Luận án tiến sĩ bài toán biên đối với một số lớp phương trình truyền sóng trong miền không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THANH TÙNG BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG TRONG MIỀN KHƠNG TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THANH TÙNG BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG TRONG MIỀN KHƠNG TRƠN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Vũ Trọng Lưỡng GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng HÀ NỘI - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Vũ Trọng Lưỡng GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Các kết phát biểu luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Tùng LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo TS Vũ Trọng Lưỡng GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy tạo động lực lớn giúp tác giả tự tin, say mê tâm nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc TS Vũ Trọng Lưỡng GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn lớn lao tới thầy cô mơn Giải tích, đặc biệt PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh tận tình bảo cho tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả cảm ơn bạn nghiên cứu sinh đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận án tác giả Tác giả xin bày tỏ cảm ơn tới Ban Giám hiệu, phịng Sau Đại học, khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành q trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc, thầy cô anh chị đồng nghiệp cơng tác khoa Tốn-Lý-Tin, Trường TH, THCS & THPT Chu Văn An tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Sau cùng, tác giả bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, người thân gia đình TS Vũ Trọng Lưỡng - người yêu thương, chia sẻ, đùm bọc, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành q trình học tập nghiên cứu khóa học NCS Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 11 Phương pháp nghiên cứu 12 Kết luận án 12 Cấu trúc luận án 13 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 1.1 Không gian hàm, hội tụ yếu, định lý nhúng 14 1.1.1 Một số không gian hàm 14 1.1.2 Hội tụ yếu 17 1.1.3 Định lý nhúng Sobolev định lý nhúng RellichKondrachov 18 1.2 Một số bất đẳng thức 19 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Young 19 1.2.2 Bt ng thc Hăolder 19 1.2.3 Một số phát biểu bất đẳng thức Gronwall 20 1.2.4 Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg 21 1.3 Một số kiến thức lí thuyết tốn tử 22 1.4 Một số bổ đề nhúng miền có cạnh, tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp hai miền đa diện 25 1.4.1 Một số bổ đề nhúng miền có cạnh 25 1.4.2 Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp hai miền đa diện 27 1.5 Một số bổ đề nhúng toán Dirichlet phương trình elliptic mạnh miền nón có cạnh 27 1.5.1 Miền nón có cạnh 27 1.5.2 Một số bổ đề nhúng 28 1.5.3 Bài toán Dirichlet hệ elliptic mạnh miền nón có cạnh 28 1.6 Một số kiến thức lí thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn 30 1.7 Một số kiến thức độ đo không compact ánh xạ nén 35 Chương BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC NỬA TUYẾN TÍNH TRONG TRỤ KHƠNG TRƠN 41 2.1 Thiết lập tốn 41 2.2 Sự tồn tính nghiệm yếu địa phương 44 2.3 Sự tồn tính nghiệm yếu tồn cục 59 Chương BÀI TOÁN DIRICHLET-CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC NỬA TUYẾN TÍNH TRONG CÁC MIỀN ĐA DIỆN 63 3.1 Bài tốn Dirichlet-Cauchy phương trình hyperbolic nửa tuyến tính miền có cạnh 63 3.1.1 Mở đầu 63 3.1.2 Bài tốn tuyến tính 65 3.1.3 Bài toán nửa tuyến tính 81 3.2 Bài tốn Dirichlet-Cauchy phương trình hyperbolic nửa tuyến tính miền nón có cạnh 87 3.2.1 Mở đầu 87 3.2.2 Bài toán tuyến tính 88 3.2.3 Bài tốn nửa tuyến tính 92 Chương PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG NỬA TUYẾN TÍNH VỚI CẤU TRÚC TẮT DẦN 107 4.1 Thiết lập toán 107 4.1.1 Ví dụ mở đầu 107 4.1.2 Bài toán 109 4.2 Sự tồn nghiệm mềm toán 111 4.3 Sự tồn nghiệm mềm phân rã toán 118 KẾT LUẬN 126 Kết đạt 126 Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu 126 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO 128 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Chúng tơi sử dụng ký hiệu N tập số tự nhiên, R tập số thực Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn đa số α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn , n P α α1 αn ta ký hiệu x = x · · · x |α| = αi , α! = α1 !