Ứng dụng cơ học lượng tử trong điện toán lượng tử

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ HỒ THỊ MỸ QUYÊN ỨNG DỤNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TRONG ĐIỆN TỐN LƯỢNG TỬ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng, 2023 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990017540961000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ HỒ THỊ MỸ QUYÊN ỨNG DỤNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TRONG ĐIỆN TOÁN LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Sư phạm vật lí Khóa học: 2019 - 2023 Người hướng dẫn: TS Dụng Văn Lữ Vật lí lí thuyết VL tốn – Khoa Vật lý Đà Nẵng, 2023 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô, bạn bè Khoa Vật lý – Đại học Sư phạm – ĐH Đà Nẵng giúp đỡ tận tình để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Dụng Văn Lữ cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình thực khóa luận Do thời gian thực hiên khố luận cịn hạn chế nên đề tài nghiên cứu khơng thể khơng trách khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý đánh giá q thầy bạn bè để em hồn thành Khố luận tốt hơn, nâng cao kiến thức thân, phục vụ tốt q trình cơng tác em sau Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng năm 2023 Sinh viên thực (Ký ghi rõ họ tên) Hồ Thị Mỹ Quyên I MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN I DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT IV DANH MỤC BẢNG BIỂU, DANH MỤC HÌNH V MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Sơ lược ý tưởng hình thành học lượng tử điện tốn lượng tử 1.2 Khơng gian vector tuyến tính 1.3 Các nguyên lí học lượng tử 1.3.1 Trạng thái hệ lượng tử nguyên lí chồng chất .8 1.3.2 Sự tiến triển theo thời gian hệ lượng tử 1.3.3 Đo lường lượng tử 10 1.3.4 Nguyên lí bất định Heisenberg .10 1.3.5 Vướng víu lượng tử 11 1.3.6 Pha tương đối 11 1.4 Kết luận chương .12 CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ ĐIỆN TOÁN LƯỢNG TỬ 13 2.1 Giới thiệu điện toán lượng tử 13 2.2 Cơ sở lượng tử điện toán lượng tử 14 2.2.1 Bit lượng tử trạng thái qubit 14 2.2.2 Cổng qubit đơn .20 2.2.3 Cổng điều khiển tạo trạng thái vướng víu 22 2.2.4 Thuật toán lượng tử .22 2.3 Ứng dụng điện toán lượng tử 24 2.4 Kết luận chương .26 CHƯƠNG THUẬT TOÁN BIẾN ĐỔI FOURIER LƯỢNG TỬ VÀ ƯỚC LƯỢNG PHA LƯỢNG TỬ 27 3.1 Thuật toán Fourier lượng tử .27 3.1.1 Khái quát biến đổi Fourier .27 3.1.2 Triển khai QFT với qubit 29 3.1.3 Triển khai QFT với n qubit 30 3.1.4 Triển khai QFT với qubit 31 3.2 Thuật toán ước lượng pha lượng tử (QPE) 36 3.2.1 Giới thiệu ước lượng pha lượng tử (QPE) .37 II 3.2.2 Nền tảng tính toán QPE 38 3.3 Thuật toán HHL .40 3.3.1 Giới thiệu 40 3.3.2 Một số tảng toán học 41 3.3.3 Mơ tả thuật tốn HHL 42 3.3.4 Ước tính pha lượng tử (QPE) HHL .43 3.3.5 QPE khơng xác 44 3.3.6 Tính tốn HHL với qubit 44 3.4 Ứng dụng khác QFT QPE 46 3.5 Kết luận chương 48 