TIEU LUAN co hoc luong tu

I Momen góc (Momen động lượng) Momen góc Các hệ thức giao hốn Từ hệ thức : ta có thành phần: (1) Tốn tử bình phương định nghĩa hệ thức: ++ (2) Các hệ thức (trong hệ tọa độ Descartes) có dạng thuận tiện hệ tọa độ cầu cho tính toán cho toán xuyên tâm, hai hệ tọa độ có liên hệ: x= rsinθcosφ y=rsinθsinφ (3) z=rcosθ Như vậy: == Theo (1) ta có: Tính tương tự ta có: Thay kết vào (2) ta có: (4) Với thành phần Momen ta chứng minh: (5) Trong tenxơ đơn vị hồn tồn phản xứng hạng e123 = e231=e321=1, e132=e321=e213=-1 lại 21 thành phần không 2 Hàm riêng trị riêng Từ phương trình: (6) ( (7) Nghiệm có dạng: Hàm tuần hồn : = nên M2 = (8) Như hình chiếu momen bị lượng tử hóa Hằng số A sác định từ điều kiện: d đó: Như vậy: (9) Ta tìm hàm riêng trị riêng Từ kết : ta có phương trình riêng: trở thành (10) Phương trình gọi phương trình cho hàm cầu Nó có nghiệm khi: (11) Và dó nghiệm có dạng: (12) đó: Có thể chứng minh rằng: hàm riêng hàm cầu (10) điều có nghĩa hai tốn tử có chung hệ Trong toán học - phần hàm đặc biệt - người ta chứng minh đa thức Legendre liên kết có dạng: đa thức Legendre liên kết có dạng : Với hàm cầu, chứng minh chúng thỏa mãn hệ thức trực giao: (13) II Hạt trường đối xứng cầu (Chuyển động xuyên tâm) Ta xét toán hệ tọa độ cầu Trong hệ tốn tử Δ có dạng: (14) Trong đó: (15) Như phương trình Sch có dạng: (16) Dùng phương pháp tách biến Đặt: (17) Thay vào 15 ta có: (18) Vậy ta có: So sánh với phương trình (10) (11) ta có: (19) Các hàm gọi hàm điều hòa cầu Ta có số hàm cấp thấp là: Cần nhấn mạnh phần góc hàm sóng khơng phụ thuộc vào dạng cụ thể U(r) Đây hệ trực tiếp quan trọng đối xứng cầu Bây ta xét tiếp phần xuyên tâm hàm sóng, tức hàm R(r) Từ (18) ý: ta có: (20) Trong đó: (21) Phương trình (20) đưa phương trình Sch chiều với điều kiện biên đặt biệt r = Cụ thể ta đặt: với điều kiện: (do tính hữu hạn R(r)) Thay hàm (22) vào (20) ta có phương trình Sch chiều: (23) Điều kiện biên: tương ứng với giếng có tường trái cao vơ tận (r = 0), Sự nghiên cứu sâu phương trình (23) đòi hỏi dạng cụ thể hàm U(r) III Nguyên tử Hydrogen: Bài toán nguyên tử Hydrogen tốn điển hình lớp tốn quan trọng chuyển động electron trường Coulomb đối xứng cầu Trong nguyên tử Hydrogen, Hamilton có dạng: (24) Dùng phương pháp tách biến trường hợp trường xuyên tâm tìm trị riêng tốn tử Hamilton có dạng: (25) Các hàm riêng có dạng: (26) Trong đó: hàm cầu, dạng cuẩ hàm cầu không phụ thuộc vào dạng cụ thể thể đối xứng cầu Còn hàm xuyên tâm xác định phương trình: Với thế Coulomb hạt nhân nguyên tử Hydrogen Dạng cho bởi: (27) Trong đó: đa thức Laguere tổng quát Những hàm Laguere thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: Ta viết số hàm xuyên tâm đầu tiên: (28) Như ta dễ dàng viết số hàm riêng toán tử Hamilton (24) là: (29) Sự phân lập (hay suy biến mức lượng: Để ý mức lượng electron nguyên tử Hydrogen phụ thuộc vào n: Trong hàm sóng – tức trạng thái lại xác định ba số lượng tử: n, l m Ngoài xác định trạng thái electron phải kể đến số lượng tử khác σ khơng có mặt biểu thức Vì ứng n số lượng tử nhân giá trị từ đến (n-1), với số lượng tử m nhân (21+1) giá trị nên số trạng thái ứng với mức Năng lượng En là: (30) (thừa số hai trạng thái Spin) Điều có nghĩa trị riêng E n suy biến bậc 2n2 Sự phân lập (hay suy biến) mức lượng quy luật liên quan đến tính đối xứng hệ nguyên tử Ví dụ: Đối xứng cầu trường nguyên tử gây suy biến hai số lượng tử m σ – lượng không phụ thuộc vào định hướng momen quỹ đạo momen Spin electron Sự suy biến số lượng tử liên quan đến chất đặc trưng trường Coulomb Trong trường khác (không Coulomb) lượng electron phụ thuộc vào n l  ... momen Spin electron Sự suy biến số lượng tử liên quan đến chất đặc trưng trường Coulomb Trong trường khác (không Coulomb) lượng electron phụ thuộc vào n l ... Hydrogen: Bài tốn ngun tử Hydrogen tốn điển hình lớp toán quan trọng chuyển động electron trường Coulomb đối xứng cầu Trong nguyên tử Hydrogen, Hamilton có dạng: (24) Dùng phương pháp tách biến... không phụ thuộc vào dạng cụ thể thể đối xứng cầu Còn hàm xuyên tâm xác định phương trình: Với thế Coulomb hạt nhân nguyên tử Hydrogen Dạng cho bởi: (27) Trong đó: đa thức Laguere tổng quát Những