Cơ sở của cơ học lượng từ pptx

Cơ sở của cơ học lượng tử 1 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 1. Lưỡng tính sóng-hạt của vật chất Chúng ta ñã biết ánh sáng vốn ñược coi là sóng, rồi sau ñó, với các phát hiện của Planck, Einstein và Compton, nó lại ñược coi là gồm các hạt photon. Vậy rốt cuộc ánh sáng là sóng hay là hạt? Ngày nay các nhà vật lý chấp nhận rằng ánh sáng vừa là hạt, lại cũng vừa là sóng. Khi cần giải thích các hiện tượng như giao thoa hay nhiễu xạ, chúng ta coi ánh sáng là sóng, còn khi cần giải thích các hiện tượng quang ñiện hay tán xạ Compton, chúng ta lại coi ánh sáng như các hạt photon. Nói cách khác, ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt. Thế còn các hạt vật chất thì sao? Có khi nào các vật chất thông thường, mà chúng ta vẫn coi là hạt, lại cũng ñồng thời là sóng không? ðó là câu hỏi mà De Broglie ñặt ra năm 1923. 1.1 Giả thuyết De Broglie – Sóng vật chất ðể trả lời câu hỏi trên, De Broglie ñã ñưa ra giả thuyết sau: vật chất thông thường cũng phải có lưỡng tính sóng-hạt như ánh sáng, sóng tương ứng với vật chất ñược gọi là sóng vật chất hay sóng De Broglie; một hạt tự do chuyển ñộng với ñộng lượng p có bước sóng vật chất xác ñịnh bởi: p h = λ (1) trong ñó h = 6,626 × 10 -34 J.s, là hằng số Planck quen thuộc. Một số ví dụ về bước sóng vật chất Ví dụ 1: Voi Dumbo nặng 1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s sẽ có bước sóng De Broglie là bao nhiêu? m smkg sJ p h 38 3 34 10626,6 1010 10626,6 − − ×= × ⋅× == λ Bước sóng này quá nhỏ, vì vậy chú voi không thể hiện tính sóng của mình. Ví dụ 2: Bước sóng De Broglie của một hạt bụi nặng 10 -9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s: m smkg sJ p h 23 9 34 10313,3 020,010 10626,6 − − − ×= × ⋅× == λ Một lần nữa, bước sóng này cũng quá nhỏ ñể có thể quan sát ñược. Ví dụ 3: Một electron trong mạch ñiện hay trong nguyên tử có ñộng năng trung bình vào khoảng 1 eV, có bước sóng De Broglie: ( ) ( ) Am Jkg sJ mK h 1010 106,11011,92 10626,6 2 9 1931 34 == ⋅×⋅× ⋅× == − −− − λ Cơ sở của cơ học lượng tử 2 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyên tử nên có thể quan sát ñược. Qua các ví dụ trên ñây, chúng ta nhận thấy tính sóng của vật chất bình thường là rất "yếu", không thể quan sát ñược, còn các hạt vi mô thì thể hiện tính sóng rõ rệt hơn. 1.2 Kiểm chứng thực nghiệm Thí nghiệm Davisson-Germer (1927): quan sát ñược nhiễu xạ của electron trên tinh thể Nickel, tương tự như nhiễu xạ của tia X trên tinh thể. Thí nghiệm Thomson (1927): quan sát ñược các vân nhiễu xạ hình tròn khi cho chùm electron năng lượng cao ñi qua bột ña tinh thể hay màng mỏng kim loại. Ngày nay, người ta có thể thực hiện ñược nhiễu xạ của sóng vật chất trên một khe, hai khe như ñối với sóng ánh sáng vậy. ðể minh họa, mời các bạn xem Hình 1, là ảnh nhiễu xạ của một chùm hạt neutron trên hai khe. Ngoài ra, người ta cũng dùng hiện tượng nhiễu xạ của các hạt như electron, neutron ñể khảo sát cấu trúc của vật chất, giống như dùng nhiễu xạ tia X ñể khảo sát cấu trúc tinh thể vậy. Hình 1. Nhiễu xạ neutron trên hai khe: ño cường ñộ chùm hạt ở sau hai khe, người ta thu ñược sự phân bố cường ñộ theo vị trí như trong hiện tượng nhiễu xạ. (A. Zeilinger,R. Gähler, C.G. Shull, W. Treimer,and W. Mampe, Reviews of Modern Physics, Vol. 60, 1988.) 