Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI--- TRẦN KIM HƯƠNGPHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Trang 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
Lý do ch ọn đề tài ………………………………………………………… 2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………… 3 Nhi m v nghiên cệụ ứ ……………………………………………………… u 4 Đối tượ ng và ph m vi nghiên cứu ………………………………………… ạ 5 B c c c a luố ụủ ận văn
Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của giáo sư Bernd Aulbach, Stefan Hilger đã giới thiệu khái niệm thang thời gian và phát triển lý thuyết Giải tích trên thang thời gian, nhằm thống nhất nghiên cứu các hàm số liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ độ ngẫu nhiên (hệ phương trình sai phân) Kể từ đó, đã có nhiều quyển sách, hàng chục luận án tiến sĩ và nhiều bài báo nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian được công bố.
Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc, cho phép chúng ta nghiên cứu hai mặt bản chất của thời gian: tính rời rạc và tính liên tục Hai khái niệm này cung cấp cái nhìn tổng quát về cách mà thời gian ảnh hưởng đến thực tại, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của vũ trụ.
Giải tích trên thang thời gian đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nhà toán học trong và ngoài nước Nhiều bài viết đã ứng dụng giải tích thời gian vào nghiên cứu các bài toán tối ưu, phép tính biến phân, và các mô hình kinh tế vĩ mô Những ứng dụng này còn mở rộng ra các bài toán trong lý thuyết trò chơi và hệ sinh thái.
Here is the rewritten paragraph:"Trong quá trình tìm hiểu và khám phá vấn đề thờ ự và cơ bải s n c a gi i tích, tôi đã có cơ hội đi sâu hơn vào bản chất của tích phân và nắm vững hơn về kiến thức đã được học tập trong chương trình đạ ọc và sau đạ ọi h i h c Từ đó, tôi quyết định chọn đề tài "Phép biến đổ tích phân trên thang th i giani" làm đề tài luận văn thạ ỹc s khoa học để có thể ứng dụng rộng rãi và sâu sắc hơn về kiến thức đã được học tập."
Phép biến đổi tích phân trên thang th i gian ờ
3 Đối tƣợng, ph m vi nghiên c u ạ ứ
Nghiên c u các khái niứ ệm cơ bản nh t v thang thấ ề ời gian, đạo hàm, tích phân và phép biến đổi Fourier trên thang th i gian và ng d ng ờ ứ ụ
S dử ụng biến đổi tích phân, thang th i gian, bờ ất đẳng th c tích phân, tích ứ chập, giải tích hàm, phương pháp toán tử
Ngoài phần ở đầm u và tài li u tham kh o, luệ ả ận văn gồm ba chương với n i ộ dung như sau:
Chương 1 Phép tính vi phân trên thang th i gian ờ
Chương 2 Phép tính tích phân trên thang th i gian ờ
Chương 3 Phép biến đổi Fourier trên thang thời gian
CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM TRÊN THANG TH I GIAN Ờ Chương này đưa ra mộ ốt s khái niệm cơ bản v thang th i gian, vi phân và ề ờ đạo hàm trên thang th i gian ờ
Các k t qu chính cế ả ủa chương này được trích t các tài li u [1]; ừ ệ 4 ; [10]
1.1 Thang th i gian ờ Định nghĩa 1.1 Một thang th i gian,ờ ký hi u là T, là t p h p con ệ ậ ợ đóng khác r ng ỗ c a t p h p s ủ ậ ợ ố thực
Có m t vài thang th i gian ộ ờ đặc bi t, ch ng h n tệ ẳ ạ ập ố thực s , s nguyên ố h , trong đó h là một s thố ực dương cố đị nh, các s t nhiên ố ự
, q q n n : , trong đó q 1 là được điều ch nh ỉ
Trong luận văn này, ta giả đị nh r ng m t thang th i gian nhằ ộ ờ ất định có c u trúc liên ấ kết tương đối ch t ch v i các s ặ ẽ ớ ố thự c
Xét các số nguyên và chọn t ∈ ℤ Chúng ta biết rằng các số nguyên liền sau được tính bằng t + 1 Tiếp theo, hãy xét các tập hợp số thực, v ∈ ℝ Trong trường hợp này, không có số thực nào lớn hơn số tiếp theo đối với t Cuối cùng, ta xem xét thang thời gian T = [-1, 0].
Khi chọn tập T với t < 0, không tồn tại phần tử lớn hơn tiếp theo trong T Ngược lại, nếu chọn T với t ≥ 0, sẽ có một phần tử lớn hơn tiếp theo được xác định là t + 1 Định nghĩa dưới đây cung cấp một hướng nghiên cứu mới có ý nghĩa đối với thang thời gian tùy ý Định nghĩa 1.2 nêu rõ rằng với t thuộc T, toán tử bước nhảy tiệm cận σ: T → T được xác định bởi
toán t ử bước nh y lùi ả :T Tđược xác định b i ở
và hàm hạt : T 0, được xác định b i ở
Quy ước inf supTvà sup inf T
Toán tử bước nhảy cung cấp cho chúng ta các số liệu liên quan đến các điểm trên thang thời gian Định nghĩa 1.3 chỉ ra rằng nếu σ(t) > t thì t là điểm cô lập bên phải, còn nếu ρ(t) < t thì t là điểm cô lập bên trái Khi một điểm vừa cô lập bên phải vừa cô lập bên trái, nó được gọi là điểm cô lập Nếu t < sup T và σ(t) = t, thì t được xem là điểm trùm bên phải.
Nếu t > inf T và ρ(t) = t, thì t được gọi là điểm trù mật bên trái Điểm này đồng thời là điểm trù mật bên phải, tạo thành một điểm trù mật.
Định nghĩa tiếp theo về tính liên tục trong toán học có phần yếu hơn so với tính liên tục truyền thống Cụ thể, một hàm số f: T → R được gọi là hàm chính quy nếu nó có thể gián đoạn tại một số điểm nhất định trong miền T, nhưng vẫn giữ được tính chất liên tục tại các điểm khác Điều này có nghĩa là hàm chính quy có thể có những điểm không liên tục, nhưng không làm mất đi tính liên tục tại các điểm còn lại.
Ví d 1 ụ 5 Xét m t hàm không chính quy trên ộ Đặt f : 1 được xác định bằng
Chú ý r ng trong khi ằ f liên tục t nhưng không t n t i gi i h n trái và giới ồ ạ ớ ạ h n ph i t i 0 vì ạ ả ạ
Một hàm f được gọi là hàm liên tục tại một điểm t0 thuộc tập T nếu tại điểm t0, hàm f liên tục bên trái và bên phải Cụ thể, nếu t0 là điểm trùm bên trái, giới hạn bên trái của f tại t0 phải tồn tại và bằng giá trị của hàm tại t0 Ngược lại, nếu t0 là điểm trùm bên phải, hàm f cũng phải liên tục tại t0 Một hàm được xem là hàm liên tục nếu nó liên tục tại tất cả các điểm trong tập T.
rõ ràng f liên t c t các ụ ại điểm cô l p c a T Vì vậ ủ ậy khi ta xét điểm trù m t bên phậ ải
0 và điểm trù m t bên trái 2 Gi i h n ph i c a ậ ớ ạ ả ủ f t 0 t n t i và b ng ại ồ ạ ằ f 0 Vì v y, ậ f liên t c t i 0 Trong khi ụ ạ f không liên t c t i 2, gi i h n trái cụ ạ ớ ạ ủa f t n tồ ại ở
2 Ta có th ể thấ ằy r ng mặc dù f không liên tục nhưng f là hàm rd-liên tục Định lý 1 8 Cho f T : và g T : T thì,
(i) Nếu fliên t c, khi ụ đó f là hàm rd-liên tục.
