Khoá luận tốt nghiệp hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP H C C M ĐỀ TÀI: U ve ni HỆ THỐNG HĨA CÁC BÀI TỐN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER rs ity ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU ca du fE O tio n SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ GVHD: TS Lƣơng Lê Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 Mục lục Lời cảm ơn Phần mở đầu I Cơ sở phương pháp Nikiforov–Uvarov H 10 C Kết luận chương I M C II Giải phng trỡnh Schră odinger cho cỏc h th nng khỏc 11 Hạt hố sâu vô hạn Hàng rào - Hiệu ứng đường ngầm 14 Dao động tử điều hòa 24 Thế Woods–Saxon 30 Thế Morse 36 Th nng PăoschlTeller 42 Thế Coulomb 48 Thế Hulthen 54 Thế Kratzer 60 10 Dao động giả điều hòa 67 ity rs ve ni U 11 ca du fE O n tio Kết luận chương II 73 III Kết luận 74 IV Tài liệu tham khảo 76 Phụ 77 Lời cảm ơn Để luận văn đạt kết tốt đẹp, suốt trình thực em nhận nhiều quan tâm, động viên, giúp đỡ q thầy cơ, gia đình bạn bè Với lịng sâu sắc đó, cho em xin bày tỏ lịng biết ơn đến: Trước hết thầy, TS Lương Lê Hải, người định hướng, dạy em suốt trình thực luận văn Hơn hết, thầy người truyền cho em tự tin niềm đam mê, đồng thời thầy người trực tiếp hướng dẫn em từ ngày đầu H Thứ hai, q thầy, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM C truyền đạt cho em kiến thức, kĩ phương pháp sư phạm tảng cho M tương lai nghề nghiệp Đặc biệt, TS Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, tạo điều C ve ni U kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn Bên cạnh, người quan tâm em, giúp đỡ em thật nhiều suốt bốn rs ity năm đại học, thời gian em làm khóa luận du fE O Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn ca Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018 tio Huỳnh Trúc Như n Phần mở đầu Lý chn ti Phng trỡnh Schrăodinger l phng trỡnh động lực học dùng để mô tả tính chất hệ học lượng tử, tương tự phương trình định luật II Newton học cổ điển Đối với hệ cổ điển, thông qua việc giải phương trình II Newton ta biết tính chất chuyển động vật hệ vật Tuy nhiên, hạn chế phương trình định luật II Newton dùng để mơ tả chuyển động vật có kích thước khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô) Do vậy, nghiên H cứu đến tính chất vật có kích thước vi mơ, điển hình nghiên cứu chuyển C động hạt electron (các hạt bản), ta khơng thể dùng phương trình II Newton để M mơ tả mà phải thơng qua việc giải phương trình Schrăodinger tỡm c hm súng C U (nghim ca phương trình) giá trị lượng (trị riêng), từ ta khảo ve ni tính chất hệ xét hay tìm tính chất Chính mà việc giải phương trỡnh Schrăodinger cho n l iu cn thit v quan trọng [1] ity rs Dựa kiến thức c bn vic gii phng trỡnh Schrăodinger vi cỏc O fE hố như: hố sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào du mà ta