1.3 Sóng vật chất là sóng xác suất Khi nói tới sóng, chúng ta liên tưởng ngay ñến những loại sóng quen thuộc như sóng nước, sóng âm Các loại sóng này gắn liền với sự dao ñộng của một số lớn các hạt (phân tử nước hay không khí), các hạt này liên kết với nhau nên khi một số hạt dao ñộng thì các hạt khác cũng dao ñộng theo, tạo nên sự lan truyền dao ñộng, tức là sóng. Sóng vật chất thì hoàn toàn khác hẳn, chỉ một hạt vi mô riêng lẻ cũng thể hiện tính sóng. Thật vậy, người ta có thể gửi từng electron hay photon riêng lẻ ñến một khe mà vẫn quan sát ñược hiện tượng nhiễu xạ. Như vậy, bản chất của sóng vật chất là gì? Theo Max Born thì sóng De Broglie thật ra là sóng xác suất, ñây cũng là cách giải thích ñược chấp nhận rộng rãi nhất ngày nay. Cơ sở của cơ học lượng tử 3 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 Ý nghĩa của sóng xác suất là như sau − Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z) của một hạt vi mô, và dV là một thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV là: ( ) dVzyxdP 2 ,,Ψ= (2) ðại lượng ( ) 2 ,, zyxΨ ñược gọi là mật ñộ xác suất của hạt tại (x,y,z). Nếu lấy tổng của (2) trong toàn bộ không gian chúng ta sẽ ñược xác suất ñể tìm thấy hạt ở mọi nơi, và xác suất ấy ñương nhiên là bằng ñơn vị. Vì vậy chúng ta có tính chất sau ñây của hàm sóng: ( ) 1,, 2 =Ψ ∫ dVzyx V (3) Hệ thức trên ñây còn ñược gọi là ñiều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật chất. 2. Phương trình Schrödinger 2.1 Phương trình Schrödinger tổng quát Hàm sóng vật chất Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, chuyển ñộng trong trường có thế năng U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng quát sau ñây: Ψ         +∆−= ∂ Ψ∂ U mt i 2 2 h h (4) trong ñó ħ = h/2π, 1−=i , và ∆ là Laplacian: 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ 2.2 Phương trình Schrödinger dừng Trong trường hợp dừng, khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gian, U = U(x,y,z), thì nghiệm tổng quát của phương trình Schrödinger trên ñây có thể viết dưới dạng: ( ) ( ) zyxt E itzyx ,,exp,,, Φ       −=Ψ h (5) với Φ(x,y,z) là hàm sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger dừng sau ñây: Φ=Φ         +∆− EU m2 2 h (6a) hay: Cơ sở của cơ học lượng tử 4 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 ( ) 0 2 2 =Φ−+∆Φ UE m h (6b) trong ñó E là năng lượng toàn phần của hạt. 2.3 Hàm sóng của hạt tự do ðối với một hạt tự do chuyển ñộng theo dọc trục x, phương trình Schrödinger dừng (6b) trở thành: 0 2 22 2 =Φ+ ∂ Φ∂ E m x h với E bây giờ là ñộng năng của hạt. Phương trình này có nghiệm tổng quát là: ( ) ( ) ikxBikxA −+=Φ expexp với hh pmEk == 2 2 Hàm sóng ứng với riêng số hạng thứ nhất trong nghiệm dừng trên là:               −−=       ⋅       −=Ψ x p t E iAx p iAt E i hhhh expexpexp hay: ( ) ( ) kxtiA −−=Ψ ω exp (7) với hh pkE == , ω ðây chính là biểu thức của một sóng phẳng lan truyền theo chiều dương của trục x, có tần số góc là ω và bước sóng là phk == πλ 2 . Kết quả này phù hợp với giả thuyết De Broglie về bước sóng vật chất của một hạt tự do. Tương tự như vậy, hàm sóng ứng với số hạng thứ hai trong biểu thức của Φ trên ñây là hàm sóng mô tả một sóng phẳng truyền theo chiều âm của trục x. 3. Hệ thức bất ñịnh Heisenberg 3.1 Hệ thức bất ñịnh ñối với vị trí và ñộng lượng Gọi ∆x là ñộ bất ñịnh (hay ñộ chính xác) của tọa ñộ x của một vi hạt, và ∆p x