(ii) Nếu f liên t c và ụ g chính quy ho c rd-liên t c, khi ặ ụ đóg tương ứng là hàm chính quy ho c rd-liên tặ ục.
1.2 Đạo hàm trên thang th i gian ờ Định nghĩa 1.9 Tập T k được định nghĩa là
Đạo hàm trên thang thời gian của một hàm thích hợp không thể xác định cho tất cả các điểm trên toàn bộ thang thời gian Đặc biệt, chúng ta không thể xác định nó ở những điểm cụ thể trên thang thời gian Tuy nhiên, có thể xác định đạo hàm trên thang thời gian tại tất cả các điểm của một tập hợp Theo định nghĩa sau đây,
T k là tập xác định để đạ o hàm trên thang thời gian có nghĩa. Định nghĩa 1.10 Hàm f T : được gọi là Δ khả vi tại - t T k n u ế
, s T \ ( ) t t n t i ồ ạ f t đượ c gọi là Δ đạo hàm của - f t i t Hàm ạ f được gọi là Δ khả vi - trên
T k nếu f t t n tồ ại ở ấ ả các t t c t T k và f : T k được gọi là Δ đạ- o hàm của f trên T k
Chú ý rằng chúng ta quy ước s khác với σ(t), với thỏa thuận s = t Khi xem xét một điểm t trên trục thời gian, độ dốc của đường thẳng đi qua các điểm (t, f(t)) và (t + Δ, f(t + Δ)) được gọi là đạo hàm tại t.
t f , t Khi t là trù mật bên phải, Δ đạ- o hàm t i t ạ tương tự như định nghĩa thông thường của đạo hàm Định lý 1.11 Cho f T : v i ớ t T k Nếu f là Δ khả vi ại - t t : thì
Chứng minh: i Giả ử s f là -Δ khả vi ạ điểm t i t T k Ta th y khi ấ t là trù mật phải t 0 và t t , vì v y ta có ậ
Xét khi t là điểm cô l p ph i Do ậ ả ( ) t t và f -Δ khả vi ại t t, ta có th ể viế ại đạo t l hàm t i t thành ạ
Cho 1 0 , và xác định ' 1 f t t 1 thì 1 ' 0 Theo định nghĩa của đạo hàm, v i ớ 1 0 t n tồ ại 0 sao cho t s , s t ta ch ng minh ứ
Ta s d ng ử ụ 1.1 và 1.2 để thấy f t ( ) f s ( ) Đặt t s min ',
S dử ụng phương trình 1.1 để viế ại thành t l
Theo i ta có f t f t t f t 0 f t f t t f t 0 T ừ đó ta đánh giá dòng cuối cùng
Phần (ii) của định lý 1.11 được chứng minh tương tự như phần (i), mà chỉ đúng khi t là điểm cô lập Khi t là điểm trùm tập \( \sigma(t) = t \), thay vào phần (i) ta có \( f(t) = f(t) \), điều này hiển nhiên đúng Định lý tiếp theo đưa ra một số quy tắc về hàm Cần lưu ý rằng phần (i) và (ii) dưới đây tương tự như các trường hợp số thực, trong khi phần (iii) có sự khác biệt Định lý 1.12 khẳng định rằng nếu \( f: T \rightarrow g \) là hàm khả vi tại \( t \in T \), thì các điều kiện liên quan sẽ được thiết lập.
(ii) Đố ớ ấ ỳi v i b t k không đổi , f T : là Δ khả vi ạ- t i t v i ớ
f t f t (iii) Tích fg T : là Δ khả vi ạ- t i t v i ớ
Chứng minh: Ta ch cỉ ần ch ng minh ứ iii Cho 0 và xác định
t n tồ ại 0 sao cho t s ta có:
Giả ử ta đã chọ s n đủ nhỏ để ' 1, biểu th c trêứ n được viết dướ ại d ng
Để có được đẳng thức thứ hai, cần đổi vai trò của f và g trong phương trình (1.3) Điều quan trọng là phải lưu ý đến quy tắc đạo hàm của hàm hợp Đối với các hàm f và g, quy tắc đạo hàm của hàm hợp được xác định rõ ràng.
Tuy nhiên, v i thang ớ thời gian tùy ý, điều này không còn đúng trong một vài trường h p Ch ng h n ta xét ví d sau: ợ ẳ ạ ụ
Ví d 1.13.ụ Cho T và cho f g , : được xác định bởi f t g t t 2 t t S ử dụng đạ o hàm tích, định lý 1.12, ta có
Vì v y, mậ ộ ầt l n n a b ng cách s d ng đạo hàm tích, ta có ữ ằ ử ụ
N u chúng ta gi s r ng ế ả ử ằ ( f f ( ( )) g t g t ( ), thì ta có
Như vậy ( f f g t g t ( ( )) ( ) , chỉ cho một điểm trong , là t 0
Trong trường hợp này, có một số quy tắc đặc thù cho đạo hàm của hàm hợp trong các thang thời gian Mỗi quy tắc trong số đó đều có tính chất riêng biệt so với các quy tắc thông thường Để xác định quy tắc đạo hàm hàm hợp trong ngữ cảnh này, chúng ta cần chú ý đến điều kiện nào cho hàm γ để γ(T) trở thành một thang thời gian Để trả lời cho câu hỏi này, ta sẽ xem xét mệnh đề sau.
Mệnh đề 1 Cho 1 4 :T là một hàm tăng ngặt Khi đó T là m t thang thộ ời gian khi và ch khi ỉ
(ii) b ị chặn trên (tương ứng b ị chặn dưới) ch khi T b ỉ ị chặn trên (tương ứng b chị ặn dưới)
Chứng minh: Chứng minh ph n chả ứng Gi s r ng ả ử ằ không liên t c vụ ới
PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN
Thang th i gian ờ
Định nghĩa 1.1 Một thang th i gian,ờ ký hi u là T, là t p h p con ệ ậ ợ đóng khác r ng ỗ c a t p h p s ủ ậ ợ ố thực
Có m t vài thang th i gian ộ ờ đặc bi t, ch ng h n tệ ẳ ạ ập ố thực s , s nguyên ố h , trong đó h là một s thố ực dương cố đị nh, các s t nhiên ố ự
, q q n n : , trong đó q 1 là được điều ch nh ỉ
Trong luận văn này, ta giả đị nh r ng m t thang th i gian nhằ ộ ờ ất định có c u trúc liên ấ kết tương đối ch t ch v i các s ặ ẽ ớ ố thự c
Xét các số nguyên và chọn t thuộc tập hợp các số nguyên Chúng ta biết rằng các số nguyên liền sau được tính bằng t + 1 Tiếp theo, hãy xem xét các tập hợp số thực, với t thuộc tập hợp số thực Trong cách này, không có số thực nào lớn hơn số tiếp theo của t Bây giờ, ta xem xét thang thời gian T = [-1, 0].
