Nhập môn cơ học lượng tử  tập 1

N H À X U Ấ T B Ả N G IÁO D Ụ C _ Tai ngay!!! Ban co the xoa dong_ chu nay!!! ề' Hoàng Dũng H-Ù N hập m ôn c HỌC L líự N G T Ử Tập NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1999 INTRODUCTION TO QUANTUM MECHANICS - Volum e H oang Zung D epartm ent of Physics College of N atural Sciences Vietnam National University - Ho Chi Minh City 530 GD - 99 124/228 - 99 DLK01N9 MỤC LỤC Chương 1: N hững khái n iệm sở h ọ c lượng tử 1.1 Lý thuyết tiền lượng tử 1.2 Sóng de Broglie 1.3 Xác suất thông kê 11 1.4 Hàm sóng 14 1.5 Ngun lý chồng chất 17 1.6 Tốn tử 24 1.7 Bài tốn trị riêng 28 1.8 Tính chất tốn tử tuyến tính tự liên hợp 31 1.9 Mô tả đại lượng vật lý học lượng tử 37 1.10 Toán tử xung lượng 41 ^ 1.11 Trị trung bình 46 1.12 Ký hiệu Đirac 53 - e Lrinn Maxwell cho trước diều kiện ban dầu Yàtly_hoc cp_di|n cho ràne hat hai khái niệm hoàn t oàn_dổnập nhau,Jch^ng_thề v ‘ t-rvn tai d ố U n g v & tiÍỊấ k H â L ^ Sổng, củng sóng khơngJhểcó tính h a t phương b ’ n vât lý học cồ điển phương trinh Newton, phương trblh Maxwell cho phép xác định nghiệm cách đơn trị 1.1 Lý thuyết tiền lượng tử cho trước điều kiện ban đàu Tải thời điểm, đại lượng vật lý có giá trị hồn tồn xác định Thứ ba, vật lý học cổ điển cho q trình vật lý diễn m ột cách liên tục Khi điều kiện ban đầu trường ngồi thay đổi đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ (thí dụ nảng lượng, mơmen động lượng ) biến thiên cách liên tục không thề gián đoạn Nói riêng, hạt có diện tích chuyền động với gia tốc, nổ x ạsó n g điện từ cách liên tục Nhưng vào cuổi kỷ 19, khảo sát hiẽn tư ơng xa nhiệt vât đen tuyẽt dổi người ta phát ràng qui luât phán bố nàng lương hoàn tồn trái ngược vói dự đốn vật lỷ học cổ diễn miền bước sổng nhỏ Sư kiẽn dươc goi tai biến tử ngoại tín hiệu đàu tiên hạn chế quan niệm cổ điển Nhằm giải bế tắc này, M Planck (1900) đả đưa ílm y ế i lư ợ n g t n â n g ĩư ự n g mà theo dó cấc nauyẻn ìủ phân tứ hấp thụ xạ lượng cách gián đoạn, theo lượng nhỏ nguyên vẹn gọi lư ợ n g tử n ăn g lượng Độ lớn lượng tử nàng lượng liên hệ với tần số dao động Uỉ nguyên tử hệ thức E = hu> (1.1) h h ằ n g số P lan ck : h = 1, 05 X 10~34J.S = Ổ, 58 X 10" 16eV.s (1.2) Cùng vói vận tốc ánh sáng c = X 108 m /s điện tích nguyên tố e = 1, X 10“ 19 c , số Planck Tì hợp thành ba số vật lý học Vói thuyết lượng tử náng lượng, Planck thu biểu thức cho hàm phân bố nảng lượng vật đen tuyệt đối phù hợp tốt với thực nghiêm Sau này, áp dụng ý tường lượng tử hóa nâng lượng vào tốn dao động mạng tinh thể, A Einstein đâ thiết lập công thức cho phép mô tả đắn phụ thuộc nhiệt dung chất rắn vào nhiệt độ Có thể nói vói thuyết lượng tử Chương Những khái niệm sở học lượng tử nâng lượng, Planck đật sờ đầu tiẽn cho việc xây dựng m ột tranh