là ñộ bất ñịnh của ñộng lượng hạt trên phương x. Theo cơ học lượng tử thì giữa chúng có hệ thức sau: hpx x >∆⋅∆ ~ (8a) Nghĩa là tích của hai ñộ bất ñịnh của x và p x là lớn hơn hay vào cỡ hằng số Planck. Tương tự, chúng ta cũng có các hệ thức bất ñịnh ñối với y và p y , z và p z . Cơ sở của cơ học lượng tử 5 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 hpzhpy zy >∆⋅∆>∆⋅∆ ~ , ~ (8b) Hệ quả của hệ thức bất ñịnh là chúng ta không thể xác ñịnh ñược chính xác ñồng thời tọa ñộ và ñộng lượng của các vi hạt, hay nói cách khác, chúng ta không thể xác ñịnh ñược quỹ ñạo của chúng. ðiều này cũng có thể hiểu ñược, vì thật ra các vi hạt là sóng. Ví dụ 1: Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 10 6 m/s, ñược ño với ñộ chính xác là 1,5 %. ðộng lượng của electron là: p = mv = (9,11 × 10 -31 kg) × (2,05 × 10 6 m/s) = 1,87 × 10 -24 kg.m/s ðộ bất ñịnh của ñộng lượng là 1,5 % giá trị ñó, tức là bằng 2,80 × 10 -26 kg.m/s. Thay ∆p x trong (8a) bằng giá trị này, ta suy ra ñộ bất ñịnh về tọa ñộ: nmm p h x x 24104,2 ~ 8 =×= ∆ >∆ − tức là khoảng 200 lần ñường kính của nguyên tử – ñối với một hạt vi mô thì sai số này là quá lớn! Ví dụ 2: Electron trong nguyên tử có ñộ bất ñịnh về tọa ñộ vào khoảng kích thước của nguyên tử, tức là 0,1 nm. Từ (8a) ta suy ra ñộ bất ñịnh về ñộng lượng: smkg m sJ x h p x .10626,6 101,0 10626,6 ~ 24 9 34 − − − ×= × ⋅× = ∆ >∆ Chúng ta biết ñộng năng của electron trong nguyên tử là cỡ 1 eV, do ñó ñộng lượng của electron là: ( ) ( ) smkgJkgmKp x .104,5106,11011,922 251931 −−− ×=⋅×⋅×== Nghĩa là ñộ bất ñịnh về ñộng lượng lớn gần gấp 10 lần ñộng lượng! Ví dụ 3: Một quả banh golf có khối lượng 45 g ñang bay với vận tốc 35 m/s. Vận tốc ñược ño với ñộ chính xác là 1,5 %. Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra ñộ bất ñịnh về vị trí của quả banh: mx 32 103 ~ − ×>∆ ðộ bất ñịnh này rất nhỏ, nghĩa là người ta vẫn có thể xác ñịnh ñược chính xác ñồng thời vị trí và ñộng lượng của quả banh. Một lần nữa, chúng ta thấy tính chất sóng của các vật vĩ mô là rất yếu, vì vậy ñể khảo sát chuyển ñộng của chúng người ta vẫn dùng Cơ học cổ ñiển. 3.2 Hệ thức bất ñịnh ñối với năng lượng và thời gian Gọi ∆t là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái, và ∆E là ñộ bất ñịnh của năng lượng hạt ở trạng thái ñó. Cơ sở của cơ học lượng tử 6 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 Giữa chúng có hệ thức bất ñịnh sau: hEt >∆⋅∆ ~ (9) Hiệu ứng chui ngầm Hệ thức bất ñịnh này dẫn ñến một hệ quả rất ñặc biệt – Giả sử có một vi hạt bị giam trong một chiếc hộp, hay theo cách nói của các nhà vật lý, là bị giam trong một giếng thế. Hạt không thể ra khỏi hộp ñược vì năng lượng toàn phần của nó nhỏ hơn ñộ sâu của giếng thế. Tuy nhiên, nếu trạng thái của hạt là không bền và chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian rất ngắn, ∆t ≈ h/U, thì trong khoảng thời gian ñó ñộ bất ñịnh năng lượng của hạt là: U Uh h t h E == ∆ >∆ ~ ðộ bất ñịnh này còn lớn hơn cả chiều sâu của giếng thế! ðiều này có nghĩa là hạt có thể thoát ra khỏi giếng thế trong những khoảng thời gian rất ngắn, cỡ ∆t ≈ h/U, mặc dù có năng lượng trung bình nhỏ hơn ñộ sâu của giếng. Người ta gọi ñó là hiệu ứng chui ngầm hay hiệu ứng ñường ngầm (Hình 2). Hình 2. Hiệu ứng chui ngầm − Trong những khoảng thời gian rất ngắn, hạt có ñộ bất ñịnh năng lượng ∆E ñủ lớn ñể thoát ra khỏi giếng thế. 4. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều 4.1 Giếng thế vô hạn một chiều Giếng thế vô hạn một chiều ñược xác ñịnh bởi:    ≥≤∞ << = axx ax U ,0 00 trong ñó a là ñộ rộng của giếng thế (Hình 3). Electron tự do trong kim loại là một ví dụ về hạt chuyển ñộng trong một giếng thế vô hạn. U ∆E E Cơ sở của cơ học lượng tử 7 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 Hình 3. Giếng thế vô hạn một chiều − Hạt chuyển ñộng lui tới giữa hai vách, tạo nên sóng dừng khi bề rộng giếng bằng n lần nửa bước sóng, hệ quả là năng lượng của hạt bị lượng tử hóa theo n. 4.2 Năng lượng bị lượng tử hóa Theo quan ñiểm sóng, hạt trong giếng thế là một sóng truyền lui tới giữa hai vách giếng. Sóng tới và sóng phản xạ kết hợp với nhau tạo nên sóng dừng, tương tự như sóng trên một sợi dây ñàn vậy. Khi ñó bề rộng của giếng thế phải là một bội số của một nửa bước sóng: K2,1 2 == nna λ Bên trong giếng thế thì thế năng bằng không nên hạt là tự do và có bước sóng cho bởi: p h = λ Suy ra ñộng lượng hạt: a h n na hh p 22 === λ Do ñó năng lượng của hạt là: ma h n m p E n 8 2 2 2 2 == (10) Theo ñó thì năng lượng của hạt trong giếng thế vô hạn thay ñổi một cách gián ñoạn theo n 2 , hay nói cách khác, năng lượng hạt ñã bị lượng tử hóa. Số n ñược gọi là số lượng tử năng lượng. Ngoài ra, mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là khác không. Trước ñây, người ta hay nghĩ là khi nhiệt ñộ tuyệt ñối tiến ñến 0 thì các hạt cấu tạo nên vật chất sẽ ngừng chuyển ñộng, do ñó mức năng lượng thấp nhất của hạt là bằng không. Tuy nhiên, cơ học lượng tử cho thấy mức năng lượng thấp nhất của các vi hạt là khác không. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0 a x a = λ/2 a = 2(λ/2) a = 3(λ/2) U → ∞ Cơ sở của cơ học lượng tử 8 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 4.3 Hàm sóng Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong giếng thế: 0 2 22 2 =Φ+ ∂ Φ∂ E m x h Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: ( ) ( ) ( ) hh pmEkkxBkxAx ==+=Φ 2,cossin Vì giếng thế là vô hạn nên hạt không thể ra ngoài giếng ñược, hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không. Ngoài ra, ñể hàm sóng biến thiên liên tục thì ở hai vách giếng nó cũng phải bằng không: ( ) ( ) 0,00 =Φ=Φ a Suy ra: ( ) K2,1,0sin 0 ==⇔= = nankka B π Do ñó hàm sóng dừng cũng phụ thuộc vào số lượng tử năng lượng n: ( )       =Φ x a nAx n π sin Từ ñiều kiện lượng tử hóa trên ñây ñối với k, chúng ta cũng có thể tìm lại năng lượng của hạt như trong (10): ( ) 2 2 2 2 22 2 2 8 2 2 ma h n ma n m k E n === π hh Cuối cùng, chúng ta dùng ñiều kiện chuẩn hóa của hàm sóng (3) ñể xác dịnh hằng số A, kết quả thu ñược là aA 2= . Vậy hàm sóng dừng của hạt trong giếng thế có dạng: ( )       =Φ x a n a x n π sin 2 (11) Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là: ( )             −=Ψ x a nt E i a tx n n π sinexp 2 , h (12) Từ ñó chúng ta tìm ñược mật ñộ xác suất của hạt trong giếng thế vô hạn: Cơ sở của cơ học lượng tử 9 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 ( )       =Ψ⋅Ψ=Ψ x a n a tx nnn π 2 * 2 sin 2 , (13) Các kết quả trên ñây ñược minh họa trên Hình 4. Hình 4. Hàm sóng dừng và mật ñộ xác suất của hạt trong giếng thế vô hạn một chiều. 