Khóa luận hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau

Bằng cách rỳt phng trỡnh Schrăodinger v phng trỡnh vi phõn bchai dưới dạng hàm siêu việt, ta sẽ tìm được giá trị chính xác của năng lượng và hàmsóng tương ứng.Ta xét phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

SVTH: Huỳnh Trúc Như GVHD: TS Lương Lê Hải

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

Khóa luận giáo dục học

Phần mở đầu 3

I Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov 6

II Giải phương trình Schr¨odinger cho các hố thế năng khác nhau 11

1 Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn 11

2 Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm 14

3 Dao động tử điều hòa 24

4 Thế năng Woods–Saxon 30

5 Thế năng Morse 36

6 Thế năng P¨oschl–Teller 42

7 Thế năng Coulomb 48

8 Thế năng Hulthen 54

9 Thế năng Kratzer 60

10 Dao động giả điều hòa 67

Khóa luận giáo dục học

Để luận văn đạt kết quả tốt đẹp, trong suốt quá trình thực hiện em đã nhận đượcnhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.

Với tấm lòng sâu sắc đó, cho em xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến:

Trước hết là thầy, TS Lương Lê Hải, người đã định hướng, chỉ dạy em trong suốtquá trình thực hiện luận văn Hơn hết, thầy là người đã truyền cho em sự tự tin và niềmđam mê, đồng thời thầy luôn là người trực tiếp hướng dẫn em ngay từ những ngày đầu

Thứ hai, đó là quý thầy, cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM

đã truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng và phương pháp sư phạm nền tảng chotương lai nghề nghiệp Đặc biệt, TS Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, đã tạo điềukiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn

Bên cạnh, là những người quan tâm em, luôn giúp đỡ em thật nhiều trong suốt bốnnăm đại học, nhất là thời gian em làm khóa luận

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018

Huỳnh Trúc Như

Khóa luận giáo dục học

Phương trình Schr¨odinger là phương trình động lực học cơ bản dùng để mô tả cáctính chất của hệ cơ học lượng tử, tương tự như phương trình của định luật II Newtontrong cơ học cổ điển Đối với một hệ cổ điển, thông qua việc giải phương trình II Newton

ta có thể biết được tính chất chuyển động của một vật hoặc một hệ vật bất kì Tuynhiên, hạn chế của phương trình định luật II Newton chỉ dùng để mô tả chuyển độngcủa những vật có kích thước và khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô) Do vậy, khi nghiêncứu đến tính chất của những vật có kích thước vi mô, điển hình là nghiên cứu chuyểnđộng của hạt electron (các hạt cơ bản), ta không thể dùng phương trình II Newton để

mô tả mà phải thông qua việc giải phương trình Schr¨odinger để tìm được hàm sóng(nghiệm của phương trình) cũng như là giá trị năng lượng (trị riêng), từ đó ta sẽ khảođược các tính chất của hệ đang xét hay tìm ra những tính chất mới Chính vì vậy màviệc giải phương trình Schr¨odinger cho đến nay là điều cần thiết và quan trọng [1]

Dựa trên những kiến thức cơ bản trong việc giải phương trình Schr¨odinger với các

hố thế cơ bản như: hố thế sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào thế

mà ta có thể xây dựng phương trình Schr¨odinger cho những hố thế phức tạp hơn Ví

dụ khi xét hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, hay khi nghiên cứu đến sự tươngtác giữa neutron với hạt nhân, tán xạ của nguyên tử trên phân tử gồm hai nguyên tử Tuy nhiên, ở chương trình đại học, sinh viên lại chưa có cơ hội nhiều để tiếp xúc với cácdạng hố thế này Do đó, đề tài luận văn mục đích là hệ thống lại việc giải phương trìnhSchr¨odinger cho các hố thế các nhau, ngoài những hố thế đã được học ở chương trìnhđại học, luận văn sẽ đưa vào những dạng hố thế khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse

[6], [12], P¨oschl–Teller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] và dao động giả điềuhòa [10] Với mục đích là sẽ đưa đến nhiều dạng hố thế khác nhau đến gần hơn với sinhviên, như một tài liệu tham khảo bổ ích

Khóa luận giáo dục học

chính là phương pháp giải Ở chương trình đại học, đối với hố thế sâu vô hạn và hàngrào thế, bài toán được giải bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai Riêng đốivới mô hình dao động tử điều hòa, hai phương pháp được sử dụng là giải tích và ápdụng toán tử sinh hủy Tuy nhiên, phương pháp giải tích khi áp dụng cho một số hốthế khác lại gặp khó khăn trong việc tính toán, hoặc một số phương pháp khác thì chỉcho nghiệm gần đúng Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải phương trìnhSchr¨odinger cho các hố thế khác nhau là điều cần thiết Có nhiều phương pháp giải khácnhau được đưa ra, sẽ cho nghiệm gần đúng hoặc chính xác Trong số đó, phương phápNikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần như là chính xác với nhiều hố thế khác nhau, có