vật lý hoỉin toàn giới vi mô Năm 1905, ý tường Planck lại Einstein p h át triển nhằm giải thích bế tắc khác vật lý cổ điển tượng quang diện T h u y ế t lư ợ n g t n h sáng Eựiẩtẹin cho ánh sáng tập hợp hạt : p h o to ii :1 Photon có khối lượng nghi khơng, có náng lượng E xung lượng p liên hệ với tần số tư bước sóng A ánh sáng bời công thức (1.1) công thức huj 2nTi V - — = -7- = c A (1.3) với k số sóng: k = tư/c = iĩ/\ Ta viết xung lương photon sau p = Tìk (1-4) véctơ sổng k có hướng trùng với hướng truyền sóng ánh sáng Như với thuyết photon, Einstein dã đặt lại tính hạt ánh sáng vói quan niệm hồn tồn mói Thuyết photon cho phép giải thích dinh luảt quang điẽn cụng hiệu ứng Compton (1923) nhiều tượng vât lý khác m t lý học cồ diẻn l^hơrìg giải thích Tiếp tục phát triển ý tưởng Planck Einstein, nảm 1913 N Bohr đưa th u y ế t n g u y ên tử với tiên dề sau đây: Nguyên tử tồn trạng thái vói nảng lượng xác định gọi trạng thái dừng Năng lượng En trạng thái tạo thành phổ gián đoạn Nguyên tử chi phát xạ hấp thụ nàng lượng chuyển từ trạng thái dừng sang trạng thái dừng khác Tần so UJ photon nguyên tử phát xạ hoác hấp thụ bàng (1.5)1 1T huật ngũ’ photon A H Compton đưa nãm 1923 Chương Trường xuyên tẫm 328 K Hình 6.13: Đồ thị hàm xuyên tâm Rni(r) hàm phân bố xác suất theo khoảng cách Wni(r) = |i2ni(r)|2r đối vói ngun tử hyđrơ 6.7 Ngun tửhyđrơ 329 l nhận giá trị lớn nhốt l — n - 1, hàm có cực đại nhốt Trong trường hợp Ur = từ (6.236), (6.244) ta có W n,n-1 (r) ~ r n - l e-Zr/nao (6.248) Thay biểu thứ c trẽn vào (6.246) ta Wn,n_i (r) ~ r 2n e~2Zr/nao T a tìm Tm a x (6.249) từ phương trìn h dWn,n- Ị ( r ) _ / n r n - l _ ĩ ỉ _ r2n\ e~2Zr/naữ _ dr V nao J (6.250) Từ đâv ta có ra2 V m ,— — (6.251) Đôi V Ơ I nguyên tử hyđrô ( z = 1) trạng thái (n = 1, l = 0), tư cong thức ta có 7'max = CLo• Như vậy, ý nghĩa bán kính Bohr ao (6.188) trờ nên rỗ ràng: khoảng cách tính từ h ạt nhân m xác suất tìm điện tử lón ngun tử hyđrơ trạng thái Đối với trạng thái 2s (n = 2,1 = 0) 2p (n = 2>t = !) rmax « 5, 2a0 rmax = 4a0 Còn trạng thái 3s (n = 3,z = 0), 3p (n = 3fZ = 1) 3d (n = 2,1 = 2) w 13, l a 0, 12a0 9a0 (bảng 6.4) Từ đáy ta có nhận xét trạng thái có số lượng tử n bán kính rmax có giá trị tương đối gàn nhau, trạng thái có n khác rmax có giá trị xa Mặt khác, trạng thái vói n lại có nảng lượng Trên sờ đó, người ta phân trạng thái nguyên tử hyđrố ion giống hyđrô thành láp vân đạo (orbital Shell) ký hiệu lớp sau: n = 1, 2, 3, Lóp : K , L , M , N Chương ổ Trường xuyên 330 Trạng thái 1s 2s 2p 3s 3p u Tmax 1,00 5,20 4,00 13,10 12,00 9,00 < r > 1,50 6,00 5,00 13,50 12,50 12,00 Bảng 6.4: Khoảng cách với xác suất tìm điện tử lón rmax khoảng cách trung bình điện tử tính từ hạt nhân < r > nguyên tử hyđrô trạng thái ls, 2s, 2p, 35,3p, 