamiltonian.

Xét giao hoán giữa Lˆ và Hˆ Để đơn giản, ta xét hạt chuyển động tự do Chọn trục z có hướng tuỳ ý, ta có

Vì Lˆ z = (~/i)[y(∂/∂x)] giao hoán với βˆ và αˆ z pˆ z , nên

Dùng các tính chất giao hoán hLˆ z ,pˆ x i

= −i~pˆ x để thế vào (4.57), ta suy ra

Kết quả tương tự thu được cho các hình chiếu khác của mômen xung lượng.

Mômen xung lượng của hạt tự do trong trường hợp này không phải là tích phân chuyển động và không được bảo toàn, do đó chúng ta cần xem xét khái niệm mômen toàn phần.

J = ~Lˆ +S~ˆ trong đóS~ˆlà toán tử chưa biết, với điều kiện sao cho hJ,~ˆ Hˆ i

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 86 hJˆ z ,Hˆi

Từ (4.58) ta rút ra kết quả

HˆSˆ z −Sˆ z Hˆ = i~c( ˆα x pˆ y −αˆ y pˆ x ) (4.59) Để thoả mãn (4.59), ta đặt

Sˆz =Aαˆx αˆy , (4.60) trong đó A là hằng số chưa biết.

Dùng các hệ thức giao hoán (4.22) cho các toán tử αˆ i ,β, ta thu đượcˆ

So sánh biểu thức này với (4.59), ta suy ra A= −i~/2 Vậy toán tử Sˆ z bằng

Bằng cách tương tự, ta thu được

Dùng các tính chất của các toán tử αˆ x ,αˆ y ,αˆ z , chúng ta thu được

Mômen toàn phần của hạt, ký hiệu là J~, được xác định là tổng của mômen quỹ đạo và mômen spin, và nó được bảo toàn theo thời gian Các toán tử Sˆ z và Sˆ 2 được chuyển về dạng chéo, cho phép hình chiếu của spin lên trục z có hai giá trị ±~/2 Trị riêng của toán tử Sˆ 2 có dạng ~ 2 s(s+ 1), với s = 1/2, cho thấy rằng hạt có spin bằng ~/2.

Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli Mô-

Pauli Mômen từ của hạt

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khảo sát phương trình Dirac trong giới hạn gần đúng cổ điển (v c) Chúng ta sẽ xem xét trường hợp tổng quát khi hạt vi mô mang điện tích e di chuyển trong trường điện từ với thế vectơ A~ˆ và thế vô hướng ϕ.

Từ (4.33), phương trình Dirac cho hạt mang điện chuyển động trong trường điện từ i~∂ψ

, φ, χ là các spinơ hai thành phần, (4.66) và lưu ý i~∂ψ

∂t = Eψ, (4.67) khi ở trạng thái dừng Thế (4.66) và (4.67) vào (4.65), ta có

Gọi ε là động năng của hạt, theo thuyết tương đối, ta có

Trong gần đúng cổ điển E −eϕ −m 0 c 2 m 0 c 2 , nghĩa là vận tốc của điện tử v c và trường gây bởi thế ϕ đủ nhỏ Khi đó hệ phương trình (4.68), (4.69) chuyển thành εφ =c~σˆ

Thay giá trị của χ từ phương trình (4.71) vào phương trình (4.70), ta tìm được phương trình chỉ chứa hàm spinơ φ εφ 

φ (4.72) Đối với các ma trận Pauli, dùng hệ thức

~a×~b để áp dụng vào (4.72) sẽ thu được h~σˆ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 89 trong đó B~ là vectơ cảm ứng từ trường và ta đã sử dụng

Thế kết quả (4.73) vào (4.72), ta rút ra được phương trình cổ điển cho chuyển động của hạt có spin 1/2 trong trường điện từ εφ 

φ (4.74) Đây là phương trình Pauli trong cơ lượng tử phi tương đối tính.

Trong gần đúng phi tương đối, phương trình Dirac tự động chuyển thành phương trình Pauli, cho thấy mối liên hệ giữa hai phương trình Hơn nữa, phương trình Dirac không chỉ chứng minh sự tồn tại của spin mà còn chỉ ra sự hiện diện của mômen từ riêng, được biểu diễn bởi công thức s = (e~)/(2m₀c) của hạt.

Tiêu đề	Cơ Học Lượng Tử Nâng Cao
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Cơ Học Lượng Tử
Thể loại	Môn Học

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	808,81 KB