xây dựng phương trỡnh Schrăodinger cho nhng h th phc hn Vớ ca dụ xét hạt chuyển động trường xuyên tâm, hay nghiên cứu đến tương tio tác neutron với hạt nhân, tán xạ nguyên tử phân tử gồm hai nguyên tử n Tuy nhiên, chương trình đại học, sinh viên lại chưa có hội nhiều để tiếp xúc với dạng hố Do đó, đề tài luận văn mục ớch l h thng li vic gii phng trỡnh Schrăodinger cho hố nhau, hố học chương trình đại học, luận văn đưa vào dạng hố khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse [6], [12], Pă oschlTeller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] dao động giả điều hòa [10] Với mục đích đưa đến nhiều dạng hố khác đến gần với sinh viên, tài liệu tham khảo bổ ích Mặt khác, vấn đề quan tâm việc gii phng trỡnh Schrăodinger chớnh l phng phỏp gii chương trình đại học, hố sâu vơ hạn hàng rào thế, toán giải cách giải phương trình vi phân cấp hai Riêng mơ hình dao động tử điều hịa, hai phương pháp sử dụng giải tích áp dụng tốn tử sinh hủy Tuy nhiên, phương pháp giải tích áp dụng cho số hố khác lại gặp khó khăn việc tính tốn, số phương pháp khác cho nghiệm gần Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải phng trỡnh Schrăodinger cho cỏc h th khỏc l điều cần thiết Có nhiều phương pháp giải khác đưa ra, cho nghiệm gần xác Trong số đó, phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần xác với nhiều hố khác nhau, có H hố nghiệm xác ứng với mức lượng tử, có hố cho C nghiệm xác ứng với trạng thái Nhưng nhìn chung, phương pháp lại M C đơn giản hóa việc tính tốn giải phng trỡnh Schrăodinger i vi nhiu h ni U th phức tạp Vì xét kĩ, áp dụng phương pháp này, người giải cần thực bước làm theo hệ thống định, quan trọng cần đổi biến số ve từ đầu cho phù hợp chọn nghiệm cho thỏa mãn tính chất vật lý hàm sóng rs ity Hơn hết, phương pháp áp dụng nhiều tốn phức tạp O Chính vậy, đề tài luận văn đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải hệ fE thống lại toán hc lng t vic gii phng trỡnh Schrăodinger ng với du hố khác Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) trị riêng ca lượng dạng biểu thức toán học, luận văn trình bày hình vẽ n tio minh họa cho kết tính phần mền Maple Đối tượng phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu hệ thống lại số hố khác khác thông qua việc giải phng trỡnh Schrăodinger bng phng phỏp NikiforovUvarov Cỏc bi toỏn xếp theo thứ tự hố từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó, luận văn sử dụng phần mềm Maple để giải toán tán xạ Cấu trúc luận văn Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở phương pháp Nikiforov–Uvarov Chương II: Hệ thống số tốn học lượng tử việc giải phương trình Schrăodinger ng vi cỏc h th nng khỏc Kt luận – Hướng phát triển Tài liệu tham khảo Phụ H C C M ity rs ve ni U ca du fE O n tio Chương I I Luận văn tốt nghiệp Cơ sở phương