Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ĐỖ THỊ THU HIỀN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO TIN HỌC Hà Nội- 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ĐỖ THỊ THU HIỀN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO TIN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội- 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Bất đẳng thức tích phân thang thời gian” tơi thực với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Đây chép luận văn khác Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung mà trình bày luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Tác giả Đỗ Thị Thu Hiền i LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy hướng dẫn, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, người tận tình hướng dẫn, bảo để luận văn hồn thành, giúp tác giả có thêm kiến thức, niềm đam mê nghiên cứu khoa học Bên cạnh tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Semina Tốn giải tích Đại học Bách Khoa Hà Nội cho tác giả lời nhận xét đóng góp quý báu để tác giả hoàn thiện luận văn Tác giả xin cảm ơn dạy dỗ, bảo tận tình quan tâm thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học suốt thời gian tác giả theo học nghiên cứu Cuối tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp, gia đình bạn bè ln động viên, khích lệ tác giả suốt thời gian qua Trong suốt trình học tập nghiên cứu, tác giả khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận thơng cảm góp ý từ thầy cô tất người Xin trân trọng cảm ơn! ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU v LỜI MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn CHƢƠNG 1: THANG THỜI GIAN 1.1 Định nghĩa thang thời gian 1.2 Các khái niệm Kết luận chương CHƢƠNG : PH P T NH VI PH N VÀ T CH PH N TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Phép tính vi phân thang thời gian 2.1.1 Định nghĩa Δ- đạo hàm thang thời gian 2.1.2 Một số tính chất Δ- đạo hàm 2.1.3 Δ- Đạo hàm cấp cao 17 2.2 Phép tính tích phân thang thời gian 18 2.2.1 Định nghĩa Δ-tích phân thang thời gian 18 2.2.2 Một số tính chất Δ- tích phân 20 Kết luận chương 24 CHƢƠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 25 3.1 Bất đẳng thức Hӧlder công thức Taylor 25 3.2 Một số bất đẳng thức tích phân thang thời gian 27 iii 3.3 Một số hệ .37 3.3.1 Trên thang thời gian  q  q  0 37 3.3.2 Trên thang thời gian rời rạc  38 3.3.3 Trên thang thời gian liên tục  41 Kết luận chương 44 KẾT LUẬN CHUNG 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 iv DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  1, 2, 3, 4,  : Tập hợp số tự nhiên khác 0   0 : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số thực : Thang thời gian : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỉ  : Tập rỗng q  q k : k   q  q  0   t  : Toán tử nhảy lùi   t  : Toán tử nhảy tiến   t  : Hàm hạt sup: Cận inf: Cận k   \    sup  ,sup  , sup   :   , sup   Crd   : Không gian hàm rd- liên tục f  :  - đạo hàm hàm f Crdn   : Không gian hàm có  - đạo hàm rd- liên tục đến cấp n f g : Hàm hợp f g f   f  : Hàm hợp f  b  f  t  t :  - tích phân hàm f [a, b] a f r b r r    f  t  t  : Chuẩn a  r hàm f v LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết thang thời gian (time scales) Hilger giới thiệu vào năm 1988 luận án Tiến sĩ khoa học ông (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm mục đích thống nghiên cứu tốn mơ tả hệ liên tục rời rạc Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất thực tế, tính liên tục rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhiều mơ hình khác (liên tục rời rạc) khái niệm công cụ Cho đến có số sách, nhiều luận án Tiến sĩ báo nghiên cứu thang thời gian Giải tích (Phép tính vi phân tích phân) thang thời gian tác giả nghiên cứu sâu rộng đầy đủ Từ nhiều kết quen thuộc trường hợp liên tục rời rạc “chuyển dịch” sang thang thời gian Chẳng hạn có kết sâu sắc tính ổn định, tính dao động, toán giá trị biên… hệ động lực thang thời gian Các bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng tốn học nói chung, nghiên cứu hệ động lực liên tục hệ động lực rời rạc nói riêng Hầu hết bất đẳng thức mở rộng sang cho thang thời gian Với mong muốn tìm hiểu vấn đề mà thời gian gần nhiều nhà toán học quan tâm thang thời gian bất đẳng thức tích phân thang thời gian, tác giả chọn đề tài “Bất đẳng thức tích phân thang thời gian” làm đề tài luận văn cao học Luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương trình bày khái niệm thang thời gian khái niệm liên quan như: toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, điểm trù mật, điểm lập; hàm quy, hàm rd- liên tục, hàm hợp Chương trình bày khái niệm  - đạo hàm,  - tích phân số tính chất Đồng thời tác giả tham chiếu khái niệm, tính chất thang thời gian liên tục rời rạc Chương trình bày bất đẳng thức thang thời gian: Bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức kiểu Poincare, Sobolev, Opial, Ostrowski, HilbertPachpatte, … bất đẳng thức hệ số thang thời gian cụ thể q ,  ,  Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu, trình bày chứng minh bất đẳng thức tích phân thang thời gian khuôn khổ luận văn cao học Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức tích phân thang thời gian Phạm vi nghiên cứu: Thang thời gian, phép tính viphân tích phân thang thời gian, bất đẳng thức tích phân thang thời gian Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ giải tích thơng thường giải tích thang thời gian để tiếp cận giải vấn đề Đóng góp luận văn Luận văn tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học bất đẳng thức tích phân thang thời gian CHƢƠNG 1: THANG THỜI GIAN Chương trình bày khái niệm thang thời gian khái niệm thang thời gian Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu [7] [8] 1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Một thang thời gian số thực tập hợp đóng khác rỗng tập hợp Ví dụ 1.1 a Tập số thực , tập số nguyên thang thời gian Đây thang thời gian bản, quan trọng thường gặp chứng minh trước b Tập số tự nhiên   0;  1;2;  1;2  3;4 thang thời gian c Tập h  hz : z   thang thời gian, h số thực dương cho trước d Cho q  số hữu tỉ cho trước Tập q e Các tập ,  q k : k   thang thời gian \ , 0,1 thang thời gian chúng khơng phải tập đóng f Mặt phẳng phức tập đóng khơng phải thang thời gian khơng phải tập tập 1.2 Các khái niệm Định nghĩa Cho thang thời gian, với t  ta có định nghĩa sau: i) Toán tử nhảy tiến toán tử  :  xác định bởi:   t :  inf s  : s  t ii)Toán tử nhảy lùi toán tử  :  xác định bởi:   t  :  sups  : s  t iii) Hàm hạt  :  0,   xác định bởi:   t  :    t   t c f  t   f  c    hn1  t ,    f     n t t   hn1  t ,    f n c c  n       hn1  t ,      f  t   , a ,b Ta có