Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử

Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Lời cảm ơn Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức Thầy giáo Trần Viết Điền, người tận tình hướng dẫn cho em trình thực tiểu luận Em xin chân thành cám ơn Thầy giáo giảng dạy, đóng góp ý kiến suốt thời gian học tập thực tiểu luận em Khoa Vật Lý Em xin cảm ơn bạn cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian vừa qua Em xin chân thành cám ơn cán Trung Tâm Thông Tin Trường Đại Học Sư Phạm tạo điều kiện cho em trình tìm kiếm tài liệu Sinh viên Trương Ngọc Quê SVTH: Trương Ngọc Quê i Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Mục Lục Lời cảm ơn i PHẦN I : MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III PHẠM VI NGHIÊN CỨU IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI BỐ CỤC TIỂU LUẬN PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cở sở lý thuyết 1.1 Đại lượng động lực gì? 1.2 Đạo hàm toán tử theo thời gian 1.3 Phương trình chuyển động học lượng tử 1.4 Tích phân chuyển động 1.5 Tính đối xứng khơng gian, thời gian định luật bảo toàn 10 1.5.1 Định luật bảo toàn xung lượng 10 1.5.2 Định luật bảo tồn mơmen xung lượng 11 1.5.3 Định luật bảo toàn lượng 12 1.5.4 Định luật bảo toàn chẵn lẻ 13 Chương 2: Ví dụ tập 14 2.1 Các ví dụ 14 2.1.1 Ví dụ (Ví dụ cho mục 1.2): 14 2.1.2 Ví dụ (Ví dụ mục 1.3) 16 2.1.3 Ví dụ (Ví dụ mục 1.4) 17 2.1.4 Ví dụ (cơ sở áp dụng cho số tập tiếp theo) 18 2.1.5 Ví dụ 20 2.2 Bài tập 22 2.2.1 Bài tập1: 22 SVTH: Trương Ngọc Quê ii Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền 2.2.2 Bài tập 2: 22 2.2.3 Bài tập 3: 23 2.2.4 Bài tập 4: 24 2.2.5 Bài tập 5: 25 2.2.6 Bài tập 6: 26 2.2.7 Bài tập 7: 28 2.2.8 Bài tập 30 Phần III: Kết Luận 33 Tài Liệu Tham Khảo 34 SVTH: Trương Ngọc Quê iii Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền PHẦN I : MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá điều bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển vật lý Trong ngành vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác giải thích rõ ràng Một cơng cụ chủ yếu vật lý học thuyết lượng tử mà học lượng tử Cơ học lượng tử hình thành vào nửa đầu kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli số người khác tạo nên Một số vấn đề lý thuyết nghiên cứu ngày Cơ học lượng tử phận học lý thuyết Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Dựa tảng mơ hình vật lý, nhà khoa học vật lý xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý hiểu biết tổng quát người lĩnh vực, phạm vi vật lý định Dựa mơ hình vật lý tưởng tượng, nhà vật lý lý thuyếtbằng phưong pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đề hệ thống qui tắc, định luật, nguyên lý vật lý dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lý để tạo khả tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton Cơ học lượng tử nghiên cứu chuyển động đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động lượng xung lượng vật có kích thước nhỏ bé, có thể rõ rệt lưỡng tính sóng hạt Lưỡng tính sóng hạt giả định tính chất vật chất, học lượng tử coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích Chính đời học lượng tử giúp giải khó khăn mà học cổ điển cịn bế tắc Thơng qua việc học tập nghiên cứu học lượng tử mà đối tượng khơng