pháp Nikiforov–Uvarov Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] xây dựng hai nhà vật lí người Nga, Nikiforov Uvarov Cơ sở phương pháp dựa việc giải phương trình vi phõn bc hai Bng cỏch rỳt phng trỡnh Schrăodinger v phương trình vi phân bậc hai dạng hàm siêu việt, ta tìm giá trị xác lượng hàm sóng tương ứng Ta xét phương trình vi phân bậc hai dạng: ψ 00 (s) + τ˜(s) σ ˜ (s) ψ (s) + ψ(s) = 0, σ(s) σ (s) (I.1) H C M đó, τ˜(s) đa thức bậc nhất, σ(s) σ˜ (s) đa thức bậc hai, ψ(s) hàm C U số có dạng hàm hàm siêu việt ve ni Đưa phương trình (I.1) dạng đơn giản cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), hàm ψ(s) chọn cho thích hợp rs Ta có: ity fE O ψ (s) = φ0 (s)y(s) + φ(s)y (s), ψ 00 (s) = φ00 (s)y(s) + 2φ0 (s)y (s) + φ(s)y 00 (s) ca du n tio Khi phương trình (I.1) viết lại: 00 y (s) +  φ0 (s) τ˜(s) + φ(s) σ(s)   y (s) + φ00 (s) φ0 (s) τ˜(s) σ ˜ (s) + + φ(s) φ(s) σ(s) σ (s)  y(s) = (I.2) Đặt hệ số đứng trước y (s) τ (s)/σ(s), với τ (s) đa thức có bậc đồng nhất, ta được: φ0 (s) τ˜(s) τ (s) + = , φ(s) σ(s) σ(s) (I.3) φ0 (s) π(s) = , φ(s) σ(s) (I.4) đó: Trang Chương I Luận văn tốt nghiệp với π(s) đa thức có bậc đồng Từ biểu thức (I.3) (I.4), ta biểu diễn τ (s) dạng: (I.5) τ (s) = τ˜(s) + 2π(s) Biểu thức φ00 (s)/φ(s) xuất hệ số đứng trước y(s) Biểu diễn φ00 (s)/φ(s) theo biểu thức (I.4): φ00 (s) = φ(s)  φ0 (s) φ(s) 0  + φ0 (s) φ(s) 2  = π(s) σ(s) 0  + π(s) σ(s) 2 (I.6) H hệ số đứng trước y(s) viết lại: C C M φ00 (s) φ0 (s) τ˜(s) τ˜(s) σ(s) + + = , φ(s) φ(s) σ(s) σ (s) σ (s) ni U (I.7) rs ve với ity σ(s) = σ ˜ (s) + π (s) + π(s)[˜ τ (s) − σ (s)] + π (s)σ(s) (I.8) O So sánh vế phương trình (I.2), (I.3) (I.7), ta được: du fE σ(s) τ (s) y (s) + y(s) = σ(s) σ (s) (I.9) ca y 00 (s) + n tio Từ phương trình (I.7), ta thấy σ(s) chia hết cho σ(s), nên ta đặt: σ(s) = λσ(s), (I.10) λ số Khi phương trình (I.9) đưa dạng: σ(s)y 00 (s) + τ (s)y (s) + λy(s) = (I.11) Phương trình (I.11) phương trình có dạng hàm siêu việt, nghiệm biểu diễn dạng hàm siêu việt Trang Chương I Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta tìm hàm π(s) số λ cách viết lại phương trình (I.8) dạng biểu thức bậc hai theo π(s): π (s) + π(s)[˜ τ (s) − σ (s)] + σ ˜ (s) − λ + π (s) = (I.12) Nghiệm phương trình bậc hai (I.12): π(s) = σ (s) − τ˜(s) s ± σ (s) − τ˜(s) 2 −σ ˜ (s) + kσ(s), (I.13) với H k = λ − π (s) (I.14) C M Vì π(s) đa thức nên biểu thức dấu phương trình (I.13) phải có dạng C bình phương đa thức Do đó, ∆s = Sau đó, dựa vào biểu thức ∆s = 0, ta tìm U giá trị k , từ ta tìm hàm π(s) tương ứng từ phương trình ni rs (I.4) ve (I.13) Các biểu thức τ (s), λ φ(s) xác định phương trình (I.5), (I.14) ity Vì đạo hàm hàm siêu việt hàm siêu việt Do đó, lấy đạo hàm bậc fE O phương trình (I.11) đặt υ1 (s) = y (s), ta thu được: συ100 (s) + τ1 (s)υ10 (s) + µ1 