hố thế nghiệm là chính xác ứng với mọi mức lượng tử, nhưng cũng có hố thế chỉ chonghiệm chính xác ứng với trạng thái cơ bản Nhưng nhìn chung, phương pháp này lạiđơn giản hóa trong việc tính toán và giải phương trình Schr¨odinger đối với nhiều hốthế phức tạp Vì nếu xét kĩ, khi áp dụng phương pháp này, người giải chỉ cần thực hiệntuần tự những bước làm theo một hệ thống nhất định, quan trọng chỉ cần đổi biến số

từ đầu cho phù hợp và chọn nghiệm sao cho thỏa mãn tính chất vật lý của hàm sóng.Hơn hết, phương pháp này đã được áp dụng rất nhiều trong những bài toán phức tạp.Chính vì vậy, đề tài luận văn sẽ đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải và hệthống lại các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schr¨odinger ứng vớicác hố thế khác nhau Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) và trị riêng nănglượng dưới dạng những biểu thức toán học, trong luận văn cũng sẽ trình bày hình vẽminh họa cho các kết quả tính được trên phần mền Maple

2 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Luận văn chủ yếu hệ thống lại một số hố thế năng khác năng khác nhau thông quaviệc giải phương trình Schr¨odinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov Các bài toánđược sắp xếp theo thứ tự của các hố thế năng từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó,luận văn cũng sử dụng phần mềm Maple để giải các bài toán về tán xạ

Khóa luận giáo dục học

Chương II: Hệ thống một số bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trìnhSchr¨odinger ứng với các hố thế năng khác nhau.

Kết luận – Hướng phát triển

Tài liệu tham khảo

Phụ chú

Khóa luận giáo dục học

I Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov

Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] được xây dựng bởi hai nhà vật lí người Nga,Nikiforov và Uvarov Cơ sở chính của phương pháp là dựa trên việc giải phương trình

vi phân bậc hai Bằng cách rút phương trình Schr¨odinger về phương trình vi phân bậchai dưới dạng hàm siêu việt, ta sẽ tìm được giá trị chính xác của năng lượng và hàmsóng tương ứng

Ta xét phương trình vi phân bậc hai dưới dạng:

ψ00(s) + τ (s)˜

σ(s)ψ

0 (s) + σ(s)˜

trong đó, τ (s) ˜ là đa thức bậc nhất, σ(s) và σ(s) ˜ là những đa thức bậc hai, ψ(s) là hàm

số có dạng của hàm hàm siêu việt

Đưa phương trình (I.1) về dạng đơn giản hơn bằng cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), trong

đó hàm ψ(s) được chọn sao cho thích hợp

Ta có:

ψ0(s) = φ0(s)y(s) + φ(s)y0(s),

ψ00(s) = φ00(s)y(s) + 2φ0(s)y0(s) + φ(s)y00(s).

Khi đó phương trình (I.1) được viết lại:

y00(s) +



2φ

0 (s) φ(s) +

˜

τ (s) σ(s)



y0(s) +



φ00(s) φ(s) +

φ0(s) φ(s)

˜

τ (s) σ(s) +

˜ σ(s)

˜

τ (s) σ(s) =

Từ biểu thức (I.3) và (I.4), ta biểu diễn τ (s)dưới dạng:

Biểu thức φ00(s)/φ(s) xuất hiện trong hệ số đứng trước y(s) Biểu diễn φ00(s)/φ(s) theobiểu thức (I.4):

φ00(s) φ(s) =



φ0(s) φ(s)

0

+



φ0(s) φ(s)

2

=



π(s) σ(s)

0

+



π(s) σ(s)

2

(I.6)

và hệ số đứng trước y(s) cũng được viết lại:

φ00(s) φ(s) +

φ0(s) φ(s)

˜

τ (s) σ(s) +

Khi đó phương trình (I.9) được đưa về dưới dạng:

Phương trình (I.11) cũng là phương trình có dạng của hàm siêu việt, và nghiệm của nócũng được biểu diễn dưới dạng hàm siêu việt

Khóa luận giáo dục học

Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm π(s)và hằng số λ bằng cách viết lại phương trình (I.8) dướidạng biểu thức bậc hai theo π(s):

π2(s) + π(s)[˜ τ (s) − σ0(s)] + ˜ σ(s) − λ + π0(s) = 0. (I.12)Nghiệm của phương trình bậc hai (I.12):

và (I.4)

Vì đạo hàm của hàm siêu việt cũng là một hàm siêu việt Do đó, khi lấy đạo hàm bậcmột phương trình (I.11) và đặt υ 1 (s) = y0(s), ta thu được:

συ100(s) + τ1(s)υ10(s) + µ1υ1(s) = 0, (I.15)với

và

là các đa thức có bậc được đồng nhất, µ1 là tham số phụ thuộc vào biến số s

Tương tự, đạo hàm bậc hai của phương trình (I.11), với υ2(s) = y00(s):

σ(s)υ200(s) + τ2(s)υ20(s) + µ2υ2(s) = 0, (I.18)với

Khóa luận giáo dục học

µ2= µ1+ τ10(s) = λ + 2τ0(s) + σ00(s). (I.20)Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn(s) = y(n)(s), ta được:

σ(s)υn00(s) + τn(n)υn0(s) + µnυn(n) = 0, (I.21)với

Tất cả các nghiệm của phương trình (I.21) được biểu diễn dưới dạng υn(s) = y(n)(s), với

y(s) là nghiệm của phương trình (I.11) Khi µn = 0, phương trình (I.21) sẽ có nghiệmđặc biệt υn(s) = const, do đó phương trình (I.23) trở thành:

Kết luận chương I

• Ta thấy việc giải phương trình Schr¨odinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov

sẽ cho nghiệm (hàm sóng) chính xác Việc tính toán cũng sẽ đơn giản hóa hơn khi

ta đưa phương trình về dạng phương trình siêu việt, sau đó áp dụng các tính chấtđặc biệt của hàm này để giải tìm nghiệm

• Một lưu ý khi giải phương trình Schr¨odinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov

là cần đổi biến số mới phù hợp để rút về dưới dạng phương trình (I.1) Thứ hai,cần chọn giá trị của k và hàm π(s) thích hợp sao cho đạo hàm bậc nhất của hàm

τ (s) khi đó phải mang giá trị âm (τ0(s) < 0)

• Tuy nhiên, phương pháp này cũng có hạn chế khi không áp dụng được cho các hốthế như: hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn hay hiệu ứng đường ngầm

Khóa luận giáo dục học

năng khác nhau

Trong chương II, đề tài khóa luận sẽ hệ thống lại việc giải phương trình Schr¨odingercho 10 hố thế năng khác nhau, đó là các hố thế: hố thế sâu vô hạn, hàng rào thế, daođộng tử điều hòa, Woods–Saxon, Morse, P¨oschl–Teller, Coulomb, Hulthen, Kratze vàdao động giả điều hòa Trong đó, với hố thế sâu vô hạn và hàng rào thế, đề tài khóa luận

sẽ giải phương trình Schr¨odinger bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai cơ bản.Riêng đối với tám hố thế năng còn lại, đề tài sẽ áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarovnhư đã trình bày ở chương I

Hố thế năng sâu vô hạn [1],[2] là một mô hình đơn giản mô tả chuyển động và tínhchất lượng tử của một hạt vi mô Ta xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong

hố thế có thành cao vô hạn, bề rộng a và biểu thức hàm thế năng được xác định bởi:

Hình II.1: Hố thế năng sâu vô hạn

Xét thấy hàm thế năng không phụ thuộc thời gian nên ta có thể viết phương trìnhSchr¨odinger dưới dạng dừng:

• Xét trong hai miền x < 0 và x > a: V (x) = +∞

Nhận thấy phương trình chỉ có nghiệm khiψ(x) = 0(nghiệm tầm thường), nên ta khôngnhận trường hợp này

Vì hàm sóng phải liên tục, đơn trị và hữu hạn nên ta đặt điều kiện liên tục tại hai biên:

ψ(0) = 0, ψ(a) = 0 Vì vậy, hàm sóng phải thỏa mãn đồng thời hai phương trình:

• Bằng cách giải phương trình vi phân bậc hai cho hố thế sâu vô hạn, ta đã tìmđược nghiệm chính xác của hàm sóng và giá trị năng lượng ứng với các mức lượng

tử khác nhau

• Với biểu thức năng lượng vừa tìm được, ta nhận thấy rằng năng lượng của hạt khichuyển động trong thế giới vi mô không thể nhận giá trị liên tục tùy ý như khichuyển động trong thế giới vĩ mô mà chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn theotừng mức năng lượng

• Khi hạt chuyển động ở mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1, E1 = π

Những tính chất này không thể gặp trong cơ học cổ điển

Khóa luận giáo dục học

2 Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm

Trong cơ học lượng tử, hàng rào thế là bài toán một chiều phổ biến mô tả hiện tượngtruyền qua và phản xạ của các hạt khi chuyển động qua những rào thế khác nhau [1],[2]

Ở bài toán này, chúng ta sẽ giải phương trình Schr¨odinger dừng cho một hạt tự do đểkhảo sát những hiệu ứng lượng tử tương ứng của nó

Trong trường hợp hàng rào thế năng, ta sẽ xét hai dạng hàng rào thế đơn giản là ràothế bậc thang và rào thế chữ nhật

Dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng:ψI(0) = ψII(0),ψ˙I(0) = ˙ ψII(0), ta có hệ phươngtrình:

1 − k2/k1

1 + k 2 /k 1

• Tiếp theo, ta xét các giá trị giới hạn khi E → ∞ và E → V0:

1 −p1 − V0/E

1 +p1 − V0/E

2

Dựa vào biểu thức (II.28) ta thấy khi E → ∞ : R → 0, T → 1 nên không có hạt bị phản

xạ tại rào thế Ngược lại, khi E → V0 : R → 1, T → 0 nên hạt bị phản xạ hoàn toàn tại

Khóa luận giáo dục học

Vì hàm sóng phải thỏa điều kiện hữu hạn nên ta chọn nghiệm trong miền II sao cho

Từ hệ phương trình (II.33) xác định hệ số B và C, ta cũng tương tự tính được hệ sốphản xạ R và hệ số truyền qua T như sau:

R =