Nếu chúng ta chọn một tập T với t < 0, thì không có phần tử lớn hơn tiếp theo nào trong T Ngược lại, nếu chọn T với t ≥ 0, thì T sẽ có một phần tử lớn hơn tiếp theo được đặt bằng t + 1 Định nghĩa sau đây cung cấp một hướng nghiên cứu mới có ý nghĩa đối với thang thời gian tùy ý Định nghĩa 1.2: Với t ∈ T, toán tử bước nhảy tiệm cận σ: T → T được xác định bởi
toán t ử bước nh y lùi ả :T Tđược xác định b i ở
và hàm hạt : T 0, được xác định b i ở
Quy ước inf supTvà sup inf T
Toán tử bước nhảy là một công cụ quan trọng trong việc xác định các giá trị tại các thời điểm khác nhau Nó cho phép chúng ta tính toán giá trị của một hàm tại các điểm trước đó, từ đó tạo ra khoảng cách đến giá trị tiếp theo Định nghĩa 1.3 chỉ ra rằng nếu \( \sigma(t) > t \), thì t được gọi là cô lập bên phải, trong khi nếu \( \rho(t) < t \), thì t là cô lập bên trái Khi một điểm vừa cô lập bên phải vừa cô lập bên trái, nó được gọi là điểm cô lập Nếu \( t < \sup T \) và \( \sigma(t) = t \), thì t được xem là điểm trùm bên phải.
Nếu t > inf T và ρ(t) = t, thì t được gọi là điểm trù mật bên trái Điểm này đồng thời cũng là điểm trù mật bên phải, do đó được xem là điểm trù mật.
Định nghĩa tiếp theo liên quan đến tính liên tục, nhưng có phần yếu hơn Một hàm số f: T → R được gọi là hàm chính quy nếu tại mỗi điểm trong miền T, hàm này có thể gián đoạn tại các điểm có bướn tính nhạy.
Ví d 1 ụ 5 Xét m t hàm không chính quy trên ộ Đặt f : 1 được xác định bằng
Chú ý r ng trong khi ằ f liên tục t nhưng không t n t i gi i h n trái và giới ồ ạ ớ ạ h n ph i t i 0 vì ạ ả ạ
Một hàm f: T → R được gọi là hàm liên tục tại một điểm t₀ ∈ T nếu tại điểm t₀ là điểm trùm bên trái thì giới hạn bên trái của f(t) khi t tiến tới t₀ bằng giá trị của hàm f tại t₀ Ngược lại, nếu t₀ là điểm trùm bên phải, thì hàm f phải liên tục tại t₀, nghĩa là hàm f phải chính quy và liên tục bên phải Một hàm được coi là hàm liên tục nếu nó liên tục tại tất cả các điểm trong miền xác định của nó.
rõ ràng f liên t c t các ụ ại điểm cô l p c a T Vì vậ ủ ậy khi ta xét điểm trù m t bên phậ ải
0 và điểm trù m t bên trái 2 Gi i h n ph i c a ậ ớ ạ ả ủ f t 0 t n t i và b ng ại ồ ạ ằ f 0 Vì v y, ậ f liên t c t i 0 Trong khi ụ ạ f không liên t c t i 2, gi i h n trái cụ ạ ớ ạ ủa f t n tồ ại ở
2 Ta có th ể thấ ằy r ng mặc dù f không liên tục nhưng f là hàm rd-liên tục Định lý 1 8 Cho f T : và g T : T thì,
(i) Nếu fliên t c, khi ụ đó f là hàm rd-liên tục.
(ii) Nếu f liên t c và ụ g chính quy ho c rd-liên t c, khi ặ ụ đóg tương ứng là hàm chính quy ho c rd-liên tặ ục.
1.2 Đạo hàm trên thang th i gian ờ Định nghĩa 1.9 Tập T k được định nghĩa là
Đạo hàm trên thang thời gian của một hàm thích hợp không thể xác định cho tất cả các điểm trên toàn bộ thang thời gian Đặc biệt, chúng ta không thể xác định nó ở một số điểm nhất định trên thang thời gian Tuy nhiên, chúng ta có thể xác định đạo hàm trên thang thời gian tại tất cả các điểm của một hàm cụ thể Theo định nghĩa sau đây,
T k là tập xác định để đạ o hàm trên thang thời gian có nghĩa. Định nghĩa 1.10 Hàm f T : được gọi là Δ khả vi tại - t T k n u ế
, s T \ ( ) t t n t i ồ ạ f t đượ c gọi là Δ đạo hàm của - f t i t Hàm ạ f được gọi là Δ khả vi - trên
T k nếu f t t n tồ ại ở ấ ả các t t c t T k và f : T k được gọi là Δ đạ- o hàm của f trên T k
Chú ý rằng chúng ta quy ước s khác với σ(t), với thang thời gian s = t Khi xét một điểm t trên thang thời gian, độ dốc của hàm tại t, ký hiệu là Δ, được xác định bởi đường thẳng đi qua các điểm (t, f(t)).
t f , t Khi t là trù mật bên phải, Δ đạ- o hàm t i t ạ tương tự như định nghĩa thông thường của đạo hàm Định lý 1.11 Cho f T : v i ớ t T k Nếu f là Δ khả vi ại - t t : thì
Chứng minh: i Giả ử s f là -Δ khả vi ạ điểm t i t T k Ta th y khi ấ t là trù mật phải t 0 và t t , vì v y ta có ậ
Xét khi t là điểm cô l p ph i Do ậ ả ( ) t t và f -Δ khả vi ại t t, ta có th ể viế ại đạo t l hàm t i t thành ạ
Cho 1 0 , và xác định ' 1 f t t 1 thì 1 ' 0 Theo định nghĩa của đạo hàm, v i ớ 1 0 t n tồ ại 0 sao cho t s , s t ta ch ng minh ứ
Ta s d ng ử ụ 1.1 và 1.2 để thấy f t ( ) f s ( ) Đặt t s min ',
S dử ụng phương trình 1.1 để viế ại thành t l
Theo i ta có f t f t t f t 0 f t f t t f t 0 T ừ đó ta đánh giá dòng cuối cùng
Phần (ii) của định lý 1.11 được chứng minh tương tự Phần (i) chỉ đúng khi t là điểm cô lập, và với t là điểm trùm, ta có t = t, thay vào (i) ta được f(t) = f(t), điều này là hiển nhiên đúng Định lý tiếp theo đưa ra một số quy tắc về hàm Lưu ý rằng Δ trong phần (i) và (ii) dưới đây tương tự như các trường hợp số thực, trong khi phần (iii) có sự khác biệt Định lý 1.12 phát biểu rằng cho f: T → g là hàm khả vi tại t ∈ T, khi đó, ta có
(ii) Đố ớ ấ ỳi v i b t k không đổi , f T : là Δ khả vi ạ- t i t v i ớ
f t f t (iii) Tích fg T : là Δ khả vi ạ- t i t v i ớ
Chứng minh: Ta ch cỉ ần ch ng minh ứ iii Cho 0 và xác định
t n tồ ại 0 sao cho t s ta có:
Giả ử ta đã chọ s n đủ nhỏ để ' 1, biểu th c trêứ n được viết dướ ại d ng
Để có được đẳng thức thứ hai, cần đổi vai trò của f và g trong phương trình Điều quan trọng là phải lưu ý đến quy tắc đạo hàm của hàm hợp Đối với các hàm f và g, quy tắc đạo hàm của hàm hợp được xác định rõ ràng.
