Biến đổi fourier phân và ứng dụng trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC ĐIỀN BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC ĐIỀN BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Nội dung BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 1.1 1.2 1.3 Định nghĩa tính chất biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier 1.1.2 Tính chất tốn tử biến đổi Fourier Biến đổi Fourier phân Namias 1.2.1 Biến đổi Fourier đa thức Hermite 1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias 1.2.3 Bảng biến đổi Fourier phân số hàm đơn giản Phép tính tốn tử tổng quát 1.3.1 Phép biến đổi tích 10 1.3.2 Phép biến đổi đạo hàm 11 1.3.3 Phép biến đổi tích hỗn tạp 12 1.3.4 Phép biến đổi thương 12 1.3.5 Phép biến đổi tích phân 13 1.3.6 Phép tịnh tiến 13 1.3.7 Phép biến đổi tương đương 14 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN TRONG Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 15 2.1 Nghiệm phương trình Schrăodinger dng 15 2.2 Nghim ca phng trỡnh Schrăodinger ph thuc thi gian 17 2.3 Nghim ca phng trỡnh Schrăodinger cho dao động điều hoà cưỡng 19 2.4 Nghim ca phng trỡnh Schrăodinger cho electron tự từ trường đồng không đổi 22 2.5 Sự phát triển gói sóng điện tử từ trường đồng không đổi 27 2.6 Nghim ca phng trỡnh Schrăodinger cho cỏc electron tự từ trường đồng biến thiên theo thời gian 31 NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 37 3.1 Nguyên lý bất định biến đổi Fourier phân 38 3.2 Ảnh hưởng dịch chuyển mở rộng quy mô 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài Những biến đổi Fourier, Laplace kết hợp tính tốn biến đổi cơng cụ có tác dụng to lớn toán học lý thuyết ứng dụng Vô số ứng dụng vật lý lý thuyết, kỹ thuật điện nhiều lĩnh vực khác khiến cho biến đổi ba tiến quan trọng toán học phần tư cuối kỷ XIX Bên cạnh biến đổi Fourier Laplace, nhà Toán học Vật lý học sở hữu kho tàng phép biến đổi tích phân khác cho phạm vi riêng với ứng dụng thực tế Tuy nhiên, số biến đổi Fourier có vai trò bật Biến đổi Fourier phân khái qt tốn tử vi phân Fourier thơng thường cách cho phụ thuộc vào tham số liên tục α (được chứa tổ hợp απ - Điều sử dụng xuyên suốt nội dung luận văn) Trong toán học, bậc α biến đổi Fourier phân lũy thừa α toán tử biến đổi Fourier thông thường Biến đổi Fourier phân bậc biến đổi Fourier thơng thường Biến đổi bậc −α biến đổi ngược biến đổi bậc α Với phát triển biến đổi Fourier phân khái niệm có liên quan, thấy miền tần số thông thường trường hợp đặc biệt liên tục miền Fourier phân đoạn Trong lý thuyết việc thay tín hiệu đại diện, thấy liên quan đến việc phân bố thời gian tần số Do đó, tất tính chất biến đổi Fourier thông thường trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Fourier phân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Những viết biến đổi Fourier phân thực bởi: Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1973 Điều quan trọng suốt thập niên 80 kỉ XX xuất nhiều viết theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980, McBride Kerr 1987 Mustard 1987, 1989, 1991, 1996 Tuy nhiên, số lượng ấn phẩm thực bùng nổ sau phép biến đổi áp dụng quang học xử lý tín hiệu cơng bố Trong đó, có viết của: Lohmann 1993, Ozaktas Mendlovic 1993a,b; Mendlovic người khác, Với vai trò to lớn phép biến đổi Fourier phân toán học ngành khoa học khác nêu trên, chọn nghiên cứu phép biến đổi ứng dụng Tuy nhiên với điều kiện khơng gian, thời gian trình độ có hạn thân nên nội dung biến đổi chủ yếu biến đổi Fourier phân Namias ứng