Biến đổi fourier phân và tích chập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ TÍCH CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ TÍCH CHẬP Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu ii BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 1.1 1.2 1.3 Biến đổi tích phân Fourier thơng thường 1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier 1.1.2 Các tính chất 1.1.3 Cặp công thức thuận - ngược 1.1.4 Biến đổi Fourier đa thức Hermite Biến đổi Fourier phân Naminas 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier phân Phép tính tốn tử tổng qt 1.3.1 Phép biến đổi tích 1.3.2 Phép biến đổi vi phân 11 1.3.3 Phép biến đổi tích hỗn tạp 12 1.3.4 Phép biến đổi thương 12 1.3.5 Phép biến đổi tích phân 12 1.3.6 Phép tịnh tiến 1.3.7 Phép mũ 13 12 1.4 Bảng biến đổi Fourier phân số hàm đơn giản 13 1.5 Biến đổi Hartley phân 13 1.5.1 Biến đổi Hartley thông thường 13 1.5.2 Biến đổi Hartley phân Pei 14 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 1.5.3 1.6 1.7 Biến đổi Hartley phân Sontakke 14 Biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa LMT 14 1.6.1 Không gian Lizorkin 15 1.6.2 Biến đổi Fourier phân LMT 16 1.6.3 Các hệ thức toán tử biến đổi Fourier phân 17 Biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa RCL 23 1.7.1 Dẫn luận 23 1.7.2 Biến đổi Fourier dạng luỹ thừa phân RCL 23 1.7.3 Tính chất biến đổi Fourier dạng luỹ thừa phân RCL 25 TÍCH CHẬP CỦA CÁC BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 27 2.1 Tích chập biến đổi Fourier thông thường 27 2.2 Biến đổi Fourier phân tích chập thông thường 28 2.3 Biến đổi Fourier phân tích thơng thường 29 2.4 Định lý tích chập biến đổi Fourier phân 31 2.5 2.4.1 Chuẩn bị 31 2.4.2 Định lý tích chập biến đổi Fourier phân 32 Tích chập biến đổi Hartley phân 34 2.5.1 Định lý tích chập 34 2.5.2 Tích chập tổ hợp khác hàm chẵn hàm lẻ 36 2.6 Định lý biến điệu biến đổi Hartley phân 2.7 Đẳng thức Parseval biến đổi Hartley phân: 39 2.8 Tích chập phép biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa RCL 41 2.9 Ứng dụng biến đổi Fourier dạng luỹ thừa phân tích phân phân Riemann-Liouville 37 42 Kết luận 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Những biến đổi Fourier, Laplace cơng cụ có tác dụng to lớn tốn học lý thuyết ứng dụng Vơ số ứng dụng vật lý lý thuyết, kỹ thuật điện nhiều lĩnh vực khác khiến cho biến đổi ba tiến quan trọng toán học phần tư cuối kỷ XIX Bên cạnh biến đổi Fourier Laplace, nhà Toán học Vật lý học sở hữu kho tàng phép biến đổi tích phân khác cho phạm vi riêng với ứng dụng thực tế Trong số biến đổi đó, biến đổi Fourier có vai trò bật Biến đổi Fourier phân khái qt tốn tử tích phân Fourier thơng thường cách cho phụ thuộc liên tục vào tham số a aπ (được chứa tổ hợp ) Trong toán học, bậc a biến đổi Fourier phân luỹ thừa a toán tử biến đổi Fourier thơng thường