Tuy nhiên, v i thang ớ thời gian tùy ý, điều này không còn đúng trong một vài trường h p Ch ng h n ta xét ví d sau: ợ ẳ ạ ụ
Ví d 1.13.ụ Cho T và cho f g , : được xác định bởi f t g t t 2 t t S ử dụng đạ o hàm tích, định lý 1.12, ta có
Vì v y, mậ ộ ầt l n n a b ng cách s d ng đạo hàm tích, ta có ữ ằ ử ụ
N u chúng ta gi s r ng ế ả ử ằ ( f f ( ( )) g t g t ( ), thì ta có
Như vậy ( f f g t g t ( ( )) ( ) , chỉ cho một điểm trong , là t 0
Here is a rewritten paragraph that complies with SEO rules:Trong trường hợp này, có một vài quy tắc đạo hàm hàm hợp cho thang thời gian, mỗi quy tắc trong số đó có tính chất hơn so với các số thực Để đưa ra quy tắc đạo hàm hàm hợp trong nhận lý 1.15, chúng ta chú ý đến câu hỏi dưới đây: với điều kiện nào cho hàm γ để γ(T) là một thang thời gian Để trả lời cho câu hỏi này, ta xét mệnh đề sau.
Mệnh đề 1 Cho 1 4 :T là một hàm tăng ngặt Khi đó T là m t thang thộ ời gian khi và ch khi ỉ
(ii) b ị chặn trên (tương ứng b ị chặn dưới) ch khi T b ỉ ị chặn trên (tương ứng b chị ặn dưới)
Chứng minh: Chứng minh ph n chả ứng Gi s r ng ả ử ằ không liên t c vụ ới
Trong một khoảng thời gian nhất định, có thể xác định một điểm a T thuộc tập hợp T, hoặc là điểm trù mật bên trái, bên phải, hoặc một điểm trù mật nào đó mà không liên quan đến điểm a Để đảm bảo tính tổng quát, chúng ta xem xét điểm trù mật bên trái mà không phải là điểm trù mật bên phải Đối với tập hợp {t_n} với t_n thuộc T, có thể biểu diễn một dãy tăng ngặt nghèo.
Vì γ tăng ngặt nên a b ị chặn trên b i dãy ở t n n Vì vậy t n n phả ộ ụ i h i t v m t c n trên h u hề ộ ậ ữ ạn, hơn nữa sup t n n a
1.4 vì γ không liên tụ ạc t i a Tiế ụp t c s dử ụng tính tăng ngặ ủt c a hàm , ta có sup t n n t
Here is the rewritten paragraph:Cho bất kỳ số thực T nào, tồn tại số thực b sao cho γ(b) = sup{γ(tn) | n ∈ ℕ} Vì γ tăng, nên b = sup{tn | n ∈ ℕ} và do đó b ≤ a Từ (1.4), ta có b ≠ a ⇒ b < a Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng {tn} hội tụ đến a Vì vậy, giả thiết phản chứng γ(T) là một thang thời gian mâu thuẫn nên γ là liên tục.
Bây gi ờ giả ử ằ s r ng supT và T M v i m t s ớ ộ ốM Khi đó, chúng ta có th ể tìm được một dãy tăng t n n , t n T mà lim n n t
Ta s d ng hàm ử ụ là hàm tăng ngặt để xác định r ng ằ t n n
Vì th ế sup{ (t )} n n N ( ) T và do đó T là t p ậ đóng Bằng cách ch ng minh ph n chứ ả ứng, khi T là một thang th i gian, ta có ờ ii
Giả sử \( r \) là một điểm giới hạn của \( \gamma(T) \) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng \( r \) là một điểm giới hạn của một dãy tăng \( \{ a_n \} \) với \( a_n \in \gamma(T) \) Cho \( \{ \gamma(t_n) \} \) với \( t_n \in T \), nếu \( \gamma(t_n) = a \) thì \( \{ t_n \} \) cũng là một dãy tăng.
Gi s ả ử sup T , thì theo ii ta có sup T Như vậy lim n t n
vì T đóng nên t 0 T M t khác hàm ặ , liên tục suy ra t 0 a, do đó a T □ Định lý 1 .15 (quy tắc đạo hàm hàm hợp)
Cho :T là m t hàm ộ tăng ngặt sao cho T là m t thang th i gian ộ ờ
Cho :T và biểu th o hàm cị đạ ủa trên T Nếu t và t tồn t i v i ạ ớ t T k thì
( Chứng minh: Cho 1 0 và xác định
thì 1 ' 0 t Δ-kh vi ả có nghĩa là tồn t i ạ 1 0 sao cho t s T , , khi t s 1 ta có
Tương tự như vậy, t -Δ khả vi có nghĩa là tồ ại n t 2 0 sao cho r , t T khi
Ở đó biểu th toán t ị ử bước nh y ti n trên ả ế T Cho
Chú ý r ng vì ằ tăng ngặt
Tương tự như vậy 1 t 2 t 0 thì với s T mà t s , ta có t s 1 Với m iỗ s như vậy ta có
Tương tự như vậy chúng ta có th s d ng ể ử ụ t s 1 t 2 t cho thấy
Vì vậy t s nghĩa là t s 2 Nên:
Tiếp t c s d ng tính ụ ử ụ tăng ngặ ủt c a hàm , ta có ( ( )) t ( ( )) t Vì v y, dòng ậ cuối cùng được vi t l i ế ạ
Bây gi chúng ta xét l i ví d ờ ạ ụ1.13và ki m tra rể ằng
K t qu ế ả này thu được trong f t quy t ừ ắc đạo hàm hàm h p ợ
Trong trường hợp hàm tăng liên tục, đạo hàm trên thang thời gian cho kết quả tương tự như đạo hàm hợp trong tập số thực Việc sử dụng quy tắc đạo hàm hợp trên tập số nguyên chỉ đúng trong một số trường hợp cụ thể Chúng ta có thể xem xét ví dụ tại điểm t=0 để minh họa điều này Do đó, đạo hàm trên tập số nguyên thực sự là một trường hợp riêng của đạo hàm trên một thang thời gian liên tục.
Chương 1 đã trình bày những vấn đề chính sau:
K t lu n c ế ậ hương 1
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu phép biến đổi Fourier trên các hàm liên tục, tuần hoàn, rời rạc và hàm hằng đối với các thang thời gian cụ thể Bài viết sẽ nêu rõ các định nghĩa, tính chất của phép biến đổi Fourier cũng như phép biến đổi Fourier ngược.