3d Đơn vị chiều dài ŨQ Hàm phân bố xác suất theo góc Nếu quan tâm tói việc diện từ nàm hướng không gian, lấy tích phân biểu thức (6.245) theo r, ta Wlm(6ì ệ)dí2 = = \Yimie, ệ)\2díỉ X r ° \R j( r ) \2r 2dr J0 |> ĩm (M )|anZm= :/ ^ ( r ) ^ m(r)dr (6.254) Thay vào biểu thức (6.237) lấy tích phân theo biến (r, 0, ộ )ì ta < T ^ rú m [ J0 |-Rnỉ(»,)|2r3íỈ7' ao (6.255) Đại lượng < r >nim xem ”kích thước trung binh” nguyên tử Ta thấy, rmBX [công thức (6.251)], < r > n i m tỉ lệ thuận với n tỉ lệ nghịch với z Đối với trạng thái s (l = 0), ta có < r > njm~ n giá trị thay đổi chút trạng thái có l / ” Kích thước trung bình” ngun tử hyđrơ số trạng thái dược cho bảng 6.4 Tương tự, ta tính trị trung bình r k) với k số nguyên âm dương, trạng thái dừng (6.237) < rk > n im = J ->PÙim{T)rklPnim{T)dT = Ị \Rni{r)\'2r k+2dr (6.256) 335 6.7 Nguyên tử hyđrô Chẳng hạn n’ [„ , , < T ^ nZm — ữ0 ^ \ ^ < 71 ịr nG ^ n im 27 =a° i 11 + + ¿ ỉ ( / + l ) ( ỉ + ) ( Z - l ) ] j (6.258) ^ 7* ^ r ^n/m — (6.259) n 2ao z2 agn3(/ + 1/2) ^nim (6.260) z3 '>nỉm — agn3Z(Z+ ! ) ( /+ /2 ) (6.261) Kết quà cho th < r k > n i m ~ [aữ/ z)k Đồng thời ta thấy, fc số nguyên dương (& > 0) th ì giá tr i < r k >nim phụ thuộc r a t v ' - ,1 \ i— 4-mnP binh g ia i im cn nnư sau Jt\ni K > u, UUU£ (6.256) có từ giá trị T lớn m Rni{r) ~ r " - ex p ( - Z r / n a 0) Con i < —1 đóng góp chủ yếu vào tích phân (6.256) lại xu t từ giá trị T nhỏ m Rni{r ) ~ T1• Tù’ cơng thức (6.259) (6.214), ta di đến kết quà thú vị sau Trị trung bình cua th ế C oulom b (6.183) < V > nlm = -z* < T z2t * > n im — n 2a = En (6.262) Chương Trường xuyên tâm 336 Mặt khác, En tổng động trung bình < K >nlm thé trung bình < V >nim nên < K >n!m = En~ < V >rUm = - E n (6.263) < K > nl m= - < v > nim (6.264) Từ suy Hệ thức trường hợp riêng đ ịn h lý v iria l17 Dưới dạng tổng quát, định lý virial học lượng từ viết sau < K >nlm=< r v y >„im (6.267) Nếu nâng V(r) có đối xứng càu tỉ lệ vói r 3i từ (6.267) ta có 2< >n/m = < T— > n/m = < V > nZm (6.268)' Đối với dao động tử điều hòa = nên ta có < K >nim=< V > n i m * Cịn ngun tử hyđrơ = - nên từ (6.268) ta dễ dàng thu trở lại hệ thức (6.264) 6.8 M ôm en từ quỹ đạo Giả sử nguyên tử hydro trạng thái dừng vái hàm sóng Ipnim(r, e, ậ) = R r d W n i e , ệ) = (r)Z f1(ơ)eím* (6.269)*2 17Trong1cơ học cỏ điển virial hạt theo định nghĩa bàng đại lượng — < F.r >t /2 với F lực tác dụng lên hạt ký hiệu < >t phép lấy trung bình theo thời gian Định lý virial học cổ điển diễn đạt bời hệ thức < K >,= < F.r >, ( 6 ) < K > t = < r.v v >t ( 6 ) - ỉ Do F = —v v nên Hệ thức cổ điền giống hệ thức (6.267) học lượng tử 6.8 Mômen từ quỹ đạo 337 tro n g Cim số, p p 1(9) hàm Legendre liên kết định nghĩa tro n g 4.4 T a tín h m ậ t độ dòng điện gây chuyển động điện tử quanh h