Biến đổi Fourier bậc biến đổi Fourier thông thường Biến đổi bậc −a biến đổi ngược biến đổi bậc a Với phát triển biến đổi Fourier phân khái niệm có liên quan, thấy miền tần số thông thường trường hợp đặc biệt liên tục miền Fourier phân đoạn Trong lý thuyết việc thay tín hiệu đại diện, thấy liên quan đến việc phân bố thời gian tần số Do đó, tất tính chất biến đổi Fourier thơng thường trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Fourier phân Những viết biến đổi Fourier phân thực bởi: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1937 Điều quan trọng suốt thập niên 80 kỉ XX xuất nhiều viết theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980, McBride Kerr 1987 Mustard 1987, 1989, 1991, 1996 Tuy nhiên, số lượng ấn phẩm thực bùng nổ sau phép biến đổi áp dụng quang học xử lý tín hiệu cơng bố Trong đó, có viết của: Lohmann 1993, Ozaktas người khác 1994; Alieva người khác 1994; Almeida 1994 Việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân đóng vai trò quan trọng xây dựng kỹ thuật thuận tiện cho việc giải lớp định phương trình vi phân thường phần phát sinh học lượng tử cổ điển Hamiltonias bậc hai Kỹ thuật sau mở rộng đến vấn đề ba chiều áp dụng để mô tả học lượng tử chuyển động electron từ trường Các kết nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân có nhiều ứng dụng vật lý, học, kĩ thuật điện số ngành khoa học khác Sự ứng dụng rộng dãi nhiều lĩnh vực khoa học toán học phép biến đổi Fourier phân tích chập nói nên tầm quan trọng vấn đề Vì thế, tơi lựa chọn luận văn muốn tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến phép biến đổi Fourier tích chập Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập giới thiệu kết bật biến đổi Fourier dạng Fourier phân quan tâm nhiều phát triển khoảng hai thập niên gần Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu tổng quan số phép biến đổi Fourier phân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v Trước hết mục 1.1 tơi trình bày khái qt biến đổi Fourier thông thường Trong mục giới thiệu biến đổi Fourier phân Naminas [13], biến đổi Hartley phân [10], biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa LMT [14] (Y Luchko, H Martinez, J Trujillo), biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa RCL [9] (Luis Guillermo Romero, Ruben Alejandro Cansform and Luciano Leonardo Luque) Chương Giới thiệu tích chập biến đổi Fourier phân biến đổi Hartley phân Tích chập biến đổi Fourier phân biến đổi Hartley phân mở rộng tích chập cổ điển phép biến đổi tích phân thơng thường tương ứng Tích chập phép biến đổi tích phân ngày quan tâm tìm thấy ứng dụng chúng số lĩnh vực, bao gồm lý thuyết tín hiệu, xử lý ảnh quang học [3] Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Tốn học Em xin bày tỏ lịng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K18B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Hường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN Trong chương giới thiệu tổng quan số phép biến đổi Fourier phân Trước hết mục 1.1 tơi trình bày khái qt biến đổi Fourier thông thường Trong mục giới thiệu biến đổi Fourier phân Naminas [13], biến đổi Hartley phân [10], biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa LMT [14] ( Y Luchko, H Martinez, J Trujillo), biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa RCL [9] (Luis Guillermo Romero, Ruben Alejandro Cansform and Luciano Leonardo Luque) 1.1 Biến đổi tích phân Fourier thơng thường Để hiểu biến đổi Fourier phân, trước hết xét biến đổi Fourier thông thường L1 (R) Các kết thấy nhiều tài liệu, thí dụ [4] 1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1 Nếu f ∈ L1 (R), ta định nghĩa biến đổi Fourier f là: fˆ(x) = F [f ](x) = √ 2π Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Z +∞ f (t)eit.x dt, x ∈ R (1.1) −∞ http://www.lrc-tnu.edu.vn Và biến đổi Fourier ngược f˘(x) = F −1 [f ](x) = √ 2π Từ công thức (1.1), (1.2), suy Z +∞ f (t)e−it.x dt f˘(x) = fˆ(−x), F −1 [f (t)] = F [f (−t)] 1.1.2 (1.2) −∞ (1.3) Các tính chất Xét số tính chất biến đổi Fourier Tính chất (Tính bị chặn) F [f ] = fˆ(x) hàm bị chặn R Chứng minh Thật vậy, theo (1.1), ta có Z +∞ 1 |fˆ(x)| ≤ √ |f (t)|dt = √ kf kL1 2π −∞ 2π Tính chất (Tính liên tục đều) fˆ(x) = F [f ] hàm liên tục R Chứng minh Thật vậy, với x, h ∈ R, ta có Z +∞ |fˆ(x + h) − fˆ(x)| ≤ √ |f (t)||e−itx ||e−ith − 1|dt 2π −∞ Z +∞ =√ |f (t)||(cos th − 1) − i sin th|dt 2π −∞ Z +∞ th ≤ 2√ |f (t)|| sin |dt 2π Z−∞ Z ≤ 2√ |f (t)|dt + R|h| |f (t)|dt 2π |t|>R |t|≤R Từ suy ra, với  > chọn R = R() > δ = δ() > 0, cho |h| < δ, có bất đẳng thức |fˆ(x + h) − fˆ(x)| < , ∀x ∈ R, nghĩa fˆ(x) liên tục R Từ suy điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất (Tính liên tục tốn tử Fourier) Toán tử F liên tục theo nghĩa sau đây: Nếu {fk } ∈ L1 (R), fk → f ∈ L1 (R), k → ∞ L1 (R), lim F [fk ] = F [f ] k→∞ Chứng minh Thật vậy, ta có Z +∞ 1 |F [f ] − F [fk ]| ≤ √ |f (t) − fk (t)|dt = √ kf − fk k1 2π −∞ 2π Từ suy điều phải chứng minh Tính chất (Định lý Riemann-Lebesgue) Nếu f (t) ∈ L1 (R), fˆ(x) = F [f ] → 0, |x| → ∞ Tính chất (Đẳng thức Parseval) Với f1 , f2 ∈ L1 (R), có đẳng thức Z +∞ Z +∞ fˆ1 (y)f2 (y)dx = f1 (x)fˆ2 (x)dx −∞ −∞ Chứng minh Thật vậy, Z Z |f1 (x)||f2 (y)|dxdy = +∞ |f1 (x)|dx Z |f2 (y)|dy −∞ −∞ R×R +∞ = kf1 k1 kf2 k1 < ∞, nên theo Định lý Fubini, ta có  Z +∞  Z Z +∞ ix.y ix.y e f1 (x)f2 (y)dxdy = f2 (y) f1 (x)e dx dy R×R −∞ −∞  Z +∞  Z +∞ = f1 (x) f2 (y)eix.y dy dx −∞ −∞ Từ suy điều phải chứng minh Tính chất (Biến đổi Fourier tích chập) Nếu f (t), g(t) ∈ L1 (R), F [f ∗ g] = F [f ].F [g] Chứng minh Thật vậy, ta có Z +∞ F [f ∗ g](x) = √ (f ∗ g)(t)eitx dt 2π −∞  Z +∞  Z +∞ =√ f (y)g(t − y)dy eitx dt 2π −∞ −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 