Các k t qu chính cế ả ủa chương này được trích t các tài liừ ệu [5]; [6]; [7]
Trước khi định nghĩa phép biến đổi Fourier, ta c n phầ ải xác định m t s ộ ố thang thời gian đặc bi t ệ Định nghĩa 3.1.1 Thang th i gian ờ Th được định nghĩa là
Chú ý rằng (Th, +) tạo thành một nhóm giao hoán Nếu H > 0 là biên cận, thì H = ∞, TH là một nhóm con của Th Điều này dẫn đến định nghĩa tiếp theo: Định nghĩa 3.1.2 Cho H > h mà TH là một nhóm con của Th Khi đó, thang thời gian ThH là nhóm thương được định nghĩa.
T T T và T hH được xác định b i ở hH : hH
Chú ý r ng nằ ếu h thì h
h đúng h Ở đây, h là s ố thực dương cố đị nh và H có th ể được coi là chi u dài c a thang th i gian Ta s ề ủ ờ ẽ chứng minh điều này bằng m t vài ví d ộ ụ
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG TH ỜI GIAN
Định nghĩa tích phân trên thang thời gian
Định nghĩa 2.1.1 Cho T là m t thang th i gian, và cho ộ ờ a b T , sao cho a b Một phân hoạch ủ c a a b , (trong đó a b , biểu th kho ng trên thang th i gian) là t p con ị ả ờ ậ tùy ý h u h n s p th t ữ ạ ắ ứ ự
P t t t trong đó a t 0 t 1 t n b t T, i Nói cách khác P tách kho ng ả a b , thành mộ ật t p các t p con: ậ
Ký hi u t p h p cệ ậ ợ ủ ấ ảa t t c các phân hoạch thành P a b ,
Ta c n ầ xác định nh ng ữ -phân hoạch là gì Định nghĩa 2.1.2 Cho 0 M t phân hoộ ạch P P a b , đưa ra bởi
0 1 n a t t t b đượ c g i là ọ -phân hoạch n u v i mế ớ ỗi i 1,2, , n
1 i i t t v i mớ ỗi đoạn t t i 1, i Ký hi u t p h p c a t t c các phân ệ ậ ợ ủ ấ ả hoạch là
Chú ý r ng có th x y ra kh ằ ể ả ả năng t t i i 1 nhưng chỉ khi ti ti 1 Điều này được minh h a trong các ví d p theo ọ ụ tiế
Ví d ụ 2.1.3 Xét thang th i gian ờ T 2 : n n N 0 Giả ử s a 0 và b 32 Cho
P được phân hoạch 0,32 trên T theo 0,1,2,4,8,16,32và tương tự cho P được phân hoạch theo
P là một -phân hoạ ch c ủa 0,32 , 0 Điều này x y ra ả vì t t i 1 , i , i 1,2, , n Tuy nhiên, đây không phải là trường h p ợ của P Trong khi t t i 1, i , i 2, khi i 2 ta có
t t1 2, Vì v y, ậ P là một -phân hoạch c a ủ 0,32 chỉ khi
Tiếp theo, chúng ta sẽ định nghĩa tích phân Riemann, tương tự như tích phân Riemann thông thường Định nghĩa 2.1.4: Cho hàm f được xác định trên đoạn [a, b] là một hàm bị chặn Với phân hoạch P của đoạn [a, b], chọn một điểm τ trong khoảng giữa các điểm ti-1 và ti, sao cho ti-1 ≤ τ < ti.
là một Δ ổng Riemann tương ứ-t ng với P Chúng ta nói r ng ằ f là Δ khả- tích Riemann trên a b , n u t n t i mế ồ ạ ộ ốt s I sao cho: 0, 0để
P P P a b , S ố phức I được gọi là Δ-tích phân Riemann (ho c ch ặ ỉ đơn giản là Δ-tích phân) c a ủ f trên a b , và đượ c kí hi u ệ b a f t t
Dưới đây, chúng ta sẽ tính toán một số tích phân trước tiên để hiểu rõ về khái niệm tích phân, đặc biệt là trong trường hợp tích phân Riemann thông thường.
Ví d ụ 2.1.5 Cho f T : được xác định b i ở f t t 2 Gi s rả ử ằng
Chúng ta th y, trong ví d này ta xét phân ấ ụ hoạch P theo 0,1,2,4,8,16,32 nằm trong P 0,32 , 0 Bởi vì ta ch n ọ i T mà t i 1 i t i duy nh t là ấ
So sánh điều này với tích phân thông thường
và cho P biểu th phân hoị ạch 0,32 theo
Chú ý r ng trong thang th i gian này ằ ờ PnP 0,32 nếu 32 0 32
N u ký hiế ệu S n là Δ ổng Riemann tương ứ-t ng v i ớ P n , khi đó ta có
S dử ụng Maple t có th a ể tính đượ ố ạc s h ng th hai trong tứ ổng S n Chẳ ng h n ạ
Điều đáng chú ý là trong mỗi khoảng thời gian của hai thang thời gian được đề cập, giá trị Δ-tích phân nhỏ hơn so với trường hợp thông thường Thực tế cho thấy đối với bậc hàm tăng f và khoảng thời gian T, điều này tạo ra những ảnh hưởng đáng kể.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân Δ trên miền T, với chú ý rằng nó phụ thuộc vào thời gian t và giá trị của hàm μ(t) Nếu tồn tại một điểm trùm bên phải trong khoảng thời gian này, thì trọng số sẽ là h(0) Các mối quan hệ được đề cập trong bài viết sẽ giúp làm rõ vấn đề này.
Mệnh đề 2.1.6 N u cho ế f T : khi đó ta có:
Bây gi ờ giả ử ằ s r ng t t thì t , t là một -phân ho ạch 0 Như vậy
Điề u ki ện khả tích và các phương pháp tính tích phân
Định lý 2.2.1 Mọi hàm f -liên trd ục trên đoạn a b , là Δ khả- tích trên a b ,
Chứng minh: lưu ý đầu tiên là toán t ử bước nh y ả lùi có th ể được mở ộ r ng t nhiên t i khoự ớ ảng thực inf ,sup T T b i ở
Cho g là m t phộ ần m r ng cở ộ ủa ên tr trụ ố ực được xác địc s th nh b i ở
Nếu hàm số f là hàm liên tục, thì tập hợp các điểm gián đoạn của nó sẽ là tập đếm được Điều này cho thấy rằng hàm liên tục trên một khoảng sẽ có tính chất liên tục từng đoạn.
Để tính Δ-tích phân trên đoạn \([a, b]\), ta có thể sử dụng các định lý liên quan đến tính chất tuyệt đối của Δ-tích phân Định lý 2.2.2 chỉ ra rằng nếu \(f\) và \(g\) là các hàm Δ-tích phân trên đoạn \([a, b]\), thì với các hằng số \(\alpha\) và \(\beta\) thuộc tập hợp số thực, ta có thể áp dụng các tính chất của Δ-tích phân để rút ra kết luận Tính chất tuyệt đối của Δ-tích phân sẽ được trình bày chi tiết trong các phần tiếp theo của bài viết.