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 III DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT Kí hiệu Diễn giải HHL (Thuật toán) Harrow-Hassidim-Lloyd QFT (Thuật toán) biến đổi Fourier lượng tử (Quantum Fourier Transform) QPE (Thuật toán) ước lượng pha lượng tử (Quantum Phase Estimation) IV DANH MỤC BẢNG BIỂU, DANH MỤC HÌNH Nội dung Hình 2.1 Hệ vật lí cho qubit: (a) spin điện tử (b) hệ hai mức Trang 14 lượng Hình 2.2 Phân cực photon biểu diễn cho qubit: (a) phân cực ngang 15 (b) phân cực ngang thẳng đứng Hình 2.3 Quả cầu Bloch biểu diễn qubit 16 Hình 2.4 Các điểm biểu diễn cầu Bloch 17 Hình 3.1 Mạch triển khai QFT 30 Hình 3.2 Mơ hình mạch QFT với qubits 33 Hình 3.3 Biểu diễn cổng X cho qubit 35 Hình 3.4 Biểu diễn trạng thái ba qubit cầu Bloch 35 Hình 3.5 Mạch QFT ba qubit có thêm cổng X 36 Hình 3.6 Biểu diễn trạng thái ba qubit sau QFT cầu 36 Bloch Hình 3.7 Mơ hình mạch HHL 38 V MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Máy tính điện tử đời, trải qua lịch sử phát triển, từ chức ban đầu thực tính tốn số học, ngày với chức xử lí, lưu trữ truyền tin, máy tính xâm nhập vào tất lĩnh vực hoạt động người, trở thành trụ cột công nghệ thông tin làm thay đổi mặt giới đại, bao gồm thói quen sinh hoạt lề lối làm việc người Yếu tố khiến máy tính có bước tiến gia tăng tốc độ tính tốn theo quy luật hàm số mũ Theo định luật Moore, cơng suất tính tốn máy tính 24 tháng tăng lên hai lần Tuy nhiên, tồn nhiều tốn tự nhiên chưa có cách thức giải máy tính tốn có độ phức tạp lớn Những tốn có ý nghĩa lớn thực tế Đặc biệt toán đủ sử dụng thuật tốn mã hóa phi đối xứng như: tốn phân tích số ngun tố, tốn logarit rời rạc, Với máy tính cổ điển việc giải tốn chưa đạt hiệu mong muốn, hay nói cách khác, hệ mật dựa toán tương đối an tồn sức mạnh tính tốn cổ điển Với quan điểm cho rằng: “Có thể chế tạo cỗ máy tính tốn đơn dựa tượng vật lí” mà cụ thể máy tính lượng tử, R.P Feynman đề xuất mơ hình tính tốn hồn tồn "mơ hình máy tính lượng tử" dựa lí thuyết học lượng tử Các máy tính cổ điển dựa khái niệm vật lí cổ điển, chứng minh vật lí chất vật lí cổ điển khơng thể mơ tả tồn tượng giới thực Do tiềm việc nghiên cứu sở tính tốn điện tốn lượng tử cần thiết Để hiểu cách thức hoạt động thuật toán điện toán lượng tử, cần hiểu rõ nguyên tắc học lượng tử thành phần điện toán lượng tử qubit, phép đo, cổng logic lượng tử, v.v Tuy nhiên, tính đặc thù học lượng tử, nghiên cứu ứng dụng điện tốn lượng tử địi hỏi hiểu biết sâu rộng khái niệm cơng cụ vật lí lượng tử Vì đề tài “ứng dụng học lượng tử điện toán lượng tử” lựa chọn để giải thích đời, lịch sử khái niệm học lượng tử áp dụng chúng vào điện tốn lượng tử Bằng cách tìm hiểu thành phần điện toán lượng tử cách chúng hoạt động sở lí thuyết học lượng tử, hiểu rõ tiềm hạn chế thuật toán điện tốn lượng tử cách chúng sử dụng thực tiễn Mục tiêu nghiên cứu Đề tài tập trung phân tích cách mà học lượng tử ứng