h1  t , s   t  s Nếu t  s h1  t , s   Khi t s s s t t h2  t , s    h1  , s      h1  , s      h1  , s     Tương tự, h2  t , s   với t , s  Với t  s, t s s t h3  t , s    h2  , s      h2  , s    Do đó, quy nạp ta chứng minh được: hk  t , s    1 hk  t , s  , k  k Vì thế, hk  t , s   với t , s  với k chẵn Mặt khác, a  t  c ta có c  n f  t   f  c     hn1  t ,      f  t   , a ,b Do [6, (1.7), (1.8),(1.9)] [6, định lí 1.112], ta ý c  t  b : t t  h t ,      1  g    , t  n 1 n 1 n 1 c   1 c c n  g    , t    1 n 1 n g n  c, t   hn  t , c  t Với a  t  c , ta có c c  1  hn1  t ,       gn1    , t    gn  c, t    1 n 1 t t Vì với c  t  b, ta có f  t   f  c   hn  t , c  f  32 n  , a ,b n hn  t , c  với a  t  c, ta có f  t   f  c    1 hn  t , c  f  n n  , a ,b c b   Vì vậy, ta có E  x   f t  f c  t  f t  f c  t           c b  a  a   c b  n  n  h t , c  t  hn  t , c  t  f       n   ba  a c  c    hn  t , c  t  hn1  b, c    f n  a ba  hn1  a, c   hn1  b, c   n  f ba  , a ,b  , a ,b  ,  a ,b Định lí chứng minh Định lí 3.2.6 (Bất đẳng thức kiểu Hilbert- Pachpatte) Cho   0, i  1, 2; fi  Crnd  i , n số lẻ với fi k    , k  0,1,2, , n  1,  bi ; , bi  thang thời gian Cho p, q  thỏa mãn t1 1   p q Gọi F  t1    hn 1  t1 ,     với t1   a1 , b1   p i a1 t2 G  t2    hn 1  t2 ,     với t2   a2 , b2   q 2 , a2 i i hn 1 ,   tương ứng với hn1 , đến i , i  1, Ở đây,  i rd- liên tục hni1  ti , si  rd- liên tục theo biến ti , si  Chúng ta giả thiết 1  t1   b2  f  t2  F  t1  G  t2   a2     p q   33  hàm rd- liên tục b1 b2 Khi  a1 a2 f1  t1  f  t2  F  t1  G  t2       p q   t1.t2 1  b1 n  q  b2 n p q p   b1  a1  b2  a2    f1       f     a  a  1    Chứng minh Vì fi     , k  0,1,2, , n  1; i 1, từ định lí 3.1.7, ta có k ti fi  ti    hn 1  ti , i  i   fi   i   i , ti   , bi   n i i  bi ; , bi  i Vì f1  t1   t1 1  p  t1 n q q p    hn1  t1 , 1   1    f 1  1  a  a  1  1  q   q n  F  t1    f 1     a  1  p t1 f  t2   t2    q  t2  n p p q    hn1  t2 ,        f     a  a       G  t2  q  t2  n p p   f     a    Bất đẳng thức Young cho a, b  ta có p q a b  a b  p q Do ta có 1 p f1  t1  f  t2   F  t1  G  t2  q  t1 n  q  t2  n p q p   f       f     a  a  1     q  F  t1  G  t2    n      f     q   a1  p  t1 34 q p   p n   f 2     a    t2 Với   0, ta có f1  t1  f  t2    q n    f 1       F  t1  G  t2    a1      p q   t1 q p   p n   f 2     , a    t2 với ti   , bi   i , i 1,2 Lấy tích phân hai vế ta được: b1 b2  f1  t1  f  t2   F  t1  G  t2   a1 a2     p q   t1t2 1  b1 t1  b2 t2  q p     q p    n n      f     t1     f     t2         a1  a1  a2  a2     1 1  b1  t1 n  b2  t2  q  p q p  n p         f     t1  b1  a1     f    t2  b2  a2  q     a a a a      1  2  b1  b1 n  b2  b2  q  p q p  n      f     t1   b1  a1  p     f    t2   b2  a2  q     a a a a      1  2   q n   b1  a1  b1  a1    f 1     a  1  b1 Mệnh đề 3.2.7 Cho f  Crdn  a  b ; p, q  thỏa mãn  , m, n  q p   p n   f 2     a    b2 , m  n , n  m số lẻ, a, b  , k m 1   Giả sử f   a   0, k  0, 1, 2, , n  m  p q Cho hàm  hàm rd- liên tục hàm hnm1  t , s  rd- liên tục theo biến Khi b  a q b t  q   p   b n  p  m f  t  t      hnm1  t ,      t    f       aa  a   q Chứng minh Tương tự định lí 3.2.1 35 Mệnh đề 3.2.8 Giả thiết giống mệnh đề 3.2.7 Khi với r  ta có f m r r b t r  p  n p       hnm1  t ,      t  f  q  aa    Chứng minh Tương tự định lí 3.2.2 Mệnh đề 3.2.9 Cho