Định lý 2.2.2 và 2.2.1 khẳng định rằng một hàm khả vi cũng là hàm khả tích, điều này được ứng dụng trong các định lý cơ bản của toán cao cấp Định lý 2.2.3 chỉ ra rằng nếu g là một hàm xác định trên đoạn [a, b] và g là Δ-kh trên đoạn [a, b], thì các tính chất liên quan đến hàm này sẽ được đảm bảo.
Nếu g là Δ khả- tích trên a b , thì b a g t t g b g a
(2.7) b) Cho f là Δ khả- tích trên a b , Đố ớ i v i t a b , xác định
Khi đó, F t liên t c trên ụ a b , Nếu t0a b, và nếu f liên t c tụ ại t0 khi t 0 là điểm trù mật bên ph i, khi đó ả F là -Δ khả vi ạ t i t0 và có
F t f t Định lý 2.2.4 (định lý i bi n) đổ ế
Cho hàm tăng ngặt \( \gamma: T \rightarrow \) với \( T \) là một m-thang thời gian Ký hiệu \( \Delta \) đại diện cho hàm trên \( T \) Giả sử \( f: T \rightarrow \Delta \) là hàm khả tích trên mỗi khoảng hở của \( T \) Nếu \( \gamma \) là hàm khả vi và \( f(t) \) là hàm khả tích trên đoạn \([a, b]\), ta có các tính chất quan trọng liên quan đến khả năng tích phân của hàm này.
Theo định lý 1.11 F f cho điểm cô l p bên ph i và nhậ ả ững điểm trù m t bên ậ phải mà tại đó f có tính liên t c Vì th ụ ế
S d ng các quy tử ụ ắc đạo hàm hàm hợp ừ địt nh lý 1.15, để có
Tiế ụ ử ụp t c s d ng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta được
Định lý 2.2.5 (Tích phân t ng phừ ần)
: f g T là hàm rd-liên t c thì ụ (i) b b a a f t g t t fg b fg a f t g t t
Chứng minh: Ta ch c n ch ng minh (i) ỉ ầ ứ Đặt:
Theo quy tắc đạo hàm tích trong định lý 1.12 ta bi ết
Vì vậy, áp dụng định lý cơ bả , địn nh lý 2.2.2, phương trình 2.8 được vi t lại ế
Chứng minh ii đượ c thực hi n b ng cách i vai tròệ ằ đổ f và g trong phần i
Hàm đa thức và hàm mũ trên thang thời gian
Trong khi 0 là đạo hàm của một hàm tại điểm 1, thì 1 lại là đạo hàm của hàm tại thời điểm t Trong khoảng thời gian cụ thể, không thể xác định t nào là đạo hàm theo cách thông thường cho khoảng thời gian tùy ý Ví dụ, t là đạo hàm của một hàm số nhất định.
2 t trên , nhưng đối ớv i m t thang th i gian ộ ờ tùy ý
mà theo quy tắc đạo hàm tích trong định lý 1.12 thì
2 t t không nh t thi t ph i ấ ế ả khả vi trong trư ng h p ờ ợ t liên t c ụ
Here is a rewritten paragraph that conveys the same meaning while complying with SEO rules:"Để đưa ra một tập hợp các hàm có thể sử dụng biến theo phép tính trên thang thời gian, chúng ta có thể bắt đầu với 1 và định quy xác định hàm bằng tích phân Theo định nghĩa 2.3.1, cho hai hàm g và h, T(k) và k ∈ T, thì đa thức trên thang thời gian được xác định bởi biểu thức này."
1 , , s k k t h t s h s s t T , Định lý 2.3.2 Cho s T và cho h t sk , biểu th - o hàm c aị Δ đạ ủ h t sk , chosc ố định Khi đó ta có:
Biến th hai ứ s, được quan tâm đố ới các đa thứ Chú ý đố ới v c i v i thang th i gian ta ờ có
Chúng ta đang tìm kiếm một hàm sử dụng cùng một mục đích như hàm mũ trong trường hợp cụ thể Mục tiêu là xác định nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu.
Trước khi tìm nghi m cho bài toán chúng ta c n mệ , ầ ộ ốt s khái ni m m i ệ ớ Định nghĩa 2.3.3 Đố ới i v h 0 m t ph ng ph c Hilgerặ ẳ ứ được định nghĩa là
Định nghĩa 2.3.4 Phép toán c ng vòng trònộ , ký hiệu trên được định nghĩa b i ở w : w w z z z h
Vòng tròn âm z được xác định b i ở
Phép toán trừ vòng tròn được xác định b i ở
w : w z z Định lý 2.3.5 Cặp t o thành mạ ột nhóm giao hoán Ở đây ta xét hàm ạh t t thay vì h Định nghĩa 2.3 6 Hàm f T : được gọi là h i quyồ n u ế
T p h p t t c các hàm h i quy và rd-liên tậ ợ ấ ả ồ ục f T : s ẽ được ký hi u bệ ằng
M t s ộ ố ít trường h p ta ợ xét đến
Mệnh đề 2 .7 3 t o thành m t nhóm theo phép toán c ng vòng tròn theo t ng ạ ộ ộ ừ điểm
Cho s T k là một điểm trù m t bên ph i thì ậ ả s s s 0 Vì th ế
p q s p s q s p và q là mỗi điểm liên t c tụ ại s ,do đó p q liên t c t i ụ ạ s Bây gi ờ đặt s T k là một điểm điểm trù m t bên trái thì ậ
Ta có lim t s p t ,lim t s q t và lim t s t là h u h n vì ữ ạ p vàplà hai hàm -liên t c và rd ụ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các tính chất của phép toán trong không gian vector Đầu tiên, ta nhận thấy rằng với mọi điểm \( V_s \) trong không gian \( T \), các phép toán liên quan đến \( p \) và \( q \) đều tồn tại và tuân theo định nghĩa hồi quy Điều này cho thấy rằng \( p \) và \( q \) có tính chất giao hoán và \( p \) có nghịch đảo là \( \Theta(p) \) Khi thay đổi \( p \) và \( q \), các tính chất này vẫn được duy trì, chứng minh rằng \( \Theta(p) \) là một phần tử liên tục Cuối cùng, nếu \( T \) là một điểm trù mật bên phải, thì các yếu tố liên quan cũng được xác định rõ ràng.
vì s 0 Vì th ế p là rd-liên t c vì ụ p s là rd-liên t c Vì v y, cụ ậ ặp là m t nhóm giao hoán ộ Định nghĩa 2.3 8 Đố ới i v h 0, xác định là d i ả
Định nghĩa 2.3.9 Với h 0, biến đổi hình trụ h : được xác định b i ở
Trong đó Log là logaritn t nhiên Đ i v i ự ố ớ h 0, xác định
Trong đó log nghĩa là logarit tự nhiên Chúng ta xem xét h v ề biến đổi hình trụ b i vì n u k t h p dòng ở ế ế ợ Im z h
v i nhau thì ta có ớ t o thành ạ m t hình tr ộ ụ Định nghĩa 2.3.10 Xét với p Xác đị nh hàm mũ trên thang ờ th i gian
Định nghĩa về hàm mũ trên thang thời gian chỉ có ý nghĩa khi không có tính hằng định Định lý tiếp theo cung cấp công thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu đã được đề cập Cụ thể, cho p(t) thuộc một không gian xác định và t0 cố định, nghiệm duy nhất cho bài toán giá trị ban đầu y' = p(t)y, với điều kiện y(t0) = 0, được trình bày trong công thức 2.9.