thể thiếu cần thiết nghiên cứu vật lý đặc biệt với sinh viên khoa Vật Lý SVTH: Trương Ngọc Quê Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Việc học tập cần thiết sinh viên để hoàn thành tốt chương trình học tập ngành khoa đề Với mơn học có hệ thống kiến thức chuyên biệt học lượng tử Do nhằm giúp cho sinh viên học tập tốt học phần học lượng tử cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập phục vụ Nhằm đáp ứng phần nhỏ mục đích em xin chọn vấn đề “xây dựng hệ thống tập hỗ trợ cho việc học tập chương Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” làm đề tài nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống hóa sở lý thuyết - Xây dựng ví dụ tập minh họa cho phần chương “sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian” - Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải tập, phương pháp nghiên cứu khoa học III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Xây dựng số ví dụ tập liên quan minh họa cho phần chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp chủ yếu phương pháp lý thuyết VI BỐ CỤC TIỂU LUẬN Tiểu luận gồm phần: - Phần 1: Phần mở đầu: Gồm: Lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu - Phần 2: Phần nội dung: Gồm chương:  Chương 1: Cơ sở lý thuyết  Chương 2: Ví dụ tập - Phần 3: Phần kết luận SVTH: Trương Ngọc Quê Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cở sở lý thuyết 1.1 Đại lượng động lực gì? Để hiểu rõ khái niệm đại lượng động lực học lượng tử ta cần phải thông qua tiên đề tiên đề II, sau vào tìm hiểu tiên đề Trong học cổ điển đại lượng động lực A đơn giản biến số động lực đo (observable) Phép đo đại lượng động lực A hiểu tác động vật lý đặt lên hệ để thu số thực gọi “giá trị A” Để đơn giản ta xét phép đo không sai số (theo cách thông thường thực nghiệm, nghĩa sai số phép đo dụng cụ đo chủ quan người đọc) Ta biết học cổ điển khơng có phân biệt biểu diễn toán học đại lượng giá trị đo đại lượng Trong lúc đó, học lượng tử có phân biệt Tiên đề II đề cập đến biểu diễn toán học đại lượng động lực A với giá trị phát biểu sau: Tương ứng với đại lượng động lực A toán tử tuyến tính hermite ̂ tác dụng khơng gian Hilbert hàm trạng thái Các kết đo đại lượng A trị riêng toán tử ̂ Từ tiên đề II ý điểm sau:  Phép đo đại lượng động lực A biểu diễn cách tác dụng toán tử ̂ lên trạng thái | ⟩ Kết thu phép đo trị riêng (phổ trị riêng) tốn tử ̂ Phổ trị riêng gián đoạn liên tục điều tương ứng với hay phương trình trị riêng tốn tử ̂ sau: ̂ | ⟩, trường hợp phổ trị riêng gián đoạn, ̂ | ⟩, trường hợp phổ trị riêng liên tục, | ⟩ | ⟩ hàm riêng trực chuẩn toán tử ̂  Nếu đo đại lượng động lực A ta giá trị a trạng thái hệ chuyển từ | ⟩ sang | ⟩ (phép đo làm nhiễu loạn trạng thái hạt)  Tính chất tuyến tính cuẩ tốn tử ̂ liên quan đến nguyên lý chồng chất trạng thái, lúc tính chất Hermite ̂ liên quan đến tính thực giá trị đo dược đại lượng động lực A SVTH: Trương Ngọc Quê Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Đạo hàm toán tử theo thời gian 1.2 Ta tìm đạo hàm theo thời gian tốn tử ̂ Muốn vậy, ta chấp nhận mệnh đề sau: Đạo hàm trị trung bình đại lượng động lực A trung bình đạo hàm đại lượng động lực A theo thời gian, nghĩa là: Trước hết ta tính đạo hàm theo thời gian trị trung bình A: ⟨ ⟨ ⃗ | ⃗ | ̂| ⃗ ⃗ | ⟩ ⃗ ⟨ | ̂| ⃗ ⟩ ⟩ Dùng phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ta viết: ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ | ̂| ̂ Thay vào (1.2), ta được: ⟨ ⃗ | | ⃗ (⟨ ̂ ⟩ | ̂| ⃗ ⃗ ⟩ ⟨ ⃗ ⟩) Do tính chất Hermite tốn tử ̂ nên ta biến đổi tích vô hướng thứ hai (1.4) sau: ⟨ ⃗ | | ⃗ ⟩ | ̂ ̂| ⃗ (⟨ ⃗ ⟩ ⟨ ̂ ̂| ⃗ ⟩ ⃗ | ̂ ̂| ⃗ ⟩) Hay: ⟨ ⃗ | ̂ ̂̂ Mặt khác, theo định nghĩa trị trung bình, ta có: ⟨ ⃗ | ̂ | ⃗ SVTH: Trương Ngọc Quê ⟩ Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền So sánh (1.6) với (1.7) sử dụng (1.1) ta được: ̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ Phương trình (1.8) biểu thức đạo hàm theo thời gian tốn tử ̂ Phương trình cịn gọi phương trình chuyển động Heisenberg Đối với số hạng thứ hai ta kí hiệu sau: (̂ ̂ ̂ ̂) [ ̂ ̂] { ̂ ̂} gọi móc Poisson lượng tử Lúc (1.8) trở thành: ̂ ̂ { ̂ ̂} Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nghĩa đạo hàm tốn tử ̂ theo thời gian đơn giản móc Poison lượng tử toán tử ̂ ̂ , (1.9) có dạng đơn giản: ̂ { ̂ ̂} Phương trình chuyển động học lượng tử 1.3 Phương tình (1.11) có dạng tương tự học cổ điển [ ] [H,A] móc Poisson cổ điển có dạng: [ ] ∑( ) Từ phương trình ta tìm phương trình chuyển động học cổ điển Thật vậy, cho A = x, ta được: [ ] ∑( ) Cho A=p ta được: [ ] ∑( ) Tương tự học cổ điển, phương trình (1.9) xác định biến thiên theo thời gian đại lượng động lực A tương ứng với toán tử ̂ Nếu đại lượng động lực xét toạ độ xung lượng hạt (không phụ thuộc SVTH: Trương Ngọc Quê Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền tường minh vào thời gian) ta phương trình chuyển động sau: ̂ ̂ { ̂ ̂} {̂ ̂ } Từ hai phương trình ta tìm phương trình diễn tả thay đổi theo thời gian giá trị trung bình tọa độ xung lượng, thể định lý Erenfest với nội dung sau: Các phương trình chuyển động lượng tử có dạng cổ điển ta thay đại lượng trị trung bình, cụ thể sau: + Trong cổ điển: + Trong lượng tử: Bây ta chứng minh định lý Erenfest Theo (1.1) ta có: ⟨ | ̂ | ⟩ ⟨ | ̂ | ⟩ Từ phương trình chuyển động Heisenberg, ta có dạng ̂ { ̂ ̂} ̂ ̂ [ ⁄ ̂] ̂ sau: [ ̂ ̂] Tính giao hốn tử [ ̂ ̂] ̂ [ ⁄ ̂ ̂] ̂ [ ⁄ ̂ ( ̂ ⁄ ̂ [̂ ̂] ⁄ ̂ ) ( ̂] ⁄ hay ̂ ̂ [ ⁄ ) ̂ ̂] ̂ ( ⁄ ) Thay vào phương trình (1.20), ta được: ̂ ̂ SVTH: Trương Ngọc Quê Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử ̂ Tương tự, ta có dạng ̂ {̂ ̂ } GVHD: Thầy Trần Viết Điền sau: [̂ ̂ ] Tính giao hốn tử [ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] ̂ ̂ ⁄ ̂ , ta , thay vào (1.23), ta được: ̂ Thay biểu thức đạo hàm toán tử ̂ vào (1.19): ⟨ | ̂ | ⟩ Tương tự, thay biểu thức đạo hàm toán tử ̂ vào (1.20), ta được: ⟨ | ̂ | ⟩ ⟨ | | ⟩ Như đạo hàm theo thời gian trị trung bình toạ độ trị trung bình xung lượng chia cho khối lượng hạt Đạo hàm theo thời gian trị trung bình xung lượng trị trung bình lực Từ ta thấy học lượng tử, trị trung bình toạ độ xung lượng hạt lực tác dụng lên liên hệ với phương trình tương tự học cổ điển Nói cách khác hạt chuyển động, trị trung bình của đại lượng học lượng tử biến thiên giá trị thực chúng cổ điển Định lý Erenfest chứng minh 1.4 Tích phân chuyển động Tương tự học học lượng tử đại lượng động lực A gọi tích phân chuyển động hay đại lượng bảo tồn ̅ , hay: Ta tìm điều kiện để đại lượng động lực tích phân chuyển động Ta sử dụng hệ thức: ⟨ | Điều kiện (1.27) cho ta ̂ SVTH: Trương Ngọc Quê ̂ | ⟩