f  Crdn   , m, n  , m  n , n  m số lẻ, a, b  , a  b; k m n 1   Giả sử f   a   0, k  0, 1, 2, , n  f  p q p, q  thỏa mãn hàm tăng  a, b  Giả sử hàm  hàm rd- liên tục hàm hnm1  t , s  rdliên tục theo biến Khi b  f   t  f   t  t   b  a  m n q a b t   p  b n p     hnm1  t ,      t    f  t    a aa   2q q t   Chứng minh Tương tự định lí 3.2.3 Mệnh đề 3.2.10 Cho f  Crdn  a  c  b Giả sử f  k m  , m, n  , m  n , n  m số lẻ, a, b, c  ,  a   0, k  0, 1, 2, , n  m  Khi b  hnm1  a, c   hnm1  b, c  n m m f  t  f c  f   b  a a ba  ,  a ,b Chứng minh Tương tự định lí 3.2.5 Mệnh đề 3.2.11 (Bất đẳng thức kiểu Hilbert- Pachpatte) Cho   , i  1, 2; fi  Crnd  i  , m, n  k  0,1,2, , n  m  ;  bi ; , bi  mãn i , m  n, n  m số lẻ với fi  t1 Gọi F  t1    hn m1  t1 ,     với t1   a1 , b1      0, thang thời gian Cho p, q  thỏa 1   p q * k m p a1 36 t2 G  t2    hn m1  t2 ,     với t2   a2 , b2   q * , a2 i i hn m1 ,    tương ứng với hnm1 ,  i , i  1,2 Giả sử  i rd- liên tục hnim1  ti , si  rd- liên tục theo biến ti , si  i Chúng ta giả thiết  *  t1   b1 b2  b2 f 2  t2  a2 F *  t1  G*  t2       p q   m  f 1  t1  f 2  t2  m  hàm rd- liên tục Khi m F *  t1  G*  t2   a1 a2      p q   t1.t2 1  b1 n  q  b2 n p q p   b1  a1  b2  a2    f1       f     a  a  1    Chứng minh Tương tự định lí 3.2.6 3.3 Một số hệ 3.3.1 Trên thang thời gian  q  q  0 Nhận xét 3.3.1 Cho q  1, ta kí hiệu q  q k : k    q  q  0 thang thời gian Ta có: k 1 hk  t , s     0 t  q s  q   ,  s, t   0 t q   t   qt ,   t   , t  f  t   f  qt   f  t  , t  \ 0  q  1 t f     lim s 0 37 f  s   f  0 s   , n số lẻ Hệ 3.3.2 (Bất đẳng thức kiểu q- Ostrowsky) Cho f  Crdn q a, b, c  q ; a  c  b Giả sử f   c   , k  0,1,2, , n  Khi đó: k  n a  q c n b  q c          0  0   q q   b   n  0  0 f  t  t  f  c      f ba a ba         , m, n  Hệ 3.3.3 Cho f  Crdn q a  c  b Giả sử f  k m  , a ,b  q , m  n , n  m số lẻ, a, b, c  q ;  c   0, k  0, 1, 2, , n  m  Khi  nm a  q c nm b  q c          0  0   q q   b   n  0  0 m m f t  t  f c        f b  a a ba       3.3.2 Trên thang thời gian rời rạc Hệ 3.3.4 Cho f :  , a ,b q   , n  , a, b  ; a  b, p, q  thỏa mãn 1   p q Giả sử k f  a   0, k  0,1,2, , n  Khi b 1  f t  t a q  b1 t 1  n 1    t    1 q      n  1!  t a   a   p  q    b1 n  f            a   q p Chứng minh Suy từ định lí 3.2.1 Hệ 3.3.5 Giả thiết giống hệ 3.3.4 Khi với r  ta có:    t a b 1  r  b1  t 1  n 1 f t    t    1       n  1!  t a   a  r  38  p r  b1 q q    n  f t          t a   r p Chứng minh Suy từ định lí 3.2.2 Hệ 3.3.6 Cho f : , n  , n số lẻ a, b  ; a  b , p, q  thỏa mãn  1   Giả sử  k f  a   , k  0,1,2, , n   n f hàm tăng  a, b p q Khi b 1  t a q  b1 t 1  n 1 n   f t   f t   t    1 q      n  1!  t a   a b  a    p  b1 q   q n  f t             a   p Chứng minh Suy từ định lí 3.2.3 Hệ 3.3.7 Cho f : , n  , n số lẻ, a, b, c  ; a  c  b Giả sử   k f  c   0, k  0,1,2, , n  Khi   a  c  n1   b  c  n1  b1 f t   f  c     n f  b  a t a  n  1! b  a     , a ,b Chứng minh Suy từ định lí 3.2.5 Hệ 3.3.8 Cho   , i  1, ; fi :  , n số lẻ  k fi    , k  0,1,2, , n  ,  bi ; , bi  Cho p, q  thỏa mãn  t  t1 1 Gọi F  t1    a1 Khi b1 1 b2 1  t1  a1 t2  a2   n  1!  