υ1 (s) = 0, (I.15) du ca với (I.16) n tio τ1 (s) = τ (s) + σ (s) µ1 = λ + τ (s) (I.17) đa thức có bậc đồng nhất, µ1 tham số phụ thuộc vào biến số s Tương tự, đạo hàm bậc hai phương trình (I.11), với υ2 (s) = y 00 (s): σ(s)υ200 (s) + τ2 (s)υ20 (s) + µ2 υ2 (s) = 0, (I.18) τ2 (s) = τ1 (s) + σ (s) = τ (s) + 2σ (s) (I.19) với Trang Chương I Luận văn tốt nghiệp µ2 = µ1 + τ10 (s) = λ + 2τ (s) + σ 00 (s) (I.20) Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn (s) = y (n) (s), ta được: σ(s)υn00 (s) + τn (n)υn0 (s) + µn υn (n) = 0, (I.21) τn (s) = τ (s) + nσ (s) (I.22) với H C n(n − 1) 00 σ (s) (I.23) C M µn = λ + nτ (s) + Tất nghiệm phương trình (I.21) biểu diễn dạng υn (s) = y (n) (s), với U ve ni y(s) nghiệm phương trình (I.11) Khi µn = 0, phương trình (I.21) có nghiệm đặc biệt υn (s) = const, phương trình (I.23) trở thành: ity rs n(n − 1) 00 σ (s), n = 0, 1, (I.24) du fE O λn = −nτ (s) − yn (s) hàm có dạng hàm siêu việt: ca n Bn dn n [σ (s)ρ(s)] , ρ(s) dsn tio yn (s) = (I.25) với Bn số chuẩn hóa ρ(s) phải thỏa điều kiện: [σ(s)ρ(s)]0 = τ (s)ρ(s) Trang (I.26) Chương II Luận văn tốt nghiệp Giải phương trình (II.247) ta thu hai giá trị k : p k= ε± β(4γ + 1) (II.248) Thế hai giá trị k vừa tìm vào phương trình (II.245) ta thu hai hàm π(s) tương ứng: p 1 p βs + 4γ + , π(s) = ± 2  ứng với k = ε+ p  (II.249) β(4γ + 1) p 1 p π(s) = ± βs − 4γ + , 2   (II.250) H ε− p C β(4γ + 1) Hàm τ (s) có dạng: τ (s) = τ˜(s) + 2π(s) τ (s) < nên ta chọn: C M ứng với k = U p 1 p − βs − 4γ + , 2   (II.251) p β(4γ + 1) ity rs ứng với k = ε− ve ni π(s) = π(s) = Khi đó: O βs + + p (II.252) 4γ + 1, đạo hàm bậc là: ca du fE p τ (s) = −2 p τ (s) = −2 (II.253) n tio β Từ phương trình (II.251), (II.252), (II.253) ta tìm giá trị λ λn :   √ p 4γ + ε λ=− β 1+ + , (II.254) p λn = 2n β (II.255) So sánh hai giá trị λ λn ta thu biểu thức sau: p ε=2 β   √ 4γ + 2n + + Trang 69 (II.256) Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì giá trị lượng là: En = ~2 p m √  β 2n + + 4γ +  − 2V0 , (II.257) với n = 0, 1, 2, Đồ thị lượng hố dao động giả điều hịa vẽ hình (II.26): H C C M ity rs ve ni U fE O Hình II.27: Đồ thị lượng ứng với giá trị n khác ca du n tio Trang 70 Chương II Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta tìm hàm sóng hố dao động giả điều hịa thơng qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn (s) (II.258) √ √ π(s) − β + 4γ + φ0 (s) = = + φ(s) σ(s) 4s (II.259) Trước tiên, ta tìm hàm φ(s): Ta có: Lấy tích phân hai vế phương trình (II.259) ta được: H C φ(s) = s √ 1+ 4γ+1 √ − e β s (II.260) C M Xác định hàm yn (s) dựa vào biểu thức: Bn dn n [σ (s)ρ(s)] , ρ(s) dsn ni U ity rs với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ (s)ρ(s) (II.261) ve yn (s) = Ta có: O √ 4γ + 2s fE p ρ0 (s) τ (s) − σ (s) = = − βs + ρ(s) σ(s) e−2 √ βs tio 4γ+1 