dụng lĩnh vực điện toán lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục tiêu đó, đề tài tập trung thực nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu phân tích khái niệm học lượng tử trạng thái, tốn tử, v.v - Tìm hiểu phân tích khái niệm điện tốn lượng tử bit lượng tử, cổng lượng tử, thuật tốn lượng tử, v.v - Phân tích khác điện toán cổ điển điện toán lượng tử tầm quan trọng học lượng tử điện tốn lượng tử - Tìm hiểu sở lượng tử thuận toán Fourier ước lượng pha lượng tử điện tốn lượng tử - Giải thích ứng dụng học lượng tử thuật tốn điện tốn lượng tử, bật thuật toán biến đổi Fourier lượng tử ước lượng pha lượng tử - Tìm hiểu ứng dụng điện toán lượng tử thuật toán biến đổi Fourier lượng tử ước lượng pha lượng tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: sở tính tốn lượng tử điện toán lượng tử - Phạm vi nghiên cứu: học lượng tử ứng dụng điện toán lượng tử; thuật toán biến đổi Fourier lượng tử ước lượng pha lượng tử Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tổng quan học lượng tử máy tính lượng tử thơng qua nguồn tài liệu sách tạp chí chuyên ngành Từ đó, nghiên cứu thuật tốn Fourier ước lượng pha lượng tử CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Sơ lược ý tưởng hình thành học lượng tử điện tốn lượng tử Cơ học lượng tử lĩnh vực vật lí mơ tả hành vi vi hạt mức độ nguyên tử phân tử, trạng thái vi hạt mơ tả hàm sóng So với học cổ điển, học lượng tử có khác biệt cách tiếp cận vấn đề kết thu Cuộc tranh luận sâu sắc vấn đề ánh sáng chùm hạt hay sóng nhiều kỉ Newton ủng hộ quan niệm hạt ánh sáng, ơng tin khơng thể giải thích diện bóng sắc nhọn đằng sau vật thể ánh sáng sóng Tuy nhiên, quan điểm hạt ông không đầy đủ nên chưa giải thích tượng ánh sáng mang tính chất “sóng” Trong chất sóng ánh sáng chứng minh thí nghiệm giao thoa, điển hình thí nghiệm khe Young, dựa nguyên lí chồng chất: hai sóng phát nguồn (sóng kết hợp) đến gặp chắn, hàm sóng sóng giao thoa tổng đại số hàm sóng sóng thành phần Tính chất sóng thể qua tượng nhiễu xạ, phân cực tán sắc khác Vào nửa sau kỷ 19, Maxwell tổng hợp xây dựng nên lí thuyết điện từ, rõ ánh sáng sóng điện từ Lí thuyết giải tất vấn đề liên quan đến tính “sóng”, khơng thể giải thích phân bố lượng xạ vật đen phát Năm 1900, Max Planck mở đầu cho phát triển học lượng tử, ông đưa giả thuyết dao động tử phát hấp thụ theo bội số nguyên lượng tử lượng Δ𝐸 = ℎ𝑓, lượng dao động tử số nguyên lần lượng tử lượng 𝐸 = 𝑛ℎ𝑓trong n số nguyên, 𝑓 tần số ánh sáng ℎ số Planck Vào năm 1905, Albert Einstein cho ánh sáng bao gồm chùm hạt, hạt (gọi photon) mang lượng ℎ𝑓 động lượng 𝑝 = ℎ𝑓/𝑐 đề giải thích ứng quang điện, từ lí thuyết hạt ánh sáng dần hình thành Vào năm 1913, Niels Bohr đưa mơ hình ngun tử giải thích đặc tính phổ hấp thụ phát xạ ngun tử hydrogen Mơ hình cho electron nguyên tử có trạng thái dừng, gọi trạng thái lượng tử, Chúng ta lấy cổng mà biết rõ, cổng T sử