Hạt trong trường đối xứng cầu Chuyển động xuyên tâm.. Ta xét bài toán trong hệ tọa độ cầu... Đây là hệ quả trực tiếp và quan trọng của thế đối xứng cầu.. Nguyên tử Hydrogen: Bài toán ngu
Trang 1I Momen góc (Momen động lượng)
1 Momen góc Các hệ thức giao hoán.
Từ hệ thức : ^M=[r × ^p^ ] ta có các thành phần:
^
M X=−iħ(y ∂
∂ z−z
∂
∂ y)
^
M y=−iħ(z ∂
∂ x−x
∂
∂ z) (1)
^
M z=−iħ(x ∂
∂ y−y
∂
∂ x)
Toán tử bình phương được định nghĩa bằng hệ thức:
^
M❑2
=^M x2+^M2y+^M z2 (2) Các hệ thức trên (trong hệ tọa độ Descartes) có thể có dạng thuận tiện hơn trong hệ tọa độ cầu cho các tính toán cho các bài toán xuyên tâm, hai hệ tọa độ này
có liên hệ:
x= rsinθcosφ y=rsinθsinφ (3) z=rcosθ
Như vậy:
∂Ѱ
∂ φ=
∂Ѱ
∂ x
∂ x
∂ φ+
∂Ѱ
∂ y
∂ y
∂ φ+
∂Ѱ
∂ z
∂ z
∂ φ
= - ∂Ѱ ∂ x r sin θ sin φ+ ∂ φ
∂ y r sin θ cos φ
= (x ∂
∂ y−
∂
∂ x)Ѱ
^
M z=−iħ ∂
∂ φ
Theo (1) ta có:
Tính tương tự ta có:
^
M x=−iħ(sinφφ ∂
∂ θ+cotgθcosφθcosφ
∂
∂ φ)
^
M y=−iħ(cosφ ∂
∂ θ−cotgθcosφθsinφφ
∂
∂ φ)
Thay các kết quả này vào (2) ta có:
Trang 2M❑2=iħ[ 1
sin2θ
∂2
∂ φ2+
1
sinφθ
∂
∂ θ(sinφθ ∂
∂θ) ] (4) Với các thành phần Momen ta có thể chứng minh:
[^M i , ^r j]=iħ∑
k
❑
e ijk r^k
[^M i , ^ P j]=iħ∑
k
❑
e ijk P^k (5)
[^M i , ^ M j]=iħ∑
k
❑
e ijk^M k
Trong đó e ijk là tenxơ đơn vị hoàn toàn phản xứng hạng 3
e123 = e231=e321=1, e132=e321=e213=-1 còn lại 21 thành phần bằng không
2 Hàm riêng và trị riêng của ^M z và ^M❑
2
Từ phương trình:
−iħ ∂ Ѱ
∂ φ M^z Ѱ (6)
Ѱ (∂¿=A exp(i M2φ/ħ) (7) Nghiệm có dạng:
Hàm Ѱ (φ) là tuần hoàn : Ѱ (φ) = Ѱ (φ+2 π ) nên
M 2 = ħm , m=0,± 1, ±2, … (8) Như vậy hình chiếu momen bị lượng tử hóa
Hằng số A được sác định từ điều kiện:
∫
0
2 π
Ѱ m¿Ѱ❑m
dφ=1 do đó: A= 1
√2 π
Như vậy:
Ѱ❑m
(φ )= 1
√2 π e
imφ
(9)
Ta tìm hàm riêng và trị riêng của ^M❑2 Từ kết quả :
^
M❑2
=ħ2
sin2θ
∂2
∂ φ2+
1
sinφθ
∂
∂θ(sinφθ ∂
∂ θ) ]
ta có phương trình riêng:
^
M2Ѱ =M2Ѱ
Trang 3trở thành ưħ2[ 1
sin2θ
∂2
∂ φ2+
1
sinφθ
∂
∂ θ(sinφθ ∂
∂ θ) ]=M2Ѱ (10) Phương trình này được gọi là phương trình cho các hàm cầu Nó chỉ có nghiệm khi:
M2=ħ2l(l+1) l=0.1,2, … (11)
Và khi dó nghiệm có dạng: Ѱ lm (θ , φ)=√(lư ⌊m ⌋) !(2l+1)
4 π (l+ ⌊m ⌋)! P l
⌊ m⌋
(cosθ)e imφ (12)
trong đó: m=0, ± 1,± 2, … ±l
Có thể chứng minh rằng: [M^❑2 , ^ M i]=0 điều này có nghĩa là hai toán tử
^
M❑2 và ^ M i có chung một hệ hàm riêng là các hàm cầu (10)
Trong toán học - phần các hàm đặc biệt - người ta chứng minh rằng các đa thức Legendre liên kết có dạng: P l m(x )=¿ trong đó P l(x ) là các đa thức Legendre liên kết có dạng : P l m
(x )= 1
2l l !