ca √ ρ(s) = s du Lấy tích phân hai vế phương trình (II.262), ta được: (II.262) (II.263) n Nên hàm yn (s) có dạng: √ √ 4γ+1 dn n+ − βs yn (s) = √4γ+1 s e √ n s e−2 βs ds Bn h i (II.264) Dựa vào phương trình (II.258), (II.260) (II.264) ta tìm biểu thức hàm bán kính cho hố dao động giả điều hòa sau: ψ(s) = Cn s √ 1+ 4γ+1 √ − e β s √ Ln Trang 71 4γ+1 p ( βs), (II.265) Chương II Luận văn tốt nghiệp H C M Hình II.28: Đồ thị hàm bán kính hố dao động giả điều hòa C U √ √ ( βs) đa thức ve Laguerre 4γ+1 ni với Cn hệ số xác định cách chuẩn hóa hàm sóng, Ln vẽ hình (II.27): ity rs Đồ thị hàm bán kính cho hố dao động giả điều hòa (xét cho trường hợp l = 0) fE O Nhận xét: ca du Đối với hố dao động giả điều hòa, phương pháp Nikiforov–Uvarov ta tio tương tự tính nghiệm (hàm sóng) xác trị riêng (năng lượng) tương ứng n Đồ thị hàm sóng hố vẽ cho trạng thái (l = 0), ta dựa vào biểu thức hàm sóng để vẽ cho mức lượng tử khác Trang 72 Chương II Luận văn tốt nghiệp Kết luận chương II • Đối vi chng 2, "Gii phng trỡnh Schră odinger cho cỏc hố khác nhau", việc giải phương trình vi phân bậc hai hố đơn giản, áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov hố phức tạp, ta tìm nghiệm xác trị riêng lượng tương ứng hố khác • Đối với hố phức tạp, ta dùng phép đổi biến thích hợp để a phng trỡnh Schrăodinger ban u v phng trỡnh dng (I.1) Sau áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải phương trình thu Trong phương pháp Nikiforov– Uvarov này, chủ yếu giải phương trình bậc hai đồng hệ số để tìm H C trị riêng lượng lấy tích phân để tìm hàm sóng ương ứng M C • Ta thấy, nghiệm (hàm sóng) ca phng trỡnh Schră odinger cho tng dng h th ni U khác đưa ba dạng đa thức: Jacobi, Hermite Laguerre ve Dựa vào tính chất đa thức này, dễ dàng tính tốn ity rs mức lượng xác suất tìm thấy hạt cho nguyên tử, phân tử khác O • Tuy nhiên, phương pháp Nikiforov–Uvarov lại chưa áp dụng cho hố fE hố sâu vô hạn hay hàng rào Bên cạnh, số dạng hố du khác Mie, Yukawa, phương pháp cịn gặp khó khăn việc ca a phng trỡnh Schrăodinger v dng phng trỡnh siờu việt tính tốn n tio • Trong chương II này, ta xét hố phụ thuộc vào bán kính Tuy nhiên hố phụ thuộc vào bán kính góc (như hố Hartmann), phương pháp Nikiforov–Uvarov áp dụng hoàn toàn tương tự Trang 73 III Kết luận Đề tài "Hệ thống số toán học lng t vic gii phng trỡnh Schră odinger ng với trường khác nhau" đạt mục tiêu đề thu kết sau: Hệ thống lại việc giải phương trình Schră odinger ng vi mi h th nng khỏc Trong đó, áp dụng phương pháp Nikiforov-Uvarov cho tám hố năng: Dao động tử điều hòa, Woods–Saxon, Morse PăoschlTeller, Coulomb, Hulthen, Kratzer v dao ng gi iu hũa Với hố năng, luận văn giải tìm nghiệm (hàm sóng), H trị riêng (năng lượng) hình vẽ cụ thể tương ứng Đối với hố năng: dao động C tử điều hòa, Coulomb, Kratzer dao động