2e i s2 cot φ H α {h(t)}(s) = H α {g(t)}(s) × [(H α {f (t)}(s) − H α {f (−t)}(s)) + e−iφ cos φ(H α {f (t)}(s) + H α {f (−t)}(s))] + e−iφ sin φH α {g(−t)}(s)(H α {f (−t)}(s) − H α {f (t)}(s)) Chứng minh Từ phương trình (1.63) (1.64) định nghĩa tích chập ta có: r − i cot φ i s2 cot φ e H α {h(t)}(s) = 2π Z +∞ t × ei cot φ [cos(csc φ.st) − ieiφ sin(csc φ.st)]h(t)dt −∞ r 2 s − i cot φ = ei cot φ 2π Z +∞ t t2 ei cot φ [cos(csc φ.st) − ieiφ sin(csc φ.st)]ei cot φ × Z−∞ +∞ 2 i u2 cot φ i cot φ (t−u) × f (u)e g(t − u)e dudt −∞ r 2 Z +∞ Z +∞ 2 − i cot φ i s2 cot φ i cot φ u2 i cot φ (t−u) e f (u)g(t − u)e e = 2π −∞ −∞ × [cos(csc φ.st) − ieiφ sin(csc φ.st)]dtdu Đổi biến t − u = v, ta được: r 2 s − i cot φ α ei cot φ H {h(t)}(s) = 2π Z +∞ Z +∞ 2 i cot φ u2 i cot φ v2 × f (u)g(v)e e −∞ −∞ ×[cos(csc φ.s(u + v)) − ieiφ sin(csc φ.s(u + v))]dvdu Suy i s2 cot φ e π H α {h(t)}(s) = C α {f (u)}H α {g(v)}(s) − e−i(φ− ) S α {f (u)} ×[i cos φH α {g(v)}(s) − i sin φH α {g(−v)}(s)] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Trong C α S α tương ứng biến đổi Fourier-cosine phân Fourier-sine phân Sử dụng hệ thức Fourier-cosine phân Fouriersine phân với biến đổi Fourier phân, ta có: s2 2ei cot φ H α {h(t)}(s) = H α {g(v)} ×[(H α {f (u)} − H α {f (−u)}) + e−iφ cos φ(H α {f (u)} + H α {f (−u)})] +e−iφ sin φH α {g(−v)}(H α {f (−u)} − H α {f (u)}), tức s2 2ei cot φ H α {h(t)}(s) = H α {g(t)}(s)[(H α {f (t)}(s) − H α {f (−t)}(s)) +e−iφ cos φ(H α {f (t)}(s) + H α {f (−t)}(s))] +e−iφ sin φH α {g(−t)}(s)(H α {f (−t)}(s) − H α {f (t)}(s)) 2.5.2 (2.25) Tích chập tổ hợp khác hàm chẵn hàm lẻ Tiếp theo ta xét đến trường hợp khác tích chập cho hàm chẵn hàm lẻ Trường hợp Nếu hai hàm f g hàm lẻ, tức f (−t) = −f (t) g(−t) = −g(t) H α {h(t)}(s) = H α {f ∗ g}(s) s2 = (1 + eiφ sin φ )e−i cot φ H α {f (t)}(s)H α {g(t)}(s) (2.26) Trường hợp Nếu hai hàm f g hàm chẵn, tức : f (−t) = f (t) g(−t) = g(t) H α {h(t)}(s) = H α {f ∗ g}(s) s2 = e−iφ cos φ.e−i s2 = e−i( cot φ+φ) cot φ H α {f (t)}(s)H α {g(t)}(s) cos φ.H α {f (t)}(s)H α {g(t)}(s) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Trường hợp Nếu f hàm chẵn, g hàm lẻ H α {f ∗ g}(s) = H α {h(t)}(s) s2 = e−i( cot φ+φ) cos φH α {f (t)}(s)H α {g(t)}(s) Trường hợp Nếu f hàm lẻ, g hàm chẵn H α {h(t)}(s) = H α {f ∗ g}(s) s2 = (1 − e−iφ sin φ)e−i cot φ H α {g(t)}(s)H α {f (t)}(s) Trường hợp Nếu f hàm chẵn, g hàm H α {h(t)}(s) = H α {f ∗ g}(s) s2 = e−i( cot φ+φ) cos φ.H α {f (t)}(s).H α {g(t)}(s) Trường hợp Nếu f hàm lẻ, g hàm H α {h(t)}(s) =H α {f ∗ g}(s) −i s2 cot φ =e H α {f (t)}(s) × (H α {g(t)}(s) − e−iφ sin φH α {g(−t)}(s)) Trường hợp Nếu f hàm thì, g hàm chẵn s2 2e−i cot φ H α {h(t)}(s) = H α {f ∗ g}(s) =H α {g(t)}(s)[H α {f (t)}(s)(1 + e−iφ (cos φ − sin φ)) + H α {f (−t)}(s)(e−iφ (cos φ + sin φ) − 1)] Trường hợp Nếu f hàm thì, g hàm lẻ s2 2ei cot