d l
dx l¿ Với các hàm cầu, có thể chứng minh là chúng thỏa mãn hệ thức trực giao:
∫
0
2 π
∫
0
π
Ѱ lm¿
(θ , φ)Ѱ l '
m ' (θ , φ) sinφθdθφ=δ¿' δ mm ' (13)
II Hạt trong trường đối xứng cầu (Chuyển động xuyên tâm).
Ta xét bài toán trong hệ tọa độ cầu Trong hệ đó toán tử Δ có dạng:
∆=1
r2
δ
∂ r❑(r2 δ
δr)+ 1
r2∆ θ , φ (14)
Trong đó:∆ θ , φ[ 1
sin2θ
∂2
∂ φ2+
1
sinφθ
∂
∂ θ(sinφθ ∂
∂θ) ] (15) Như vậy phương trình Sch có dạng:
1
r2
δ
∂r❑(r2δѰ
δr )+ 1
r2∆ θ , φѰ +
2 m[EưU (r )]
ħ2 Ѱ =0 (16) Dùng phương pháp tách biến Đặt:
Ѱ (r , θ , φ)=R (r)∅(θ , φ ) (17) Thay vào 15 ta có:
Trang 4dr(r2dR
dr)+r22 m[EưU (r )]
ħ2 R(r )
∆ θ , φ ∅
∅(θ , φ) λ
(18)
Vậy ta có: ư∆ θ ,φ ∅(θ , φ )=λ ∅ (θ , φ)
So sánh với phương trình (10) và (11) ta có:
λ=l (l+1) l=0,1,2 , …
∅ (θ , φ)=√(2 l+1)
4 π .
(lư⌊m ⌋ !)
¿ ¿ ¿ (19)
¿Y (θ , φ) m=0 ± 1, … ± l Các hàm Y lm (θ ,φ ) được gọi là các hàm điều hòa cầu Ta có một số hàm cấp thấp là:
Y00= 1
√4 π
Y00=√4 π3 cosθ
Y 1 ,± 1=√8 π3 sinφθ e
± 2iφ
Y2,0=√4 π5 (23cos
2
θư1
2)
Y 2 ,± 1=√8 π15 sin
2θ e ±2 iφ
Y 2 ,± 2=√32 π15 sin
2
θ e ±2 iφ
Cần nhấn mạnh là phần góc của hàm sóng không phụ thuộc vào dạng cụ thể của thế năng U(r) Đây là hệ quả trực tiếp và quan trọng của thế đối xứng cầu Bây giờ ta xét tiếp phần xuyên tâm của hàm sóng, tức là hàm R(r) Từ (18) và chú ý: λ=l (l+1) ta có:
1
r2
d
d r❑(r2dR
dr)+2 m
ħ2 [EưU t (r )]R (r )=0 (20)
Trong đó: U t (r )=U❑(r )+ ħ2l(l+1)
2 mr2 (21)
Trang 5Phương trình (20) có thể đưa về phương trình Sch một chiều với điều kiện biên đặt biệt tại r = 0
Cụ thể là ta đặt: φ (r )=rR (r)
với điều kiện: φ (0 )=0 (do tính hữu hạn của R(r))
Thay hàm φ (r ) trong (22) vào (20) ta có phương trình Sch một chiều:
d2φ
dr2 +2 m[EưU l (r )]
ħ2 φ (r )=0 (23) Điều kiện biên: φ (0 )=0 tương ứng với giếng thế có bức tường trái cao vô tận tại (r = 0),
Sự nghiên cứu sâu hơn phương trình (23) đòi hỏi dạng cụ thể của hàm U(r)
III Nguyên tử Hydrogen:
Bài toán nguyên tử Hydrogen là bài toán điển hình của lớp bài toán quan trọng chuyển động của electron trong trường Coulomb đối xứng cầu Trong nguyên tử Hydrogen, Hamilton có dạng:
^
H❑=ưħ2
2 m ∆ư
e2
r (24) Dùng phương pháp tách biến như trường hợp trường xuyên tâm tìm được các trị riêng của toán tử Hamilton có dạng:
E nφ me2
2ħ2nφ2nφ=1,2 , … (25)
Các hàm riêng có dạng:
Ѱ lm¿
=R nφl Y lm (θ , φ) ,
l=0, 1, 2 ,… (nφư1) , (26)
m=0, ± 1,± 2 , … ±l ,
Trong đó: Y lm (θ ,φ ) là các hàm cầu, dạng cuẩ hàm cầu này không phụ thuộc vào dạng cụ thể của thể đối xứng cầu Còn các hàm xuyên tâm R nφl (r ) được xác định bởi phương trình:
d2φ
dr2 +2 m[EưU l (r )]
ħ2 φ (r )=0 Với thế U (r )=ưe
2
r là thế Coulomb của hạt nhân nguyên tử Hydrogen
Dạng của R nφl (r ) được cho bởi:
Trang 6R nφl (r )=−2
nφ2 √(nφ−l −1)!
[(nφ+1)!]3 e
−r
nφ (2r nφ )l L nφ+ 1 2 l+1
(2 r nφ ) (27) Trong đó: L nφ+1 2 l+1(x ) là đa thức Laguere tổng quát
Những hàm Laguere này thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:
∫
0
∞
R nφl2
(r ) r2dr=1
Ta có thể viết một số hàm xuyên tâm đầu tiên:
R10=2 r1
−3
2 exp(−r1r)
R2 0=(2 r13
)
−1
2 exp(−r
2 r1)(1− r
2 r1) (28)
R21=( √26 r13)−1exp(−2 r r1)r r1
Như vậy ta dễ dàng viết được một số hàm riêng của toán tử Hamilton (24) là:
Ѱ100=(π r13)
−1 2
exp(−r1r)
Ѱ200=(8 π r13)
−1 2
exp(−2r r1)(1− r
2 r1)
Ѱ211=( √8π r13)−1exp(−2 r r1)sinφθ e iφ
(r r1) (29)
Ѱ210=( √42 π r13)−1exp(−r
2r1)cosθ(r r1)
Sự phân lập (hay suy biến của các mức năng lượng:
Để ý rằng các mức năng lượng của một electron trong nguyên tử Hydrogen chỉ phụ thuộc vào n:
E nφ= me4
2 ħ2nφ2nφ=1,2 ,…
Trong khi đó các hàm sóng – tức là các trạng thái lại được xác định bởi ba số lượng tử: n, l và m Ngoài ra khi xác định các trạng thái của electron là còn phải kể đến một số lượng tử khác nữa là σ không có mặt trong các biểu thức ở đây Vì ứng mỗi n số lượng tử 1 nhân các giá trị từ 0 đến (n-1), và với mỗi 1 số lượng tử m nhân (21+1) giá trị nên số trạng thái ứng với mỗi mức Năng lượng En là:
gθcosφ
nφ=2∑
nφ−1
(2 l+1) =2 nφ 2 (30)
Trang 7(thừa số 2 là hai trạng thái của Spin).
Điều này có nghĩa là các trị riêng En suy biến bậc 2n2 Sự phân lập (hay suy biến) của các mức năng lượng là một quy luật liên quan đến tính đối xứng trong hệ nguyên tử Ví dụ: Đối xứng cầu của các trường trong nguyên tử gây ra sự suy biến của hai số lượng tử m và σ – năng lượng không phụ thuộc vào sự định hướng của momen quỹ đạo và momen Spin của electron
Sự suy biến của số lượng tử 1 liên quan đến bản chất đặc trưng của trường Coulomb Trong các trường khác (không Coulomb) năng lượng của electron phụ thuộc cả vào n và l