Cơ học lượng tử 2

NGUYẾN QUỐC k h n h NGUYỀN H ữ ũ m c NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH A' r NGUYỄN QUỐC KHÁNH - NGUYÊN HỮU MẠC GIÁO TRÌNH cd HỌC LƯỢNG TỬ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỔ CHÍ MINH - 2000 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG LÝ THUYẾT BIÊU DIEN , V Ị Mở đầu Không gian vector trạng thái V ector trạng thái m aưận toán tử Ký hiệu Dừac Trường hợp phổ liên tục C huyển biểu diễn Biến đổi Unita Dao động tử điều hòa ưong biểu diẽn lượng Phốp biến đối Ưnita phụ thuộc thời gian M a trận m ật độ bcT 3 13 17 19 23 31 CHƯƠNG LƯỢNG TỬ HÓA LAN THỨ HAI Mở đầu \ Lương tử hóa lần thứ hai hệ gồm boson Lương tử hoá lần thứ hai hệ gồm fermion bo 35 35 44 CHƯƠNG LÝ TH U Y ẾT T Á N X Ạ ->75 Mở đầu Chuyển động tương đối hai hạt Hàm G reen nghiệm sóng dừng Tán xạ đàn tính Gần Bom ^ Phương pháp sóng riêng phần Tán xạ hạt đồng Liên hệ hệ khôi tâm hệ phồng thí nghiệm Tán xạ th ế phức 57 58 59 62 65 68 79 84 86 CHƯƠNG C LƯỢNG TỬ TƯƠNG Đ ố i TÍNH \.y M ột sơ" ký hiệu Phương trình Klein-Gordon Phương trình Dirac 'ặ Qui luật biến đổi spinơ Spin toán tử xoắn Nghiệm phương trình Dirac Giới hạn phi tương đối M ật độ dòng mật độ xác suất Bổ tương đối tính 10 Câu trúc tinh tế nguyên tử Hydro 11 Hiệu ứng Zeem ann 12 Hiệu ứng Paschen Đack PHỤ LỤC 90 90 92 96 101 103 105 107 108 112 113 115 Chương LÝ THUYẾT BIỂU DIEN l.M Ở Đ Ầ U Việc mô tả m ột cách tổng quát học lượng tử (CHLT) tiến hành nhữhg năm 1930 m ột số tác Dirac, Jordan Cách mơ tả đơi gọi lý thuyết biểu diễn Theo lý thuyết trạng thái hệ vật lý mô tả thông qua vector ưong khơng gian vector tuyến tính phức phép biểu diễn khác hiểu việc mô tả vector trạng thái hệ sở khác không gian vector (KGVT) Ở ta khơng trình bày cách chặt chẽ m ặt toán học, định lý định nghĩa tốn học liên quan trình bày chi tiết phụ lục 2.KHÔNG GIAN VECTOR TRẠNG THÁI Do nguyên lý chồng c h ấ t , trạng thái hệ vật lý mơ tả vector KGVT tuyến tính Ví dụ: a) Trạng thái spin điện tử mô tả spinơ: * = ( f t ) = a ( o ) + b ( ° i) = ax+ + bỵ- (1-2"1} với a, b sô" phức Các trạng thái tạo nên KGVT tuyến tính với sở Ỵ + ,X Ở ta hiểu sở hệ ưực chuẩn đầy đủ Không gian không gian hai chiều b) Trạng thái hạt trường thố dổ ìx ứ n g cầu vđi sô lượng tử n, xác định mô tả hàm sóng vỏi: = Ỹ2 m = —/ a TnYlm{#,V) (1.2 2) với Yhn \ li ^ ) hàm cầu Các trạng thái (1.2.2) tạo n ẽn KG VT N=21-fJ chiều vơi vector sở Yim , m = -1, -1+1, , 1-1, c) Hạt troné eiếne th ế vuỏng góc m ột chiều, sâu vô hạn, độ rộng 2a dược mỏ tả bơi hàm sóng: 30 DO v.'(.r ) = V '.:=0 ( T ) -ị- Y2 hH Á ~ }(x ) Ắc=l p i r ' tạo nén m ột hệ sở : Ị - - ,,(x), — _ —1r= cus y/a / a ¿k }( r ) = -7= sin ựa kI 1—x a k = 0, 1, 2, d) Hạt tự không gian m ột chiều mô tả m ột tơ hơp tuyến tính sóng phảng : w{x) = Í Àa >••• Trong không gian p hép cộng nhân định nghĩa cho Ị , ị(p2 > € K Ciịcpi > - r c 21^2 > (với c'i,co số* phức bất kỳ) thuỏc K Tích vơ hướng K định nghĩa sau: a) < ¿)\(p > > 0, dấu ”= ” xảy Iự) > — b) < ỵ\C\^P\ 4- coy?2 > = , \b > < h\ip > € K * Tốn tử tuyến tính vđi \ , 1^2 > € K , f’i, (-2 £ c thì: A {í’i |^ i > -r Từ ưnh châ't tích vơ hướng ta thấy tốn tử Ia > < 6Ị tu y ến tính N gồi ra, ta giả sử khơng gian K tồn sở gồ m v ecto r \ip > v \yfjv > cho : L ÜC vđi V \VJ > € (1.3 3) ,' P n \(P m > — fi-nrn < K thì: V !< /> > = (1.3 4) Z a n lv?n > ưong đó: ak = (1.3 5) < < sí>l c* < (1.3 .12) (1.3 13) hay vector c\\f > = \c(p > tương ứng vdi < r.cp\ = c* < p\ (1.3 14) Toan tử ưong fC’ định nghĩa sau : N ếu A toán tử K ihì 4|ip > vector K Lúc tương ứng VỚI \ự> > va A\ p > ta có < p\ < p *I cho : < v \~ \v > < v'\ (1.3 15) Toán tử tương ứng ưong K’ ký hiệu A ’ : < ự \= < ^ > \A ' (1.3 16) Toán tử A ’ tuyến tính T h ật vậy, v ector A\c*ự> > tương ứng { = ¡Ab > (1.3 20) ° j7 ° = l ° â { p - e Ă ) y ữ = ~Ỵ0S~f°{P —eẤ) = - ã ( P - e Ẩ ) = Suy 7°j V = ° i 07 0i = j Ta thu y°j 2m ji = 44" 7°jf 2m ’ 7°j 2m 7°j 2m ’ 2m 3Ĩ ^ t; m •4 S m 7°j 2m ’ 3Ĩ 4- 2! 7°m 2m Tương tự: Vi = V 4- C - ịm \ i- T i 2m [ m ’ [ m ’ m -I - gm r m T iếp tục thực p hép biến đổi U nita thêm m ột lần nữa: = expí ~ Ỉ ) 'm N ó đưa H am ilton dạng thứ hai* 110 h = u 1H 1u r = °m + v + ° ^ - ịm m ’ 771 m ' + o (v3) Về nguyên tắc, tiếp tục thực phép biến đổi Unita tương tự để có số hạng bổ bậc cao Dùng đồng nhât thức: = V Ễ + [ ê ® ( p - e Ẩ ) ] (4.9.4) ta có: H2 7°rn — ẹAo + ~ ° Ị (p*— e- ^ ) Ị ^ p —e Ẵ ^ 877? ~ — eỡ.ựộ Ẩ) j ® Ã) — [ ^ ¿ + 2á - ( Ể ® ( p - € à ) ) ] - (4.9.5) Chỉ x é t thành phần lớn V?, gọi H tốn tử lượng khơng k ể khơi lượng nghỉ, ta có: H = eAo -r — 8m e 7° Ị” ( j7 — e-4 ) r, {^p — e A j — e ( ^ Ẩ ) j r lp — eỡ*.(V ✓ !) — [ V Ẽ + 2ff ( Ể ® ( p - e Ấ ) ) ] 111 (4.9.6) I CẤU T R Ú C TIN H T Ế C Ủ A N G U Y Ê N TỬ HY- DRO T a thu H am ilton có hạt Sự bổ d ẫn đ ến hệ thành nhiều mức hơn, tạo thành thái ưong nguyên tử H ydro Với à = , eAo = V{ x) = - b ổ tương đối tính spin tách m ức lượng câu trúc tinh t ế mức trạng n g u y ên tử H ydro, — er X eVỄ = - A V (4.10.1) xdv X dx Ham ilton (4.9.6) thành: p2 é2 p4 H = £ - - + ——5-V 2V + — 2m X 8777.3 Tri2 dV / ( ỡ l ) (4.10.2) 4m 2x dx V / B iểu thức H am ilton có th ể v iế t lại: H = Ho + Hx + H + H vói : Ho = p2 é2 - — • điện tử nguyên tử H ydro p4 H\ — — —1 / e2 \ = "2—~ ( £ 4- — I : bổ tương đối tính dV V e2 -■ “ l 171 j = ' ¿ ^ d L '■tươn® tác sPin - quĩ đạo rV — c ^ có nảng lượng E nj Khi từ trường H đều, ta có: = \ í ĩ ® x (4.11.1) N ếu từ trường yếu, ta bỏ qua sô" hạng bậc hai theo giữ lại số hạng bậc Các biểu thức (4.10.2) (4.9.6) cho thây, H am ilton cố thêm lượng tương tác vđi 113 v e c to r A th ể q u a tương tác củ a từ trường với m o m e n t từ đ iệ n tử: H {x ® p ) i ầ (4.11.2) - ( £ + ffJĨ) 2^ ( £ + 25) ữ —ịiH /T = 27 PJ ( L -h 2s ) m o m e n t từ củ a e le c o n C họn trục thứ ba O z th eo hướng từ trường H y ta có: AHnjirn = < Tiljm I —ị ĩ H I n l j m > = —H < n l j m I —ịxz I n l j m > T a biểu d iên m om ent từ qua m o m en t góc tồn phần: (4.11.4) N hân vô hướng biểu thức vđi J, ta được: (4.11.5) M ặt khác 114 nên: J + ằ - L2 2J (4.11.6) Vậy fiz = Ổ J X (4.11.7) Ta thu được: A E,n ljm — ¿-H 2m + j ( j + 1) + s(s 4- 1) - Ỉ(Z + ) j(J + 1) 771 " ^ 771 Ị^o n (4.11.8) đổ: = + j + l) + ^ + l) - Z( Ị + J l : thừa s ố L a n d e 2j U + ) 771 = —j , —j + , ,0 , , j : hình chiếu ĩ ên Oz ổ Năng lượng trạng thái d thành: Eniịm = Enj - m g ụ H (4.11.9) ứ n g vơi m ột giá trị j xác định, mức tách thành (2j + l) mức khác có th ể có (2 j+ l) giá tiị Jx = m khả d ĩ khác Vđi h t có s = g => , ta có hiệu ứng Z eem ann bình thường V hạt c ó ỉ ^ o —* p 7^ ta có hiệu ứhg Zeem ann dị thường 12 H IỆ U ỨNG PASCHEN BAC K Khi từ trường đủ m ạnh đ ể gây dịch chuyển lượng ỉđn so vđi độ rộng CẨU trúc tinh tế, bé so với khoảng cách mức E n Tương tác spin - quỉ đạo không đáng k ể so vđi tương tác nguyên tử vơi từ trường Bỏ qua tương tác spin - quĩ đạo có nghĩa spin m om en 115 góc q u ĩ đ o tách riên g ra, trạng thái không n h iễu lo ạn m ô tả In l s m ir r ta > T rong gần bậc m ột, chọn trục O z trùng với phương từ trường, ta có: ữ ( L- + ẳ ‘ ) (4.12.1) T TTLI m , = < n Ls m.i m s I V I 71 / s Tĩii m s > = —fjLo H ( m t 4- m s ) (4.12.2) V ậy, với m ột giá trị cho trước (mi - m s ) có th ể nhận giá trị: zb(Z -4- 1) , =fcZ , ± ( ỉ — 1) , N ghĩa có (21+3) giá trị khác Vậy m ột m ức lượng Erxi tách thành (21+3) m ức với khoảng cách SE = ịjl0 H Đ ó hiệu ứtig tách v ạch Paschen Đack 116 PHỤ LỤC M A T R Ậ N T R O N G K H Ô N G G IA N PHỨC n CH IỀU V ecto r n ch iều ã có thứ tự n sô" phức (ai ,