φ H α {h(t)}(s) = H α {g(t)}(s) × [H α {f (t)}(s)(1 + e−iφ (sin φ + cos φ)) − H α {f (−t)}(s)(1 + e−iφ (sin φ − cos φ))] 2.6 Định lý biến điệu biến đổi Hartley phân Nếu H α {h(t)}(s) biến đổi Hartley phân f (t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 u2 H α {f (t) cos ut}(s) = e−i sin 2φ −isu cos φ α ×{e H {f (t)}(s + u sin φ) +eisu cos φ H α {f (t)}(s − u sin φ)} (2.27) Chứng minh Sử dụng định nghĩa biến đổi Hartley phân r Z − i cot φ i s2 cot φ +∞ i t2 cot φ α e H {f (t) cos ut}(s) = e 2π −∞ × [cos(csc φ.st) − ieiφ sin(csc φ.st)]f (t) cos utdt, (2.28) suy −i u2 sin 2φ H {f (t) cos ut}(s) = e ×{e−isu cos φ H α {f (t)}(s + u sin φ) α +eisu cos φ H α {f (t)}(s − u sin φ)} (2.29) Nếu H α {h(t)}(s) biến đổi Hartley phân f (t) −i u2 sin 2φ H {f (t) sin ut}(s) = e −isu cos φ α ×{[e (i cos φH {f (t)}(s + u sin φ) α − sin φH α {f (−t)}(s + u sin φ))] −[eisu cos φ (i cos φH α {f (t)}(s − u sin φ) − sin φH α {f (−t)}(s − u sin φ))]} (2.30) Chứng minh Sử dụng định nghĩa biến đổi Hartley phân r − i cot φ i s2 cot φ α H {f (t) sin ut}(s) = e 2π Z +∞ t2 ei × cot φ [cos(csc φ.st) − ieiφ sin(csc φ.st)]f (t) sin utdt −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 suy u2 H α {f (t) sin ut}(s) = e−i sin 2φ −isu cos φ α ×{[e (i cos φH {f (t)}(s + u sin φ) − sin φH α {f (−t)}(s + u sin φ))] −[eisu cos φ (i cos φH α {f (t)}(s − u sin φ) − sin φH α {f (−t)}(s − u sin φ))]} (2.31) Nếu H α {h(t)}(s) biến đổi Hartley phân f (t) u2 H α {f (t)eiut }(s) = e−i sin 2φ {(1 − cot φ)e−isu cot φ α ×H {f (t)}(s + u sin φ) + (1 + cot φ)eisu cot φ H α {f (t)}(s − u sin φ) −i sin φ(H α {f (−t)}(s + u sin φ) − H α {f (−t)}(s − u sin φ))} Chứng minh Sử dụng (2.27) (2.30) 2.7 Đẳng thức Parseval biến đổi Hartley phân: Định lý 2.10 Nếu biến đổi Hartley phân f (t) g(t) H α {f (t)}(s) H α {g(t)}(s) Z +∞ φ f (t)g ∗ (t)dt = cos2 H α {f (t)}(s)H α {g(t)}(+s)ds −∞ −∞ Z +∞ φ + sin2 H α {f (t)}(−s).H α {g(t)}(−s)ds −∞ Z +∞ −2i sin φ H α {f (t)}(s)H α {g(t)}(−s)ds Z−∞ +∞ +2i sin φ H α {f (t)}(−s)H α {g(t)}(s)ds Z 1) +∞ −∞ Z +∞ 2) −∞ φ |f (t)|2 dt = cos2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Z +∞ (H α {f (t)}(s))2 ds −∞ http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Z φ +∞ α + sin (H {f (t)}(−s))2 ds, −∞ g ∗ (t) liên hợp phức g(t) (2.32) Chứng minh Hệ thức Parseval biến đổi Fourier phân sau Z +∞ Z +∞ f (t)g ∗ (t)dt = Fα (s)G∗α (s)ds (2.33) −∞ −∞ Sử dụng hệ thức biến đổi Fourier phân biến đổi Hatley phân sau: Fα {f (t)}(s) = [(1 + e−iφ )H α {f (t)}(s) + (1 − e−iφ )H α {f (t)}(−s)] Tức Fα {f (t)}(s) = [H α {f (t)}(s) + H α {f (t)}(−s) + cos φ(H α {f (t)}(s) − H α {f (t)}(−s)) −i sin φ(H α {f (t)}(s) − H α {f (t)}(−s))], G∗α {f (t)}(s) = [H α {g(t)}(s) + H α {g(t)}(−s) + cos φ(H α {g(t)}(s) − H α {g(t)}(−s)) +i sin φ(H α {g(t)}(s) − H α {g(t)}(−s))] Ở G∗α (s) liên hợp phức Gα , phương trình (2.33) trở thành Z +∞ φ H α {f (t)}(s).H α {g(t)}(+s)ds f (t)g ∗ (t)dt = cos2 −∞ −∞ Z +∞ φ + sin2 H α {f (t)}(−s).H α {g(t)}(−s)ds −∞ Z +∞ −2i sin φ H α {f (t)}(s).H α {g(t)}(−s)ds Z−∞ +∞ +2i sin φ H α {f (t)}(−s).H α {g(t)}(s)ds Z +∞ −∞ Trong trường hợp f = g thì, Z +∞ Z +∞ 2 φ |f (t)| dt = cos 2) (H α {f (t)}(s))2 ds −∞ −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 φ + sin 2 2.8 Z +∞  2 H {f (t)}(−s) ds α −∞ Tích chập phép biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa RCL Trong mục xét tích chập ∗ ◦ cho định nghĩa sau Định nghĩa 2.11 Giả sử f g hàm số thuộc L1 (R+ ) Lớp tích chập Laplace cho công thức: Z t (f ∗ g)(t) = f (x − t)g(x)dx, t > (2.34) Định nghĩa 2.12 Giả sử f g hàm thuộc L1 (R+ ) Miana giới thiệu tích chập ◦ công thức: Z ∞ (f ◦ g)(t) = f (x − t)g(x)dx, t ≥ (2.35) t Ta biết tích chập biến đổi Fourier thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá: F[f ∗ g] = F[f ].F[g] (2.36) Định lý 2.13 Cho f g hàm số thuộc φ(R) Thì Fα [f ∗ g] = Fα [f ].Fα [g] Chứng minh Từ định nghĩa ta có: Z +∞ Z iξ 1/α t Fα [f ∗ g] = e −∞ (2.37) +∞ f (x − t)g(x)dxdt (2.38) −∞ Áp dụng định lý Fubini đổi biến u = t − x, ta Z +∞ Z +∞ 1/α Fα [f ∗ g] = g(x) eiξ (u+x) f (u)dudx −∞ Z +∞ Z +∞−∞ 1/α 1/α = g(x)eiξ x eiξ u f (u)dudx = Fα [f ].Fα [g], −∞ −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Đó điều ta phải chứng minh Định lý 2.14 Cho f g hàm thuộc φ(R), < α ≤ Thì  Z +∞  i(−ξ 1/α )u F[f ◦ g](ξ) = e f (u)du (Fα g)(ξ) (2.39) Chứng minh Từ định nghĩa 2.12, ta có Z +∞ 1/α Fα [f ◦ g](ξ) = eiξ t (f ◦ g)(t)dt Z +∞ Z −∞ +∞ iξ 1/α t = e f (s − t)g(s)dsdt −∞ Z +∞ Z +∞ 1/α = eiξ t f (s − t)g(s)dsdt −∞ (2.40) Áp dụng định lý Fubini, đổi biến u = s − t, ta có Z +∞ Z +∞ 1/α Fα [f ◦ g](ξ) = g(s) eiξ (s−u) f (u)duds −∞ Z +∞ Z +∞ 1/α 1/α = eiξ s g(s)ds ei(−ξ )u f (u)du −∞  Z +∞ i(−ξ 1/α )u = e f (u)du (Fα g)(ξ), Định lý chứng minh Trường hợp riêng Nếu Domf = R+ , ta Fα [f ◦ g](ξ) = F[f ](−ξ 1/α )Fα [g](ξ) 2.9 (2.41) Ứng dụng biến đổi Fourier dạng luỹ thừa phân tích phân phân Riemann-Liouville Định nghĩa 2.15 Cho u hàm khả tích phận (a, ∞) Tích phân Riemann-Liouville bậc α, < α ≤ hàm u cho Z x α (x − t)α−1 u(t)dt (2.42) a Ix u(x) = Γ(α) a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Tương tự, cho f mơt hàm khả tích phận (−∞, b), ta có Z b α (t − x)α−1 u(t)dt (2.43) x Ib u(x) = Γ(α) x Khi a = −∞ (2.42), b = +∞ (2.43) u hàm không gian S(R), ta có α −∞ Ix u(x) =−∞ Wxα u(x) = Γ(α) Z = Γ(α) Z α x I+∞ u(x) α =x W+∞ u(x) x (x − t)α−1 u(t)dt (2.44) (t − x)α−1 u(t)dt (2.45) −∞ ∞ x Cơng thức tích phân phân Weyl bậc α Ở đây, Γ(α) hàm Euler Gamma định nghĩa sau: Z ∞ e−t tz−1 dt, Γ(z) = Re(z) > 0 Cho α > 1, t > 0, xét iα (t) = tα−1 Γ(α) , hạch kì dị Riemann-Liouville Thay vào (2.42), (2.43), ta có α −∞ Ix u(x)  =  tα−1 ∗ u (x), Γ(α) (2.46) ∗ biểu thị lớp tích chập,  α−1  t α ◦ u (x) x I+∞ u(x) = Γ(α) Thơng thường tích phân α −∞ Ix u(x) (2.47) α kí hiệu I+α u(x), x I+∞ u(x) kí hiệu I−α u(x) Từ biểu diễn tích phân phân ta có biến đổi Fourier phân Thật vậy, ta có kết sau Bổ đề 2.16 Cho u hàm thuộc φ(R), không gian Lizorkin Khi < α ≤ 1, < β ≤ ξ 6= Thì Fα [I+β u](ξ) = |ξ|−β/α cβ Fα [u(t)](ξ), (2.48) cβ = cos( βπ βπ ) + isgn(ξ 1/α ) sin( ) 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.49) http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Chứng minh Từ công thức (1.92), ta có  β−1   β−1 t t β Fα [I+ u](ξ) = Fα ∗ u](ξ) = Fα (ξ).Fα [u(t)](ξ) Γ(β) Γ(β) (2.50) Thì, ta có Z +∞ tβ−1 1/α ](ξ) = eiξ t tβ−1 dt Fα [ Γ(β) Γ(β) −∞ Z +∞ 1/α = eiξ t tβ−1 dt Γ(β)  Z +∞  Z +∞ 1/α β−1 1/α β−1 cos(ξ t)t dt + i sin(ξ )t dt (2.51) = Γ(β) 0 Ta có Z ∞ cos(ξ 1/α t)tβ−1 dt = Γ(β)|ξ 1/α |−β cos( βπ ), (2.52) Ta có Z ∞   βπ sin(ξ 1/α t)tβ−1 dt = Γ(β)|ξ 1/α |−β sin sgn(ξ 1/α ) Thế (2.52) (2.53) vào (2.51), ta  β−1     t βπ Fα (ξ) = |ξ 1/α |−β cos Γ(β) Γ(β) Γ(β)  βπ +isgn(ξ 1/α )|ξ 1/α |−β sin( )Γ(β)   βπ βπ −β/α 1/α = |ξ| cos( ) + isgn(ξ ) sin( ) 2 (2.53) (2.54) Thay (2.51) vào (2.50) Fα [I+β u](ξ) −β/α = |ξ|   βπ cos  + isgn(ξ 1/α  βπ ) sin  Fα [u(t)](ξ) (2.55) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Trường hợp riêng Nếu β = α, ta    απ α 1/α −α Fα [I+ u](ξ) = |ξ | × cos Γ(α) Γ(α)   απ 1/α 1/α −α + isgn(ξ )|ξ | sin Fα [u(t)](ξ)      απ απ = |ξ|−1 cos + isgn(ξ 1/α ) sin Fα [u(t)](ξ) 2 (2.56) Nhận xét 2.17 Nếu ξ = 0, thay vào I+α u ∈ φ(R), được: Fα [I+β u](0) = F[I+β u](0) = (2.57) Bổ đề 2.18 Cho u hàm thuộc φ(R), không gian Lizorkin Khi < α ≤ 1, < β ≤ ξ 6= Thì Fα [I−β u](ξ) = |ξ|−β/α cβ Fα [u(t)](ξ), (2.58)  βπ cβ = cos    βπ − isgnξ 1/α sin Chứng minh Từ công thức (1.92) (2.39), ta có  β−1  β−1  t t β Fα [I− u](ξ) = Fα ◦ u](ξ) = F (−ξ 1/α ).Fα [u(t)](ξ) Γ(β) Γ(β) (2.59) (2.60) β−1 t Biến đổi Fourier hạch iβ = Γ(β) , điểm (−ξ 1/α ) Thì  β−1  Z +∞ t 1/α (−ξ 1/α ) = ei(−ξ )t tβ−1 dt F Γ(β) Γ(β) −∞ Z +∞ 1/α = ei(−ξ )t tβ−1 dt Γ(β)   Z +∞ Z +∞ = cos(ξ 1/α t)tβ−1 dt − i sin(ξ 1/α t)tβ−1 dt Γ(β) 0       βπ βπ 1/α −β 1/α 1/α −β = |ξ | cos Γ(β) − isgn(ξ )|ξ | sin Γ(β) Γ(β) 2      βπ βπ −β/α 1/α = |ξ| cos − isgn(ξ ) sin (2.61) 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Thay (2.61) vào (2.60), ta có      βπ βπ β Fα [I− u](ξ) = |ξ|−β/α cos − isgn(ξ 1/α ) sin Fα [u(t)](ξ) 2 (2.62) Trường hợp riêng Nếu β = α ta được:    απ α 1/α −α Fα [I− u](ξ) = |ξ | cos Γ(α) Γ(α)    απ − isgn(ξ 1/α )|ξ 1/α |−α sin Γ(α) Fα [u(t)](ξ)      απ απ −1 1/α − isgn(ξ ) sin Fα [u(t)](ξ) = |ξ| cos 2 (2.63) Nhận xét 2.19 Nếu ξ = 0, thay vào I−α u ∈ φ(R), được: Fα [I−β u] = F[I−β 0] = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.64) http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Biến đổi Fourier phân Naminas tính chất Đây phép biến đổi Fourier phân quan tâm nhiều lý