t2 1 G  t2      1 1  a2  n 1  p p  t2    1   n  1! q  n 1 , t1   a1 , b1    q , t2   a2 , b2   f1  t1  f  t2      F  t1  G  t2     p q  39 1   p q   q n   b1  a1  b2  a2    f1    d  a  1  b1 q p   p  n   f   d  a    b2 Chứng minh Suy từ định lí 3.2.6 Hệ 3.3.9 Cho f : p, q  thỏa mãn b 1   f t  m , m, n  , m  n , n  m số lẻ a, b  ; a  b ,  1   Giả sử k m f  a   , k  0,1,2, , n  m  Khi p q q t a  b1 t 1  n  m 1    t    1 q      n  m  1!  t a   a   p q  q  p   b1 n      f        a   Chứng minh Suy từ định lí 3.2.3 Hệ 3.3.10 Giả thiết giống hệ 3.3.9 Khi đó, với r  ta có  b1 t 1 r  b1 m  n  m1      f  t    n  m  !      t    1    t a   a  t a   r   r p q q    b1 n      f t      t a   r p Chứng minh Suy từ định lí 3.2.5 Hệ 3.3.11 Cho f : p, q  thỏa mãn  , m, n  , m  n , n  m số lẻ a, b  ; a  b , 1   Giả sử k m f  a   , k  0,1,2, , n  m  giả sử p q  n f tăng  a, b Khi  b1 t 1  n  m1 m n    f t   f t   t    1       n  m  1!  t a   a t a  b 1 b  a  q   p 1  2q  q  p   b1 n       f t      t a   Chứng minh: Suy từ định lí 3.2.7 Hệ 3.3.12 Cho f :  , m, n  , m  n , n  m số lẻ a, b, c  ; a  c  b Giả sử  k m f  c   , k  0,1,2, , n  m  Khi 40   a  c  nm1   b  c  nm1  b1 m m  f t    f c     n f  b  a t a  n  m  1! b  a     , a ,b Chứng minh Suy từ định lí 3.2.9  , m, n  , m  n , n  m số lẻ  k m fi    , k  0,1,2, , n  m  ,  bi ; , bi  Cho p, q  thỏa mãn 1   p q Hệ 3.3.13 Cho   , i  1, ; fi :  t  t1 1 Gọi F  t1   *  a1    1   n  m  1!  t2 1 G  t2   *  n  m1 1  a2  p , t1   a1 , b1   p  t2    1  n  m 1   n  m  1!  q q , t2   a2 , b2   Khi  m f1  t1   m f  t2  b 1  b1 1 n q q  p p n  b  a b  a  f   f                 1 2 1 2 * * t1  a1 t2  a2   1 a1    a2  F  t1  G  t2        p q    b1 1 b2 1 Chứng minh Suy từ định lí 3.2.11 3.3.3 Trên thang thời gian liên tục  Hệ 3.3.14 Cho f  C n  , n , a, b  ; a  b , p, q  thỏa mãn 1   Giả sử f  k   a   0, k  0,1, 2, , n  Khi p q b b  a  a f  t  dt   n  1! q p  n  1  q1 nq  a    b nq q f n t  q  dt   Chứng minh Suy từ định lí 3.2.1 Hệ 3.3.15 Với giả thiết hệ 3.3.14 Khi đó, với r  ta có: 41 r   r   f  t  dt   a  b b  a   1  n 1   p r  q   n   f    t  dt     a 1 p  n  1!  n  1 p  1   n    r  1 p   b q r Chứng minh Suy từ định lí 3.2.2 Hệ 3.3.16 Cho f  C n  , n , a, b  ; a  b , p, q  thỏa mãn Giả sử f  k   a   0, k  0,1, 2, , n  giả thiết f  n 1   p q hàm tăng  a, b Khi ta có kết sau: b  f t  a b  a  n p  b  n  n f  t  dt  f t   a  p  n  1!  n  1 p  1   n  1 p      2q q dt   Chứng minh Suy từ định lí 3.2.3 Hệ 3.3.17 Cho f  C n  , n , a, b, c  ; a  c  b Giả sử f  k   c   0, k  0,1,2, , n  Khi  c  a n1   b  c n1  b  f  n f  t  dt  f  c     ba a  n  1! b  a   ,  a ,b Chứng minh Suy từ định lí 3.2.5 Hệ 3.3.18 Cho   , i  1, ; fi  C n  , n fi  k     , k  0,1,2, , n  ;  bi ; , bi  Cho p, q  thỏa mãn Gọi   t1  a1   F  t1   , t1   a1 , b1  p   n  1!  p  n  1  1 p n 1 1   t2  a2   G  t2   , t2   a2 , b2  q   n  1!  q  n  1  1 q n 1 1 Khi 42 1   p q f1  t1  f  t2    q dt1.d t2   b1  a1  b2  a2    f1 n  1  d1  a  F  t1  G  t2   a1 a2 1      p q   b1 b2  b1 q p   p n   f 2    d  a    b2 Chứng minh Suy từ định lí 3.2.6 Hệ 3.3.19 Cho f  C n   , m, n  , m  n, a, b  ; a  b , p, q  thỏa mãn 1   Giả sử f  k m  a   0, k  0,1, 2, , n  m  Khi p q b  f  m a   b b  a  t dt    q q 1   n  m  1!  p  n  m  1  1   n  m  q  a nm q q f n t  q  dt   Chứng minh Suy từ định lí 3.2.2 Hệ 3.3.20 Giả thiết định lí 3.3.19 Khi đó, với r  ta có b  a  r r    m f t dt      a  b  1  n  m 1   p r     n   f  t  dt  a  b  n  m  1! p  n  m  1  1 p q q   1   n  m    r  1 p   r Chứng minh Suy từ định lí 3.2.4 Hệ 3.3.21 Cho f  C n   , m, n  , m  n, a, b  ; a  b , p, q  thỏa mãn 1 n   Giả sử f  k m  a   0, k  0,1, 2, , n  m  f   tăng  a, b p q Khi b  f  m a t  f  n  t  dt  b  a  nm p  b  n   f t  a   2q q dt    n  m  1! p  n  m  1  1   n  m  1 q   Chứng minh Suy từ định lí 3.2.6 Hệ 3.3.22 Cho f  C n   , m, n  , m  n, a, b, c  ; a  c  b Giả sử f k  m  c   0, k  0,1, 2, , n  m  Khi 43 p  c  a nm1   b  c nm1  b  m  m  f  n f  t  dt  f  c     ba a  n  m  1! b  a   ,  a ,b Chứng minh Suy từ định lí 3.2.8 Hệ 3.3.23 Cho   , i  1, ; fi  C n  , m, n  , m  n fi  k m    , k  0,1,2, , n  m  ,  bi ; , bi  Cho p, q  thỏa mãn Gọi F *   t1  a1   , t1   a1 , b1   t1   p p n  m       n  m  !     G *   t2  a2   , t2   a2 , b2   t2   p q n  m       n  m  !   1   p q p n  m 1 1 q n  m 1 1 Khi  t1  f  m  t2  a a  F *  t1  G*  t2   dt1.d t2   f 1 b1 b2   m p q     q n   b1  a1  b2  a2    f1    d  a  1  b1 q p   p  n   f   d  a    b2 Chứng minh Suy từ định lí 3.2.10 Kết luận chƣơng Nội dung chương bao gồm: - Một số bất đẳng thức thang thời gian bất đẳng thức Höder, bất đẳng thức kiểu Poincare, Sobolev, Opial, Ostrowski, Hilbert- Pachpatte,… - Các bất đẳng thức hệ thang thời gian cụ thể:  44 q ,  , KẾT LUẬN CHUNG Nội dung luận văn trình bày kết sau: - Khái niệm thang thời gian khái niệm liên quan: Toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lui, hàm hạt, hàm quy, hàm rd- liên tục - Hàm  - khả vi thang thời gian tính chất - Hàm  - khả tích thang thời gian tính chất - Một số bất đẳng thức thang thời gian bất đẳng thức Höder, bất đẳng thức kiểu Poincare, Sobolev, Opial, Ostrowski, Hilbert- Pachpatte,… bất đẳng thức hệ thang thời gian cụ thể: q ,  ,  Hướng nghiên cứu tiếp theo: Bất đẳng thức tích chập suy rộng thang thời gian 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Agarwar, M Bohner and A Peterson (2001), “Inequalities on time scales”, Math Inequal Appl., 4(4): 535-557 [2] R P Agarwal and M Bohner (1999), “Basic calculus on time scales and some of its application”, Results Math, 35(1-2): 3-22 [3] M Bohner and G.Sh Guseinow (2007), “The convolution on time scales, Abstr: Appl Anal”, 2007: 24, Art ID 54989 [4] M Bohner and B Kaymakcalan (2001), “Opial inequalities on time scales”, Ann Polon Math., 77(1): 11-20 [5] M Bohner and T Mathews (2008), “Ostrowski inequalities on time scales”, JIPAM J Inequal Pure Appl Math., 9(1): 8, Article [6] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Birkhauser Boston [7] George A.Anastassiou (2010), “Time Scales Inequalities”, ISSN 0973- 6069, Volume 5, Number 1, pp 1-23 [8] M Bohner and A Peterson (2002), Advances in Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Birkhauser Boston 46 ... tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức tích phân thang thời gian Phạm vi nghiên cứu: Thang thời gian, phép tính viphân tích phân thang thời gian, bất đẳng thức tích phân thang thời gian Phƣơng pháp nghiên... tìm hiểu vấn đề mà thời gian gần nhiều nhà toán học quan tâm thang thời gian bất đẳng thức tích phân thang thời gian, tác giả chọn đề tài ? ?Bất đẳng thức tích phân thang thời gian? ?? làm đề tài luận... 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Chương trình bày số bất đẳng thức thang thời gian bất đẳng thức Hӧlder, Poincare, Sobolev, Opial, Ostrowski, Hilbert- Pachpatte,… số q , hệ thang