Bây gi ta s s dờ ẽ ử ụng nh lý đị 2 3 11 để tìm hàm mũ trên thang thời gian , q q
Ví d 2.3.12ụ Cho T q , cho p t và c ố định t T0 thì theo định lý 2.3.11,
, 0 e t tp là nghi m duy nh t cho bài toán giá tr ệ ấ ị ban đầu
B i vì mở ỗi điểm trên T là điểm cô l p, ta có th ậ ể viế ại phương trình động ựt l l c h c ọ này theo quy lu t v i ậ ớ t qt :
Chú ý r ng ằ e t t p 0,0 1ta có th ể đưa ra một quy lu cho ật e t t p , 0 :
, 1 1 , , p p p s t t e qt t q p qt qt e q t t q p qt qt q p q t q t e t t q p s s t t s T
Định lý 2.3 .13 Nếu p q , và t s r T , , thì
Phần ii của định lý 2.3.13 đóng vai trò quan trọng trong phần tiếp theo Nó cho phép chứng minh nhiều kết quả về phép biến đổi Laplace của các hàm đặc biệt, mà không chỉ giới hạn trong hàm cho phép.
Hệ quả dưới đây là hệ quả của định lý 2.3.13, sẽ được sử dụng nhiều trong các phần tiếp theo để tính toán phép biến đổi Laplace của các hàm đặc biệt.
Chứng minh: nh lý Đị 2.3.13
Chúng ta sử dụng hàm mũ trên thang thời gian để xác định các hàm sin, cos và các hàm hyperbol trong phép tính Định nghĩa 2.3.15 nêu rõ rằng cho p là một hàm liên tục trên một khoảng T, thì hàm lượng giác trên thang thời gian được xác định qua các công thức cos(tt) và sin(tt) với p(0).
trong đó i 1 Cho p là m t hàm rd-liên t c trên ộ ụ T mà p 2 ta định nghĩa hàm lượng giác trên thang th i gian hyperbolic coshờ pvà sinhp bằng biểu thức sau
Chú ý rằng hàm lượng giác và hàm lượng giác hyperbol được xác định trong bối cảnh quy tắc 2 Khi áp dụng quy tắc này, phương trình c sẽ trở thành hàm cosin bình thường, trong khi hàm sin cũng tương tự Điều này cho thấy sự liên kết giữa các hàm lượng giác và các quy tắc toán học trong việc phân tích các hiện tượng theo thời gian.
Mệnh đề 2.3.16 Cho p là m t hàm rd-liên tộ ục trên T sao cho p 2 ta có
Chứng minh định lý tương tự cho hàm hai biến trên thang thời gian được sử dụng rộng rãi trong các phân tích tiếp theo Định lý 2.3.17 nêu rõ rằng cho a, b thuộc T và hàm f liên tục trên T x K, với t thuộc T và t a > 0 Giả sử f là Δ-liên tục trong khoảng [a, σ(t)] Nếu f(·, τ) là Δ-khả vi tại τ thuộc [a, σ(t)], ký hiệu fΔ là Δ-đạo hàm của hàm f đối với biến thành t.
Chứng minh: Thậ ật v yf t , là Δ khả vi đố ới t v- i v ới nghĩa là tồ ại n t 1 0 sao cho khi t s 1 ta có f t , f s , f t , t s 2 t a t s 2.12
Tính liên t c cụ ủa f tại ,tt nghĩa là có tồn t i ạ 2 0sao cho khi t s 2 và t 2ta có f s , f t t , 2 2.13 Đặt : min 1, 2 và gi s rả ử ằng t s thì
Theo công thức xác định hàm g Bây gi chúng ta có th tính tích phân và thêm ờ ể b t mớ ột vài bi u th c vi t l i thành ể ứ để ế ạ
S dử ụng định lý 2.1.6chúng ta có th ể viế ạt l i tích phân cu i cùng trong bi u thố ể ức này là t f t t , khi đó ta được
Định lý 1.11cho ta f t t , f t t , t f t t , được k t qu ế ả
S dử ụng phương trình 2.12 và 2.13 ta được:
Phương trình độ ng l c học ………………………………………… 31 ự 2.4 1 Phương trình độ ng l c h c tuyựọ ế n tính c ấp I
Bài viết này trình bày một ví dụ về việc áp dụng bài toán giá trị ban đầu trong phương trình động lực học theo định lý 2.3.11 Chúng ta sẽ tiếp tục xem xét các bài toán giá trị ban đầu được sử dụng trong các phần tiếp theo của nghiên cứu.
2.4.1 Phương trình động l c h c g n tuy n tính c p I ự ọ ầ ế ấ Định lý 2.4.1
Giả ử s p và f T : là rd-liên t c Cho ụ t 0 Tvà x 0 thì nghiệm duy nhất cho bài toán giá tr ị ban đầu x t p t x t f t , x t 0 x 0 2.14 được cho b i ở biểu th c ứ
Chứng minh: Lấy đạo hàm hai v cế ủa x (t) trong phương trình 2.15 thỏa mãn bài toán giá tr ịban đầu được đưa ra trong phương trình 2.14
Theo định lý 2.3.17 ta có
Theo h ệ quả 2.3.14, ta có th ể viế ại như saut l
Nhân c hai v vả ế ới 1 t p t ta có
Theo định lý 1.11 Dễ ấ ằ th y r ng x tho ả mãn các điều kiện ban đầu vì
Bây gi ta xét tính duy nh t nghi m c a bài toán Gi s rờ ấ ệ ủ ả ử ằng x t là nghi ệm ủa c
2.15 Khi đó, ta có thể ải phương trình độ gi ng l c h c ự ọ f t để có được f t x t p t x t 2.16 e t t p , 0 f t e t t p , 0 x t p t x t 2.17
Phương trình 2.19 có đượ ừ phương trình c t 2.18 b ng cách áp dằ ụng định lý 1.12 Tích phân hai v ta có ế
theo phần iii , iv , và v c ủa đị nh lý 2.3.13
2.4 2 Phương trình động l c h c tuy n tính c p I ự ọ ế ấ
Giả ử s p và f T : là rd-liên t c Cho ụ t T 0 và x 0 thì nghi ệm duy nh ất c a bài toán giá tr ủ ị ban đầu x t p t x t f t , x t 0 x0
Chứng minh: Theo định lý 1.11 ta có th ể viết x t x t t x t S ử dụng điều này, thì (2.20) trở thành
Chú ý r ng ằ p p t và k t h p vế ợ ới định lý 2.4.1, phương trình 2.21 trở thành
T nh lý ừ đị 2.3.13 ta có
2.4.3 Phương trình động l c h c tuy n tính c p cao ự ọ ế ấ Định lý 2.4.3.1 Cho g là m t hàm rd-liên t c ộ ụ Khi đó nghiệm duy nh t c a bài toán ấ ủ giá tr ị ban đầu x k 1 t g t , x i 0 0 i ,0 i k 2.22 được cho b i ở
Chứng minh: Giả ử s k 0 H ệ quả 2.4.2 cho ta nghiệm của phương trình
Vì v y, khi ậ p t 0, ta có nghi m c a bài toán ệ ủ
, t t x t e t s g s s g s s Để ý là h t s0 , 1, nên ta có
Vì v y, gi s ậ ả ử k 0 đúng Bây gi ờ giả ử s bài toán đúng với k n và xét
Theo định lý 2.3.17 v ế phả ủa đẳi c ng thức ằngb
Để ý là h a ak , 0 và h t s k , h k 1 t s, ta có
là nghi m cệ ủa bài toán giá tr ị ban đầu
Trường h p i = 0 thì ợ x 0 0 đượ c tính trự c ti p t ế ừ định nghĩa
Here is a rewritten paragraph that conveys the same meaning while complying with SEO rules:"Khi tính tích phân trên thang thời gian có kết quả khác biệt rõ rệt so với tích phân trên tập thực T Ví dụ 2.1.5 cho thấy hàm số f(T) được xác định bởi f(t) = t^2 Giải quyết vấn đề này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự khác biệt giữa tích phân trên thang thời gian và tập thực."