dụng học lượng tử nguyên lý bất định phép biến đổi Fourier phân Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí toán học nước quốc tế liên quan đến phép biến đổi Fourier, ứng dụng phép biến đổi Fourier phân học lượng tử nguyên lý bất định biến đổi Fourier phân Qua đó, tìm hiểu, học tập giới thiệu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập giới thiệu kết bật phép biến đổi Fourier dạng biến đổi Fourier phân quan tâm nhiều phát triển khoảng thập niên trở lại Bên cạnh luận văn có đề cập đến số ứng dụng phép biến đổi Fourier phân học lượng tử nguyên lý bất định phép biến đổi Fourier phân Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương giới thiệu sơ lược về: phép biến đổi Fourier phân; số tính chất biến đổi Fourier phân; biểu diễn tích phân biến đổi Fourier phân; phép tính tốn tử tổng qt Namias [1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày số ứng dụng phép biến đổi Fourier phân học lượng tử để tìm nghiệm phương trình Schrăodinger cho: dao ng iu hũa c lp thi gian (dừng); dao động điều hòa phụ thuộc thời gian; dao động điều hòa cưỡng bức; electron tự từ trường đồng không đổi; phát triển gói sóng điện tử từ trường đồng không đổi; electron tự từ trường đồng biến thiên theo thời gian Namias [1] Chương trình bày nguyên lý bất định cho tín hiệu thực miền biến đổi Fourier phân [4] Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K4B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 08 năm 2012 Tác giả Phạm Ngọc Điền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN Mục đích chương giới thiệu số nội dung biến đổi Fourier phân Nội dung chủ yếu hình thành từ tài liệu [1] 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất biến đổi Fourier Định nghĩa biến đổi Fourier Để hiểu biến đổi Fourier biến đổi Fourier phân (Namias), trước hết ta xét biến đổi Fourier thông thường L2 (R) Các kết thấy nhiều tài liệu, thí dụ [1] Định nghĩa 1.1 Cặp biến đổi Fourier thuận, ngược thông thường định nghĩa f (x ) = √ 2π g(k ) = √ 2π Z+∞ g(k )e ikx dk , x ∈ R, (1.1) k ∈ R (1.2) −∞ Z+∞ f (x )e −ikx dx , −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 Biến đổi Fourier (1.1) viết dạng toán tử: F 2π [f (x )] = √ 2π Z+∞ f (x ) e ixx dx (1.3) −∞ Biến đổi Fourier ngược (1.2) tương ứng với toán tử là: F− 2π [f (x )] = √ 2π 1.1.2 Z+∞ f (x ) e −ixx dx (1.4) −∞ Tính chất tốn tử biến đổi Fourier Tốn tử biến đổi Fourier có số tính chất sau: Tính chất 1.1 Các tốn tử F π2 F− π2 liên hợp phức chúng thoả mãn hệ thức F π2 F− π2 = F− π2 F π2 = Chúng ta lưu ý F π2 [f (x)] = g (x) , F π2 [g (x)] = f (−x) , F π2 [f (−x)] = g (−x) , F π2 [g (−x)] = f (x) Nếu Hn (x) đa thức Harmite bậc n dạng tốn tử biến đổi Fourier hàm e F π2 [e −x2 −x2 Hn (x) là: π x2 Hn (x)] = ein e− Hn (x) (1.5) Bây xét toán tử Fα biểu diễn dạng eiαA , α ∈ R, thỏa mãn phương trình giá trị riêng (1.5) Khi x2 x2 eiαA e− Hn (x) = einα e− Hn (x) (1.6) Lấy vi phân hai vế phương trình (1.6) theo α cho α = 0, ta −x2 −x2 Ae Hn (x) = ne Hn (x) (1.7) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì Hn” (x) − 2xHn (x) + 2nHn (x) = 0, nên có d2 1 A=− + x2 − 2 dx 2 (1.8) Tính chất 1.2 Một cách tổng qt, tốn tử Fα = eiαA có biến đổi ngược F−α = e−iαA Biến đổi Fourier thông thường tương ứng với α = π2 ngược lại với α = − π2 Giá trị α = dẫn đến toán tử đồng nhất, α = π tương ứng với toán tử chẵn lẻ áp dụng lần ta biến đổi Fourier thông thường Biến đổi mơ tả tốn tử F π4 gọi bậc hai biến đổi Fourier thơng thường Ví dụ 1.1 Biến đổi Fourier phân bậc Tính chất 1.3 