t nhân T heo định nghĩa, m ật độ dòng điện nguyên tử tro n g trạn g th i -ệrdm b ằn g 18: ìcTí j = - ^ (V’n/mVV>;/m - V'n/mV V’nim) (6.270) T rong hệ tọ a độ càu, to n tử g rad ien t V gồm ba th àn h phần _ / a_ l d _ d \ ^ Vd r ’ r ’ r sin d ậ ) (6.271) Vì hình chiếu véctơ j bán kính, kinh tuyến vĩ tuyến bàng jr 2fl (6.272) je= ~ ỉỆ - r nlm ^ n l m ) 2fir sin — (6.273) (6.274) th Sửt dụn.g (6-269) lưu ý Rnỉ(r) PỊ*(fi) cắc hàm ^ ị r nlm = ^ m| « W ) Do jr = je = leĐ ể tiện, dây ta dùng ký hiệu j để chí mật độ dịng điện Đại bàng véctơ mật độ dịng xác suất nhán vdi điện tích điện tử - e (6.276) lượng 338 Chương Trường xuyên tâm Hình 6.IT k^mh họa việc tinh m ô ix iG n tir quy đao ngun tử Hình chiếu m ật độ dịng điện vĩ tuyến bàng = _ ~ ~ 2ịLT sin rneh ị - < z m.(i™)^nim} (6.277) Các kết trẽn cho thấy, nguyên tử trạng thái dừng iỊ)nlm hình chiếu m ật độ dịng diện bán kính kinh tuyến bàng khơng, có hình chiếu vĩ tuyến khác khơng Độ lón j l phụ thuộc vào số lượng tử từ m Dựa vào kết qua trên, ta tính mơmen từ quỹ đạo M ngun tử Muốn trước tiên ta tính mơmen từ quỹ đạo dM dịng điện chạy qua diện tích dơ vng góc với vĩ tuyen (hình 6.17) 6.8 Mơmen từ quỹ đạo 339 Cưòrng độ dòng điện q u a dơ d lt = u «to (6-278) Gọi s diện tích hình trị n tâ m O l bán kính rs in (hình 6.17): s = 7rr2sin2 Theo diện động lực học, dòng diện d ĩ chạy quanh hình trị n diện tích s tạ o r a m ơm en từ có độ lớn dM = ( s /c )d l Hình chiếu trụ c z bàng i M z = - d ỉỳ c T hay vào d ĩ ộ từ (6.278), ta dM z = ——5/* ịipnim |27rr sin 6dơ cụ, = ^ \ỳ rd m \~ V Cịi (6.279) (G.280) với d y = 2irr sin Odơ th ề tích ống ngun tố dạng vành khăn có bán kính rsinế? tiế t diện da (xem hình 6.17) Lấy tích phân theo tồn khơng gian đồng thờ i lưu ý tín h chuẩn hóa ham song 'ệrxim, ta tìm dược = fic = (6-281) fiB = e%/2Ị1 C m agneton Bohr Do m = 0, ±1, • • • ^ nêf M z bị lượng tử hóa T rị tu y ệt dối lớn củạ Mz la v* nhỏ không Do L z = m k nên trạng thái với Lz Ỷ có dịng điện chạy ngun tử Dịng điện nà}' tạo mome ^ (6.281) nên ta có thề xem nguyên tử m ột lưỡng cực tự rá ^ \MZ\ tín h đcm vị /Ĩb L z tính đom vị g?1 ^ tử hồi chuyển quỹ đạo (orbital gyromagnetic ration), ky *• \M z \/ hb (6.282) 9L = \Lz\/h Dễ thấy gL = Đại lượng lớn gấp đôi tỉ số từ hồi chuyên sp ffs = (xem 4-1) H oàng Dũng, 1997 B i t ậ p C h ọ c l ợ n g t (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh) K r o e m e r , H 1994 Q u a n t u m M e c h a n i c s f o r E n g i n e e r i n g , M a t e r i a l S c i e n c e a n d A p p l i e d P h y s i c s (Prentice-Hall, New Jersey) Landau, L D., E M Lifshitz, 1965 Q u a n t u m M e c h a n i c s Addison-Wesley Readings, Mass.) Liboff, R L 1980 I n t r o d u c t o r y Q u a n t u m M e c h a n i c s (HoldenDay, Oakland, California) M