5. Toán tử trong cơ học lượng tử Chúng ta ñã biết là trong cơ học lượng tử chuyển ñộng của một hạt ñược mô tả bằng hàm sóng. Các bạn có thể hỏi: thế còn các ñại lượng vật lý ñặc trưng cho hạt thì sao? Làm thế nào ñể tìm các ñại lượng vật lý như ñộng lượng, năng lượng v.v , một khi chúng ta ñã có hàm sóng? Câu trả lời sẽ bắt ñầu bằng khái niệm toán tử. 5.1 Toán tử là gì? Toán tử là một phép biến ñổi bất kỳ ñược thực hiện trên một hàm số. Ví dụ: Toán tử lấy ñạo hàm theo x, ký hiệu là x ∂ ˆ , ñược ñịnh nghĩa bởi xff x ∂∂=∂ ˆ . Toán tử nhân với một số c, ký hiệu là c ˆ , ñược ñịnh nghĩa bởi cffc = ˆ . Các bạn lưu ý là thông thường, chúng ta thêm dấu ^ ở trên ký hiệu của một toán tử. 5.2 Trị riêng và hàm riêng của một toán tử Cho một toán tử bất kỳ Â, nếu tồn tại hàm Φ sao Φ=Φ aA ˆ , với a là một con số, thì Φ ñược gọi là hàm riêng của toán tử Â, còn a là trị riêng tương ứng với hàm riêng ñó. Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và trị riêng, tập hợp các trị riêng ñược gọi là phổ của toán tử. Phổ của toán tử có thể là liên tục, gián ñoạn hay kết hợp cả hai. 5.3 Toán tử vật lý Trong cơ học lượng tử mỗi ñại lượng vật lý ñều ñược ñặt tương ứng với một toán tử, ví dụ: Mật ñộ xác suất Hàm sóng dừng n = 1 n = 2 n = 3 Cơ sở của cơ học lượng tử 10 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 ∗ ðộng lượng trên phương x ↔ toán tử ñộng lượng trên phương x, x P ˆ . ∗ Năng lượng ↔ toán tử năng lượng H ˆ . Phổ của một toán tử vật lý chính là các giá trị có thể có của ñại lượng vật lý tương ứng. Chẳng hạn, nếu hạt ở trạng thái có hàm sóng Φ và ta có Φ=Φ xx pP ˆ , thì trị riêng p x chính là ñộng lượng của hạt ở trạng thái ñó. Bây giờ chúng ta hãy làm quen với các toán tử vật lý thường dùng. ðại lượng vật lý Toán tử Tọa ñộ x, y, z zzyyxx ≡ ≡ ≡ ˆ , ˆ , ˆ Hình chiếu của ñộng lượng p x , p y , p z zzyyxx iPiPiP ∂−≡∂−≡∂−≡ ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ hhh Bình phương ñộng lượng p 2 ∆−=++≡ ∧∧∧∧ 22222 h zyx PPPP ðộng năng K mmPK 2/2/ ˆ 22 ∆−=≡ ∧ h Năng lượng E = K + U UmUKH +∆−=+≡ 2/ ˆˆˆ 2 h Hình chiếu của momen ñộng l x , l y , l z xyzzxyyzx PyPxLPxPzLPzPyL ˆˆˆ , ˆˆˆ , ˆˆˆ −≡−≡−≡ Bình phương momen ñộng l 2 ∧∧∧∧ ++≡ 2222 zyx LLLL Ví dụ 1: Một hạt tự do chuyển ñộng theo chiều dương của trục x có hàm sóng là ( ) ( ) kxtiA −−=Ψ ω exp , chúng ta sẽ tìm ñộng lượng của hạt bằng cách tác ñộng toán tử x P ˆ lên hàm sóng ñó: Ψ=Ψ∂−=Ψ kiP xx hh ˆ ˆ Vậy ñộng lượng của hạt là kp x h= . Ví dụ 2: Năng lượng của một hạt có hàm sóng Ψ ñược xác ñịnh bằng cách tác ñộng toán tử năng lượng lên hàm sóng. Nếu: ( ) Ψ=Ψ+∆−=Ψ EUmH 2/ ˆ 2 h thì E là năng lượng của hạt. ðây chính là phương trình Schrödinger dừng. 5.4 Toán tử giao hoán Chỉ khi nào hai toán tử BA ˆ , ˆ giao hoán với nhau thì hai ñại lượng vật lý tương ứng A, B mới có thể xác ñịnh ñược chính xác ñồng thời: . n = 3 Cơ sở của cơ học lượng tử 10 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 ∗ ðộng lượng trên phương x ↔ toán tử ñộng lượng trên phương x, x P ˆ . ∗ Năng lượng ↔ toán tử năng lượng H ˆ . Phổ của một. EU m2 2 h (6a) hay: Cơ sở của cơ học lượng tử 4 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 ( ) 0 2 2 =Φ−+∆Φ UE m h (6b) trong ñó E là năng lượng toàn phần của hạt. 2.3 Hàm sóng của hạt tự do ðối với. rãi nhất ngày nay. Cơ sở của cơ học lượng tử 3 Lê Quang Nguyên 6/11/2006 Ý nghĩa của sóng xác suất là như sau − Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z) của một hạt vi mô, và