Trong trường hợp tổng qt, ta có: Fα+β = Fα Fβ Về phương diện lý thuyết, dạng tốn tử Fα = eiαA có ích, song thân khơng thích hợp với việc rút gọn trực tiếp đánh giá biến đổi phân đoạn Ngay trường hợp biến đổi Fourier thông thường, iπA việc sử dụng toán tử F π2 = e chưa phải hiệu cách tối ưu sử dụng biểu diễn tích phân (1.1) Như vậy, đánh giá biến đổi phân đoạn hỗ trợ việc biểu diễn tích phân tương ứng 1.2 Biến đổi Fourier phân Namias 1.2.1 Biến đổi Fourier đa thức Hermite Ký hiệu Hn (x) đa thức Hermite bậc n Hàm Hermite chuẩn hoá thành hệ trực chuẩn L2 (R) công thức Φn (x) = p √ e 2n n! π − x2 Hn (x), n = 0, 1, 2, (1.9) Với f ∈ L2 (R) ta có f (x) = ∞ X an Φn (x), n=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.10) 34 d (τ ) =
f − cos 2α (2.116) Các hàm a, c, d xác định phương trình (2.111) giải cho α Đầu tiên phân tích phương trình α cách chi tiết Nếu chọn cot α = β , mà β thỏa mãn phương trình 2 phi tuyến dβ dτ − β − f = Đây phương trình bậc nhất, khơng tồn nghiệm thông thường Bây giờ, cho β = wu tìm thấy u dw u2 du − − − f = w dτ w dτ w Phương trình chia thành hai du − f = 0, w dτ (2.117) dw = −u dτ (2.118) d2 w + f w = 0, dτ (2.119) Loại bỏ u, cho kết u=− dw dτ (2.120) Phương trình (2.119) phương trình tuyến tính bậc hai với biến hệ số Nếu τ xem tọa độ khơng gian x phương trình (2.119) cú cựng dng nh phng trỡnh Schrăodinger dng mt chiu với V (x) = E − f (x) Với điều kiện ban đầu α α (0) = , thấy β (0) = ∞, w (0) = điều kiện mong muốn cho w Sau xác định nghiệm phương trình (2.119) lên đến thừa số không đổi   u dw β (τ ) = = − , (2.121) w w dτ    dw −1 α (τ ) = cot − (2.122) w dτ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Bây giờ, ý đến phương trình vi phân phần bậc (2.112) cố gắng tìm nghiệm có dạng Φ = X (ξ , η , τ ) δ [θ1 (τ ) + ξ − ξ ] δ [θ2 (τ ) + η − η ] , (2.123) với điều kiện ban đầu X (ξ , η , 0) = 1; θ1 (0) = θ2 (0) = Chúng ta thay cách biểu diễn vào phương trình (2.112) xác lập hệ số δ (θ1 + ξ − ξ ) δ (θ2 + η − η ) ; δ (θ1 + ξ − ξ ) δ (θ2 + η − η ) δ (θ1 + ξ − ξ ) δ (θ2 + η − η ) cho tất không Sử dụng xδ (x − x0 ) = x0 δ (x − x0 ) xδ (x − x0 ) = −δ (x − x0 )+x0 δ (x − x0 ) , có h i ∂X 2 0 i − X a + d (ξ − θ1 ) + d (η − θ2 ) − 2c = 0, (2.124) ∂τ 0 (2.125) 0 (2.126) θ1 + b (θ2 − η ) + c (θ1 − ξ ) = 0, θ2 − b (θ1 − ξ ) + c (θ2 − η ) = Hệ phương trình (2.125), (2.126) giải cách xác Chúng ta cho  τ  Z θ1 = ξ + exp − cdτ  u1 , (2.127)  θ2 = η + exp − Zτ  cdτ  u2 , (2.128) có hệ đơn giản thỏa mãn u1 u2 u1 + bu2 = 0, (2.129) u2 + bu1 = Đặt s = Rτ (2.130) b (τ )dτ, tìm τ dạng s : τ = τ (s) Đưa vào hàm v1 (s) = u1 [τ (s)] v2 (s) = u2 [τ (s)], thấy dv1 + v2 = 0, ds dv2 − v1 = ds Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.131) (2.132) http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Từ s = τ = điều kiện ban đầu v1 (0) = u1 (0) = −ξ , v2 (0) = u2 (0) = −η ta có, nghiệm phương trình (2.131), (2.132) v1 = −ξ cos s + η sin s, (2.133) v2 = −ξ sin s − η cos s (2.134) Do đó, nghiệm hệ (2.124) – (2.126)  τ   Z Zτ Zτ θ1 (τ ) = ξ + exp − cdτ  −ξ cos bdτ + η sin bdτ  , (2.135)  θ2 (τ ) = η + exp − Zτ  cdτ  −ξ sin 0 Zτ Zτ bdτ − η cos  bdτ  , (2.136)    Zτ h i  2 X = exp −i a + d (ξ − θ1 ) + d (η − θ2 ) − 2c dτ   (2.137) Vì phương trình (2.123), xây dựng hàm Φ Hàm Green sau đạt việc tính tốn theo biến đổi Fourier phân hàm delta xảy Φ, với thời điểm khác góc α(τ ) cho phương trình (2.122) Điều dễ dàng thực việc tham khảo bảng Tại thời điểm này, điều chứng minh cách thuận lợi việc vượt qua tọa độ hình trụ Cuối cùng, biến đổi Fourier ngược biến kz dẫn đến hàm Green phân tử tự cho biến ζ Một hàm Green hồn tồn có được, phát triển gói sóng ban đầu đánh giá cho trường hợp t ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Chương NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN Nguyên lý bất định miền thời gian tần số đóng vai trị quan trọng việc xử lý tín hiệu [4] Nguyên lý rằng, đơn vị lượng tín hiệu f (t) với biến đổi Fourier phân Fα [f (iω)] có bất đẳng thức Z+∞ Z+∞ |(t − t0 )f (t)| dt |(ω − ω0 )Fα [f (iω)]|2 dω ≥ , −∞ (3.1) −∞ Z+∞ t0 = t |f (t)|2 dt, (3.2) −∞ Z+∞ ω0 = ω |Fα [f (ω)]|2 dω (3.3) −∞ Biến đổi Fourier phân xem khái qt hố biến Fourier thơng thường, tín hiệu đại diện xem xoay góc α mặt phẳng thời gian-tần số Đó điều hiển nhiên, vấn đề đặt là: Thời gian khoảng biến đổi Fourier phân tuân theo quan hệ bất định nào? Theo Abe Sheridan trình bày [6], [9]: Fα [f (xα )] biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 đổi Fourier phân f (t) cận sản phẩm khơng gian khoảng biến đổi Fourier phân cho sin4 α Cận đạt cách sử dụng quan hệ biến đổi Fourier biến đổi Fourier phân; quan hệ biến đổi Fourier quan hệ bất định miền thời gian - tần số; điều cho thấy sản phẩm lan truyền tín hiệu mặt phẳng thời gian-tần số tín hiệu khơng bất biến theo biến đổi Fourier phân Trong nội dung chương này, nghiên cứu việc thu cận cho sản phẩm lan truyền theo thời gian miền biến đổi Fourier phân cho f (t) thực Cận chặt cận nêu sản phẩm bất định đại diện tín hiệu hai miền biến đổi Fourier phân Cận đạt tín hiệu Gau-xơ 3.1 Nguyên lý bất định biến đổi Fourier phân Để đơn vị lượng tín hiệu f (t) tồn cho tf (t) ∈ L2 (R) Chúng ta định nghĩa số đại lượng sau đây: def T [f (t)] = tf (t) , def W [f (t)] = −i (3.4) df (t) , dt def Lα = T cos α − W sin α, Z+∞ def t0 = t |f (t)|2 dt, (3.5) (3.6) (3.7) −∞ xα0 Z+∞ = xα |Fα [f (xα )]|2 dxα , def (3.8) −∞ Z+∞ ∆t = |(t − t0 ) f (t)|2 dt, def −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.9) 39 def ∆x2α = Z+∞ |(xα − xα0 ) Fα [f (xα )]|2 dxα (3.10) −∞ Khi Z+∞ ∆t2 + t20 = |T [f (t)]|2 dt, (3.11) −∞ ∆x2α + x2α0 Z+∞ = |L∗α [f (t)]|2 dt (3.12) −∞ Trong đó, trường hợp (3.12) suy từ tính chất Kα (x, t) công thức (1.22) - (1.24) Bổ đề 3.1 Nếu f (t) thực với t0 = xα0 = Chứng minh: Trao đổi vai trị thời gian miền biến đổi Fourier phân (1.24 ), dẫn đến biến Fourier phân ngược xα Fα [f (xα )] Z+∞ df (t) xα Fα [f (xα )]Kα∗ (xα , t)dxα = cos (α) tf (t) − i sin (α) dt (3.13) −∞ Điều Alonso Forbes đề cập [6] Z+∞ Z+∞ ∗ Fα [g(xα )]Fα [f (xα )]dxα = g (t) f ∗ (t) dt, −∞ (3.14) −∞ chọn Fα [g(xα )] = xα Fα [f (xα )] f (t) tồn  Z+∞ Z+∞ df (t) ∗ f (t) dt xα Fα [f (xα )]Fα [f (xα )]dxα = cos (α) tf (t) − i sin (α) dt −∞ −∞ (3.15) Thật f (t) thực, t0 = lim f (t) = 0, từ f (t) ∈ L2 (R) t→±∞ thấy vế phải (3.15) vế trái xα0 Như vậy, xα0 = (bổ đề chứng minh) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Định lí 3.1 (Nguyên lý bất định miền biến đổi Fourier phân): Nếu đơn vị lượng tín hiệu f (t) mang giá trị thực ≤ α, β ≤ π2 ,  2 sin α sin β sin2 (α − β) ∆x2α ∆x2β ≥ ∆t2 cos α cos β + + (3.16) 4∆t2 đẳng thức đạt  f (t) = πσ  14 t2 exp − 2σ   , (3.17) σ số thực tùy ý Chứng minh: Khơng có tính tổng qt, lấy t0 = Nếu t0 không không, thay đổi tín hiệu thích hợp để làm khơng (Điều cho thấy phần thay đổi tín hiệu khơng ảnh hưởng đến nguyên lý bất định) xα0 Khi t0 = 0, bổ đề áp dụng cho góc α bất kì, có = Từ ( 3.12 ) có Z+∞ ∆x2α = |L∗α [f (t)]|2 dt (3.18) −∞ Từ bất đẳng thức Cauchy–Schwartz +∞ Z Z+∞ Z+∞ ∗
∗