thuyết ứng dụng Trình bày số nghiên cứu chuyên gia tích chập phép biến đổi Chúng ta biết biến đổi Fourier thông thường, Fourier-cosine, Fourier-sine biến đổi Hartley thơng thường có mối quan hệ mật thiết với phát triển Trong luận văn giới thiệu biến đổi Fourier phân biến đổi Hartley thông thường, biến đổi Hartley phân tích chập phép biến đổi Giới thiệu phép biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa LMT RCL, tính chất số ứng dụng phép biến đổi lý thuyết tích phân phân Riemann-Liouville, tích chập Laplace tích chập Miana Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Tài liệu tham khảo [1] A Bultheel and H Matinez, An introduction to the fractional Fourier transform and friends, Preprint, February, 2004 [2] A.C McBride and F H Kerr, On Naminas’s fractional Fourier transforms,IMA J Appl Math., 39: 159-175, 1987 [3] Ahmed I Zayed, A Convolution and Product Theorem for the Fractional Fourier Transform, IFEE Signal, Processing Letters, Vol.5, No4, 1998, 101-103 [4] E.C Titchmarsh, Introduction to the e Clarendtheory of Fourer integrals, New York, 1986 [5] Fan Hong-Yi, Hao Ren and Lu Hai-lang, Convolution Theorem of Fractional Fourier Transformation Derived by Representation Transformation in Quantum Mechancis, Commun.Theor.Phys.(Beijing, China), 50(2008),pp.611-614 [6] H.M Ozaktas, Z Zalevsky and M.A Kutay, The fractional Fourier transform, Wiley, Chichester, 2001 [7] I.M Gelfand and G.E.Shilov, Generalized Functions, Vol 2: Spaces of Fundamental and Generalized Functions, Academic Press, New York and London (1968) [8] Luis B Almeida, Product and Convolution Theorems for the Fractional Fourier Transform, IFEE Signal, Processing Letters, Vol.4, No1, 1997,15-17 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 [9] Luis Guillermo Romero, Ruben Alejandro Cansform and cerutti and Luciano Leonardo Luque, A new fractional Fourier transform and convolution products, International Journal of Pure and Applied Mathmatics, Vol 66, No4, 2011, 397-408 [10] P K Sontakke and A.S Guidadhe, Convolution and Rayleigh’s Theorem for generalized fractional Hartley transform, European journal of pure and applied mathematics, 20, No 1, 2009, 162-170 [11] Pei-Soo-Chang Jian-Jiun Ding, Fractional cosine , sine and Hartley transform, IEEE, Trans.on Signal Processing, Vol 50, No7, July 2002 [12] S.G Samko, A.A Kilbas and O.I Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Pub., New York-London (1993) [13] V.Naminas, The fractional order Fourier transform and its application in quanturm mechanics,J Inst Math Appl., 25: 241-265, 1980 [14] Y Luchko, H Martinez, J Trujillo, Fractional Fourier transform and some of its applications, Fractional Calculus and Applied Analysis, International Journal for Theory and Applications, 11, No (2008) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn