Cơ sở của cơ học lượng tử

Chương Cơ sở học lượng tử Nghiên cứu nguyên tử, ta quan tâm tới giới vi mô, vi hạt nên t/c lượng tử trội, phải dùng học lượng tử Chương giới thiệu sở học lượng tử cần thiết cho việc nghiên cứu nguyên tử, không sâu vào chi tiết thân môn Cơ học lượng tử Bao gồm: Tính Sóng- Hạt Hàm sóng De Broglie (D.B) Hệ tính sóng- hạt: Ng.lý bất định Heisenberg Tính chất hàm sóng: Tính thống kê Phương trình (P.tr.Schrodinger) Hệ ph.tr Sch 20/2/11 2.1 Sự hình thành ý tưởng lượng tử • Trong LT xạ nhiệt- cơng thức Rayleigh – Jeans (cuối TK 19) suy “thảm hoạ vùng tử ngoại”, làm nhà vật lý bó tay • LT cổ điển khơng giải thích hiệu ứng quang điện, tán xạ Compton • Plank (1900) xem xét lại giả thuyết LT xạ nhiệt, LT tương tác sóng điện từ , ơng nghi ngờ tính liên tục số đại lượng???, • Trong điện học, điện tích cơng nhận tính gián đoạn, cịn đại lượng khác, liệu có tương tự khơng??? 20/2/11 2.2 Thuyết lượng tử Plank Thuyết Photon • Max Planck: thất bại cơng thức Rayleigh – Jeans chỗ thừa nhận lượng phân phối cho dao động tử nhỏ chừng tuỳ ý • Planck thấy rằng, lí thuyết xây dựng giả thuyết liên tục lượng dẫn đến bế tắc tương tự Rayleigh • Planck giả thuyết táo bạo lượng có cấu tạo gián đoạn điện lượng, cụ thể : • “Năng lượng uν dao động tử khơng thể có giá trị bất kì, mà bội số nguyên lượng nguyên tố ε Lượng tử lượng ε ứng với tần số ν có giá trị : ε = h.ν h số vũ trụ mới” – gọi số Planck 20/2/11 Einstein (1905) phát triển lên thành thuyết photon: • Ngồi lượng, phơtơn có khối lượng động lượng Theo thuyết tương đối lượng E khối lượng m có hệ thức : E hν m= = E = mc c c phôton chuyển động với vận tốc c, có động lượng : hν hν p = m.c = c c = c • Theo thuyết tương đối, khối lượng m vật phụ thuộc vào vận tốc v nó: m= mo v2 1− c phôtôn hạt độc có khối lượng nghỉ khơng- giả hạt 20/2/11 2.3 Giả thuyết De Broglie • Tính sóng- hạt mở rộng cho vật chất- cụ thể điện tử • Một hạt tự chuyển động có xung lượng p =mv lượng xác định biểu diễn sóng • Sóng lan truyền theo phương chuyển động hạt Có bước sóng tần số : E h ν= , λ= h p • Sóng gọi sóng vật chất- sóng De Broglie, (bản chất khác sóng điện từ) • Sóng D.B khơng có nguồn phát, khơng có thu, chất vật chất 20/2/11 L De Broglie (1892-1987) E h ν= , λ= h p 20/2/11 Khảo sát thơng số sóng D.B • Bước sóng: Xét cho e : Động E thu điện trường hiệu điện U h h h 6, 626.10−34 12,12 ( A) λ= = = = = − − 31 19 mv 2mE 2meU U 2.9,1.10 1, 6.10 U • => bước sóng D.B ứng với chuyển động tự e U= 150 V 1A, cỡ tia X • Thử tưởng tượng : "Đầu hạt sóng " • Với bóng 150g, v=35m/s=> bước sóng cỡ 10-34m, nhỏ!!! 20/2/11 ính bước sóng D.B của: • a/ ơtơ 1000kg chuyển động với vận tốc 100m/s • b/ bóng 10g với v=500m/s • c/ hạt khói 10-9 g với v=1cm/s • d/ electron với động 1eV • e/ = nt= với 100MeV • ĐS: 6,6.10-39m; 1,3.10-34m; 6,6.10-20m; 1,2.10-9m 1,2 fm • Do h bé nên có vi hạt ta quan sát đặc tính sóng! 20/2/11 • T Cơ sở Thực nghiệm sóng D.B • Nếu e có t/c sóng phải thể nhiễu xạ, giao othoa? • Bước sóng e cỡ tia X, nên cách tử phải cỡ vàiA - dùng mạng tinh thể, nhiễu xạ tia X- Bragg (Thomson G.P: ảnh tương tự) • Davisson- Germer 1926: nhiễu xạ chùm e tinh thể Ni Tính bước sóng theo cách: Công thức nhiễu xạ Bragg: 0,165nm Công thức D.B: 0,167 nm Chứng tỏ tượng nhiễu xạ chất sóng D.B (Nobel 1937) 20/2/11 Đọc thêm: X-Ray Scattering Max von Laue suggested that if x-rays were a form of electromagnetic radiation, interference effects should be observed Crystals act as three-dimensional gratings, scattering the waves and producing observable interference effects 20/2/11 10 Theo Lý thuyết sóng, biên độ bó sóng tổng hợp biên độ sóng, từ tìm hàm sóng bó sóng : ψ = B e-(i/h)(Et-pr ) Δp gia số xung lượng ứng với sóng bó sóng Ta thấy biên độ B bó sóng thay đổi khơng gian thời gian Ta tính vận tốc chuyển động bó sóng- vận tốc nhóm- v/t dịch chuyển biên độ bó sónguận với v/t pha, ta vận tốc nhóm u’ = dx/dt = ∂E/∂p Vì hạt tự do, E= c(p2 + m2c2)1/2 , nên u’= c2p/E = v Như vận tốc nhóm bó sóng vận tốc hạt chuyển động 20/2/11 36 Như vận tốc nhóm bó sóng vận tốc hạt chuyển động Sự phụ thuộc biên độ B vào thời điểm t=0 cho thấy: điểm = ±π, biên độ = 0, điểm =0 (ứng với x=0), biên độ đạt cực đại Do lúc t=0 bó sóng xem tập trung miền cực đại giữa, nghĩa miền Δ= Δp Δx/2 = π, miền coi tâm bó sóng Vậy tâm bó sóng chuyển động với vận tốc vận tốc hạt chuyển động, nghĩa hạt chuyển động đồng thời với tâm bó sóng -> Bó sóng mơ tả tính định xứ hạt Ta nói: Nếu ta xem hạt sóng D.B ln kèm theo , cịn ta xem sóng vạt chất D.B hạt chuyển động sóng A particle can never escape its wave nature! Hạt trốn khỏi chất sóng 20/2/11 37 2.7 Phương trình SchrƯdinger • SchrƯdingơ phát triển tổng qt hố khái niệm sóng vật chất Đ.B., cách tìm phương trình sóng đặc trưng cho hệ lượng tử • Nếu hệ có tính chất sóng, biểu diễn hàm sóng hàm sóng thoả mãn phương trình sóng, ph.tr Sch., ơng ta tìm vào 1926 • Đây ph tr sóng, mơ tả trạng thái động lực học hệ lượng tử không gian thời gian • Tương đương với ph.tr II Niu tơn học cổ điển, hay ph.tr truyền sóng học sóng • Nó phải ph.tr vi phân theo t r 20/2/11 38 Phương trình Schrodinger phụ thuộc t (tổng quát) • Trạng thái VL ứng với Hàm sóng tổng quát: Ψ ( x, y, z , t ) = A.e i − Et i e ( xpx + yp y + zpz ) • Ta đạo hàm theo t x, bậc 1,2, thu được: ∂ψ i = − Eψ ∂t 20/2/11 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ p2 + + =− 2ψ ∂x ∂y ∂z 39 • Trong trường lực thế, lượng tồn phần: E=T+U=(p2/2m)+U => Eψ =(p /2m)ψ +Uψ • Thay số hạng : ∂ψ i = − Eψ ∂t ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ p2 + + =− 2ψ ∂x ∂y ∂z nhận được: ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ i ( + + ) + Uψ (1) =− 2m ∂x ∂t ∂y ∂z 2 2 ph tr Schrodinger dạng tổng qt 20/2/11 40 Phương trình Schrodinger dừng • Ψ ( x, y , z , t ) = e U(r,t)=U(r) i − Et ψ ( x, y , z ) • Thay vào (1): Eψ e i − Et • Hay: i − Et ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ − i Et =− + Uψ e ( + + )e ∂y ∂z 2m ∂x ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2m + + + ( E − U )ψ = (2) ∂x ∂y ∂z gọi ph tr Sch dừng • Hạt tự U=0 20/2/11 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2m + + + Eψ = (3) ∂x ∂y ∂z 41 ý nghĩa điều kiện sử dụng ph tr Schrodinger • Như ph.tr Niutơn hay ph.tr truyền sóng trước • Chỉ xét cho hạt chuyển động có đặc tính phi tương đối (v K = , n = ±1, ±2 l nπ x) => nghiệm dẫy: ψ n ( x) = A sin( l • Ta tìm A từ đk chuẩn hố ∫ Ψ ( x, y, z , t ) dV = t b.k g nπ ∫0 ψ ( x) dx = = A ∫0 sin l xdx = A l 2nπ φ l 2 => A = l l 2 => ψ n ( x) = nπ =1 nπ x) sin( l l nπ x φ= l => Trạng thái hạt giếng bị lượng tử hoá (gồm trạng thái gián đoạn) 20/2/11 với 45 Thay K vào E ta có: En = π 2 2ml 2 n = với n= 1,2,3 • => Năng lượng khác gián đoạn, • Năng lượng nhỏ n=1, h 8ml n • Phổ lượng gián đoạn, mơ tả chuyển động hạt giếng với thành cao vơ hạn • Các hàm sóng tương ứng ψ n ( x) = 20/2/11 nπ sin( x) l l 46 Chuyển động hạt giếng với thành cao vơ hạn có Năng lượng hàm sóng π2 2 h2 2 nπ En = n = n sin( x) ψ n ( x) = 2 2ml 8ml l l với n=1,2, Xem phân bố hạt: Ψ =>Hạt có E thấp thường giếng, với E cao khác hẳn • KL trái hẳn với học cổ điển! T/c sóng dẫn đến => 20/2/11 khẳng định Lưỡng tính sóng hạt vật chất 47 π2 2 h 2 ψ n ( x) = En = n = n 2 8ml 2ml 20/2/11 nπ sin( x) l l 48 20/2/11 49 tự tìm hiểu: Nếu chiều cao thành giếng hữu hạn tranh sau: 20/2/11 50