Bất đẳng thứ tích chập và ứng dụng

M ục đích nghiên c u ứNghiên cứu các bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine và ứng dụng.. N i dung cộ ủa chương này trình bày ếki n thức cơ sở bao gồm các định nghĩa,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - PHÙNG ĐỨC PHI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội – 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 17051113857751000000 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với luận văn cơng bố thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Phùng Đức Phi -1- MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN…………………………………………………….…….… MỤC LỤC…………………………………… ……………………………… LỜI MỞ ĐẦU………………………………… ……………………………… LỜI CẢM ƠN………………… ………………………………… ………… Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ……………………………………….……… 1.1 Phép biến đổi Fourier cosine………………… ………………… 1.1.1 Định nghĩa…………………………………………….………… 1.1.2 Các ví dụ………………………………………………….…… 1.2 Một số tính chất phép biến đổi Fourier cosine……………… 1.3 Ứng dụng……………………………………….………………… 11 1.3.1 Phương trình đạo hàm riêng…………………………………… 11 1.3.1.1 Phương trình truyền nhiệt nửa trục……………………… 11 1.3.1.2 Phương trình Laplace góc phần tư thứ nhất…………… 15 1.3.1.3 Phương trình Laplace nửa dải vô hạn với điều kiện biên… 17 1.3.2 Phương trình vi phân…………………………………………… 18 1.3.3 Tính tích phân………………………….……………………… 19 Kết luận chƣơng 1………………………… ……………….………………… 21 Chƣơng 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY…………………………………… 22 2.1 Định nghĩa……………………………….……………………… 22 2.2 Một số tính chất bản…………………………………….…… 22 2.3 Định lý Wiener – Levy…………………………………………… 24 Kết luận chƣơng 2…………………………………… ……………………… 25 -2- Chƣơng 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY…… 26 3.1 Một số bất đẳng thức tích chập Fourier……………….… 26 3.1.1 Bất đẳng thức tích chập Fourier………………………… 26 3.1.2 Bất đẳng thức ngược tích chập Fourier………………… 28 3.2 Một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley … ………….… 29 3.2.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley - Fourier cosine…… 30 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh……………………………………… 32 3.2.3 Bất đẳng thức ngược tích chập suy rộng Hartley……… 35 3.3 Các ứng dụng………………………….………………………… 37 3.3.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz – Hankel…………… 37 3.3.2 Bài tốn Dirichlet góc phần tư thứ nhất…………….……… 38 3.3.3 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt…………….… 39 3.3.4 Phương trình vi phân thường………………………….……… 40 Kết luận chƣơng 3………………………………….………… ……………… 42 KẾT LUẬN………………………… …………………….………………… 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….….…………… 44 -3- MỞ ĐẦU -o0o Lý chọn đề tài Tích chập phép biến đổi tích phân nhà tốn học bắt đầu nghiên cứu từ khoảng kỷ 19 Đầu tiên tích chập phép biến đổi Fourier:           thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:          Trong năm gần đây, số lớp phép biến đổi tích phân dạng liên quan đến tích chập Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Mellin nghiên cứu Mặc dù có nhiều ứng dụng tốn học, vật lí, kĩ thuật, chí sinh học có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình vi-tích phân kiểu tích chập thời gian gần đây, khơng có nhiều phương trình, hệ phương trình vi-tích phân giải nghiệm dạng đóng Do ưu điểm tích chập tích chập suy rộng việc giải tốn phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tốn Tốn-lí, , việc giải tốn thường nhận nghiệm biểu diễn dạng tích chập, vậy, xây dựng bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm hướng nghiên cứu nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Một bất đẳng thức điển hình tích chập phải kể tới bất đẳng thức Young tích chập Fourier Tuy nhiên, khơng gian hàm điển hình L2 ( ) , bất đẳng thức khơng Trong loạt cơng trình tác giả Saitoh S., Vũ Kim Tuấn, Yamamoto M xây dựng lớp bất đẳng thức tích chập Fourier tích chập Laplace khơng gian Lp ( , ) với hàm trọng  ( x) đưa số ứng dụng thú vị Ưu điểm bất đẳng thức áp dụng cho trường hợp p  Bất đẳng thức tương ứng với tích chập phép biến đổi -4- tích phân khác, tích chập với hàm trọng, tích chập suy rộng với hàm trọng chưa xây dựng nghiên cứu Vì vậy, nghiên cứu bất đẳng thức tích chập cần thiết để thuận tiện cho việc đánh giá ước lượng nghiệm, hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Đây sở để tơi chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích chập ứng dụng” Cụ thể, luận văn trình bày phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hartley, bất đẳng thức tích chập Fourier, bất đẳng thức tích chập tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng bất đẳng thức đánh giá nghiệm phương trình tích phân, nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt số biến đổi tích phân… Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu phép biến đổi Fourier cosine, Hartley Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier, tích chập suy rộng Hartley ứng dụng đánh giá nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt, số phương trình tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Dựa lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập, kết giải tích, giải tích hàm, lý thuyết tốn tử Bố cục luận văn Ngoài phần Mở đầu Tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội dung sau: Chƣơng 1: Kiến thức sở Nội dung chương trình bày kiến thức sở bao gồm định nghĩa, tính chất ứng dụng phép biến đổi Fourier cosine Chƣơng 2: Phép biến đổi Hartley Chương trình bày định nghĩa tính chất phép biến đổi Hartley định lý Wiener – Levy Chƣơng 3: Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley -5- Nội dung chương trình bày bất đẳng thức tích chập Fourier bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng bất đẳng thức việc đánh giá nghiệm vài phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi phân đạo hàm riêng -6- LỜI CẢM ƠN -o0o Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, chúc thầy luôn mạnh khỏe, hạnh phúc đạt nhiều thành tựu nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học, thầy, anh, chị nhóm Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ có ý kiến đóng góp qúy báu cho tơi q trình hồn thiện luận văn Do khả cịn hạn chế, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy giáo, bạn độc giả quan tâm tới vấn đề Hà Nội, tháng 01 năm 2018 Học viên Phùng Đức Phi -7- CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine, tích chất phép biến đổi Fourier cosine ứng dụng phép biến đổi nêu Đây phép biến đổi chiếm vị trí quan trọng giải tích tốn học trường hợp riêng phép biến đổi Fourier, kết chương dựa vào tài liệu [1-2], [7-8], [15], [17] 1.1 Phép biến đổi Fourier cosine 1.1.1 Định nghĩa Phép biến đổi Fourier cosine (kí hiệu F c) hàm f định nghĩa sau:   Fc f  y    f  x  cos xydx, y  0 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ Tính:  F e   y ; a   ax c Ta có:  Fc e  ax   y      ax e cos xydx     a iy  x  aiy  x  e dx e   0   1     a  iy a  iy  a   a  y2  Ví dụ Tính:  sinat   Fc t   y  ; a >   Ta có: 0 ; y  a,   sin at  sin at    ; y  a, F y cos ytdt    c    t  2  t    ; y  a   -8- 1.2 Một số tính chất phép biến đổi Fourier cosine 1.2.1 Ta có: y  F f  ax   y   a  F f  ( a ), a > c c 1.2.2 Nếu lim f  x  ta có: x  F f   x    y F f  y   c c  f 0 d k f ( x) 1.2.3 Nếu lim  0, k  0;1 ta có: x  dx  F f   x   y    y  F f  y   c 1.2.4 Nếu f  L1 (  c ), ( Fc f )  L1 ( f x   1.2.5 Nếu f  L1 (    f   0 ) , f hàm liên tục khúc ta có: 2    F f  y  cos xydy c ) liên tục khúc: Fc  f c t  a   fc  t  a    y   2 Fc f  y  cosay , a  0, đó: là thác triển chẵn hàm f (t) cho: f c  t   f  t  Chứng minh Ta có: 2 Fc  fc  t  a   fc  t  a    y    f  t  a   fc t  a   cosytdt  0  c     f T cos y T  a  dT  c a   a f c T  cos y T  a  dT  2(Fc f )  y  cosay 1.2.6 Ta có: ( Fc f )      Fc  f  t  cosβt     Fs  f t  sinβt    ( Fc f )      Fc  f  t  cosβt     Fc  f t  sinβt    1.2.7 Từ ta có: -9-