i i i V eev, A N 1989 V ậ t l ý n g u y ê n t (Nauka, Mátxcơva) M essiah, A 1991 Q u a n t u m M e c h a n i c s (North-Holland, Amsterdam) Morrison, M A., Th L E stle, N F Lane, 1991 U n d e r s t a n d i n g m o r e q u a n t u m p h y s i c s (Prentice-Hall, New Jersey) N guyễn Hoàng Phương, 1998 N h ậ p m ô n C h ọ c l ợ n g t (Nhà Xuất Giáo dục, Hà nội) Park, D., 1992 I n t o d u c t i o n t o Q u a n t u m T h e o r y (McGraw-Hill Singapore) P erỉin E., 1975 Các giảng Cơ học lượng tử (Kishinev State University Press) Sakurai, J J., and San Fu Tuan, 1994 M o r d e n Q u a n t u m M e c h a n i c s (Addison-Wesley, New York) Schiff, L.I., 1968 Q u a n t u m M e c h a n i c s (McGraw-Hill, New York) Sokolov, A A., I M Ternov, V Jukovsky, 1979 C h ọ c l ợ n g t ứ (Nauka, Mátxcơva) Spolsky, E V., 1974 V ậ t l ý n g u y ê n t (Nauka, Mátxcơva) T o w n s e n d , J s 1992 A M o d e r n A p p r o a c h to Q u a n t u m M e c h a n i c s (McGraw-Hill, New York) W ich m a n n , E H., 1971 Q u a n t u m P h y s i c s B e r k e l e y P h y s i c s C o u r s e , V o l (McGraw-Hill, New York) TÀ I L IỆ U THAM KHẢO Blokhintsev, D I., 1983 Cơ sở học lượng tủ (Nauka, Mátxcơva) B ohm , D., 1979 Quantum Theory (Prentice-Hall, New York) Bransden, B H , and c J Joachain, 1995 Introduction to Quantum Mechttnics (Longman Scientific & Technical, London) Cohen-Tannoudji, c , B Diu and F Laloe, 7 Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, Paris) Davydov, A s , 1973 Cơ học lượng tử (Nauka, Mátxcơva) D irac, p A M., 1967 The Principles o f Quantum Mechanics (Oxford U niversity Press, Oxford) E isb e rg , R., a n d R R e sn ic k , 1985 Quantum Physics of Atom s, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (John Wiley Sons, N ew Y o*.k) Eliutin, p V , V D Krivchenkov, 1976 Cơ hoc lương tủ (Nauka, Mátxcơva) Feynman, R p , R B Leighton, and M Sands, 1965 The Feynman Lectures on Physics, Vol 3: Quantum Mechanics, (Addison-Wesley, M assachusetts) Flügge, s , 1964 Practical Quantum Mechanics (Springer­ verlag, New York) Galitsky, V M., B M Karnakov, V I Kogan, 1981 Bài tập Cơ học lượng tử (Nauka, Mátxcova) Gasiorowicz, s , 1996 Quantum Physics (John Wiley & Sons, New York) G re in e r, w , 1994 Quantum M e c h a n i c s : A n I n t r o d u c t i o n (Springe -Verlag Berlin Heidenberg) G riffith s, D., 1995 I n t r o d u c t i o n t o Q u a n t u m M e c h a n i c s (Prentice-Hall, New Jersey) C h ị u t r c h n h i ệ m x u ấ t b ả n ' Giám đốc PHẠM VÃN AN Tổng biên tập NGUYỄN NHƯ Ý Biên tập: NGUYỄN VIỆT PHƯƠNG T r ì n h b ầ y b ìa : HỒNG VIỆT NHẬP MƠN C HỌC LƯỢNG TỬ - T ậ p In 700 cuốn, khổ 14.5 X 20.5 cin xưởng in ĐHKHTN SỐ ĐKKHXB 124/228 - 99 CXB cấp ngày 10/02/1999 In xong nộp lưu triều tháng năm 1999