giả điều hịa, nghiệm tìm xác M C cho mức lượng tử khác Tuy nhiên, hố thế: Woods–Saxon, Morse, ni U PăoschlTeller v Hulthen, nghim ch gii chớnh xỏc cho trạng thái (l = 0), để giải phương trình cho trạng thái khác mức lượng tử ta cần phải giải Nhận xét ity rs ve gần O fE Đề tài dừng li vic gii phng trỡnh Schrăodinger bng phng phỏp Nikiforov– du Uravor cho số dạng hố thường gặp Tuy nhiên, số dạng hố ca khác, áp dụng phương pháp để tìm nghiệm n tio xác Các dạng hố áp dụng đề tài sau Hướng phát trin ã i vi chng II, "Gii phng trỡnh Schră odinger cho hố khác nhau", mở rộng việc áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov cho hố phức tạp Mie hay Yukawa Vì dạng hố khó khăn việc chọn đổi biến số phự hp a phng trỡnh Schrăodinger v dng (I.1), bên cạnh việc tính tốn cho hố dạng phức tạp so với hố trình bày chương II • Nhờ việc áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov ta thu nghiệm giải tích hàm sóng trị riêng (năng lượng) cho hố khác từ đơn giản đến phức tạp Từ biểu thức giải tích ta dự đốn biểu thức giải tích khác giải tốn khác phức tạp toán tán xạ phổ liện tục giả liên tục (khi lượng hạt mang giá trị dương bé) H C C M ity rs ve ni U ca du fE O n tio IV Tài liệu tham khảo [1] Lê Văn Hoàng, Bài giảng Cơ học lượng tử (Nhà xuất ĐHSP TP.HCM, 2015) [2] Hoàng Dũng, Nhập môn Cơ học lượng tử (Nhà xuất giáo dục, 1999) [3] F Nikiforov and B Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics (Birkhauser, Basel, 1988) [4] Mohammad Reza Pahlavani, Theoretical concepts of quantum mechanics (Croa -tia, 2012),233 [5] N Ikot and O Akpan, Bound State Solutions of the Schră odinger Equation for a Morse General Woods-Saxon Potential with Arbitrary l-State, C.Phys.Lett, 2012 H [6] Hosung Sun, The Morse potential eigenenergy by the analytical transfer C matrix method, Phys.Lett, 2005 M C ă [7] Ozlem Yes,iltas, PT/nonPT symmetric and non-Hermitian Pă oschl–Teller-like ni U solvable potentials via Nikiforov–Uvarov method, Phys Scr, 2006 [8] D Antia and N Isonguyo, Analytical solutions of the modified Coulomb potential ve using the factorization method , IJRAP, 2015 rs Potential, Theor Phys, 2011 ity [9] D Agboola, Schrăodinger Equation with Hulthen Potential Plus Ring-Shaped O du 2006 fE [10] R Setare and E Karimi, Algebraic approach to the Kratzer potential, Phys Scr, tio for pseudo-harmonic potential, Acta Phys, 2012 ca [11] R Amani and H Ghorbanpour, Supersymmetry approach anh shape invariance n [12] Siegfried Flugge, Practical Quantum Mechanics I and II, (Springer–Verlag Berlin –Heidelberg–New York, 1971) [13] L.D Landau and E.M Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory: Volume 3, (Pergamon press, 1981) Phụ Ứng dụng phần mềm Maple việc giải toán tán xạ Ở chương I chương II, đề tài luận văn sử dụng phần mềm Maple