α2 ! · · · αn ! i=1 Với đa số α = (α1 , · · · , αn ) ∈ N, ta ký hiệu Dα := Dxα = Dxα11 · · · Dxαnn , ∂ α := ∂xα = ∂xα11 · · · ∂xαnn ! k α! ∂ u α = Các miền Thêm nữa, ta ký hiệu utk = k ∂t β!(α − β)! β không gian hàm ký hiệu sau: • Ω ký hiệu miền (mở liên thơng) bị chặn Rn với biên ∂Ω • Ω ký hiệu hợp Ω ∂Ω • QT ký hiệu tích Descartes Ω (0, T ), với < T ≤ ∞ • ST ký hiệu tích Descartes ∂Ω (0, T ), với < T ≤ ∞ • K ký hiệu nón R3 với đỉnh gốc với biên ∂K • KT ký hiệu tích Descartes nón K với (0, T ) • ∂KT ký hiệu tích Descartes d S Γi với (0, T ), Γi i=1 mặt nhẵn nón K • C k (Ω) ký hiệu khơng gian hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k Ω, ≤ k ≤ ∞ • C0k (Ω) ký hiệu khơng gian hàm khả vi cấp k có giá compact Ω, ≤ k ≤ ∞ • Lp (Ω) ký hiệu không gian Banach gồm tất hàm khả tổng cấp p, ≤ p < ∞ theo nghĩa Lebesgue Ω • L∞ (Ω) ký hiệu khơng gian Banach gồm tất hàm đo bị chặn hầu khắp nơi Ω • Lp (0, T ; X) ký hiệu không gian tất hàm khả tổng từ [0, T ] vào không gian Banach X với ≤ p < ∞ • L∞ (0, T ; X) ký hiệu không gian hàm u xác định [0, T ] có giá trị X đồng thời với t, u(t) đo bị chặn hầu khắp nơi X • H k (Ω) ký hiệu không gian Hilbert bao gồm tất hàm khả tổng địa phương u Ω cho Dα u tồn thuộc Lp (Ω) ˚k (Ω) ký hiệu không gian Hilbert bao gồm hàm u ∈ H k (Ω) •H cho Dα u = ∂Ω với tất |α| ≤ k − ˚k (Ω) • H −k (Ω) ký hiệu khơng gian đối ngẫu H • Hγm (Ω) ký hiệu khơng gian Sobolev có trọng γ ∈ R gồm hàm v ∈ D0 (Ω)− không gian C0∞ (Ω) trang bị tô pô compact cho rγ+|α|−m Dα v ∈ L2 (Ω), |α| ≤ m, r = |x| • Val,p (Ω) ký hiệu khơng gian Sobolev có trọng a ∈ R, bao đóng C0∞ (Ω \ l0 ), Ω miền với biên ∂Ω gồm hai siêu phẳng Γ1 , Γ2 có giao đa tạp l0 < p < ∞, Hal (Ω) = Val,2 (Ω) l (K) ký hiệu bao đóng C0∞ (K \ S), S = {0} ∪ M1 · · · ∪ Md , với • Vβ,δ β ∈ R, δ = (δ1 , · · · , δd ) ∈ Rd , Mi cạnh nón K MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Các tốn biên tuyến tính phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng miền với biên trơn [3] nhà tốn học nghiên cứu hồn thiện đầu kỷ XX Các toán biên loại dừng miền trơn nghiên cứu nhờ phép phân hoạch đơn vị để đưa toán xét tốn tồn khơng gian nửa khơng gian [19, 24, 27] Các tốn biên khơng dừng hình trụ với đáy miền có biên trơn nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace phép biến đổi Fourier để đưa toán dừng với tham biến miền trơn Từ kỷ XX, toán biên tổng quát phương trình elliptic miền với biên kỳ dị nghiên cứu, kết quan trọng tính đặt tốn tính trơn tiệm cận nghiệm miền với điểm nón biên nhận [49, 50] Nhà khoa học V.A.Kondratiev giải số vấn đề mang tính ngun lí để khắc phục điểm kì dị kiểu nón tốn biên tổng qt phương trình elliptic Tiếp theo, số nhà toán học khác dựa phương pháp V.A.Kondratiev để nghiên cứu toán biên hệ dừng miền với điểm kỳ dị biên [15, 25, 26, 51, 47, 52, 53] Bài toán biên tổng quát phương trình elliptic miền đa diện V Maz’ya, J Rossomann nghiên cứu tính giải khơng gian L2 Sobolev có trọng, khụng gian Hăolder cú trng cỏc nh din, miền nón có cạnh, miền kiểu đa diện [60], kết toán tử pencil áp dụng việc khẳng định tính giải toán Những kết đạt toán biên tổng quát phương trình elliptic miền có điểm nón, miền có điểm lùi, miền có cạnh, miền kiểu đa giác sở quan trọng cho  N N h(x, t), u (t) ≤ kh(t)kL2 (Ω) + kut (t)kL2 (Ω) (2.22) t 47 Sử dụng (2.8), tiếp tục đánh giá hạng tử bên vế phải (2.20), ta Z ∂A N N m−1 N (x, t, u , Du , · · · , D u )dx ∂t Ω   X Z α N p ≤C 1+ |D u | dx |α|≤m−1 Ω Nhận thấy với đa số α với |α| ≤ m − 1, áp dụng bất đẳng , ta cú thc Hăolder v t n2 p ≤ n−2 Z |Dα uN (t)|p dx ≤ CkDα uN (t)kpLnp (Ω) ≤ CkDα uN (t)kpH˚1 (Ω) Ω ≤ CkuN (t)kpH˚m (Ω) Suy Z ∂A
p N N m−1 N N (x, t, u , Du , · · · , D u )dx ≤ C + ku (t)kH˚m (Ω)