dụng ước tính pha 𝑖𝜋 lượng tử để ước tính pha Bạn nhớ cổng T thêm pha 𝑒 trạng thái |1⟩: 𝑇|1⟩ = [ 0 𝑖𝜋 𝑖𝜋 ] [ ] 𝑒 |1⟩ 𝑒4 Bởi QFT cho ta 𝜃 𝑇|1⟩ = 𝑒 2𝑖𝜋𝜃 |1⟩ Ta mong đợi tìm 𝜃 = 3.3 Thuật toán HHL Trong hướng phần này, em giới thiệu thuật toán Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL), tảng tính tốn thuật tốn Sau em trình bày ví dụ thuật tốn với qubits 3.3.1 Giới thiệu Hệ phương trình tuyến tính có mặt khắp nơi khoa học kỹ thuật, và, lĩnh vực nghiên cứu, việc sử dụng ma trận cách hiệu trở thành lĩnh vực nhiều người quan tâm Chúng phát sinh tự nhiên nhiều ứng dụng thực tế nhiều lĩnh vực, chẳng hạn giải pháp phương trình vi phân phần, hiệu chuẩn mơ hình tài chính, mơ chất lỏng tính tốn trường số Hầu hết phương pháp cổ điển để thao tác với ma trận hoạt iđộng thời gian đa thức, (không giống giải pháp cổ điển cho Deutsch-Jozsa tốn tìm kiếm mà thấy trước đó) Thật khơng may, phân tích liệu ngày trở nên mạnh mẽ hơn, kích thước ma trận làm cho thời gian đa thức trở nên dài Được phát triển Aram Harrow, Avinatan Hassidim Seth Lloyd, HHL thuật toán lượng tử xấp xỉ hàm vectơ nghiệm hệ phương trình tuyến tính, với độ phức tạp thời gian chạy 𝑂(log(𝑁) 𝑠 κ2 ) Việc giảm thời gian có ý nghĩa đáng kể việc tăng tốc độ nhiều thuật tốn học máy máy tính lượng tử Vấn đề định nghĩa là, cho trước ma trận A ∈ 𝐶 𝑁×𝑁 vecto 𝑏⃗ ∈ 𝐶 𝑁 , tìm 𝑥 ∈ 𝐶 𝑁 thỏa mãn 𝐴𝑥 = 𝑏⃗ 40 Ví dụ: cho N=2 3) ; 𝑥 = (𝑥1 ) ; 𝑣à 𝑏⃗ = (1) 𝑥2 1 − 𝐴=( − Do đó, viết dạng tìm 𝑥1 , 𝑥2 cho 𝑥2 𝑥1 − = { 𝑥 − + 𝑥2 = 3.3.2 Một số tảng toán học Bước hướng tới việc giải hệ phương trình tuyến tính máy tính lượng tử mã hóa vấn đề ngơn ngữ lượng tử Bằng cách thay đổi kích thước hệ thống, giả định 𝑏⃗ 𝑥 chuẩn hóa ánh xạ chúng đến trạng thái lượng tử tương ứng |𝑏⟩ |𝑥⟩ Thông thường ánh xạ sử dụng cho thành phần thứ 𝑖 𝑏⃗ (tương ứng 𝑥 ) tương ứng với biên độ thứ 𝑖 trạng thái trạng thái lượng tử |𝑏⟩ Vấn đề giải sau 𝐴|𝑥⟩ = |𝑏⟩ Vì 𝐴 Hermitian, 𝑁−1 𝐴 = ∑ 𝜆𝑗 |𝑢𝑗 ⟩⟨𝑢𝑗 | , 𝜆𝑗 ∈ 𝑅 𝑗=0 Trong đó, |𝑢𝑗 ⟩ vector riêng thứ 𝑖 A tương ứng với trị riêng 𝜆𝑗 Nên, 𝑁−1 −1 𝐴 = ∑ 𝑏𝑗 |𝑢𝑗 ⟩ , 𝑏𝑗 ∈ 𝐶 𝑗=0 Rất hữu ích nhớ mục tiêu HHL thoát khỏi thuật toán với ghi đọc trạng thái 𝑁−1 𝑏⟩ = ∑ 𝜆𝑗−1 𝑏𝑗 |𝑢𝑗 ⟩ −1 | |𝑥⟩ = 𝐴 𝑗=0 Lưu ý có số chuẩn hóa ngầm nói trạng thái lượng tử 41 3.3.3 Mô tả thuật tốn HHL Mơ hình mạch cho thuật tốn HHL thể hở hình 3.4 Để đơn giản, tất tính tốn giả định xác phần mơ tả giải thích chi tiết trường hợp khơng xác đưa Phần 2.D Hình 3.7 Mơ hình mạch HHL Tải liệu |𝑏⟩ ∈ 𝐶 𝑁 Chính thực chuyển đổi: |0⟩𝑛𝑏 ↦ |𝑏⟩𝑛𝑏 Áp dụng ước tính pha lượng tử (QPE) với 𝑁−1 𝑈 = 𝑒 𝑖𝐴𝑡 ≔ ∑ 𝑒 𝑖𝜆𝑗𝑡 |𝑢𝑗 ⟩⟨𝑢𝑗 | 𝑗=0 trạng thái lượng tử ghi biểu thị sở riêng A 𝑁−1 ∑ 𝑏𝑗 |𝜆𝑗 ⟩𝑛𝑙 |𝑢𝑗 ⟩𝑛𝑏 𝑗=0 đó, |𝜆𝑗 ⟩𝑛𝑙 biểu diễn nhị phân 𝑛𝑙 bit 𝜆𝑗 Thêm qubit phụ áp dụng vịng quay có điều kiện lên |𝜆𝑗 ⟩, 𝑁−1 ∑ 𝑏𝑗 |𝜆𝑗 ⟩𝑛𝑙 |𝑢𝑗 ⟩𝑛𝑏 (√1 − 𝑗=0 𝐶2 𝐶 | ⟩ |1⟩) + 𝜆𝑗 𝜆𝑗 Trong C số chuẩn hóa, biểu thị dạng trên, phải nhỏ giá trị riêng nhỏ 𝜆𝑚𝑖𝑛 độ lớn, tức |𝐶 | < 