việc tính tốn vẽ đồ thị, nhận thấy phần mềm hữu ích việc giải cơng thức hàm tốn phức tạp, đặc biệt toán học lượng t Nờn bờn cnh vic gii phng trỡnh Schrăodinger vi hố khác nhau, đề tài luận văn mở rộng việc ứng dụng phần mềm Maple toán học lượng tử, cụ thể toán tán xạ: "Ứng dụng phần mềm Maple việc giải tốn tán xạ" Mục đích phần ứng dụng H phần mềm tốn học có sẵn để hỗ trợ việc tính cơng thức phức tạp, đặc biệt C C M việc giải toán học lượng tử Tuy nhiên, đề tài luận văn dừng lại việc ứng dụng phần mền Maple toán tán xạ, cụ thể U xét ba dạng tốn: khai triển sóng phẳng thành sóng riêng lẻ, tán xạ ni ity rs ve cộng hưởng hạt chậm trường xuyên tâm xấp xỉ Born Trong phần khảo sát số ứng dụng thuật toán phần fE O mềm Maple việc giải toán tán xạ đàn hồi Để tránh việc phải đưa phần lí thuyết tán xạ, ta khảo sát trực tiếp toán giải chúng phương pháp ca du tính tốn phần mềm Maple tio Ba dạng tốn mà đề tài khóa luận đề cập là: khai triển sóng phẳng thành n sóng riêng lẻ (thành phần), tán xạ cộng hưởng hạt chậm trường xuyên tâm xấp xỉ Born [13] Khai triển sóng phẳng thành sóng thành phần Xét hạt chuyển động tự với động lượng: p~ = ~k ~ theo hướng trục Oz Hàm sóng hạt có dạng: ψ(r, θ, φ) = Ceikz = Ceikr cos θ , (IV.1) với C số Khảo sát khai triển hàm sóng lan truyền dọc theo trục Oz thành sóng thành phần k,l,m (cỏc hm cu) Phng trỡnh Schrăodinger cú dng: (2 + k )ψ(r, θ, φ) = 0, (IV.2) với k = 2mE/~2 Ta tìm nghiệm phương trình dạng: (IV.3) ψ(r, θ, φ) = Rl (k, r)Yl,m (θ, φ) Ta thấy hàm sóng ban đầu eikz có tính chất đối xứng dọc theo trục Oz , nên khai triển hàm sóng khơng phụ thuộc vào góc φ, tức hàm với m = Ta có dạng khai triển hàm sóng: ψ(r, θ) = ∞ X l=0 H C M với cl –hằng số (IV.4) cl fl (r)Pl (cos θ), C Xét tính chất khai triển Sử dụng tính chất đa thức Legendre ve ni U > restart; with(orthopoly, P ); ity rs [P ] > assume(k > 0); psi := (r, theta)− > exp(I ∗ k ∗ r ∗ cos(theta)); ca n tio (r, θ)− > eIkr cos(θ) , du fE O cho sóng phẳng ta sử dụng đổi biến số: x = cos θ: > phi := (r, x)− > exp(I ∗ k ∗ r ∗ x); (r, x)− > eIkrx Xét số hạng khai triển: > int(P (0, x) ∗ phi(r, x), x = −1 1); simplif y(%); − I(e2Ik r − 1)e−Ikr kr sin(kr) kr Ta có số hạng c0 f0 (r) hàm Bessel > BesselJ(0 + 1/2, xi); √ sin(ξ) √ √ π ξ Ta tìm số hạng thứ hai: > int(P (1, x) ∗ phi(r, x), x = −1 1); Ie(2I)kr kr + Ikr − e(2I)kr + e−Ikr − k2 r2
H C C M > evalc(%); U ity rs ve ni ((sin(2kr)kr + cos(2kr) − 1) cos(kr) + (− cos(2kr)kr − kr + sin(2r)) sin(kr)) + k2 r2 I((− cos(2kr)kr − kr + sin(2kr)) cos(kr) − (sin(2kr)kr + cos(2kr) − 1) sin(kr)) k2 r2 > BesselJ(1 + 1/2, xi); √ 2(cos(ξ)ξ − sin(ξ)) , √ 3/2 πξ ca du − fE O Có thể đồng số hạng với hàm Bessel bậc bán nguyên n tio với độ xác đến thừa số chuẩn Các hàm xun tâm fl (ξ) tìm thấy cách lấy vi phân hàm Viết chu trình: > J := proc()localI, x, res, i; l := args[2]; if whattype(l) = integer then x := args[1]; sin(x)/x; if l = then RETURN(%); else res := %; for i from to l res := expand(dif f (res, x)/x); sin(ξ) ξ od; expand(res ∗ (−1)l ∗ xl ); fi; else RETURN; fi; end: Kiểm tra lại hoạt động chu trình: > J(x, 0); sin(x) x H > J(x, 1); C cos(x) sin(x) + x x2 C M − ni U > J(x, 2); −3 cos(x) sin(x) sin(x) − + x2 x x3 Vẽ đồ thị hàm f2 (x): ity rs ve − O ca du fE > plot(J(x, 2), x = 10, y = −0.4 0.4, axes = normal, title =0 J(x)0 ); n tio Hình IV.1: Đồ thị hàm số f2 (x) Vẽ đồ thị hàm f2 (2x) (nhân đôi biến số): > plot(subs(xi = ∗ x, J(xi, 2)), x = 10, y = −0.4 0.4, title =0 J(2 ∗ x)0 , axes = normal); H C C M ni U rs ve Hình IV.2: Đồ thị hàm f2 (2x) ity Bây ta khảo sát tính chất hội tụ khai triển theo sóng thành phần > P arS := proc(k, r, x, N )localres, l; ca else res := 0; du if type(N, integer) true then RETURN fE O Thành lập khai triển, sử dụng tổng thành phần đến số N nguyên res := res + subs(xi = k ∗ r, BesselJ(xi, l)) ∗ I l ∗ (2 ∗ l + 1) ∗ P (l, x); n tio for l from to N od; fi; simplify(res); end: Xét tổng khai triển N = > collect(P arS(k, r, x, 6), [sin(k ∗ r), cos(k ∗ r), k], f actor); BesselJ(kr, 0) + (693/8I)BesselJ(kr, 5)x5 − (15/2)BesselJ(kr, 2)x2 +(5/2)BesselJ(kr, 2) − (385/4I)BesselJ(kr, 5)x3 +(165/8I)BesselJ(kr, 5)x + (315/8)BesselJ(kr, 4)x4 − (135/4)BesselJ(kr, 4)x2 +(27/8)BesselJ(kr, 4) + (3I)BesselJ(kr, 1)x − (35/2I)BesselJ(kr, 3)x3 +(21/2I)BesselJ(kr, 3)x − (3003/16)BesselJ(kr, 6)x6 +(4095/16)BesselJ(kr, 6)x4 − (1365/16)BesselJ(kr, 6)x2 + (65/16)BesselJ(kr, 6) Xét phần thực sóng phẳng cos θ = x = 1/2: > assume(r > 0) : Re(phi(r, 1/2)); H cos 1 C kr  C M Xét trình khai triển hội tụ giá trị khác N (N tổng > with(plots) : ity N := 10 : bases := [seq(i, i = N )] : rs ve Cho k = ni U số hạng khai triển) O > S := seq(plot([subs(k = 1, Re(phi(r, 1/2))), Re(P arS(1, r, 1/2, n))], r = 20, view = [0 10, −2 2], fE color = [red, blue], linestyle = [2, 1], title = ‘N = ‘||n, axes = normal), n = bases) : ca du display(S, insequence = true); n tio H C M Hình IV.3: Khảo sát hội tụ hàm sóng phẳng C U rs ve ni ⇒ Nhận xét đồ thị hội tụ: ity Khi N = độ hội tụ đạt kết tốt Mặc dù N lớn r nhỏ khai triển phân kì (điều dễ dàng nhận thấy từ đường nét đậm đồ thị) Sự phân O fE kì có liên quan đến đặc điểm dáng điệu hàm Bessel bậc cao điểm Để ca cách sử dụng lệnh Digits Maple du giảm độ phân kì chuỗi khai triển ta tăng độ xác phép tính tốn tio n Bây ta xét bình phương chuẩn sóng phẳng khai triển thành hàm sóng thành phần > N := : bases := [seq(i, i = N )] : S := seq(plot([subs(k = 0.1, abs(phi(r, 1/2))), abs(P arS(0.1, r, 1/2, n))], r = 200, R = 1, color = [red, blue], linestyle = [2, 1], title = ‘N = ‘||n, axes = normal), n = bases) : display(S, insequence = true);