Tích phân thông thường trên
Xét phân hoạch P theo 0,1,2,4,8,16,32 n m trong ằ P 0,32 , 0
Tích phân trên T cho k t qu ế ả
Tính tích phân trên các thang thời gian có thể mang lại kết quả hoàn toàn khác so với trên tập số thực, phù hợp với nhiều bài toán thực tiễn mà các tập số thực không thể giải quyết Có thể khẳng định rằng tích phân trên thang thời gian là một trường hợp tổng quát, trong khi trên tập số thực chỉ là một trường hợp riêng biệt.
K t lu ế ận chương 2
Trong chương 2 trình bày v ề những vấn đề sau:
Định nghĩa, các tính chất cơ bản v tích phân trên thang th i gian ề ờ
Định nghĩa và tính chấ ủa hàm đa thức, hàm mũ, phép t c toán c ng vòng tròn ộ
và phép toán trừ vòng tròn trên thang th i gian ờ
M t s ộ ố hàm lượng giác với đạo hàm tương ứng trên thang th i gian ờ
Phương trình động l c h c cho bài toán truy n nhi vự ọ ề ệt ới điều kiện ban đầu
CHƯƠNG 3 PHÉP BI N D I FOURIER TRÊN THANG TH I GIAN Ế Ổ Ờ
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu phép biến đổi Fourier trên các hàm liên tục, tuần hoàn, rời rạc và hàm hạng chế đối với các thang thời gian cụ thể Bài viết sẽ nêu rõ các định nghĩa cũng như tính chất của phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược.
Các k t qu chính cế ả ủa chương này được trích t các tài liừ ệu [5]; [6]; [7]
Trước khi định nghĩa phép biến đổi Fourier, ta c n phầ ải xác định m t s ộ ố thang thời gian đặc bi t ệ Định nghĩa 3.1.1 Thang th i gian ờ Th được định nghĩa là
Chú ý rằng (Th, +) tạo thành một nhóm giao hoán Nếu H > 0 là biên cảnh hoạ, thì H = ∞ dẫn đến TH là một nhóm con của Th Điều này dẫn đến định nghĩa tiếp theo: Định nghĩa 3.1.2 Cho H > h, mà TH là một nhóm con của Th Khi đó, thang thời gian TH là nhóm thương được định nghĩa.
T T T và T hH được xác định b i ở hH : hH
Chú ý r ng nằ ếu h thì h
h đúng h Ở đây, h là s ố thực dương cố đị nh và H có th ể được coi là chi u dài c a thang th i gian Ta s ề ủ ờ ẽ chứng minh điều này bằng m t vài ví d ộ ụ
Mệnh đề 3.1 4 T t c các thang th i gian là nhóm giao hoán có th ấ ả ờ ể được viết dướ ại d ngT hH i v i m t s đố ớ ộ ố h và H
Giả sử G là một nhóm giao hoán, để chứng minh rằng G có độ đo không đổi, ta cần xem xét các yếu tố như độ đo h và các phần tử a, b thuộc G Khi a và b đều thuộc G, thì cả hai đều có phần tử nghịch đảo trong G Do đó, độ đo của a và b cũng thuộc G khi G đóng Từ đó, ta có thể xác định rằng độ đo của a không lớn hơn độ đo của b, và ngược lại, dẫn đến mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng Với G là nhóm đóng, ta có thể khẳng định rằng b cộng với độ đo của a cũng nằm trong G, phù hợp với định nghĩa của σ.
Do đó b b a b a Vì v y, ậ a b Vì v y, ậ nếu chúng ta để h là độ ạ ủa h t c G , thì G T h Đặ t
Nếu h 0 thì G là m t khoộ ảng đóng với chi u dài b ng ề ằ H Nếu h 0, khi đó H h / là th t c a nhóm ứ ự ủ G Vì v y, ta có ậ G T hH □
Bây giờ, chúng ta sẽ đưa ra một số định nghĩa liên quan đến các hàm được xác định trên T h và hàm xác định trên T hH Định nghĩa 3.1.5: Đối với mọi hàm f từ T đến hH, chúng ta định nghĩa hàm f T từ h đến T theo công thức cụ thể.
kho là hàm đặc trưng trên ảng ,
Ở đây chúng ta ở ộ m r ng t nhiênự f sang T h , khi đó chúng ta hạn ch tính liên tế ục này trên khoảng ,
, và b tỏ ại các điểm đầu mút
H Định nghĩa 3.1.6 Cho f T: h Khi đó f T : hH được xác định ằ b ng biểu thức
Ở đây ta xét một hàm tu n hoàn v i chu kì ầ ớ H và giới h n c a ạ ủ f trên khoảng
Để xác định Δ-tích phân của hàm f: ThH → , chúng ta cần chú ý đến các điểm đầu mút thuộc ThH Nếu hàm f có tính liên tục, thì giá trị của f tại các điểm đầu mút sẽ được xác định rõ ràng Biểu thức liên hệ cho phép chúng ta tính toán Δ-tích phân trên ThH trong các điều kiện nhất định, như tính toán tích phân trên Δ Th.
Trong đó a b , là hàm đặc trưng ủa đoạn c a b ,
Bây gi ờ ta đưa ra định nghĩa về phép biến đổi Fourier trên thang th i gian Fourier ờ Định nghĩa 3.1.8 Cho f T: hH Ta xác định phép biến đổi Fourier của f
cho ω T mà -tích phân t n t i MhH Δ ồ ạ ột vài trường h p ta ợ cũng có thể viết
Với T 0, , khi đó F f được vi t l i ế ạ
Là tích phân Fourier thông thường Khi h = 0 và H