𝜆𝑚𝑖𝑛 Áp dụng 𝑄𝑃𝐸 † , bỏ qua lỗi xảy từ QPE, điều dẫn đến: 42 𝑁−1 ∑ 𝑏𝑗 |0|𝑛𝑙 |𝑢𝑗 ⟩ 𝑗=0 𝑛𝑏 ( √1 − 𝐶2 𝐶 | ⟩ |1⟩) + 𝜆𝑗 𝜆𝑗 Đo qubit phụ sở tính tốn Nếu đầu 1, ghi trạng thái sau đo lường mà tối đa hệ số chuẩn hóa tương ứng với nghiệm Áp dụng quan sát M để tính 𝐹 (𝑥) ≔ ⟨𝑥|𝑀|𝑥 ⟩ 3.3.4 Ước tính pha lượng tử (QPE) HHL Ước lượng pha lượng tử mô tả chi tiết mục 3.2 Tuy nhiên, thủ tục lượng tử cốt lõi thuật tốn HHL, chúng tơi nhắc lại định nghĩa Nói cách đại khái, thuật toán lượng tử, cho trước U đơn nguyên với vecto riêng |𝜓⟩𝑚 trị riêng 𝑒 2𝜋𝑖𝜃 , tìm 𝜃 𝑚 ×2𝑚 Định nghĩa: Cho 𝑈 ∈ 𝐶 𝑚 đơn nguyên |𝜓⟩𝑚 ∈ 𝐶 vecto riêng ứng với trị rein g𝑒 2𝜋𝑖𝜃 Thuật tốn ước tính pha lượng tử, viết tắt QPE, lấy đầu vào cổng đơn nguyên U trạng thái |0⟩𝑛 |𝜓⟩𝑚 trả trạng thái |0̃⟩𝑛 |𝜓⟩𝑚 Ở 0̃ biểu thị số xấp xỉ nhị phân đến 2𝑛 𝜃 n số biểu thị cắt bớt thành n chữ số QPE(U,|0⟩𝑛 |𝜓⟩𝑚 ) = |𝜃̃⟩𝑛 |𝜓⟩𝑚 Đối với HHL, sử dụng QPE với 𝑈 = 𝑒 𝑖𝐴𝑡 , A ma trận liên quan đến hệ thống mà muốn giải Trong trường hợp này, 𝑁−1 𝑒 𝑖𝐴𝑡 = ∑ 𝑒 𝑖λ𝑗𝑡 |𝑢𝑗 ⟩⟨𝑢𝑗 | 𝑗=0 Sau đó, vecto riêng |𝑢𝑗 ⟩𝑛 , có trị riêng 𝑒 𝑖𝜆𝑗𝑡 , QPE xuất |𝜆̃𝑗 ⟩𝑛 |𝑢𝑗 ⟩𝑛 Ở 𝑏 𝑙 đây, 𝜆̃𝑗 biểu diễn nhị phân 𝑛𝑙 bit, xấp xỉ 2𝑛𝑙 𝜆𝑗 𝑡 2𝜋 Vì vậy, 𝜆𝑗 biểu diễn xác 𝑛𝑙 bits, 43 𝑏 𝑁−1 𝑄𝑃𝐸(𝑒 𝑖𝐴𝑡 𝑁−1 , ∑ 𝑏𝑗 |0⟩𝑛𝑙 |𝑢𝑗 ⟩𝑛 ) = ∑ 𝑏𝑗 |𝜆𝑗 ⟩𝑛 |𝑢𝑗 ⟩𝑛 𝑏 𝑗=0 𝑙 𝑗=0 𝑏 3.3.5 QPE khơng xác Trong thực tế, trạng thái lượng tử ghi sau áp QPE trạng thái ban đầu 𝑁−1 2𝑛 𝑙−1 ∑ 𝑏𝑗 ( ∑ 𝛼𝑙|𝑗 |𝑙⟩𝑛𝑙 ) |𝑢𝑗 ⟩ 𝑛 𝑗=0 𝑙=0 𝑏 Trong đó: 2𝑛 𝑙−1 𝛼𝑙|𝑗 𝜆 𝑡 𝑙 𝑗 2𝜋𝑖( − ) 2𝜋 2𝑛 𝑙 ) = 𝑛 ∑ (𝑒 𝑙 𝑘 𝑘=0 Biểu thị 𝜆̃𝑗 … xấp xỉ 𝜆𝑗 , ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 Sau đó, gắn lại ghi thứ 𝑛𝑙 cho 𝛼𝑙|𝑗 biểu thị biên độ |𝑙 + 𝜆̃𝑗 ⟩ Vì 2𝑛 𝑙−1 𝛼𝑙|𝑗 𝜆𝑗 𝑡 𝑙 + 𝜆̃𝑗 ≔ 𝑛 ∑ (𝑒 2𝜋𝑖 ( − 𝑛 )) 𝑙 2𝜋 𝑙 𝑘 𝑘=0 Nếu 𝜆𝑗 𝑡 2𝜋 biểu diễn xác với bit nhị nguyên 𝑛𝑙 , 𝜆𝑗 𝑡 2𝜋 = ̃ 𝜆𝑗 2𝑛 𝑙 ∀ 𝑗 Vì trường hợp ∀ 𝑗, ≤ 𝑗 ≤ 𝑁, 𝛼0|𝑗 = 𝛼𝑙|𝑗 = ∀𝑙 ≠ Chỉ trường hợp này, ta viết trạng thái ghi sau QPE 𝑁−1 ∑ 𝑏𝑗 |𝜆𝑗 ⟩𝑛 |𝑢𝑗 ⟩𝑛 𝑙 𝑗=0 Ngược lại, |𝛼𝑙|𝑗 | lớn 𝜆𝑗 𝑡 2𝜋 ≈ 𝑏 ̃𝑗 𝑙+𝜆 2𝑛 𝑙 trạng thái ghi 𝑁−1 2𝑛 𝑙−1 ∑ ∑ 𝛼𝑙|𝑗 𝑏𝑗 |𝑙⟩𝑛𝑙 |𝑢𝑗 ⟩𝑛 𝑗=0 𝑙=0 𝑏 3.3.6 Tính tốn HHL với qubit Hãy lấy ví dụ nhỏ từ phần giới thiệu để minh họa cho thuật tốn Đó là, 𝐴=( − − 1 ) |𝑏⟩ = ( ) 44 Chúng ta sử dụng 𝑛𝑏 = qubit để biểu diễn |𝑏⟩, sau nghiệm |𝑥⟩, 𝑛𝑙 = qubits để lưu trữ biểu diễn nhị phân giá trị riêng qubit phụ để lưu trữ vòng quay có điều kiện, thuật tốn thành cơng Với mục đích minh họa cho thuật tốn, ăn gian chút tính giá trị riêng A để lựa chọn t để có biểu diễn nhị phân xác giá trị riêng thay đổi tỷ lệ ghi 𝑛𝑙 Tuy nhiên, lưu ý để triển khai thuật tốn HHL, người ta khơng cần biết trước giá trị riêng Phải nói rằng, phép tính ngắn cho 𝜆1 = ; 𝜆2 = 3 Nhớ lại từ phần trước QPE xuất bit nhị phân thứ 𝑛𝑙 (2-bit trường hợp này) xấp xỉ 𝜆𝑗 𝑡 2𝜋 Từ đó, đặt 𝑡 = 2𝜋 QPE cung cấp cho nhị phân bit xấp xỉ 𝜆1 𝑡 2𝜋 𝜆2 𝑡 2𝜋 = = Đó là, tương ứng, |01⟩𝑛𝑙 |10⟩𝑛𝑙 Vecto riêng tương ứng tương đương, |𝑢1 ⟩ = √2 ( 1 ) |𝑢2 ⟩ = ( ) √2 −1 Một lần nữa, nhớ người ta khơng cần tính tốn vecto riêng cho việc triển khai HHL Trên thực tế, ma trận chung Hermitian A có kích thước N có tối đa N giá trị riêng khác nhau, việc tính tốn chúng thời gian 𝒪 (𝑁) lần lợi lượng tử bị Sau đó, viết |𝑏⟩ sở riêng A |𝑏⟩𝑛𝑏 = ∑ √2 𝑗=1 |𝑢𝑗 ⟩𝑛 𝑏 Bây sẵn sàng để trải qua bước khác thuật toán HHL Trạng thái ban đầu ví dụ khơng kể |𝑏⟩ = |0⟩ 45 Áp dụng QPE mang lại √2 |01⟩|𝑢1 ⟩ + √2 |10⟩|𝑢2 ⟩ 1 Phép quay có điều kiện với 𝐶 = nhỏ giá trị riêng nhỏ (đã thay đổi tỷ lệ) Lưu ý, số 𝐶 cần lựa chọn cho nhỏ giá trị riêng nhỏ lớn để đo qubit phụ xác suất trạng thái |1⟩ lớn √2 = |01⟩|𝑢1 ⟩ (√1 − (0,8)2 ( ) |0⟩ + 81 |1⟩) + √2 |10⟩|𝑢2 ⟩ (√1 − (0,8)2 2 ( ) |0⟩ + 81 |1⟩) 1 1 1 |01⟩|𝑢1 ⟩ (√1 − |0⟩ + |1⟩) + |10⟩|𝑢2 ⟩ (√1 − |0⟩ + |1⟩) 16 √2 √2 Sau áp dụng 𝑄𝐹𝐸 ∔ máy tính lượng tử trạng thái 1 1 1 |00⟩|𝑢1 ⟩ (√1 − |0⟩ + |1⟩) + |00⟩|𝑢2 ⟩ (√1 − |0⟩ + |1⟩) 16 √2 √2 Đầu đo qubit phụ, trạng thái 1 1 |00⟩|𝑢1 ⟩ |1⟩ + |00⟩|𝑢2 ⟩ |1⟩ √2 √2 √5 32 Một phép tính nhanh cho thấy: 1 |𝑢1 ⟩ + |𝑢2 ⟩ |𝑥⟩ 2√2 4√2 = ||𝑥 || √5 32 Không cần sử dụng thêm cổng, định mức |𝑥⟩: xác suất đo qubit phụ từ bước 𝑃(|1⟩) = ( 3.4 2√2 ) +( 4√2 ) = Ứng dụng khác QFT QPE 46 = ||𝑥||2 32 Biến đổi Fourier lượng tử sử dụng rộng rãi ứng dụng mã hóa giải mã thơng tin, tìm kiếm thơng tin sở liệu lớn, giải tốn quan trọng lí thuyết số vật lí lượng tử Sử dụng QFT giúp cho thuật tốn tìm kiếm nhanh hơn, hiệu giảm thiểu thời gian tính tốn, tiêu tốn tài nguyên so với phương pháp tìm kiếm cổ điển Thuật tốn tìm kiếm Grover ứng dụng quan trọng QFT Nó sử dụng để tìm kiếm thơng tin sở liệu lớn với tốc độ nhanh so với thuật tốn tìm kiếm cổ điển Với cách thức hoạt động thuật toán Grover, có sở liệu gồm 𝑁 phần tử tập hợp chúng đánh dấu hàm 𝑓(𝑥) Nếu ta biết vị trí phần tử đánh dấu, tìm với phép tra cứu đơn giản Tuy nhiên, khơng biết vị trí phần tử đánh dấu, ta phải thực nhiều lần tra cứu đến tìm phần tử Trong trường hợp này, số lần tra cứu cần thực 𝑂(𝑁) Thuật toán sử dụng QFT để giảm số lần tra cứu cần thực Điều đạt cách sử dụng số qubit để biểu diễn vị trí phần tử cần tìm kiếm, sau áp dụng QFT để tìm vị trí với xác suất cao Với thuật toán Grover, số lần tra cứu cần thực giảm xuống đến 𝑂(√𝑁), cải tiến lớn so với phương pháp tìm kiếm cổ điển Trong lí thuyết số, QFT sử dụng để giải tốn tìm kiếm chu kỳ hàm số Thuật tốn Shor ví dụ việc sử dụng QFT để tìm kiếm chu kỳ hàm số, sử dụng việc phân tích số ngun tố lớn Thuật tốn Shor sử dụng để phá mã truyền thống hệ mật mã dựa tốn lí thuyết số RSA Thuật toán Fourier lượng tử ước lượng pha lượng tử sử dụng rộng rãi vật lí lí thuyết, đặc biệt nghiên cứu hệ thống lượng tử đa phân tử, lí thuyết tương tác hạt, nghiên cứu vật liệu Một số ví dụ cụ thể bao gồm: - Trong nghiên cứu vật liệu, thuật toán Fourier lượng tử sử dụng để tính tốn phổ lượng tính chất quang hóa vật liệu lượng tử băng tinh, dẫn điện, tương tác với ánh sáng Thuật toán sử dụng để giải vấn đề liên quan đến kết cấu vật liệu động học phân tử 47 - Trong lí thuyết tương tác hạt, thuật toán Fourier lượng tử sử dụng để tính tốn đại lượng quan trọng hàm xác suất phân phối dòng chảy, tỉ lệ lấn át độ tương tự hai trạng thái lượng tử khác Thuật toán sử dụng để giải vấn đề liên quan đến việc xác định cấu trúc hạt nhân tương tác hạt nhân - Trong nghiên cứu hệ thống lượng tử đa phân tử, thuật toán Fourier lượng tử sử dụng để tính tốn đại lượng lượng liên kết tỉ lệ lấn át phân tử Thuật toán ước lượng pha lượng tử sử dụng để giải vấn đề liên quan đến việc tính tốn tốc độ phản ứng hóa học động học phân tử hệ thống đa phân tử Tóm lại, QFT cơng cụ mạnh mẽ lí thuyết số vật lí lượng tử, sử dụng để giải toán quan trọng lĩnh vực Với phát triển cơng nghệ điện tốn lượng tử, QFT trở thành công cụ quan trọng việc phát triển ứng dụng thực tế điện toán lượng tử 3.5 Kết luận chương Trong chương này, em phân tích thuật toán quan trọng điện toán lượng tử sử dụng tảng học lượng tử, bao gồm thuật toán Fourier lượng tử, ước lượng pha lượng tử giải phương trình tuyến tính thuật tốn HHL Những thuật toán chứng minh mang lại ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực, từ lí thuyết số đến vật lí lượng tử Ngồi ra, xem xét ứng dụng khác điện tốn lượng tử vật lí lượng tử, bao gồm mô hệ thống lượng tử phức tạp tìm kiếm cấu trúc phân tử Với phát triển nhanh chóng điện tốn lượng tử, hy vọng công nghệ mang lại tiến lớn nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ tương lai 48 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đối chiếu với mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài, em nghiên cứu đạt kết sau: - Tổng quan học lượng tử, xuất phát từ ý tưởng hình thành đến khái niệm công cụ mơ tả, trạng thái, phép đo, tốn tử Ngoài ra, thảo luận khác biệt học lượng tử học cổ điển, với thay đổi việc vi hạt tồn nhiều trạng thái lúc đo dẫn đến sụp đổ trạng thái Cuối cùng, em phân tích cần thiết học lượng tử nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực vật lí, hóa học, sinh học điện toán lượng tử - Phân tích tổng quan điện tốn lượng tử - lĩnh vực phát triển mạnh mẽ tiềm năng, bao gồm khơng gian vector tuyến tính, sở tính tốn điện tốn lượng tử dựa định đề học lượng tử, thành phần điện toán lượng tử qubit, cổng Hadamard, cổng CNOT… Và đưa ứng dụng điện tốn lượng tử cơng nghệ số - Phân tích thuật tốn lượng tử Fourier (QFT) – ứng dụng học lượng tử điện tốn lượng tử, sau đưa ví dụ - Sau tìm hiểu thuật toán Fourier, em sâu vào nghiên cứu thuật toán ước lượng pha lượng tử (QPE), bao gồm khái qt thuật tốn, phân tích tảng tính tốn thuật tốn - Phân tích thuật tốn Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL), bao gồm khái qt, phân tích tảng tính tốn, QPE sử dụng HHL tính tốn HHL với qubit - Phân tích ứng dụng QFT QPE vào lí thuyết số vật lí lượng tử nghiên cứu vật liệu, tương tác hạt, hệ thống lượng tử đa phân tử… Kiến nghị - Tìm hiểu nghiên cứu vấn đề liên quan đến việc triển khai thuật toán điện toán lượng tử tảng khác nhau, bao gồm phần cứng phần mềm - Thực thử nghiệm thiết bị thực để kiểm tra tính hiệu độ xác thuật tốn điện tốn lượng tử ứng dụng chúng 49 - Nghiên cứu ứng dụng khác học lượng tử lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực hóa học, sinh học tài - Khảo sát thêm giới hạn điện toán lượng tử nỗ lực để giải giới hạn 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Quantum bits, [Online] Available: https://www.quantum-bits.org/?p=1611 [2] D Deutsch and R Jozsa, "Rapid solutions of problems by quantum computation," Proceedings of the Royal Society of London A, p 553–558, 1992 [3] E Bernstein and U Vazirani , "Quantum Complexity Theory," IAM Journal on Computing, vol 26(5), pp 1411-1473, 1997 [4] D R Simon, "On the Power of Quantum Computation," SIAM Journal on Computing, p 1474–1483 [5] L K Grover, "A fast quantum mechanical algorithm for database search," Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (STOC), pp 212-219, 1996 [6] R LaRose, "Overview and Comparison of Gate Level Quantum Software Platforms," 10/06/2022 [7] A A e al., "Learn Quantum Computation Using Qiskit," 2020 [8] C R Jacob, "Quantum Mechanical Predictions of Molecular Structures: Theory and Applications," Annual Reports in Computational Chemistry, vol 6, pp 8198, 2010 [9] A Szabo and N S Ostlund, "Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory," Dover Publications, 1996 [10] A R Oganov, S Ono, and H J Glass, "High-pressure phases of methane, CH4, and their mixtures with hydrogen," The Journal of Chemical Physics, vol 124, 2006 [11] Todd J Martínez, "Chemical Reaction Dynamics from ab Initio Molecular Dynamics," Annual Review of Physical Chemistry, vol 55, pp 491-520, 2004 [12] S Curtarolo, W Setyawan, S Wang, J Xue, K Yang, R H Taylor, L J Nelson, G L Hart, S Sanvito, M Buongiorno-Nardelli, N Mingo, and O Levy, "Ab initio computational materials science: Status and prospects," Journal of Physics: Condensed Matter, vol 21, 2009 [13] Szabo, A., & Ostlund, N S., "Modern quantum chemistry: Introduction to advanced electronic structure theory," Courier Corporation 51 [14] J Kudrnovský, V Drchal, P Bruno, I Turek, and J K Y Lee, "Quantum mechanical calculations of magnetic materials," Reports on Progress in Physics, vol 59, no 3, 1996 [15] Jiali Gao and Weitao Yang, "Chemical Reaction Dynamics from ab Initio Molecular Dynamics," Journal of Chemical Theory and Computation, 2016 [16] "Qiskit," [Online] Available: https://learn.qiskit.org/course/chalgorithms/quantum-fourier-transform [17] Benioff, P, "The computer as a physical system: amicroscopic quantummechanical Hamiltonian model of computers as represented by Turing machines," J Stat Phys, no 22, p 563 [18] q bits [Trực tuyến] Available: https://www.quantum-bits.org/?p=1611 52